河南省创新发展联盟20182019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析

河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷注意事项：本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。

交卷时只交答题卡。

第I卷〖选择题，共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.详解：因为，所以所以,对应点为，对应象限为第一象限，选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2. 在某项测量中，测量结果，若在内取值的概率为0.3，则在(0,+∞)内取值的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.8D. 0.9【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得在内取值的概率，再利用在(0,+∞)内取值的概率等于在内取值的概率与0.5的和求结果.详解：因为，在内取值的概率为0.3，所以在内取值的概率为0.3，所以在(0,+∞)内取值的概率等于在内取值的概率与0.5的和，为0.8，选C.点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.3. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x),如果f ' (x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f ' (0)=0，所以x=0是函数f(x)=x3的极值点。

以上推理中A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误；D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.4. 函数y=x2- lnx的单调递减区间为（）A. （-1,1）B. （0,1）C. (1,+∞)；D. (0,+∞)【答案】B【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果.详解：因为，所以因此单调递减区间为（0,1），选B.5. 已知具有线性相关关系的五个样本点A1（0,0），A2（2,2），A3（3,2），A4（4,2）A5（6,4），用最小二乘法得到回归直线方程l1:y=bx+a，过点A1,A2的直线方程l2:y=mx+n那么下列4个命题中(1) ；(2)直线过点； (3) ； (4) .（参考公式，）正确命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】分析：先求均值，再代公式求b,a，再根据最小二乘法定义判断命题真假.详解：因为，所以直线过点；因为，所以因为，所以，因为过点A1,A2的直线方程，所以，即；根据最小二乘法定义得； (4) .因此只有（1）（2）正确，选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.6. 由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）A. B. 4 C. D. 6【答案】C【解析】解析：作出曲线，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由得交点A(4，2)．因此与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为：.本题选择C选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．7. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x-a)相切,则a的值为( )A. 1B. 2C. 一1D. 一2【答案】D【解析】分析：先设切点，根据导数几何意义列等式，解方程组可得a的值.详解：设切点 ,因为，所以选D.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.8. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴故选:B9. 已知函数f(x)=4x2+sin(+x),f ' (x)为f(x)的导函数,则f ' (x)的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求导数，根据函数奇偶性舍去B,D，再根据函数值确定选项.详解：因为，所以因为，所以舍去B,D，因为，所以舍去C,选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．10. 现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（）A. 144种B. 108种C. 72种D. 36种【答案】C【解析】分析：先确定那两个车库放的是同一品牌的小车，再确定是哪个品牌，最后确定余下车库放不同品牌的情况(仅一种)，根据乘法计数原理求结果.详解：每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有选C.点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．(2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．11. 设a=sin1,b=2sin，c=3sin，则（）A. c<a<bB. a<c<bC. a<b<cD. c<b<a【答案】C【解析】分析：先研究单调性，再根据单调性确定大小.详解：令，因为，所以因为，所以a<b<c，选C.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.12. 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,f(x)+2>f ' (x),f(0)=1,则不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集为（）A. (一∞,0)B. (0,+∞)C. (一∞,1)D. (1,+∞)【答案】A【解析】分析：先令，则且原不等式转化为，再根据单调性得结果.详解：令，则因为原不等式转化为，所以因此选A.点睛：解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每题5分,满分20)13. 若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a o+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a(i=0,1, …,5)为实数,则a3=__________【答案】10.考点：二项式定理视频14. 一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________【答案】105.【解析】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果.详解：因为，所以点睛：15. 已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k的取值范围是____________ 【答案】.【解析】分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.详解：因为，所以因为函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，所以点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.16. 如图所示，由直线x=a ， x=a+1(a>0)，y=x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形的面积之间，即，类比之，恒成立，则实数A=___________【答案】【解析】因为，所以即同理，累加得所以，所以，故.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〉17. 设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数+ m2(1 +i)-2i十2m -5为纯虚数，求实数m的值.【答案】(1) .(2)【解析】分析：（1）设，先根据复数乘法得，再根据复数的模得解方程组可得，（2）先化成复数代数形式，再根据纯虚数概念列方程组，解得实数m的值.详解：(1)设，由，得又复数=在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.则，即又，所以，则(2)=为纯虚数,所以可得点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为18. 已知（1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x项的系数为84，(I)求m,n的值(II)求（1+m)n (1-x)的展开式中有理项的系数和.【答案】(1) ,.(2)0.【解析】分析：（1）先根据二项式系数性质得，解得n，再根据二项式展开式的通项公式得含x项的系数为，解得m,（2）先根据二项式展开式的通项公式得，再求的展开式有理项的系数和.详解：(1)由题意可知，，解得含项的系数为，(2) 的展开项通项公式为的展开式有理项的系数和为0点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.19. 已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2 .7万元，设该公司年内共生产该特许商品工x千件并全部销售完;每千件的销售收入为R(x)万元，且，(I)写出年利润W(万元〉关于该特许商品x(千件）的函数解析式；〔II〕年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大?【答案】(1) .(2) 当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．【解析】分析：（1）根据利润等于收入减去成本得解析式（2）先分段求最大值，一段根据导数得单调性，根据单调性变化规律确定最大值，另一段根据基本不等式求最值，最后取两段最大值的最大值.详解：（1）当时，当时，（2）①当时，由当∴当时，W取最大值，且②当时，W=98当且仅当综合①、②知时，W取最大值．所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索,学校将髙一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制）为优秀，，(I)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”〔Ⅱ）从乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言,记来自[80，90)发言的人数为随机变量x，求x的分布列和期望.【答案】(1)列联表见解析，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.(2)分布列见解析，【解析】分析：（1）先根据数据填表，再代入卡方公式求，最后与参考数据作比较得结论，（2）先根据分层抽样得抽取人数，再确定随机变量取法，利用组合数确定对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1)依题意得有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.（2）从乙班分数段中抽人数分别为2、3、2.依题意随机变量的所有可能取值为点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.21. 已知数列{a n}的前n项和S n满足，且，(I)求a1，a2，a3；(II)猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，(2) 猜想证明见解析.【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再代入依次得a1，a2，a3；（2）先根据数据猜想，再利用递推关系证时猜想也成立.详解：（1）当时，，得，又，故同理，（2）猜想证明：当时，由（1）可知，假设时，成立，所以，又，得所以当时猜想也成立.综上可知，猜想对一切恒成立.点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.22. 已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0；(I)求函数f(x)的极值；(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)【答案】(1) 的极大值为，无极小值；(2) .【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围.详解：（1）因为，所以因为点处的切线是，所以，且所以，即所以，所以在上递增，在上递减，所以的极大值为，无极小值（2）当恒成立时,由（1），即恒成立，设，则，，又因为，所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，.所以均在处取得最值，所以要使恒成立，只需，即解得，又，所以实数的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。

2017～2018年度河南创新发展联盟高二期末考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|13}A x x =-<，集合2{|log (2)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．{|24}x x -<≤B ．{|24}x x -<<C ．{|24}x x <<D ．{|34}x x -≤≤ 2.已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.已知等差数列{}n a 中，11a =，358a a +=，则237a a a ++=（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4.已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，2b =，则32a b -=（ ）A ．13B ．11 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π+B ．203π+C ．82π+D ．243π+6.电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到6组数据11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y ，66(,)x y .根据收集到的数据可知10x =，由最小二乘法求得回归直线方程为 1.3 5.2y x =+，则123456y y y y y y +++++=（ ）A ．50.5B ．45.5C ．100.2D ．109.27.执行如图所示的程序框图，当输出S 的值为6-时，则输入的0S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108.若变量x ，y 满足约束条件211y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1x y x ++的取值范围是（ ）A ．11[,]22- B ．13[,]22C ．11(,][,)22-∞-+∞D ．13(,][,)22-∞+∞9.已知二项式8(8ax +的展开式的第二项的系数为333a x dx -=⎰（ ）A ．60-B ．73 C ．60-或73 D ．30或103- 10.已知函数()f x 的定义域为R ，且函数(2)3sin y f x x =+的图象关于y 轴对称，函数(2)3cos y f x x =+的图象关于原点对称，则()3f π=（ ）A ．BC11.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（ ）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=12.已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[,]64ππ上是单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(,π-∞ B ．(-∞ C ．(-∞ D ．)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知直线32170x y -+=与直线230x my --=互相垂直，则m = ．14.已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率是 ． 15.若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y+=，则213x y+的最小值为 ．16.已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，AC =1BC =，cos ACB ACB ∠=∠，2AD =，则球O 的表面积为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数22()cos sin cos f x x x x x =-+()x R ∈.（1）求()3f π的值；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在3[,]68ππ上的最大值和最小值.18.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占2，而男性有10人表示对该事件没有关注.（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率. 附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，已知AC EC ⊥，2AB AF BC ===，4AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒.（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ； （2）求直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值.20.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为过1F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ，D 两点.求11AB CD+的值. 21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）当0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(2,)+∞上是减函数，求a 的最小值； （3）证明：当0x >时，213ln 4x x e x>-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求C 的直角坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(3,0)P ，求PA PB +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.2017～2018年度河南创新发展联盟高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题1-5: CDCCA 6-10: DBBAA 11、12：DA二、填空题13. 32-14. 28π三、解答题17.解：（1）22()cos sin cos f x x x x x =-+cos 22x x =+2sin(2)6x π=+，则2()2sin()1336f πππ=+=.（2）函数()f x 平移后得到的函数()2sin(2)6g x x π=-，由题可知3[,]68x ππ∈，72[,]6612x πππ-∈. 当266x ππ-=即6x π=时，()g x 取最小值1， 当262x ππ-=即3x π=时，()g x 取最大值2.18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表（2）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2100(45151030)55457525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1003.030 2.70633=≈>.所以有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.（3）抽取的3人中至少有2人对此事关注的概率为32166431023C C C C +=. 所以，至少有2人对此事关注的概率为23. 19.（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，2AB AF BC ===，//BC AM ， 由四边形ABCM 为平行四边形，可知12CM AD =，在ACD ∆中，有90ACD ∠=︒，∴AC DC ⊥.又AC EC ⊥，DCEC C =，∴AC ⊥平面CDE ，∵ED ⊂平面CDE ，∴DE AC ⊥. 又DE AD ⊥，ADDE D =，∴DE ⊥平面ABCD .∵DE ⊂平面ADEF ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF .（2）解：由（1）知平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图，取AD 的中点为O ，建立空间直角坐标系，B，(C -，(2,4,0)E -，(2,0,0)A ，(3,0,CA =，(4,4,0)AE =-，(3,4,BE =-.设平面CAE 的法向量(,,)n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30440x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3)n =.故直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值sin ,BE n BE n BE n⋅<>===20.解：（1）将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a=，所以22b a =. 因为2GHF ∆的周长为4a =，a =将a =22b a =24b =， 所以椭圆M 的方程为22184x y +=. （2）（i ）当直线AB 、直线CD 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--. 由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=.由韦达定理得2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，所以，AB ==.同理可得221)2k CD k +=+. 211AB CD +=2=. （ii ）当直线AB的斜率不存在时，AB =，CD =，11AB CD +=. （iii ）当直线AB 的斜率为0时，AB =，CD =，118AB CD +=.综上，118AB CD +=. 21.解：函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，（1）函数2ln 1'()(ln )x f x x -=，当0x e <<且1x ≠时，'()0f x <；当x e >时，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，(1,)e ，单调递增区间是(,)e +∞.（2）因()f x 在(2,)+∞上为减函数，故2ln 1'()0(ln )x f x a x -=-≤在(2,)+∞上恒成立.所以当(2,)x ∈+∞时，max '()0f x ≤. 又22ln 111'()()(ln )ln ln x f x a a x x x -=-=-+-2111()ln 24a x =--+-，故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1'()4f x a =-. 所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14.（3）问题等价于223ln 4x x x x e >-.令2()ln m x x x =，则'()2ln (2ln 1)m x x x x x x =+=+，当12x e -=时，2()ln m x x x =取最小值12e-. 设23()4x x h x e =-，则(2)'()xx x h x e-=-，知()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减.∴max 243()(2)4h x h e ==-， ∵22143314()2442e e e e---=--2223216(38)(2)044e e e e e e ---+==>， ∴minmax ()()m x h x >，∴223ln 4x x x x e >-，故当0x >时，231ln 04x x x e+->. 22.解：（1）由2sin 4cos ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=， 即曲线C 的直角坐标方程为24y x =.l 的直角坐标方程y =-.（2）将直线l的参数方程化为标准形式132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入24y x =，并整理得238480t t --=，1216t t =-，1283t t +=.所以12PA PB t t +=-==. 23.解：（1）22,2()426,4222,4x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪--<-⎩，所以最小值为6，即6n =.（2）由（1）知6n =，46x a x -++≥恒成立， 由于4()(4)4x a x x a x a -++≥--+=+， 等号当且仅当()(4)0x a x -+≤时成立， 故46a +≥，解得2a ≥或10a ≤-. 所以a 的取值范围为(,10][2,)-∞-+∞.。

河南省顶级名校2018-2019学年下期期末高二数学试题（理科）一、选择题。

1.若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为【详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限。

故选D.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题。

2.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A. －15x4B. 15x4C. －20i x4D. 20i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．3.以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出值即可得答案。

【详解】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是故选D【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得，属于简单题。

4.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（）A. 24B. 60C. 72D. 120【答案】B【解析】由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不的排法.本题选择B选项.5.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为6.下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为，则位于区域内的概率为⑤在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】逐个分析，判断正误。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

)注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，班级写在姓名后面。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则N∪(∁UM)=( ) A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3} D．{4}2．复数的虚部是（）A． 2i B． 2 C． i D．13．已知命题，则为( )A． B．C．D．4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A．0.16 B．0.24C．0.96 D．0.045.已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于( )A．－10 B．－3C．0 D．－27．设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( ) A．22 B．8C．7 D．238．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.45 B．0.75C．0.6 D．0.89．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )A．30B．20C．15 D．1010. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,5411．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－212. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.14.已知x，y的取值如下表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x＋，则实数的值为________．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于16.设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组研发新产品是否成功相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．18. (本小题满分12分)“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的众数和平均数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2＝，21.（本小题满分12分）已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,2]的最值．22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．奈曼旗实验中学2018--2019学年度（下）期末考试高二理科数学试卷出题人：秦绪钰(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。

3．考试结束，监考教师将答题卡收回。

第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的代号为A．B．C．D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知复数，若为纯虚数，则A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【详解】由已知得：，所以解得：故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.2.焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案。

【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得。

解得。

所以双曲线的方程为，故答案选A。

【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上。

3.设，，若，则的最小值为A. B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。

【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。

天一大联考2018-2019学年（下）高二年级期末测试理科数学一、选择题1.13ii-=-（ ） A.2155i - B.11105i + C.2551i + D.11105i - 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()()()()13142213331055i i i i i i i i -+--===---+. 故选：A【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.2.已知集合{}21,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ）A .1-B. 1C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，将选项代入验证即可.【详解】由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈， 经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B【点睛】本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.3.给定下列两种说法：①已知,,a b c ∈R ，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是“若3a b c ++≠，则2223a b c ++<”，②“0x R ∃∈，使()00f x >”的否定是“x R ∀∈，使()0f x ≤”，则（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都错误 D. ①和②都正确【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假. 【详解】①中，同时否定原命题的条件和结论， 所得命题就是它的否命题，故①正确； ②中，特称命题的否定是全称命题， 所以②正确，综上知，①和②都正确. 故选：D【点睛】本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题. 4.已知2sin 2cos ,2k k Z παααπ⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A.43B. 1C.34D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合二倍角的正弦，求出tan α，再由二倍角的正切公式，即可求解, 【详解】由2sin 2cos αα=，得22sin cos cos ααα=. 又因2k παπ≠+，得1tan 2α=. 所以22tan 4tan 21tan 3ααα==-. 故选：A【点睛】本题考查三角函数求值、二倍角公式的应用，属于基础题.5.过抛物线22y px =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，其中点()02,A y ，且4AF =，则p =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】 【分析】由已知可得0p >，再由||22pAF =+，即可求出结论. 【详解】因为抛物线22y px =的准线为2px =-，点()02,A y 在抛物线上，所以0p >，||24,42pAF p ∴=+=∴=. 故选：C【点睛】本题考查抛物线的标准方程，应用焦半径公式是解题的关键，属于基础题. 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4643π+B. 8643π+C. 16643π+D. 648π+【答案】B 【解析】 【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解. 【详解】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体． ∴该几何体的体积V 3214223π=+⨯⨯⨯=6483π+． 故选B ．【点睛】本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.某军工企业为某种型号新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布()21,3N ，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间()4,7内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A. 31.74%B. 27.18%C. 13.59%D. 4.56%【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得1,3,2,4,25,27μσμσμσμσμσ==-=-+=-=-+=，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】()()()14757242P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题. 8.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（ ） ①若a α⊥，b β⊥，且α∥β，则a ∥b ； ②若a α⊥，b ∥β，且α∥β，则a b ⊥r r； ③若a ∥α，b β⊥，且αβ⊥，则a ∥b ；④若a α⊥，b β⊥，且αβ⊥，则a b ⊥r r.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【详解】由b β⊥且αβ∥，可得b α⊥，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于αβ∥，a α⊥，所以a β⊥，则a b ⊥r r，故②正确； 若a 与平面,αβ的交线平行，则a b ⊥r r，故不一定有a b ∥，故③错误；设l αβ=I ，在平面β内作直线c l ⊥，αβ⊥，则c α⊥，又a α⊥，所以a c P ，,b c ββ⊥⊂，所以b c ⊥，从而有b a ⊥，故④正确.因此，真命题的个数是3. 故选：B【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.9.函数()112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】函数()f x 图象是由函数12x y =图象向左平移1个单位，做出函数12x y =的图象，即可求解. 【详解】作出函数1()01222x xx x y x ⎧≥⎪==⎨⎪<⎩的图象，如下图所示，将1 2xy=的图象向左平移1个单位得到()112xf x+⎛⎫= ⎪⎝⎭图象.故选：B【点睛】本题考查函数图象的识别、指数函数图象，运用函数图象平移变换是解题关键，属于基础题. 10.已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为34y x=，P为该双曲线上一点，12,F F为其左、右焦点，且12PF PF⊥，1218PF PF⋅=，则该双曲线的方程为（）A.2213218x y-= B.2211832x y-= C.221916x y-= D.221169x y-=【答案】D【解析】【分析】设12(,0),(,0)F c F c-，根据已知可得34ba=，由12PF PF⊥，得到2221212PF PF F F+=，结合双曲线的定义，得出2122PF PF b⋅=，再由已知求出b，即可求解.【详解】设22c a b+，则由渐近线方程为34y x=，34ba=，又1222212122,,PF PF aPF PF F F⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以22212122221224,4.PF PF PF PF aPF PF c⎧+-⋅=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得21224PF PF b ⋅=，而1218PF PF ⋅=，所以29b =，所以3b =，所以5c =，4a =，故双曲线的方程为221169x y -=. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题. 11.已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，且636f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的解析式为（ ） A. ()1sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C .()sin 2f x x = D. ()1sin2f x x = 【答案】C 【解析】 【分析】由函数在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，得周期23T π≥，66f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出图像关于()0,0对称，可求出ϕ，63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解. 【详解】设()f x 的最小正周期为T ，()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则266T ππ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，即23T π≥，由66f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知， ()f x 有对称中心()0,0，所以0ϕ=.由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且23T π≥，所以()f x 有对称轴12634x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭. 故0444T ππ-==.解得T π=，于是2ππω=， 解得2ω=，所以()sin 2f x x =. 故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题. 12.若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A. 2e B. 2eC.2eD.1e【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x '，()0f x '≤（或()0f x '≥）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立a 的关系式，求解即可. 【详解】()1f x a x'=-. （1）当0a ≤时，()0f x ¢<，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，4a e=（舍去）.（2）当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=.①当10a e <≤时，1e a≥，此时()0f x ¢<在(]0,e 上恒成立， 所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，解得4a e=（舍去）； ②当1a e >时，10e a <<.当10x a<<时，()0f x ¢<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x e a <<时，()0f x ¢>，所以()f x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =. 综上，2a e =. 故选：A【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.二、填空题13.已知非零向量,a b r r 满足3a b =r r ，1cos ,2a b <>=r r ，且()a tab ⊥-r r r ，则实数t 的值为______.【答案】16【解析】 【分析】由已知()a tab ⊥-r r r，根据垂直向量的关系和向量的数量积公式，建立关于k 的方程，即可求解.【详解】由3a b =r r ，又由()a tab ⊥-r r r，得()22239||||02a tab ta a b t b b ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r .||0b ≠r ，解得16t =.故答案为：16【点睛】本题考查向量垂直、向量的数量积运算，属于基础题.14.若612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为240，则实数a 的值为______.【答案】2± 【解析】 【分析】求出612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，令x 的指数为0，求出常数项，建立a 的方程，即可求解.【详解】依题意612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为336216r r r r T C a x --+=.令3302r -=，得2r =， 所以展开式中的常数项为246240C a =，解得2a =±.故答案为：2±【点睛】本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.15.已知,x y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =-的最大值为______.【答案】1 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】约束条件0,23,23x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的可行域如图中阴影部分所示.由23,23x y x y +=⎧⎨+=⎩得()1,1P ， 则目标函数2z x y =-过点()1,1P 时， z 取得最大值，max 211z =-=.故答案为：1【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b =22cos c a b A -=，则a c +的取值范围为______. 【答案】(3,23ùúû【解析】【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B ，已知b ，由余弦定理和基本不等式，求出a c +的最大值，结合a c b +>，即可求解.【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=，得2sin sin 2sin cos C A B A -=.因为()C A B π=-+，所以()2sin sin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.由已知及余弦定理，得2223b a c ac =+-=，即()233a c ac +-=，因为0a >，0c >，所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，得()212a c +≤，所以a c +≤，当且仅当a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c +>a c <+≤故a c +的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.三、解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）225-【解析】【分析】（1）求出公差d ，根据通项公式即可求出42n a n =-；（2）由（1）可写出231n b n =-，则数列{}n b 是等差数列.根据通项公式求出使得0n b ≤的n 的最大值，再根据前n 项和公式求出n T （或根据前n 项和公式求出n T ，再根据二次函数求最值，求出n T 的最小值）.【详解】（1）方法一：由()1333182a a S +==， 又因为12a =，所以310a =.所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===， 所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.方法二：设数列的公差为d . 则3113322S a d =+⨯⨯. 32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.（2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤. 因为*n N ∈，所以15n =.所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-. 方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列.所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值，最小值为15225T =-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力.18.“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有,,A B C 三种品牌的店，其中A 品牌店50家，B 品牌店30家，C 品牌店20家.（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则,B C 品牌的店各应抽取多少家？ （Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的4个白球和6个红球.顾客可以一次性从盒中抽取3个球，若是3个红球则打六折（按原价的60%付费），2个红球1个白球打八折，1个红球2个白球则打九折，3个白球则打九六折.小张在该店点了价值100元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）B 品牌店6家，应抽查C 品牌店4家；（Ⅱ）分布列见解析，()80.2E X =【解析】【分析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；（2）求出随机变量X 的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.【详解】（Ⅰ）由题意得，应抽查B 品牌店30206100⨯=家， 应抽查C 品牌店20204100⨯=家； （Ⅱ）离散型随机变量X 的可能取值为60,80,90,96.于是()0346310201601206C C P X C ====，()12463104151801202C C P X C ⨯====， ()21463106639012010C C P X C ⨯====，()3046310419612030C C P X C ====. X 的分布列如下所以()11316080909680.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中90BAD ADC ∠=∠=o ，且2PA AD DC ===，4AB =，H 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AH PC ⊥；（Ⅱ）求CP 与平面AHC 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13【解析】【分析】（1）根据已知可得PA DC ⊥，可证DC ⊥平面PAD ，从而有DC AH ⊥，再由已知可得AH PD ⊥，可证AH ⊥平面PDC ，即可证明结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出,,,C D P H 坐标，再求出平面AHC 法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，所以PA DC ⊥.又因为AD DC ⊥，PA AD A ⋂=，所以DC ⊥平面PAD .又因为AH ⊂平面PAD ，所以DC AH ⊥.因为PA AD =，H 是PD 的中点，所以AH PD ⊥.又因为DC PD D ⋂=，所以AH ⊥平面PDC .而PC ⊂平面PDC ，所以AH PC ⊥.（Ⅱ）因为,,PA AD AB 两两垂直，所以以A 为原点， ,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()002P ,,，()4,0,0B ，()2,2,0C ， ()0,1,1H ，于是()2,2,2CP =--u u u r .设平面AHC 的一个法向量为(),,n x y z =r .()0,1,1AH =u u u r ，()2,2,0AC =u u u r .由0,0n AH n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得0,220.y z x y +=⎧⎨+=⎩， 令1z =，则1,1y x =-=，得()1,1,1n =-r .设CP 与平面AHC 所成的角为θ，则sin cos ,CP n CPn CP nθ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ()()()222222222222111-++=-+-+⨯+-+213233==⨯. 故CP 与平面AHC 所成角的正弦值是13.【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求直线与平面所成的角，注意空间垂直间的相互转化，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为()2,0A ，定点()0,1P -，直线PA 与椭圆交于另一点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）试问是否存在过点P 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，使得6PAM PBNS S ∆∆=成立？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，1y x =-或1y x =- 【解析】【分析】（1）由已知可得2a =，再将点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，求出b 即可； （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由已知可得2PAPB=，结合6PAM PBN S S ∆∆=，可得3PM PN =，从而有123x x =-，验证MN 斜率不存在时是否满足条件，当MN 斜率存在时，设其方程为1y kx =-，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，得出12,,x x k 关系式，结合123x x =-，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为()2,0A 知， 2a =.把B 点坐标31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得219144b+=. 解得23b =.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）()3(1,),(0,1),222,0,A B P PA PB ---== 所以2PA PB =.由6PAM PBNS S ∆∆=， 得1sin 2261sin 2PA PM APM PM PN PB PN BPN ⋅∠==⋅∠， 即3PM PN=，所以3PM PN =-u u u u r u u u r .设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,1PM x y =+u u u u r ，()22,1PN x y =+u u u r ，所以123x x =-.①当直线MN 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，2PM PN ==+3PM PN =矛盾. ②当直线MN 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =-. 联立方程221,143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx +--=. 122843k x x k +=+，122843x x k -=+. 由123x x =-可得228243k x k -=+，2228343x k =+， 即2224834343k k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭.整理得232k =.解得k =±综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为1y x =-或1y x =-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数()ln m f x x x=+. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()1f x m x ≥+-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（Ⅱ）(],2-∞【解析】【分析】（1）求出()f x '，当1m =时，求出()0,()0f x f x ''><的解即可；（2）所求的问题为ln 10m x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立，设()ln 1m g x x x m x=++--，[1,)x ∈+∞，注意(1)0g =，所以()g x 在[1,)x ∈+∞递增满足题意，若存在区间0[1,)x 递减，则不满足题意，对a 分类讨论，求出()g x 单调区间即可.【详解】（Ⅰ）当1m =时，()()1ln 0f x x x x =+>， 则()22111x f x x x x-'=-=. 所以当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.（Ⅱ）由()1f x m x ≥+-，得ln 10m x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立.设()ln 1m g x x x m x =++--，则()22211m x x m g x x x x +-'=-+=. 设()()21h x x x m x =+-≥， ①当2m ≤时，()0h x ≥，则()0g x '≥在[)1,+∞上恒成立， ()g x 在[)1,+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=在[)1,+∞恒成立，所以当2m ≤时，ln 10m x x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立； ②当2m >时，令()20h x x x m =+-=，得1x =或2x （舍去）.所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 是11,2⎛-+ ⎝⎭上的减函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 是12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上的增函数.所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()10g x g ≤=. 因此当2m >时，ln 10m x x m x ++--≥不恒成立. 综上所述，实数m 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos sin 30ρθθ--=.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为16，求实数r 的取值范围.【答案】（Ⅰ）C ：222x y r +=，l ：430x --=；（Ⅱ）12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数，得到曲线C 的普通方程，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=化直线l 为直角坐标方程；（2）与直线l 的距离为16的点在与l 平行且距离为16的两平行直线上，依题意只有一条平行线与圆C 相交，另一条平行线与圆相离，利用圆心到直线的距离与半径关系，即可求解.【详解】（Ⅰ）由曲线C 的参数方程cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）消去参数ϕ， 可得曲线C 的普通方程222x y r +=.cos x ρθ=，sin y ρθ=代入4cos sin 30ρθθ--=，得直线l 的直角坐标方程为430x --=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线l 的直角坐标方程为430x --=，曲线C 的直角坐标方程为222x y r +=，曲线C 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆，且原点到直线l12=.所以要使曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为16， 则须11112626r -<<+，即1233r <<. 所以实数r 的取值范围是12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.23.已知函数()4f x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,8-；（2）(],21-∞-.【解析】【分析】（1）由题意()24,44,0442,0x x f x x x x -≥⎧⎪=≤<⎨⎪-<⎩，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，利用基本不等式求出()max 149t t ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--，利用恒成立问题的解决办法即可得解. 【详解】（1）由题意()24,444,0442,0x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+=≤<⎨⎪-<⎩，则不等式()12f x <可转化为04212x x <⎧⎨-<⎩或04412x ≤<⎧⎨<⎩或42412x x ≥⎧⎨-<⎩， 整理可得48x -<<，故不等式()12f x <的解集为()4,8-.（2）由于()444x x x x -+≥--=，当04x ≤≤时，等号成立；而()1444919363793725t t t t t t ⎛⎫--=--+=-+≤-= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当49t t =，即249t =，23t =时，等号成立. 要使不等式()()1449R x x t m t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭-+≥--+∈恒成立， 则254m +≤，解得21m ≤-，实数m 的取值范围为(],21-∞-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.。

河南省创新发展联盟2018-2019学年下学期期末考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|13}A x x =-<，集合2{|log (2)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．{|24}x x -<≤B ．{|24}x x -<<C ．{|24}x x <<D ．{|34}x x -≤≤ 2.已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.已知等差数列{}n a 中，11a =，358a a +=，则237a a a ++=（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4.已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，2b =，则32a b -=（ ）A ．13B ．11 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π+B ．203π+C ．82π+D ．243π+6.电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到6组数据11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y ，66(,)x y .根据收集到的数据可知10x =，由最小二乘法求得回归直线方程为 1.3 5.2y x =+，则123456y y y y y y +++++=（ ）A ．50.5B ．45.5C ．100.2D ．109.27.执行如图所示的程序框图，当输出S 的值为6-时，则输入的0S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108.若变量x ，y 满足约束条件211y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1x y x ++的取值范围是（ ）A ．11[,]22- B ．13[,]22C ．11(,][,)22-∞-+∞D ．13(,][,)22-∞+∞9.已知二项式8(8ax +的展开式的第二项的系数为333a x dx -=⎰（ ）A ．60-B ．73 C ．60-或73 D ．30或103- 10.已知函数()f x 的定义域为R ，且函数(2)3sin y f x x =+的图象关于y 轴对称，函数(2)3cos y f x x =+的图象关于原点对称，则()3f π=（ ）A ．BC11.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（ ）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=12.已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[,]64ππ上是单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(,π-∞ B ．(-∞ C ．(-∞ D ．)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知直线32170x y -+=与直线230x my --=互相垂直，则m = ．14.已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率是 ． 15.若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y+=，则213x y+的最小值为 ．16.已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，AC =1BC =，cos ACB ACB ∠=∠，2AD =，则球O 的表面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数22()cos sin cos f x x x x x =-+()x R ∈.（1）求()3f π的值；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在3[,]68ππ上的最大值和最小值.18.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占2，而男性有10人表示对该事件没有关注.（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率.附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，已知AC EC ⊥，2AB AF BC ===，4AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒.（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ； （2）求直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值.20.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为1F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ，D 两点.求11AB CD+的值. 21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）当0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(2,)+∞上是减函数，求a 的最小值；（3）证明：当0x >时，213ln 4x x e x >-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求C 的直角坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(3,0)P ，求PA PB +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.河南省创新发展联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CDCCA 6-10: DBBAA 11、12：DA二、填空题 13. 32-14. 28π三、解答题17.解：（1）22()cos sin cos f x x x x x =-+cos 22x x =+2sin(2)6x π=+，则2()2sin()1336f πππ=+=.（2）函数()f x 平移后得到的函数()2sin(2)6g x x π=-，由题可知3[,]68x ππ∈，72[,]6612x πππ-∈. 当266x ππ-=即6x π=时，()g x 取最小值1， 当262x ππ-=即3x π=时，()g x 取最大值2.18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表（2）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2100(45151030)55457525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1003.030 2.70633=≈>.所以有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.（3）抽取的3人中至少有2人对此事关注的概率为32166431023C C C C +=. 所以，至少有2人对此事关注的概率为23. 19.（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，2AB AF BC ===，//BC AM ， 由四边形ABCM 为平行四边形，可知12CM AD =，在ACD ∆中，有90ACD ∠=︒，∴AC DC ⊥. 又AC EC ⊥，DCEC C =，∴AC ⊥平面CDE ，∵ED ⊂平面CDE ，∴DE AC ⊥. 又DE AD ⊥，ADDE D =，∴DE ⊥平面ABCD .∵DE ⊂平面ADEF ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF .（2）解：由（1）知平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图，取AD 的中点为O ，建立空间直角坐标系，B，(C -，(2,4,0)E -，(2,0,0)A ，(3,0,CA =，(4,4,0)AE =-，(3,4,BE =-.设平面CAE 的法向量(,,)n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30440x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3)n =.故直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值sin ,BE n BE n BE n⋅<>===20.解：（1）将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a=，所以22b a =. 因为2GHF∆的周长为4a =，a =将a =22b a =24b =， 所以椭圆M 的方程为22184x y +=. （2）（i ）当直线AB 、直线CD 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--.由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=.由韦达定理得2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，所以，AB =221)21k k +=+.同理可得CD =.211AB CD +=28=. （ii ）当直线AB的斜率不存在时，AB =，CD =，118AB CD +=. （iii ）当直线AB 的斜率为0时，AB =，CD =，118AB CD +=.综上，11AB CD +=21.解：函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，（1）函数2ln 1'()(ln )x f x x -=， 当0x e <<且1x ≠时，'()0f x <；当x e >时，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，(1,)e ，单调递增区间是(,)e +∞.（2）因()f x 在(2,)+∞上为减函数，故2ln 1'()0(ln )x f x a x -=-≤在(2,)+∞上恒成立. 所以当(2,)x ∈+∞时，max '()0f x ≤. 又22ln 111'()()(ln )ln ln x f x a a x x x -=-=-+-2111()ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1'()4f x a =-.所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14. （3）问题等价于223ln 4x x x x e >-.令2()ln m x x x =，则'()2ln (2ln 1)m x x x x x x =+=+，当12x e -=时，2()ln m x x x =取最小值12e-. 设23()4x x h x e =-，则(2)'()xx x h x e-=-，知()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减. ∴max 243()(2)4h x h e ==-， ∵22143314()2442e e e e ---=--2223216(38)(2)044e e e e e e ---+==>， ∴minmax ()()m x h x >，∴223ln 4x x x x e >-，故当0x >时，231ln 04xx x e +->. 22.解：（1）由2sin 4cos ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=， 即曲线C 的直角坐标方程为24y x =.l的直角坐标方程y =-.（2）将直线l的参数方程化为标准形式132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入24y x =，并整理得238480t t --=，1216t t =-，1283t t +=.所以123PA PB t t +=-==. 23.解：（1）22,2()426,4222,4x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪--<-⎩，所以最小值为6，即6n =.（2）由（1）知6n =，46x a x -++≥恒成立， 由于4()(4)4x a x x a x a -++≥--+=+， 等号当且仅当()(4)0x a x -+≤时成立， 故46a +≥，解得2a ≥或10a ≤-. 所以a 的取值范围为(,10][2,)-∞-+∞.。

河南省顶级名校2018-2019学年下期期末 高二数学试题（理科）一、 选择题：（共12题，每题5分，共60分） 1、若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、设为虚数单位，则的展开式中含的项为( )A.－15B.15C.－20D.203．以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是 A ． B ． C ． D ． 4.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（ ）A. 24B.60C. 72D. 1205．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的 点数之和等于7”，则的值等于（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6.下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍； ②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位； ③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，则位于区域内的概率为0.6⑤在线性回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好； 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．若，则的值为（ ） A. B ． C ． D ．8.口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列:，如果为数列前项和，则的概率等于（ ）A. B. C. D.9．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为，如果△为正三角形，那么等于 A ．B ．C ．D ． 10．已知三棱锥P ﹣ABC 的体积为，∠APC=，∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知，，∈{2，4，6}，记N （，，）为，，中不同数字的个数，如：N （2，2，2）＝1，N （2，4，2）＝2，N （2，4，6）＝3，则所有的（，，）的排列所得的N （，，）的平均值为（ ）A ．B ．3C ．D ．412．若函数在单调递增，则a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13．设随机变量ξ的概率分布列为，k=0,1,2,3，则 14、某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工 作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，502），且各个元件能否正常相互 独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率 为15.若定义在上的函数，则 ． 16．已知点，椭圆上两点满足，则当__________时，点横坐标的绝对值最大．三、解答题（共70分）（一）必考题（60分）17．（12分）2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:11．z ()13i z i +=+z i 6()x i +4x 4x 4x i 4x i 4x 2213yx -=322y x =±2y x =±12y x =±2y x =±(|)P B A 131181619a a 35y x =-x y r ξ()()21,0N σσ>ξ()0,1ξ()1,+∞2R 2R 423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++2202413()()a a a a a ++-+11-02{}n a 1,1,n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩第次摸取红球第次摸取白球n S {}n a n 73S =525712()()33C 225721()()33C 525711()()33C 334712()()33C 26y x =F l P PA l ⊥A APF||PF 43636121a 2a 3a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 1992991()sin 2sin 3f x x x a x =-+(),-∞+∞[]1,1-11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()1cP k k ξ==+(2)P ξ==[)1,-+∞()221,1143,1x x f x x x x ⎧⎪--≤≤=⎨-+>⎪⎩()31f x dx -=⎰()0,1P ()2214x y m m +=>,A B 2AP PB =m =B关注 不关注 合计 青少年 15 中老年 合计5050100（1）根据已知条件完成上面的2x2列联表，并判断能否有的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附:参考公式，其中．临界值表：18.（12分）在如图所示的几何体中，平面. （1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.19．（12分）如图，过椭圆的左焦点作 轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和 上顶点，．（1）求椭圆的离心率；（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．20.（12分） 某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知与之间存在线性相关关系(i)求出关于的线性回归方程(系数精确到);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量； （2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以(单位:万台)表示日销量, ,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元现已知该公司9月份日销量 (万台)服从正态分布,请你计算每位员工当月(按天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ，.若随机变量服从正态分布,则.21.（12分）已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.（二）选考题:（共10分）请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)写出曲线的普通方程;(2)若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲知函数. (1)当时,求的解集; (2)已知，若对于,都有成立,求的取值范围.99%22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++c d n a b =+++()20P K K ≥005．0010．0001．0K 3841．6635．10828．⊥AC AC DE ,∥ 60,1,2,42,=∠====BCD DC BC DE AC BCD ⊥BD ACDE BCD BAE 22221(0)x y a b a b +=>>1F x P A B OP AB ∥e 2F QR QR AB ⊥1F QR △203y x y x 0.001z [0.18,0.2)z ∈200[0.2,0.21)z ∈300[0.21,)z ∈+∞400z (0.2,0.0001)N 3081347i ii x y==∑8211308i i x ==∑1122(,),(,)x y x y (,)n n x y y bx a =+1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑a y bx =-X 2(,)N μσ()P X μσμσ-<≤+0.6826,(2P X μσ=-<≤2)0.9544μσ+=)(ln 21)(2R a x ax x x f ∈+-=)(x f a n m ee a ,,1+ )(x f n m S -=S xOy αl (2,1)A -O x C 12sin 3p p θ+=C l C ,M N ||||AM AN +()|24||2|f x x x a =++-6a =()12f x ≥22,()a g x x >-=724ax ++[1,]2a x ∈-()()f x g x ≥a高二数学期末考试答案 一选择题1-12、DADBCC ABCDAC 二、选择题13、 14、 15、16、 三、解答题 17．18.解：（1）在中，. 所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以. 而，所以平面.（2）（方法一）如图延长，相交于，连接， 则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角. 因为，所以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角.在，所以. 42538423π-5BCD ∆360cos 2121222=⨯⨯-+=BD 222DC BD BC +=BCD ∆CD BD ⊥⊥AC BCD BD AC ⊥C CD AC = ⊥BD ACDE AE CD G BG AEB BG BCD =C BG A --BCD BAE DE AC AC DE 2,=∥DE AGC ∆1==DC GD BGC BCD BC GC ∆=⊥==,60,2BG H CH AH ,⊥AC BCD AHC ∠C BG A --3,4,==∆CH AC AHC Rt 19194194sin ==∠AHC（方法二）建立如图所示的空间直角坐标系，可得..设是平面的法向量，则令得.取平面的法向量为.设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而.19．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，解得，∴，故． （2）由（1）知椭圆方程可化简为．①易求直线的斜率为，故可设直线的方程为：．②由①②消去得．∴，． 于是的面积，∴．因此椭圆的方程为，即20解:(1)(i)因为,所以，，所以关于的线性回归方程为.(ii)当时,(万台).（注:若，当时, (万台).(2)由题知月份日销量 (万台)服从正态分布,则, , 日销量的概率为,日销量的概率为，日销量的概率为，所以每位员工当月的奖励金额总数为元.21.解：由已知，（1）①若在定义域上单调递增，则，即在（0，+∞）上恒成立，而，所以；②若在定义域上单调递减，则，即在（0，+∞）上恒成立，xyz D -)4,1,0(),2,0,0(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(A E C B D )2,1,0(),4,1,3(=-=EA BA ),,(z y x n = BAE ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=++-=⋅02043z y EA n z y x BA n 3=z )3,32,2(-=nBCD )1,0,0(=mBCD BAE θ193cos =⋅=m n m nθ19194sin =θ222215025x y +=1(,0)F c -2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭OP AB ∥OP AB k k =2b b ac a =c b =2a c =22e =22222x y b +=QR 2QR 2()y x b =-y 225820x bx b -+=1285b x x +=21225b x x =1F QR △21212121222()4S c y y c x x b x x x x =-=-=+-22282432()4203555b b b b =-⨯==5b =22250x y +=2215025x y +=11,3x y ==1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-==-∑∑347811313088121-⨯⨯=-⨯830.244340≈833340a y bx =-=-110.315⨯≈y x 0.2440.315y x =+25x =0.24425y =⨯+0.315 6.415=30.24411a =-⨯=0.316,0.2440.316y x =+25x =0.24425y =⨯0.136 6.416+=9z (0.2,0.0001)N 20.2,0.0001μσ==0.01σ=[0.18,0.2)z ∈0.95440.47722=[0.2,0.21)z ∈0.68260.34132=[0.21,)z ∈+∞10.68260.15872-=(2000.47723000.3413⨯+⨯+4000.1587)307839.3⨯⨯=),0(1)(R a x a x x x f ∈-+=' )(x f 0)(≥'x f x x a 1+≤[)+∞∈+,21x x 2≤a )(x f 0)(≤'x f x x a 1+≥而，所以.因为在定义域上不单调，所以，即.（2）由（1）知，欲使在（0，+∞）有极大值和极小值，必须.又，所以.令的两根分别为，即的两根分别为，于是.不妨设，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以令，于是.，由，得.因为， 所以在上为减函数. 所以.[)+∞∈+,21x x ∅∈a )(x f 2 a ()+∞∈,2a )(x f 2 a e e a 1+e e a 12+11)(2=+-=-+='x ax x a x x x f 21,x x 012=+-ax x 21,x x ⎩⎨⎧==+12121x x a x x 2110x x )(x f ()1,0x []21,x x ()+∞,2x )(),(21x f n x f m ==)ln 21()ln 21()()(2222112121x ax x x ax x x f x f x m S ++-++=-=-=)ln (ln )()(2121212221x x x x a x x -+---=21122121212221212221ln 21ln 21ln )(21x x x x x x x x x x x x x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=+-⨯-=+--=)1,0(21∈=x x t t tt S ln )1(21+--=)1,2(22)(12222121221212221e e a x x x x x x x x x x t t +∈-=-+=+=+2211e e t t ++ 112t e 0)11(211)11(2122 --=++-='t t t S t t t S ln )1(21+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛1,12e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∈224214,0e e eS。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】由题意，集合，∴集合．故选：A．【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案．【详解】由，故选C．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.设，满足约束条件则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由得到，平移直线，当过A时直线截距最小，最大，由得到，所以的最大值为，故选：C．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4.某公司在年的收入与支出情况如下表所示：收入（亿元）支出y（亿根据表中数据可得回归直线方程为，依此名计，如果年该公司的收入为亿元时，它的支出为（）A. 亿元B. 亿元C. 亿元D. 亿元【答案】B【解析】，，代入回归直线方程，，解得：，所以回归直线方程为：，当时，支出为亿元，故选B.5.在长方形中，为的中点，为的中点，设则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量线性运算及平面向量基本定理，即可化简，得到答案．【详解】如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】的定义域为，它应该关于原点对称，所以，又时，，，为奇函数.又原不等式可以化为，所以，所以，点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图得到该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，且，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，且，三棱锥的高为1．∴该三棱锥的体积．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．8.命题：，成立的一个充分但不必要条件为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】命题p的充分不必要条件是命题p所成立的集合的真子集，利用二次函数的性质先求出p成立所对应的集合，即可求解．【详解】由题意，令是一个开口向上的二次函数，所以对x恒成立，只需要，解得，其中只有选项A是的真子集．故选：A．【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的应用，以及二次函数的性质的应用，其中解答中根据二次函数的性质，求得实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.已知圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径，求出的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案．【详解】由题意，根据双曲线的渐近线方程为．根据圆的圆心到切线的距离等于半径1，可得，整理得，即，又由，则，可得即双曲线的离心率为．故选：B．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．10.已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为，体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．【详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为，设正三棱柱的高为，由，得，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为：．故选：C．【点睛】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．11.已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】由题意，函数，令，所以，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间，则，解答，即，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.已知函数存在零点，且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，可得，设，求得导数，构造，求得导数，判断单调性，即可得到的单调性，可得的范围，即可得到所求的范围．【详解】由题意，函数，令，可得，设，则，由的导数为，当时，，则函数递增，且，则递增，可得，则，故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题。

2018-2019学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．2C．D．12．（5分）下列判断正确的是（）A．两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，则“e1e2＜1”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件B．命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2＝1，则x≠1．”C．若命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”是假命题D．命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”3．（5分）设x，y，z均为正实数，a＝x+，b＝y+，c＝z+，则a，b，c三个数（）A．至少有一个不小于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．都大于24．（5分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（）A．96石B．78石C．60石D．42石5．（5分）有下列说法：①若某商品的销售量5（件）关于销售价格x（元/件）的线性回归方程为y，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；②线性回归直线：﹣定过样本点中心（）；③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；⑤在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好；其中正确的结论有几个（）A．1B．2C．3D．46．（5分）在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X﹣N（90，σ2），已知P （70＜X≤90）＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.85B．0.70C．0.50D．0.157．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值为（）A．5B．4C．D．8．（5分）已知双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）A．2B．4C．6D．99．（5分）设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．102410．（5分）将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（）A．60B．80C．150．D．36011．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，若，则实数p的值为（）A．B．1C．D．212．（5分）若函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，则a的取值范围为（）A．（0，e）B．（0，）C．（e，+∞）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成种币值．（用数字作答）14．（5分）设随机变量ξ﹣B（2，p），η﹣B（4，p），若，则P（η≥3）＝．15．（5分）已知曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则实数a 的值为．16．（5分）已知F是椭圆（a＞b＞0）的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且，则椭圆的离心率为三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，acosB ＝﹣（b+2c）cosA，AD＝1．（1）求A；（2）求△ABC面积的最大值．18．（12分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足a n2+2a n＝4S n+3．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n＝，若T n＜m恒成立，求m的取值范围．19．（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师602080女教师402060合计10040140（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望E（X）．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K 2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82820．（12分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD 沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．21．（12分）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F做直线l交抛物线于A，B两点，|AB|的最小值为2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过A，B分别做抛物线C的切线，两切线交于点E，且直线AE，BE分别与x轴交于点P，Q，记△EPQ和△0AB的面积分别为S△EPQ和S△OAB，求证为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．2018-2019学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．2C．D．1【分析】根据复数模长的定义与运算性质，计算即可．【解答】解：复数z满z+zi＝2﹣i（i为虚数单位），则z＝，所以|z|＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了复数的模长计算问题，是基础题．2．（5分）下列判断正确的是（）A．两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，则“e1e2＜1”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件B．命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2＝1，则x≠1．”C．若命题“p∧q”为假命题，则命题“p∨q”是假命题D．命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”【分析】由椭圆的离心率的范围，以及充分必要条件的定义，可判断A；由否命题的定义，既对条件否定也对结论否定，可判断B；由复合命题的真假判断C；由全称命题的否定为存在性命题，可判断D．【解答】解：两圆锥曲线的离心率分别为e1，e2，由椭圆的离心率介于（0，1），可得“两圆锥曲线均为椭圆”可得“e1e2＜1”，反之不成立，故A错误；命题“若x2＝1，则x＝1．”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故B错误；若命题“p∧q”为假命题，p，q中至少有一个为假命题，则命题“p∨q”可真可假，故C错误；命题“?x∈R，2x≥x2”的否定是“．”故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的否定和否命题的区别，充分必要条件的判断和复合命题的真假，考查转化思想和判断能力，属于基础题．3．（5分）设x，y，z均为正实数，a＝x+，b＝y+，c＝z+，则a，b，c三个数（）A．至少有一个不小于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．都大于2【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定x+，y+至少有一个不小于2，从而可以得结论．【解答】解：由题意，∵x，y均为正实数，∴x++y+≥4，当且仅当x＝y时，取“＝”号若x+＜2，y+＜2，则结论不成立，∴x+，y+至少有一个不小于2∴a，b，c至少有一个不小于2故选：A．【点评】本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想，难度不大4．（5分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（）A．96石B．78石C．60石D．42石【分析】设甲乙丙分得的米重量分别为a1，a2，a3，则a1+a2+a3＝180，且a1﹣a3＝36，解得a2＝60，d＝﹣18，所以a1可求，【解答】解：依题意，设甲乙丙分得的米重量分别为a1，a2，a3，则a1+a2+a3＝3a2＝180，且a1﹣a3＝﹣2d＝36，解得a2＝60，d＝﹣18，所以a1＝a2﹣d＝60+18＝78，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题．5．（5分）有下列说法：①若某商品的销售量5（件）关于销售价格x（元/件）的线性回归方程为y，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；②线性回归直线：﹣定过样本点中心（）；③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；⑤在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好；其中正确的结论有几个（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系逐一核对5个命题得答案．【解答】解：对于①，线性回归方程为，当销售价格为10元时，销售量近似为300件，故①错误；对于②，线性回归直线：﹣定过样本点中心（），故②正确；对于③，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故③错误；对于④，与带状区域的宽度有关，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，故④错误；对于⑤，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故⑤正确．∴正确的结论有2个．故选：B．【点评】本题考查统计基本知识，主要考查了线性回归方程及两个变量的相关性，属于基础题．6．（5分）在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X﹣N（90，σ2），已知P（70＜X≤90）＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.85B．0.70C．0.50D．0.15【分析】由已知可得μ，求出P（90≤X＜1100）＝0.35，得P（X≥110）＝，再由对立事件的概率得答案．【解答】解：∵X﹣N（90，σ2），∴μ＝90，又P（70＜X≤90）＝0.35，∴P（90≤X＜1100）＝0.35，∴P（X≥110）＝，则P（X＜110）＝1﹣0.15＝0.85．∴他的数学成绩小于110分的概率为0.85．故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值为（）A．5B．4C．D．【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：＝的几何意义为动点到定点D（﹣1，﹣3）的斜率加1，由图象可知当动点位于C时，直线PC的斜率最大，解得C（0，1）此时z＝＝5，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．8．（5分）已知双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）A．2B．4C．6D．9【分析】由题意可得m+n＝1，利用“1”的代换结合基本不等式求最值．【解答】解：椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5﹣4＝1．∵双曲线（m＞0，n＞0）和椭圆有相同的焦点，∴m+n＝1（m＞0，n＞0），∴＝（）（m+n）＝5+．当且仅当，即m＝，n＝时取等号．∴的最小值为9．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．（5分）设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a＝＝﹣cosx＝2，所以二项式（2x+）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x+）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解【解答】解：因为a＝＝﹣cosx＝2，所以二项式（2x+）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x+）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，故选：C．【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．10．（5分）将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（）A．60B．80C．150．D．360【分析】由题意可分若甲校分配3名教师，若甲校分配2名教师，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲校分配3名教师，则乙、丙学校各分配一名，故有C53A22＝20种，若甲校分配2名教师，则乙、丙学校有一个学校也分配2名，故有C52C32A22＝60种，则不同的分配方案共有20+60＝80种，故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于中档题．11．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，若，则实数p的值为（）A．B．1C．D．2【分析】F（，0），直线AB的参数方程为：（t为参数），将其代入y2＝2px，根据参数t的几何意义可得．【解答】解：F（，0），直线AB的参数方程为：（t为参数），将其代入y2＝2px，得t2﹣4pt﹣4p2＝0，设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2＝4p，t1t2＝﹣4p2＜0，∴﹣＝﹣＝＝＝＝＝1，∴p＝．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．12．（5分）若函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，则a的取值范围为（）A．（0，e）B．（0，）C．（e，+∞）D．（，+∞）【分析】f′（x）＝6（x+1）e x﹣6ax2﹣6ax＝6（x+1）（e x﹣ax）．根据函数f（x）＝6xe x ﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，可得e x﹣ax＝0必有两个不等于﹣1的不等实数根．化为：＝．令g（x）＝．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：f′（x）＝6（x+1）e x﹣6ax2﹣6ax＝6（x+1）（e x﹣ax）．∵函数f（x）＝6xe x﹣2ax3﹣3ax2存在三个极值点，∴e x﹣ax＝0必有两个不等于﹣1的不等实数根．化为：＝．令g（x）＝．g′（x）＝．可得函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴x＝1时，函数g（x）取得极大值，g（1）＝．∴，解得a＞e．则a的取值范围为（e，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成63种币值．（用数字作答）【分析】由题意分6类，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，选1种面额，有6种，第二类，选2种面额，有C62＝15种，第三类，选3种面额，有C63＝20种，第四类，选4种面额，有C64＝15种，第五类，选5种面额，有C65＝6种，第六类，选6种面额，有C66＝1种，根据分类计数原理可得6+15+20+15+6+1＝63种，故答案为：63．【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题．14．（5分）设随机变量ξ﹣B（2，p），η﹣B（4，p），若，则P（η≥3）＝．【分析】根据E（ξ）＝np＝求出P＝，然后根据P（η≥3）＝P（η＝3）+P（η＝4）＝C（）3（）1+C（）4可求得．【解答】解：∵E（ξ）＝2p＝，∴p＝，η～B（4，），∴P（η≥3）＝P（η＝3）+P（η＝4）＝C（）3（）1+C（）4＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，属基础题．15．（5分）已知曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则实数a 的值为4．【分析】根据题意，求出曲线的导数，进而求出y′|x＝1＝a﹣1，由导数的几何意义以及直线互相垂直的判断方法可得k＝a﹣1＝3，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，曲线，则y′＝﹣+，则有y′|x＝1＝a﹣1，则曲线在x＝1处的切线的斜率k＝a﹣1，若曲线在x＝1处的切线与直线：x+3y+1＝0垂直，则k＝a﹣1＝3，解可得a＝4；故答案为：4．【点评】本题考查利用导数分析切线的斜率，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．16．（5分）已知F是椭圆（a＞b＞0）的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且，则椭圆的离心率为【分析】根据三角形相似求出B点坐标，代入椭圆方程得出a，c的关系即可求出椭圆的离心率．【解答】解：设A为椭圆上顶点，过B作x轴的垂线BD，垂足为D，则＝，∴DF＝OF＝，BD＝OA＝，∴B（，﹣），代入椭圆方程可得：+＝1，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，acosB ＝﹣（b+2c）cosA，AD＝1．（1）求A；（2）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理边化角可得；（2）根据向量数量积以及基本不等式，面积公式可得．【解答】解：（1）由acosB＝﹣（b+2c）cosA以及正弦定理可得sinAcosB＝﹣（sinB+2sinC）cosA，得sinAcosB+cosAsinB＝﹣2sinCcosA，得sinC＝﹣2sinCcosA，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴cosA＝﹣，又0＜A＜π，∴A＝．（2）∵点D为BC边的中点，∴2＝+，∴42＝（+）2＝2+2+2，又AD＝1，∴4＝b2+c2+2bccos＝b2+c2﹣bc≥bc，∴bc≤4，当且仅当b＝c时等号成立．∴S△ABC＝bcsinA＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．18．（12分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足a n2+2a n＝4S n+3．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n＝，若T n＜m恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由已知和数列的性质，可推出此数列为等差数列，利用定义写出通项即可；（2）首先将b n变形成差的形式，T n利用b n这一特点可以消项化简，解不等式的m范围．【解答】解：（1）由题a n2+2a n＝4s n+3，…①令n＝1，得a12+2a1＝4s1+3，解得a1＝3，当n≥2时，a n﹣12+2a n﹣1＝4s n﹣1+3，…②①﹣②得：（a n﹣a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即a n﹣a n﹣1＝2∴{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）b n＝＝，∴T n＝[（）+（）+…+（）]＝（）＝﹣＜，若T n＜m恒成立，则m，∴m的取值范围为[，+∞）．【点评】本题属于一般题型，考察了数列的定义和基本性质，对式子的变形有所考察，总体上属于中档题．19．（12分）“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师602080女教师402060合计10040140（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为X，写出X的分布列并求出数学期望E （X）．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据列联表数据得到k≈1.167＜3.841，从而不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关．（2）根据分层抽样方法得选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，由题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）根据列联表数据得到：k＝≈1.167＜3.841，∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男教师有（人），女教师有（人），∴选取的10人中，男教师有6人，女教师有4人，由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123PE（X）＝＝．【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查分层抽样、古典概率、排列组合等基础知识，是中档题．20．（12分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD 沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（1）由AC⊥PO，AC⊥OB，得AC⊥平面POB，由此能证明AC⊥PB．（2）取OB中点M，连结PM，则PM⊥OB，AC⊥面POB，得AC⊥PM，以OC为x轴，OB为y轴，过点O作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）由已知，翻折后AC⊥PO，AC⊥OB，PO∩OB＝O，∴AC ⊥平面POB ，又PB?平面POB ，∴AC ⊥PB ．解：（2）在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠BAD ＝120°，∴BD ＝4，OB ＝2，取OB 中点M ，连结PM ，则PM ⊥OB ，又AC ⊥面POB ，∴AC ⊥PM ，又AC ∩PO ＝O ，∴PM ⊥面ABC ，PM ＝3，以OC 为x 轴，OB 为y 轴，过点O 作MP 的平行线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，），B （0，2，0），C （2，0，0），＝（2，﹣2，0），＝（0，，﹣3），设平面PBC 的法向量＝（x ，y ，z ），则，取z ＝1，得＝（3，），平面ABC 的一个法向量＝（0，0，1），∴cos ＜＞＝＝，∵二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角是锐角，∴二面角P ﹣BC ﹣A 的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）过抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 做直线l 交抛物线于A ，B 两点，|AB|的最小值为2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过A，B分别做抛物线C的切线，两切线交于点E，且直线AE，BE分别与x轴交于点P，Q，记△EPQ和△0AB的面积分别为S△EPQ和S△OAB，求证为定值．【分析】（1）设直线AB的方程并代入抛物线方程，求得弦长AB的解析式，再求出最小值与已知最小值相等，可得．（2）通过求导，利用导数的几何意义求得A，B两点处抛物线的切线方程，并联立解得交点E的坐标，再根据面积公式求得两个面积再求比值可得．【解答】解：（1）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得x2﹣2pkx﹣p2＝0，△＝（﹣2pk）2+4p2＞0，x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣p2，∴y1+y2＝k（x1+x2）+p，∴|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p＝2p（k2+1），当k2＝0，|AB|最小，此时2p＝2，所以p＝1，即抛物线的标准方程为x2＝2y（2）由x2＝2y得y＝x2，∴y′＝x，∴k AE＝x1，k BE＝x2，直线AE：y﹣＝x1（x﹣x1），令y＝0得P（x1，0）；直线BE：y﹣＝x2（x﹣x2），令y＝0得P（x2，0），则联立两直线方程，消去x得y E＝﹣，∴S△EPQ＝|y F||x P﹣x Q|＝|x1﹣x2|，S OAB＝|OF||x1﹣x2|＝|x1﹣x2|，所以＝，即为定值．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝x 2+2ax+2lnx（a∈R）．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．【分析】（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．由f（x）是单调函数，可得f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，即可得出a的取值范围．（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，可得0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．可得|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝﹣+2a（x1﹣x2）+2ln，把根与系数代入化简可得：|f（x1）﹣f（x2）|＝﹣﹣2ln．设＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．∵f（x）是单调函数，∴f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，解得a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．∴x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，∴0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．∴|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝+2ax1+2lnx1﹣[+2ax2+2lnx2]＝﹣+2a （x1﹣x2）+2ln＝﹣﹣2（x1+x2）（x1﹣x2）+2ln＝﹣+2ln＝﹣﹣2ln．设＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．则h′（t）＝1+﹣＝＞0．∴函数h（t）在[e2，+∞）上单调递增．∴h（t）≥h（e2）＝e2﹣﹣4．∴|f（x1）﹣f（x2）|的最小值为e2﹣﹣4．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第21页（共21页）。

2018-2019学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1.（5分）设复数z= 1 + i （i是虚数单位），则—=（2.C. (5分)已知f (x)= x+sinx,贝U f'C. 13. （5分）四种不同的商品在货架上排成一排，其中商品A, B不相邻，商品C, D必须相邻，则不同的排法有（）种C . 8 D. 124. （5分）用反证法证明命题: “若正系数一元二次方程2ax +bx+c = 0 (a= 0)有有理根，那么a, b, c中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是（）A.假设a, b, c都是奇数B .假设a, b, c至少有两个是奇数C .假设a, b, c至多有一个是奇数D .假设a, b, c不都是奇数5. （5分）某产品的广告费支出x与销售额y （单位：万元）之间的关系如表，由此得到yI M与x的线性回归方程为y= 6X+H,由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）x24568y3040605070A . - 10B . 0C . 10D . 206. （5分）已知（:x-3)7= a o+a1(x- 2) +a2(x-2) 2+ •-• +a7 (x- 2) 7,贝y a5=( )A . - 21B . 21C . -42D . 427. （5分）10件产品，其中有3件次品，每次取出一件检验，检后不放回，连续检验两次其中恰有次为次品的概率为（)A，说 B .715C.410个班学生去“北& （5分）为了缓解期末考试备考的压力，郑州市某中学组织高二年级龙湖湿地公园”等10个不同的景点郊游，其中1班，2班不去同一个景点且都不去“北龙湖湿地公园”，则不同的安排方法有（A. A108910同的零点，贝U k的取值范围为（二、填空题（每题5分，满分20 分）1089. （5分）已知函数f （x）= 若函数g （x）= f （x）- k恰有三个不A . (0, 1]B . [0 , 1) C. (0, 1) D. [0 , 1]10. (5 分) 将3封不同的信投入3个不同的信箱，记事件A为“至少有1个信箱为空”，事“恰好有2个信箱为空”则P(B|A )=( )A .亠B .古C.141411. (5 分) 某小朋友按如下规则练习数数, 1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，10食指，一直数到2019，则2019对应的指头是12. （5分）已知函数f （x）的定义域为（0, + ^）,(x)是f ( x)的导函数)，则(x- 2) f ( x2- 4)A . (- 2, 3)B . (2, 3) C. 食指 D .中指且满足 f (x) +xf'( x)> 0 (其中f' v f （x+2）的解集为（(-2, +s) D .(-3 3)6无名指，7中指，8食指，9大拇指，C.13. ( 5 分)若随机变量X 〜N ( 2, 4),已知P ( 1v X V 2) = 0.137,贝U P ( X> 3) = ________14. (5分)若函数f ( x)= x2+ (a - 3) x+a2+1为偶函数，则J昕鮎——.15. (5分)现有9张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色各3张，从中取出3张卡片，要求这3张卡片至少有两种不同的颜色，则不同的取法有 ____________ 种.16. (5分)①用数学归纳法证明不等式1丄丄严--I V n (n》2，n€N )的过程中,2n-l由n = k到n= k+1，不等式的左边增加了2k- 1项.②一段演绎推理的“三段论”是这样的：对于可导函数 f (x)，如果f'( x0)= 0，那x3=x o为函数f( x)的极值点因为f (x)= x满足f'( 0)= 0，所以x= 0是函数f( x) =x3的极值点此三段论的结论错误是因为大前提错误③在直角厶ABC 中，若/ C = 90 °，AC = b，BC = a，则△ ABC 外接圆半径为r =r~2 2V乱七b.运用此类比推理，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，则该三棱锥外接球的半径为以上三个命题不正确的是 ________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)2 217. (10 分)已知复数z=( a - 2a - 3) + (a - 5a+6) i (a€R).(I)若复数z为纯虚数，求实数a的值；(H)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围.318. (12分)已知函数f (x)=^x3-ax+b，在点M (1，f (1))处的切线方程为6x+3y- 7=0(I)求实数a，b的值；(n)求函数f(x)的单调区间及其极值.19. (12分)已知二项式：；-------- !(I)求展开式中所有的有理项；(n)求展开式中系数最大的项.20. (12分)国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组(45岁以上，含45岁)和中青年组(45岁以下，不含45岁)两个组别，每组各随机调查了 持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示:(I)根据已知条件，完成 2X 2列联表支持不支持合计 中老年组 100 中青年组 100合计200(n)是否有99.9%的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关?0.0500.010 0.001 k 03.8416.63510.828附.K 2= n(ac-bd.) 2(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)1 JY 1fe 持11不支持l.U0.5 Q.2-中老年组中青年组21. (12分)新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等 级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物 理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准.考生从中选择三科成绩，参加大学相关院 校的录取.(I)若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求.假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为 —，4求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率(n)据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可在省会考时考到95以上的科目数为 X 求X 的分布列及数学期望.100人，对各组中持支持态度和不支能被该校录取假设某考生在省会考六科的成绩都考到95分以上的概率都是任意的 x € (0, 1], g (x )- 2f (x ) +3mx+——士22. (12分)已知函数 h ( x )=2，不等式t')t 对于x € (0, +3)恒成立.求函数h (x )的最值; 求实数t 的值; (出) ，其中e 为自然对数的底数.若对> 4都恒成立，求正实数 m 的取值范围.log t x , g (x )=已知实数 f (x )= mx -2018-2019学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 . （5分）设复数z= 1 + i （i是虚数单位），则一=（）ZA . 1 - iB . 1 + i C. - 1 - i D. - 1 + i【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：2=^L二马：1）= 1 - i,z i+i （i+i）a-D故选：A .【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题.2. （5 分）已知f （x）= x+sinx,贝U f'（--- ）=（）A . - 1B . 0C . 1D . 2【分析】根据导数的公式即可得到结论.【解答】解：由f （x）= x+sinx,得 f （x）= 1+cosx,所以,_I-|_..,_|：_-..故选：C .【点评】本题主要考查导数的基本运算，属基础题.3. （5分）四种不同的商品在货架上排成一排，其中商品A, B不相邻，商品C, D必须相令邻，则不同的排法有（）种C . 8 D. 12【分析】根据题意，分析可得AB必须在两端，CD必须AB之间，据此求出AB、CD的排法，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，四种不同的商品要求商品A, B不相邻，商品C, D必须相邻，则AB必须在两端，有A22= 2种情况，第7页（共19页）CD必须AB之间，有A22= 2种情况，则有2X 2 = 4种不同的排法；故选：A .55 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.24. （5分）用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程 ax +bx+c = 0 （a = 0）有有理根，那 么a , b , c 中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是（ ）A .假设a , b , c 都是奇数B .假设a , b , c 至少有两个是奇数C .假设a , b , c 至多有一个是奇数D .假设a , b , c 不都是奇数【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题： “a , b , c 中至多有两个是奇数”的否定，即可得到结论.【解答】 解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的 结论的反面.而命题：“a , b , c 中至多有两个是奇数”的否定为： “a , b , c 中全是奇数”，故选：A .【点评】 本题主要考查用命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的 结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题.5.（ 5分）某产品的广告费支出 x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如表，由此得到y舟 IJHL与x 的线性回归方程为y = 6x+j ,由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残 差）为（)x 2 4 5 6 8y3040 605070A . - 10B . 0C . 10D . 20【分析】由已知求得 :--【的值，得到..，求得线性回归方程，取x = 5求得y 值，再由残差概念求残差.【解答】解：T••••,：・「I! i,尸抵栈。

2018-2019学年第二学期期末调研考试高二数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设121iz i i-=++，则||z z +=（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -D. 1i -+【答案】C 【分析】先利用复数的四则运算律求出复数z ，再利用共轭复数、复数求模公式结合复数的加法法则可得出结果。

【详解】()()()21122221112i ii z i i i i i i i ---=+=+=+=++-Q ，11z z i i ∴+=-+=-，故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的模，考查计算能力，着重考查对复数基础知识的理解和应用能力，属于基础题。

2.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A. y =B. y =C. y x =±D.2y x =±【答案】A分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-====-=-=∴=因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A.点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.3.282()x x+的展开式中4x 的系数是（ ） A. 16 B. 70 C. 560 D. 1120【答案】D【详解】设含4x 的为第2816316621,()()2rrr r r r r r T C x C x x--++==，1634r -= 所以4r =，故系数为：44821120C =，选D 。

4.曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ）A. 74y x =+B. 2y x =-C. 4y x =-D.72y x =+【答案】B 【分析】利用导数求出曲线34y x x =-在切点处的切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方程。

高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（）A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.( )B.3.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，若样本中男生比女生多12人，则n=（）A. 990B. 1320C. 1430D. 15604.（2，k（6，4是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π6.若函数f（x）a的取值范围为（）A. （-5，+∞）B. [-5，+∞）C. （-∞，-5）D. （-∞，-5]7.设x，y z=x+y的最大值与最小值的比值为（）A. -1B.C. -28.x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 2B. 1 D. 49.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=30，则S20=（）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或1010.当的数学期望取得最大值时，的数学期望为（）A. 211.若实轴长为2的双曲线C：4个不同的点则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )12.已知函数f（x）=2x3+ax+a．过点M（-1，0）引曲线C：y=f（x）的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f（x）的极大值点为（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x7的展开式的第3项为______．14.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=5，则tan2β=______．15.287212,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积则椭圆C的标准方程为______.16.已知高为H R的球O的球面上，若二面4三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.nn的通项公式．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如表格：（1）根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；（2）以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（i）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ii）若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A cos C+a sin C cos B A．（1）求tan A的值；（2）若b=1，c=2，AD⊥BC，D为垂足，求AD的长．20.已知B（1，2）是抛物线M：y2=2px（p＞0）上一点，F为M的焦点．（1，M上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）若直线y=kx-3（k≠0）与M交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2+y1y2=-4，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB，二面角A-BD=F求PD与平面BDF所成角的正弦值．22.已知函数f（x）=（x-a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=2时，F（x）=f（x）-x+ln x，记函数y=F（x1）上的最大值为m，证明：-4＜m＜-3．答案和解析1.【答案】A【解析】故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，子集与真子集，并集及其运算，属于基础题．先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，以及元素和集合之间的关系，以及并集运算得出结果．【解答】解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}，B={2}={x|0≤x＜4}，∴∉A，B，B⊆A，A∪B={x|-1＜x＜5}．故选C．3.【答案】B【解析】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，样本中男生比女生多12人，设男生数为6k，女生数为5k，解得k=12，n=1320．∴n=1320．故选：B．设男生数为6k，女生数为5k，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果．本题考查高一学生数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∴k=-3；∴（-16，-2）与共线．k=-3考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）x≤1时，函数是增函数，x＞1时，函数是减函数，由题意可得：f（1）=a+4≥，解得a≥-5．故选：B．利用分段函数的表达式，以及函数的单调性求解最值即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（2，5），B-2）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时则z=x+y的最大值与最小值的比值为：．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．【解析】解：由题意，对任意的∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）=f（x）min=-3，f（x2）=f（x）max=3．∴|x1-x2|min∵T=4．∴|x1-x2|min=．故选：A．本题由题意可得f（x1）=f（x）min，f（x2）=f（x）max，然后根据余弦函数的最大最小值及周期性可知|x1-x2|min本题主要考查余弦函数的周期性及最大最小的取值问题，本题属中档题．9.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，（30-S20），解得S20=20，或S20=-10，∵S20-S10=q10S10＞0，∴S20＞0，∴S20=20，故选：A．由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，列式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∴EX取得最大值．此时故选：D．利用数学期望结合二次函数的性质求解期望的最值，然后求解Y的数学期望．本题考查数学期望以及分布列的求法，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，动点的轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．设P i（x，y）⇒x2+y2（x2。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区城内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数的共扼复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据虚数单位的性质化简复数z，然后再求它的共轭复数.【详解】，．故选A.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，侧重考查数学运算的核心素养.2.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为（）A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8【答案】C【解析】【分析】直接利用期望的公式求解.【详解】由已知得.故选：C【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3.如图所示，阴影部分的面积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用定积分的几何意义写出阴影部分的面积的表达式得解.【详解】由定积分的几何意义及数形结合可知阴影部分的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.4.下列曲线中，在处切线的倾斜角为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】在x=1处切线的倾斜角为,即有切线的斜率为tan=−1.对于A,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为5；对于B,y=xlnx的导数为y′=1+lnx，可得在x=1处切线的斜率为1；对于C,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为；对于D,y=x3−2x2的导数为y′=3x2−4x，可得在x=1处切线的斜率为3−4=−1.本题选择D选项.5.将A，B，C，D，E，F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.【详解】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.6.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】分两种情况讨论得到该选手能进入第四关的概率.【详解】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以,第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以.所以该选手能进入第四关的概率为.故选：D【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.的计算结果精确到个位的近似值为（）A. 106B. 107C. 108D. 109【答案】B【解析】【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.【详解】∵，∴.故选：B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若，则，.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）A. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186B. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186C. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545D. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545【答案】A【解析】【分析】先求出，，再求出和，即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率.【详解】∵，，∴，，所以，，∴.故选：A【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数的最小值为（）A. -1B.C.D. 0【答案】B【解析】【分析】利用换元法，令，可得函数，求导研究其最小值。

2019-2020学年河南省联盟基础年级联考2018级高二下学期期末考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)考生注意：1.本试卷共8页.时间120分钟,满分150分.答题前,考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置,并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上,然后认真核对条形码上的信息,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.作答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将试卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,x y y A x =+=∈R ,(){}*ln 6,B x y x x ==-∈N ,集合C A B =,则集合C 的子集的个数为（ ）A.4B.8C.16D.32 2.已知z 为复数z 的共扼复数,12z i z +=+,则在复平面内z 对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题为假命题的是（ ）A.x ∀∈R ,x e x >B.0x ∃∈R ,00x e x <C.()0,x ∀∈+∞,ln x x <D.()00,x ∃∈+∞,00ln 2x x >-4.函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为3x π=,则实数ω的取值不可能为（ ） A.1 B.4 C.7 D.85.设,m n 是不同的直线,,αβ是不同的平面,则下列选项中正确的是（ ）A.若m α⊥,αβ⊥,则m β⊥B.若//m n ,n α⊂,则//m αC.若m α⊥,n β⊥,m n ⊥,则αβ⊥D.若//m α,//n β,//m n ,则//αβ6.已知变量x 与变量y 有较强的线性相关性,其线性回归方程为2 3.5y x =-+,则下列说法中正确的是（ ）A.x 与y 正相关B.若5x =,则 6.5y =-C.x 增加1,y 一定减少2D.样本点在回归方程两侧的个数一定相同 7.已知双曲线2212211:1x y C a b -=（110,0a b >>）与双曲线2222222:1y x C a b -=（220,0a b >>）有相同的渐近线2y x =±,则下列关系中正确的是（ ）A.1212a a b b =B.21122a b a b =C.1212a a b b +=+D.121222a a b b +=+8.已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球,随机从箱子中摸出1个球再放回,如果摸出黑球记2分,摸出白球记1-分,则10次摸球所得总分数ξ的期望为（ ）A.2B.4C.6D.89.公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即121a a ==,12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记()2122n n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ）,数列{}n b 的前n 项和为n S ,则2020S =（ ） A.2020223-+ B.2020223- C.2021223- D.2021223-+ 10.如图,过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,与y 轴交于点Q ,若12OF OQ =,1AF BQ =,O 为坐标原点,则椭圆C 的离心率为（ ）。