平面直角坐标系之间的转换-Read

直角坐标变换公式推导在数学中，直角坐标变换是一种常见的数学操作，用于将一个点在一个直角坐标系下的坐标转换为另一个直角坐标系下的坐标。

直角坐标变换公式的推导是理解这一概念的关键。

1. 二维平面直角坐标变换公式推导假设有两个二维平面直角坐标系，分别为OXY和O′X′Y′，现在需要将点P(x,y)在OXY坐标系下的坐标(x,y)转换为在O′X′Y′坐标系下的坐标(x′,y′)。

设坐标系O′X′Y′相对于OXY坐标系的角度为$\\theta$，则根据几何关系可推导得到直角坐标变换公式如下：$$ x' = x \\cos \\theta - y \\sin \\theta \\\\ y' = x \\sin \\theta + y \\cos\\theta $$这两个公式即是二维平面直角坐标变换的基本公式。

2. 三维空间直角坐标变换公式推导类似地，对于三维空间中的直角坐标变换，假设有两个直角坐标系OXYZ和O′X′Y′Z′，需要将点P(x,y,z)在OXYZ坐标系下的坐标(x,y,z)转换为在O′X′Y′Z′坐标系下的坐标(x′,y′,z′)。

设坐标系O′X′Y′Z′相对于OXYZ坐标系的绕x轴、y轴和z轴的旋转角分别为$\\alpha$、$\\beta$和$\\gamma$，则直角坐标变换公式可推导为：$$ x' = x \\cos \\beta \\cos \\gamma - y(\\cos \\alpha \\sin \\gamma - \\sin \\alpha \\sin \\beta \\cos \\gamma) + z(\\sin \\alpha \\sin \\gamma + \\cos\\alpha \\sin \\beta \\cos \\gamma) \\\\ y' = x \\cos \\beta \\sin \\gamma +y(\\cos \\alpha \\cos \\gamma + \\sin \\alpha \\sin \\beta \\sin \\gamma) -z(\\sin \\alpha \\cos \\gamma - \\cos \\alpha \\sin \\beta \\sin \\gamma) \\\\ z' = -x \\sin \\beta + y \\sin \\alpha \\cos \\beta + z \\cos \\alpha \\cos \\beta $$ 以上公式即是三维空间直角坐标变换的推导结果，应用这些公式可以在不同坐标系下方便地进行坐标转换。

平面直角坐标系下的图形变换王建华图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。

在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变左右平移横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180一、平移例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)．向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）．比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度．友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。

析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B反思：①根据平移的坐标变化规律：★左右平移时：向左平移h个单位),(),(bhaba-→向右平移h个单位),(),(bhaba+→★上下平移时：向上平移h个单位),(),(hbaba+→向下平移h个单位),(),(hbaba-→二、旋转例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：图2图1B/图2图1A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)．比较对应点的坐标可以发现：将△ABC沿坐标原点旋转180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数．例3如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.解：如图P2(1,-1)，P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).三、对称例4．如图3，已知△ABC，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点的坐标．关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)．观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．在直角坐标系中，ABC△的三个顶点的位置如图3所示．（1）请画出ABC△关于y轴对称的A B C'''△（其中A B C'''，，分别是A B C，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出A B C'''，，三点的坐标：(_____)(_____)(_____)A B C'''，，．析解：如图4，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-，故可得（2）(23)A'，，(31)B'，，(12)C'--，反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1-★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1-四、位似例4 如图4，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为21，写出三角形各顶点的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(-1，-1)，B′(-3，-2)，C′(-2，-3)．图31 2 xO1-1ABCy1 2 xO1-1ABCA'B'C'y图3 图4C B AA 2C 2A 1B 1C 1O观图形可知，△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC对应各顶点坐标21的相反数．友情提示： △ABC 以坐标原点0为位似中心的位似△A ′B ′C ′，当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为21，且△A ′B ′C ′在第一象限时， △A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC 各顶点坐标的21．课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2223+=13点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=9013131802ππ⋅=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等。

直角坐标系和坐标变换直角坐标系是描述平面或空间中点位置的一种常用坐标系统。

它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。

坐标轴上的数值表示了点在对应轴上的位置，从而确定了点在整个坐标系中的位置。

而坐标变换则是通过一定的规则将点在一个坐标系中的表示转变为另一个坐标系中的表示。

一、直角坐标系直角坐标系是一种二维坐标系，由水平的x轴和垂直的y轴构成。

x轴和y轴的交点称为原点，通常用O表示。

在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

x轴和y轴的正方向上，数值逐渐增大。

在直角坐标系中，可以通过距离和角度来描述点和图形的性质。

例如，两点之间的距离可以使用勾股定理计算，而斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度。

二、坐标变换坐标变换是指将点在一个坐标系中的表示转变为另一个坐标系中的表示。

常见的坐标变换包括平移、旋转、缩放和镜像等。

1. 平移平移是指将一个点在坐标系中沿着某个方向移动一定距离。

如果要将一个点P(x, y)沿着x轴方向平移a个单位，y坐标保持不变，则新坐标是P(x+a, y)；如果要将点P沿着y轴方向平移b个单位，x坐标保持不变，则新坐标是P(x, y+b)。

2. 旋转旋转是指将一个点或图形绕某个中心点按一定角度进行旋转。

在二维直角坐标系中，可以使用旋转矩阵对点进行旋转。

设点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度，则新坐标是P'(x', y')，其中：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ3. 缩放缩放是指将一个点或图形按照一定比例进行放大或缩小。

在二维直角坐标系中，可以使用缩放矩阵对点进行缩放。

设点P(x, y)按照比例s 进行缩放，则新坐标是P'(x', y')，其中：x' = s * xy' = s * y4. 镜像镜像是指将一个点或图形关于某个轴或面对称翻转。

一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。

平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。

两个平面直角坐标系之间的转换公式包括以下三种情况：
1. 单纯移轴：设Oxy，O'x'y'是两个直角坐标系，坐标轴有相同的方向，O'在Oxy中的坐标为(x0，y0)。

用(x，y),(x',y')分别代表点M 在坐标系Oxy，O'x'y'中的坐标。

在移轴下，坐标转换公式是x=x'+x0，y=y'+y0。

2. 单纯转轴：设新旧坐标系有相同的坐标原点O，由Ox到Ox'的角度为t，坐标转换公式是x=x'cost-y'sint，y=x'sint+y'cost。

3. 一般的坐标转换公式：设Oxy，O'x'y'是两个坐标系，O'在Oxy 中的坐标为(x0，y0)，由x轴到x'轴的角度为t，坐标转换公式是x=x'cost-y'sint+x0，y=x'sint+y'cost+y0。

以上是通过新坐标来表示旧坐标，同样可以通过旧坐标来表示新坐标。

平面直角坐标系的图象变换 姓名一、平移变换1、平移定义：把平面上（或者空间里）每一个点按照同一个方向移动相同的距离，叫做平面（或者空间）的一个平移。

说明：（1）平移由移动的方向和距离决定。

（2）平移可由一个向量a 决定：a 的方向表示移动方向，a 的大小表示移动的距离。

2、平移公式：设(,)P x y , (,)P x y ''', (,)a m n =PP a '=由于 因此(,)(,)(,)x y x y m n ''-= ''x x m y y n -=⎧⎨-=⎩即：''x x m y y n =+⎧⎨=+⎩即： （平移公式）x x my y n'=-⎧⇒⎨'=-⎩(变形公式) 说明:（1）平移公式反映了图形中每一个点在平移前后新坐标和原坐标之间的关系.（2）平移公式只适用于坐标系不动,图形(或点)平移的情况.（3）在(,)P x y , (,)P x y ''', (,)a m n =中,知道其中任两个,可求另一个. 例1、（1）把点 A(-2 , 1)平移向量a =(3,2)，求对应的点A ´的坐标。

（2）点B(8,-10)平移向量a 后的对应点B ´的坐标为(-7,4)，求平移向量a 。

例2 、（1）已知函数2y x =的图像F 按向量(2,3)a =-平移得到'F ，求图像'F 的表达式。

（2）把函数2xy =的图像F 平移向量(3,2)a =到F '，求F '对应的函数解析式.(3) 函数2y x =的图像F 按向量(,)a m n =平移得到()2':13F y x =++，求平移向量a .注：一般可以证明，函数y=f(x)的图像平移向量(,)a a b =后，得到的函数表达式为：()y b f x a -=-。

中考数学易错题系列解析平面直角坐标系中的形变换问题在中考数学中，平面直角坐标系是一个非常重要的概念。

在解题过程中，涉及到了平面直角坐标系中的形变换问题，这是一类考生容易出错的题型。

本文将针对中考数学中的平面直角坐标系中的形变换问题进行解析。

一、平移变换平移变换是指在平面上将所有的点按照指定的方向和距离进行移动。

当我们进行平移变换时，整个图形保持了原有的形状和大小，只是位置发生了改变。

例如，将点A(x, y)沿着x轴正方向平移p个单位长度，那么新的坐标点为A'(x+p, y)。

同理，将点A(x, y)沿着y轴正方向平移p个单位长度，那么新的坐标点为A'(x, y+p)。

在解平移变换问题时，要注意将坐标轴上的单位长度和平移距离进行对应，从而正确确定新的坐标点。

二、旋转变换旋转变换是指将平面上的图形按照指定的旋转角度进行旋转。

旋转的方向可以是顺时针或逆时针。

在平面直角坐标系中，旋转变换通常以原点O为旋转中心。

当我们进行旋转变换时，图形的形状和大小会保持不变，只是方向发生了改变。

例如，将点A(x, y)绕原点O逆时针旋转θ度，那么新的坐标点为A'(x', y')。

旋转变换的坐标点与原坐标点之间存在一定的关系，可以通过三角函数来计算。

在解旋转变换问题时，要注意确定旋转中心和旋转角度，以及在直角三角形中利用正弦、余弦函数关系计算旋转后的新坐标点。

三、对称变换对称变换是指将平面上的图形按照某个轴进行镜像对称，即左右对称或上下对称。

在平面直角坐标系中，常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称变换。

例如，将点A(x, y)关于x轴对称变换，那么新的坐标点为A'(x, -y)；将点A(x, y)关于y轴对称变换，那么新的坐标点为A'(-x, y)；将点A(x, y)关于原点对称变换，那么新的坐标点为A'(-x, -y)。

在解对称变换问题时，要注意确定对称轴的位置和方向，从而确定新的坐标点。

平面直角坐标系与极坐标系的转换引言：在数学中，平面直角坐标系和极坐标系是两种常见的坐标系类型。

它们在不同的数学问题和物理应用中有各自的优势和用途。

本文将介绍平面直角坐标系和极坐标系的基本概念，以及它们之间的转换方法和应用。

一、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴组成的。

通常我们将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。

平面上的任意一点可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。

平面直角坐标系可以用于描述平面上的几何图形、函数关系、运动轨迹等。

二、极坐标系的基本概念极坐标系是通过一个原点O和一个从该点出发的射线构成的。

极坐标系中，点的位置由两个参数确定，即极径r和极角θ。

极径r表示点O到该点的距离，极角θ表示该点的极轴与射线之间的夹角。

通常我们将极径r的正方向与直角坐标系中的x轴的正方向相对应，将极轴的正向与x轴的正方向相同。

极坐标系常用于描述平面上的圆、圆环以及极坐标方程所对应的图形。

三、平面直角坐标系转换为极坐标系的方法将平面直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)有以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，r为点(x, y)到原点O的距离，即极径；θ为点(x, y)与x轴的夹角，即极角。

需要注意的是，由于反三角函数的多值性，θ的取值范围应限定在[-π, π]之间。

四、极坐标系转换为平面直角坐标系的方法将极坐标系中的点(r, θ)转换为平面直角坐标系中的点(x, y)有以下公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，r为点(r, θ)到原点O的距离，即极径；θ为点(r, θ)与x轴的夹角，即极角。

利用三角函数的定义，我们可以计算出x和y的值。

五、平面直角坐标系与极坐标系的应用平面直角坐标系和极坐标系在不同的数学问题和物理应用中有广泛的应用。

平面直角坐标系常用于平面几何、函数图像的绘制与分析、运动学等。