下载文档原格式
⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。
2.画法：借助辅助平⾯。
1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。
设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。
1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。
（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。
（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。
（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。
（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。
1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。
2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何基本知识总结I. 基础知识要点 一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围[]180,0∈θ）（异面直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角()90,0∈θ）（直线与平面所成角[]90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性12方向相同12方向不相同证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短. [注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都POAaPαβθM AB O取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图） ⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全．等的矩形．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.图1θθ1θ2图2⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,,得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. l ab c FEH GBCDAO'⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.构造以半径为斜边的直角三角形线面垂直平行六种关系的证明方法总结一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。
线面垂直●知识点１.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.２.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3．三垂线定理和它的逆定理．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例１】如图所示，已知点S是平面ＡBC外一点，∠ＡＢＣ=９0°，ＳＡ⊥平面ABC，点A在直线ＳB和SＣ上的射影分别为点E、F，求证:EF⊥ＳC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径,假设ＥF⊥SC成立，结合AＦ⊥ＳC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE,结合AE⊥SB，可推证AＥ⊥平面ＳＢC,因此证明ＡＥ⊥平面SＢC是解决本题的关键环节．由题设SA⊥平面ABC，∠ＡＢC＝90°，可以推证BC⊥ＡE，结合ＡE⊥SB完成AE⊥平例1题图面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多，图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.【例2】已知：M∩N＝ＡB,PQ⊥M于Q,ＰO⊥N于O,OR⊥M于R,求证:ＱR⊥AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥ｃ；(２)ａ⊥α,b⊂α⇒a⊥ｂ;（３）三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”:就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”:就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线,牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作:确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例３】已知如图(1)所示,矩形纸片AＡ′A′１A1,B、Ｃ、Ｂ1、Ｃ1分别为ＡＡ′,A1Ａ′的三等分点，将矩形纸片沿ＢB1,CC１折成如图(2)形状(正三棱柱)，若面对角线AＢ1⊥BC1，求证:A１Ｃ⊥AB1.例3题图解(1)【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥ＢC ，而结论是A Ｂ１⊥A 1Ｃ，题设,题断有对答性，可在ABB 1Ａ1上作文章,只要取A 1Ｂ1中点D １,就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ＡBB １Ａ1同一平面内AB 1与ＢD １垂直关系,这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断A Ｂ1与A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可,只要证得Ａ1D 垂直于A Ｂ１,事实上D ＢＤ1A １，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：(1）三垂线正逆定理，（2)线面,线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作,在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直,线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例４】 空间三条线段A Ｂ，BC ,CD ,AB ⊥ＢC ,BC ⊥C Ｄ,已知AB ＝3,BC =4，CD =6,则AD 的取值范围是 .【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中，C Ｄ1=６,AD １的长是AD 的最小值，其中AH ⊥C Ｄ１，AH =B Ｃ=4，HD １＝3,∴ＡＤ1=５;在直角△AH Ｄ２中,ＣD 2=6,AD ２是A Ｄ的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手，其实冷静分析,找出隐藏的条件很容易得出结论.例4题图●对应训练 分阶提升一、基础夯实1．设M 表示平面,ａ、b 表示直线，给出下列四个命题:①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 （ )A.①② Ｂ.①②③ C.②③④ Ｄ.①②④２.下列命题中正确的是 （ )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示,在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、B Ｃ的中点.现在沿D Ｅ、DF 及EF 把△A ＤE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、Ｂ、C 三点重合,重合后的点记为Ｐ．那么,在四面体P —DEF 中,必有 （ ）Ａ.D Ｐ⊥平面PE Ｆ B ．ＤM ⊥平面PEF C.PM ⊥平面DE Ｆ Ｄ.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( )A.过不在ａ、b 上的一点Ｐ一定可以作一条直线和ａ、b 都相交B ．过不在a 、b 上的一点Ｐ一定可以作一个平面和a 、b 都垂直Ｃ.过ａ一定可以作一个平面与ｂ垂直D.过ａ一定可以作一个平面与b 平行5．如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:ｌ=β∩γ,l ∥α,ｍ⊂α和m ⊥γ,那么必有 （ ) Ａ.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.ｍ∥β且l ⊥ｍ Ｄ.α∥β且α⊥γ6.ＡＢ是圆的直径，C 是圆周上一点,ＰC 垂直于圆所在平面，若B Ｃ=１,ＡC =２,P Ｃ＝1，则P 到ＡＢ的距离为 ( )A.１B.２ Ｃ.552 D.553 ７.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过ａ的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1 Ｃ.2 Ｄ.38.d 是异面直线a 、ｂ的公垂线,平面α、β满足a ⊥α,ｂ⊥β,则下面正确的结论是 （ )第3题图Ａ.α与β必相交且交线m ∥ｄ或m 与ｄ重合B.α与β必相交且交线ｍ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设ｌ、m 为直线，α为平面，且l ⊥α,给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥ｌ;②若m ⊥l ，则ｍ∥α;③若ｍ∥α,则m ⊥l ;④若ｍ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ Ｂ.①②④ C ．②③④ D.①③④10．已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,给出下列四个命题:①若α∥β，则l ⊥ｍ;②若α⊥β，则l ∥m ;③若ｌ∥ｍ,则α⊥β；④若l ⊥m ,则α∥β. 其中正确的命题是 ( ）A.③与④B.①与③ Ｃ.②与④ D.①与②二、思维激活11．如图所示,△ABC 是直角三角形,AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为Ａ′，Ｂ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，B Ｂ′＝5cm ，ＣC ′＝4cm ，则△A ′B ′Ｃ′的面积是 .12．如图所示,在直四棱柱A １B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A １Ｃ⊥B 1Ｄ1(注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13.如图所示,在三棱锥V —ＡB Ｃ中，当三条侧棱ＶA 、VB 、VC 之间满足条件 时,有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高1４.如图所示，三棱锥V -AB Ｃ中,ＡH ⊥侧面ＶBC ,且H 是△VB Ｃ的垂心,BE 是VC 边上的高.（1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —ＡＢ—C 的大小为30°,求VC 与平面AB Ｃ所成角的大小.第11题图 第12题图第13题图 第14题图１5．如图所示，ＰＡ⊥矩形AＢＣD所在平面，M、N分别是AB、ＰC的中点．(1)求证：ＭN∥平面P AD.(2)求证：ＭＮ⊥CＤ．(３)若∠ＰDA＝45°，求证:ＭN⊥平面PCＤ.第15题图16.如图所示，在四棱锥P—AＢCD中,底面ABCD是平行四边形，∠BＡD＝60°，AＢ=4,AD＝２，侧棱PB=15，ＰD ＝3.(1)求证：BD ⊥平面P AD.(2）若PD与底面AＢCD成60°的角,试求二面角P—BＣ—A的大小.第16题图1７.已知直三棱柱ＡBＣ-A1B1C１中，∠ACＢ=9０°,∠ＢＡＣ＝30°,BC=1,ＡＡ1＝6，M是CC1的中点，求证：AＢ1⊥A１M.１8.如图所示,正方体ABCD—A′B′Ｃ′Ｄ′的棱长为a，M是AD的中点，Ｎ是BD′上一点,且D′N∶NB＝1∶2,MＣ与BD交于P.(1)求证:NＰ⊥平面ＡBＣD.（2)求平面PＮC与平面CC′Ｄ′D所成的角.(3)求点Ｃ到平面D′MB的距离.第18题图第4课 线面垂直习题解答１.A 两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2．C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥ＰE ,D Ｐ⊥PF ,P Ｅ⊥ＰF .４.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则ａ，b ′确定的平面与直线ｂ平行.5．A 依题意，ｍ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则ｌ⊥m ,故选A.6．D 过P 作PD ⊥A Ｂ于D ,连CD ，则CD ⊥ＡB ,AB ＝522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD , ∴PD =55354122=+=+CD PC . ７.Ｄ 由定理及性质知三个命题均正确．8.Ａ 显然α与β不平行.９.Ｄ 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直．10．B ∵α∥β,ｌ⊥α，∴l ⊥m 11.23c ｍ2 设正三角A ′Ｂ′Ｃ′的边长为a ． ∴A Ｃ２=a 2+１,BC 2=a 2+1，A Ｂ２=ａ２+4,又AC 2＋ＢC ２=AB 2，∴a 2=２. Ｓ△Ａ′Ｂ′C ′＝23432=⋅a cm 2． １2.在直四棱柱A 1B １C １Ｄ1—A ＢCD 中当底面四边形AB ＣD 满足条件ＡC ⊥B Ｄ(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如A ＢCD 是正方形,菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D １（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 点评:本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ,ＶC ⊥AB . 由ＶC ⊥ＶA ,ＶC ⊥AB 知VC ⊥平面V ＡB .14.(1)证明：∵H 为△V ＢC 的垂心,∴VC ⊥B Ｅ,又AH ⊥平面VBC ，∴BE 为斜线A Ｂ在平面ＶBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2）解:由(1）知VC ⊥A Ｂ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面A ＢＥ上,作ＥＤ⊥AB ,又A Ｂ⊥ＶC ,∴ＡB ⊥面D ＥC .∴ＡB ⊥CD ,∴∠ＥDC 为二面角E —A Ｂ—C 的平面角,∴∠ＥD Ｃ=30°,∵AB ⊥平面VCD ,∴VC 在底面AB Ｃ上的射影为CD ．∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角，又VC ⊥A Ｂ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥面AB Ｅ,∴VC ⊥ＤE ,∴∠ＣE Ｄ＝90°,故∠ECD=６0°，∴VC 与面A ＢC 所成角为60°.1５.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ,ＥN ，则有ＥＮ∥CD ∥AB ∥ＡＭ,E Ｎ＝21C Ｄ=21AB =ＡＭ,故ＡMNE 为平行四边形. ∴MN ∥ＡＥ． ∵ＡE 平面P AD ,ＭN 平面P AD ，∴MN ∥平面ＰAD ．（2)∵ＰA ⊥平面ABCD ，∴P Ａ⊥AB .又A Ｄ⊥AB ,∴A Ｂ⊥平面P A Ｄ.∴A Ｂ⊥ＡE ，即ＡB ⊥ＭN .又C Ｄ∥ＡB ,∴MN ⊥ＣＤ．(3）∵P A ⊥平面ＡＢCD ,∴P A ⊥AD .又∠PDA =４5°，E 为PD 的中点.∴AE ⊥P Ｄ，即MN ⊥ＰD .又ＭN ⊥ＣD ,∴ＭN ⊥平面P ＣD .1６.如图(1)证:由已知A Ｂ＝４,ＡD ＝２，∠BAD =60°，故ＢD 2=ＡD 2＋A Ｂ2-2AD ·A Ｂc ｏs60°＝４＋16-2×2×4×21＝１2.又AB 2=ＡD ２+B Ｄ２,∴△A ＢＤ是直角三角形,∠AD Ｂ＝９0°,即AD ⊥ＢＤ.在△ＰDB 中，PD =3,PB ＝15，BD =12,∴PB 2＝PD 2+ＢD 2,故得ＰD ⊥B Ｄ.又P Ｄ∩AD ＝D ,∴BD ⊥平面P ＡＤ.(2)由BD ⊥平面P AD ，ＢＤ平面A ＢCD .∴平面P AD ⊥平面A ＢＣD .作PE ⊥AD 于Ｅ，又P Ｅ平面P ＡD ，∴PE ⊥平面ＡＢCD ,∴∠ＰD Ｅ是PD 与底面AB ＣＤ所成的角.∴∠PD Ｅ＝60°，∴P Ｅ=PD si ｎ60°＝23233=⨯．作ＥF ⊥ＢC 于Ｆ，连PF ,则PF ⊥BF,∴∠PF Ｅ是二面角P —BC —Ａ的平面角.又E Ｆ＝BD =12，在Rt △P ＥF 中,ｔａn ∠PFE ＝433223==EF PE .故二面角P —ＢＣ—A 的大小为ar ｃtan 43. 第15题图解第16题图解17.连结AC １,∵11112263A C CC MC AC ===. ∴Rt △ＡCC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠ＭA 1Ｃ１,∴∠Ａ1ＭC 1+∠ＡC １C ＝∠A １M Ｃ1+∠ＭＡ１Ｃ1=90°．∴Ａ1M ⊥AC 1,又ABC -A 1Ｂ1C １为直三棱柱，∴C Ｃ1⊥B １C 1,又B 1Ｃ1⊥Ａ1C 1,∴B １C １⊥平面AC 1M .由三垂线定理知AB 1⊥A 1M ．点评:要证ＡB 1⊥A 1Ｍ,因B 1C 1⊥平面A Ｃ１,由三垂线定理可转化成证AC １⊥A 1M ，而ＡC １⊥A 1M 一定会成立.1８.(1)证明：在正方形ABCD 中,∵△ＭＰD ∽△C ＰB ,且MD =21B Ｃ, ∴D Ｐ∶PB ＝ＭD ∶ＢC =1∶２.又已知D ′N ∶ＮB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得ＮＰ∥ＤＤ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面ABCD .(2）∵N Ｐ∥DD ′∥CC ′，∴N Ｐ、C Ｃ′在同一平面内,CC ′为平面ＮPC 与平面C Ｃ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面AB ＣD ，得CC ′⊥CD ,CC ′⊥CM ,∴∠ＭＣD 为该二面角的平面角.在Ｒt △M ＣD 中可知∠ＭＣD =arc ｔan 21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为ａ可得,等腰△MBC 面积S 1＝22a ,等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ,即为三棱锥C —Ｄ′ＭＢ的高．∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅, ∴.3621a S a S h =⋅=。
立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ． 【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ， 所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （ ）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上 【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少 有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB， 所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =， 所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。
点线面的位置关系〔1〕四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号语言：A l,B l,且A ,B l .公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面②经过两条相交直线,有且只有一个平面_______________________③经过两条平行直线,有且只有一个平面_______________________它给出了确定一个平面的依据.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线〔两个平面的交线〕.符号语言：P ,且P I l,P 1.公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言：a//l,nb//l a//b 0〔2〕空间中直线与直线之间的位置关系1 .概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.两条异面直线a,b ,经过空间任意一点O作直线a //a,b //b ,我们把a与b所成的角〔或直角〕叫异面直线a, b所成的夹角.〔易知：夹角范围0 90 〕公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行.符号语言：a〃l,且b//l a//b 0定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.〔注意：会画两个角互补的图形〕小,击〃心相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；u向宜线2 .位置关系：八’ 平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点〔3〕空间中直线与平面之间的位置关系直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 有 三 种 直线在平面内〔l 〕有无数个公共点〔4〕空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种 两个平面平行〔// 〕没有公共点 两个平面相交〔I 1〕有一条公共直线考点1：点,线,面之间的位置关系例1.〔2021辽宁,4,5分〕m,n 表示两条不同直线,a 表示平面.以下说法正确 的是〔〕A.假设 m// a ,n // a ,那么 m/l nB.假设 a ,n ? a ,那么 nC.假设 a ,m±n, WJ n // aD.假设 mil a ,m±n,那么 n± a［答案］1.B［解析］1.A 选项m n 也可以相交或异面,C 选项也可以n? a ,D 选项也可以n // a 或n 与a 斜交.根据线面垂直的性质可知选 B.例2.〔2021山东青岛高三第一次模拟测试,5〕设"、"是两条不同的直线,空 ,是两个不同的平面,那么以下命题正确的选项是〔〕A.假设 口〃瓦口〃/那么 6"a B .假设 01 人口那么."C .假设 ,, 「那么D .假设・ . . ..那么［答案］2. D［解析］2.A 选项不正确,由于方匚口是可能的;直线在平面外直线与平面相交〔11 直线与平面平行〔1 / / 〕 A 有且只有一个公共点没有公共点B选项不正确,由于以‘产,""靠时,""尸,"仁/都是可能的;C选项不正确,由于我上方,口工户时,可能有m；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证实其是正确的.应选D例3. 〔2021广西桂林中学高三2月月考,4〕设小、"是两条不同的直线,以、川是两个不同的平面.以下命题中正确的选项是〔A〕'；：」-•・；〃一/…」「；二.一不〔C〕滂,£©［8―明〃,••曾 = .,・,A［答案］3. D［解析］3. 假设m上R MU E用工'、那么平面"与“垂直或相交或平行,故〔A〕错误；假设“1凤阳1 g//Q,那么直线用与〃相交或平行或异面,故〔B〕错误；假设口L凤仪1.二风雨工,;那么直线片与平面#垂直或相交或平行,故〔C〕错误; 假设那么直线、1M,故©正确.选D.例4. 〔2021周宁、政和一中第四次联考, 示不同的平面,给出以下四个命题：①假设州且EU•那么u〞；②假设州// f,且阳// c.贝〞// 口；③假设Hl…内T = M ",那么'//巾//E ；④假设m D 且打// #,那么f //7〕设L E,H表示不同的直线,小丹「表( )(B) " ’(D)睽C f其中正确命题的个数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4 ［答案］4. B［解析］4. ①正确；②直线也或£上,错误；③错误,由于正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确.故真正确的选项是①④,共2个.2.空间几何平行关系转化关系:i I城线平行---------- "线面平行" ------------ "面面平行直线、平面平行的判定及其性质归纳总结证实线线平行的方法:11 (平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行.即公理4(2证实这条两条直线的方向量共线.③如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.即面面平行的性质.2 .证实直线和平面相互平行的方法(1证实直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证实这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证实这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.3 .证实两平面平行的方法：(1)利用定义证实.利用反证法,假设两平面不平行,那么它们必相交,再导出矛盾.(2)判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,这个定理可简记为线面平行那么面面平行.用符号表示是：anb, aa , a// e , b// e , WJ a // e.(3)垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a±a , a,B那么a// B.(4)平行于同一个平面的两个平面平行. 〃 ,// //4.两个平面平行的性质有五条：(1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简记为：〞面面平行,那么线面平行〞.用符号表示是：a // B, aa ,那么a // B.(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可简记为：〞面面平行,那么线线平行〞.用符号表示是：a//0, aP 丫=a, B C = =b,贝U a// bo(3) 一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：a // B , a, a ,那么a, B.(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等口(5)过平面外一点只有一个平面与平面平行七3.空间几何垂直关系1 .线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角,两直线垂直；垂直于平行线中的一 条,必垂直于另一条.三垂线定理：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂 直,那麽它也和这条斜线的射影垂直.注意：⑴三垂线指PA PQ AO 都垂直a 内的直线a 其实质是：斜线和平 面内一条直线垂直的判定和性质定理.⑵要考虑a 的位置,并注意两定理交替使 用.2 .线面垂直(1)定义：如果一条直线l 和一个平面a 相交,并且和平面a 内的任意一条直 线都垂直,我们就说直线l 和平面a 互相垂直,其中直线l 叫做平面的垂线,平面 a 叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l 与平面a 垂直记作：I ,ob a J /不(2)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(3)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条 直线平行. 3 .面面垂直(1)两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. (2)两平面垂直的判定定理：(线面垂直 面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(3)两平面垂直的性质定理：(面面垂直 线面垂直)假设两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面PO 推理模式：PAI,OA ,a APa AOAOa考点2:证实线面之间的平行与垂直例1 .如图,四边形ABC时正方形,PD,平面ABCD/DPC=30 ,AF,PC于点F,FE // CD,交PD于点E.(1)证实:CFL平面ADF;［解析］1.⑴证实：V PDL平面ABCD/ PDL AD,又CDL AD,Pm CD=D,• ・ADL平面PCD/ ADL PC,又AF, PC,AFA AD=A,「• PC1平面ADF,即CF,平面ADF.例2. (2021江苏,16, 14分)如图,在四棱锥P-ABC时,平面PADL平面ABCD, AB=AD, / BAD=60 , E, F 分别是AP, AD的中点.求证：(I )直线EF//平面PCD;(R)平面BEFL平面PAD.J)［答案］(I )在△ PAD中,由于E, F分别为AP, AD的中点,所以EF// PD.又因为EF?平面PCD, PC?平面PCD,所以直线EF//平面PCD.(n)连结BD.由于AB=AD, /BAD=60 ,所以△ ABM正三角形.由于F是AD 的中点,所以BF±AD.由于平面PADL平面ABCD, BF?平面ABCD,平面PAD? 平面ABCD=AD所以BF,平面PAD.又由于BF?平面BEF,所以平面BEFL平面PAD.例3. (2021 江苏,16, 14 分)如图,在直三棱柱ABC-ABG中,E、F分别是AB、A i C的中点,点D在BC上,A iD± B i C.求证：(I ) EF // 平面ABC;(II)平面AFD1平面BBCC.［答案］3.( I )由于E、F分别是A i B、A i C的中点,所以EF// BC, EF?面ABC, BC ?面ABC.所以EF//平面ABC.(II)由于直三棱柱ABC-AB i C i,所以BBL面A i B i C i, BB iX A i D,又A i DLBC,所以A i DL面BBCC,又AD?面A i FD,所以平面AFDL平面BBCC.例4. (2021江苏,i6, i4 分)如图,在四面体ABCm,CB=CD, ADLBD,点E、F分别是AB BD的中点.求证:(I )直线EF//平面ACD;(n)平面EFd平面BCD.［答案］4.( I )在4ABD中,由于E、F分别是AB BD的中点,所以EF// AD.又AD?平面ACD, EF?平面ACD,所以直线EF//平面ACD.(H)在AABD^ ,由于ADL BD, EF // AD,所以EF, BD.在△BCDt ,由于CD=CB, F为BD的中点,所以CF± BD.由于EF?平面EFC, CF?平面EFC, EF与CF交于点F,所以BDL平面EFC.又由于BD?平面BCD,所以平面EFCL平面BCD.例5. (2021北京海淀区高三三月模拟题,17,14分)在四棱锥P-/3m 中,产,！平面N夙力,匚是正三角形,金.与凡0的交点5/恰好是AC中点,又= ZCTH二120.,点A『在线段PB上,且(H)求证：AN"平面『DC;［答案］7.(1) 由于必出.是正三角形,■是JC'中点,所以m C',即8OLRC.又由于^ 平面HBCD , 80u平面月8CQ,所以以_LHD.又Rin」心=1,所以叨_L平面心C.又尸.仁平面尸〃’,所以皿_LPC.(H)在正三角形月中,3M =2V'3,在AJC.中,由于M为/C中点, DM±AC y所以才口二CD.又2OM = 120 ,所以NCMf = 60..1tan ZCDM = ♦"=々=出DM —二'所以由冈冈,得3 .所以a1九=31在等腰直角三角形尸/E中,2月"/lA",所以PB = 4五. 所以BMNPCA , BN 小)= BY : ,所以MN NPD .又“V之平面"DC , PD仁平面产比,所以W j平面热乂：.。
(1) 立体几何线面关系的常见规律规律一：线线平行与线线垂直的判定1、直线与直线平行的判定方法：公理4:平行与同一条直线的两条直线互相平行直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行2、直线与直线垂直的判定方法：利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线垂直例题1、如图，在六面体ABC D ABCD中，AA// CC, AB= AD, AB= AD求证：同步练习2 :如图，在四棱柱ABCD A1B I C1D1中，AB = BC =CA = 3 , AD = CD = 1.求证：BD _ AA j；已知平面AA&jC—平面AB CJD且(1) AA丄BD (2) BB// DD.证明：(1)取BD的中点M 连结AM AM 因为AD= AB, AD= AB 所以BDL AM BDL AM 又AM T A i M= MAM AM?平面AAM所以BDL平面AAM因为AA?平面AAM所以AA L BD(2)因为AA // CC, AA?平面DDCC CC?平面DDCC所以AA //平面DDCC又AA?平面AADD,平面AADDH平面DDCC= DD,所以AA/ DD. 同理可得AA// BB ,所以BB// DD.73例题2、在三棱锥S-ABC中，SA_平面ABC SA=AB=AC=? BC，点D是BC3边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE点M是线段SD上一点，求证:同步练习3、如图，已知斜三棱柱求证：AD L DC;ABC- ABC中，AB= AC D为BC的中点，若平面ABCL平面BCCB, BC_ AMC1方法小结：(1)要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。
立体几何线与面的关系线与面在立体几何里，就像是丝线和绸缎的关系呢。
你看啊，一条线就像一根纤细的丝线，而一个面就如同一块大大的绸缎。
线在面里可以有好多有趣的状态。
有时候，线就像刺绣的针脚，直直地躺在面这个绸缎上，我们把这种情况叫做线在面内。
这就好比你在一块平整的布上画了一条直线，这条直线完全就在这块布的范围里，它就属于这个面的一部分。
你能说这条线和这个面没关系吗？肯定不能呀，它们就像住在同一间屋子里的伙伴，关系可亲密了。
那要是线与面只有一个交点呢？这就像一只小蜜蜂轻轻地落在了绸缎上，只扎了那么一下，就飞走了。
这个时候，我们就说线与面相交。
线就像一个过客，和面打了个照面，只留下一个点的痕迹。
这在生活里也有很多例子啊，就像一根筷子斜插到桌面上，筷子就代表那条线，桌面就是那个面，它们相交的地方就是一个点，是不是很形象呢？还有一种情况更神奇呢，线和面平行。
这就好比在空中有一根丝线，而下面有一块绸缎，丝线就这么平行地悬在绸缎的上方，两者永远不会有更多的交集，就只是这么平行地存在着。
比如说天花板上的灯管和地面，灯管就像那条线，地面就是那个面，灯管一直平行于地面，不管怎么样都不会碰到地面，这种关系就很特别。
我们再从不同的角度来看这种关系的奇妙之处。
如果把面看作是一个舞台，线可能是在舞台上跳舞的演员的轨迹。
当线在面内的时候，就像是演员在舞台范围内尽情地舞蹈，所有的动作都在这个舞台上完成。
而线与面相交的时候呢，就好像演员从舞台旁边突然跳上舞台，只踩了一脚，就又跳下去了。
至于线面平行，就像是舞台上方有一个幽灵舞者，它的舞蹈轨迹和舞台平行，永远不会真正地踏上这个舞台。
从数学的角度来讲，这些关系可不是随便说说的。
我们可以通过各种方法来判断线与面到底是什么关系。
这就好比我们要判断一个人到底是这个村子的村民（线在面内），还是路过这个村子的旅人（线与面相交），或者是在村子上空飞过的鸟儿（线面平行），是有一定的依据和标准的。
这些依据和标准就像是一把把钥匙，帮助我们打开理解线与面关系的大门。
点线面的位置关系一（线面平行和面面平行）线面平行：1、判定定理：（1）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行，则线面平行）；方法：平行四边形法则+中位线法则（2）直线所在的一个平面与此平面平行，则该直线与此平面平行（面面平行，则线面平行）；2、性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行（线面平行，则线线平行）；面面平行：1、判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行，则面面平行）；2、性质定理（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行；（2）两个平面平行，同时与第三个平面相交，则交线平行。
例题选讲：1、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°（1）求证：AE∥平面DCF；3、（全国卷）如图，直三棱柱111C B A ABC 中，E D ,分别是1,BB AB 的中点。
（1）证明：1BC //平面CD A 13.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；线面垂直：3、判定定理：（3）一条直线与一个平面内的两条直交直线垂直，则这条直线垂直于这个面（线线垂直，则线面垂直）；（4）两平面垂直，在其中一个平面内，垂直于交线的直线，则垂直于另一个平面（面面垂直，则线面垂直）；方法：主动垂直+被动垂直4、性质定理（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线；（2）垂直于同一平面的两条直线平行；面面垂直：4、判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，则面面垂直）；5、性质定理若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
例题选讲：1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.2、（全国卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直底面ο90=∠ACB ，121AA BC AC ==，D 是侧棱1AA 的中点。
立体几何（三）线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言：ab a//a//b作用：线线平行线面平行典例：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M ,N 分别是A1B,CC1的中点，求证：MN //平面ABCD二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：l //符号语言：l l //mm作用：线面平行线线平行典例：如图，AB// ,AC // BD,C ,D ，求证：AC BD三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：aba b A //a ∥b ∥作用：线线平行 面面平行典例：如图，在三棱柱 ABC A 1 B 1C 1中，点 D,E 分别是 BC 与B 1C 1的中点，四、平面与平面平行的性质定理 : 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 图形语言 : //作用 : 面面平行 线线平行典例：如图， // // ，直线 a 与 b 分别交 , , 于点 A,B,C 和点D,E,F ，AB DE 求证： BC EF求证：平面 A 1EB // 平面 ADC 1 符号语言 : a a//b bC 1ECD, 那么所得的两条交线平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，图形语言：符号语言：am anamnAm ,n作用：线线垂直线面垂直典例：已知四棱锥P ABCD , PD 底面ABCD ，底面ABCD为正方形，且PD CD ，E,F 分别为PB, PC的中点，求证：（1）AC 平面PBD （2）PA AB（3）PC 平面ADFE六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：aa//bb作用：线面垂直线线平行那么这条直线垂直于这个平面mn七、平面与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
lmβααbaNMCB AD A 1B 1C 1D 1αDCBA立体几何（三）线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言： 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α 作用：线线平行⇒线面平行典例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,A B CC 的中点，求证：//MN ABCD 平面二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行典例：如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈，求证：AC BD =CABB 1A1C 1D Eb a FE γβαDCB A文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 作用：线线平行⇒ 面面平行典例：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别是BC 与11B C 的中点， 求证：平面1//A EB 平面1ADC四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行典例：如图，////αβγ，直线a 与b 分别交,,αβγ于点,,A B C 和点,,D E F ， 求证：AB DEBC EF=nmAαaαbaFEPD CBA 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直典例：已知四棱锥,P ABCD PD -⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且PD CD =，,E F 分别为,PB PC 的中点，求证：（1）AC ⊥平面PBD （2）PA AB ⊥（3）PC ⊥平面ADFE六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言：//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭作用：线面垂直⇒线线平行BA l βαaβαC CBAP文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
立体几何线面关系的常见规律规律一：线线平行与线线垂直的判定1、直线与直线平行的判定方法：公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行2、直线与直线垂直的判定方法：利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线垂直例题1：(2012·南通调研)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B ＝A1D，AB＝AD.求证：(1)AA1⊥BD；(2)BB1∥DD1.证明(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD ⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M⊂平面A1AM，所以BD⊥平面A1AM.因为AA1⊂平面A1AM，所以AA1⊥BD.(2)因为AA1∥CC1，AA1⊄平面D1DCC1，CC1⊂平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1⊂平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理可得AA 1∥BB 1，所以BB 1∥DD 1.例题2：（13泰州期末）在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=AC=3BC ,点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点，求证：BC ⊥AM方法小结：（1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。
即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。
第二条思路用的较多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘（2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。
面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视同步练习1：在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，．（1）求证：1CC AB ⊥；A1A（2）求证：11//CC AA ．同步练习2：如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .求证：;1AA BD ⊥同步练习3：（13南京期初）如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1；规律二：线面平行的判定：方法一：直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；方法二：平面与平面平行的定义：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任1AEC D BA1D1B1C 第16题ABC DA 1B 1C 1(第16题)一条直线平行于另一个平面例题2：三棱柱111ABC A B C -中，面11BB C C ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC的中点，M 为1AA 上一动点． 若1AM MA =，求证：AD ∥平面1MBC ；例题3：如图，已知▱ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点．求证：直线AE ∥平面BDF ；例题4：在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2BC ＝4，CD ＝3，E为AB 中点，过E 作EF ⊥CD ，垂足为F ，如(图1)，将此梯形沿EF 折成一个直二面角A —EF —C ，如(图2)． 求证：BF ∥平面ACD ；方法小结：在证明线面平行有两条思路：第一：通过线面平行的判定，即在平面上找一条直线与已知直线平行，在平面上找直线与已知直线平行有三种方法：1、构造平行四边形；2、通过中位线寻找平行；3、通过比例关系找平行相似。
第二，当在已知平面找不出或很难找出直线与已知直线平行时可以考虑用面面平行的性质来证明，即过已知直线构造平面与已知平面平行。
同步练习1：在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点，1BC BB =．求证：1A C ∥平面1AB D ；同步练习2：如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点． 证明：MN ∥平面A ′ACC ′；证明 法一 连接AB ′，AC ′，如图，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.DC 1B 1A 1CBA又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.同步练习3：如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明法一如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接E K.图1∵F，H分别是AB，AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴B KBH＝2 3.又据题设条件知，BEBG＝2 3，∴B KBH＝BEBG，∴E K∥GH.∵E K⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.法二图2 如图2，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN∵F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，∴FH綉12BC，EN綉12BC，∴FH綉EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.规律三：线面平行中的探索问题如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.(1)证明∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE ⊥BF ， 又BF ∩BC ＝B ∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE . ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE . 同理，GN ∥平面ADE . 又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE . 又MN ⊂平面MGN ， ∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．方法小结：解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．同步练习：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、P A 的中点．在线段PD 上是否存在一点E ，使NM ∥平面ACE ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解 在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .证明如下：取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ，因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点，所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规律三：平面与平面平行的判定：平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.例题5：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面PMN ∥平面A 1BD .证明 法一 如图，连接B 1D 1，B 1C . ∵P ，N 分别是D 1C 1，B 1C 1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.法二如图，连接AC1，AC，且AC∩BD＝O，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面AC1C，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.规律四：直线与平面垂直的判定：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面例题6：如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)，知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且P A ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面P AD ，而PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .例题6：如图1所示，在ABC Rt ∆中，6=AC ，3=BC ，︒=∠90ABC ，CD为ACB ∠的平分线，点E 在线段AC 上，4=CE .如图2所示，将BCD ∆沿CD 折起，使得平面⊥BCD 平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点. 求证：⊥DE 平面BCD ；方法小结：在证明线面垂直时通常用到的证明线线垂直的方法有：1、等腰三角形的三线合一；2、菱形与正方形的对角线垂直；3、根据线段的长度运用勾股定理的逆定理；4、线面垂直的定义；5、面面垂直的性质定理在证明过程中可以引导学生去掌握证明推理中的分析法，即逆向推理同步练习：(2013·江西卷改编)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3. 证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明 过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BEF 中，BE ＝ 3.在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C.规律四：平面与平面垂直的性质与判定：平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直例题6：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.证明∵ABC－A1B1C1是棱柱，且AB＝BC＝AA1＝BB1，∴四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1.由AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，得BB1⊥平面ABC.∵AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，又∵AB＝BC，且AC＝2BC，∴AB⊥BC，而BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1.∴B1C⊥平面ABC1，而B1C⊂平面B1CD，∴平面ABC1⊥平面B1CD.方法小结：其实证明面面垂直就是证明线面垂直，不同的是需要我们找哪条直线垂直哪个平面，一般方法是如果是要证明βα⊥，那么就在α内找一条直线l 证明β⊥l ，或者在β内找一条直线a 证明α⊥a同步练习：如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .证明 由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BM .又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，所以C 1M ＝CM ＝1.在Rt △B 1C 1M 中，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2，同理BM ＝BC 2＋CM 2＝2，又B 1B ＝2，所以B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M .又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，所以BM ⊥平面A 1B 1M ，因为BM ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面A 1B 1M .。
