三角函数图像的平移变换

三角函数图像的平移、变换一、 引入以简单函数为例，解说“左加右减、上加下减” 。

讲清横移的实质是把全部x 替代为 x+a ；二、三角函数图像的平移之历年高考真题1、为了获得函数y sin(2 x) 的图像，只需把函数 y sin(2 x) 的图像（ A ）向左平移个长度单364位（ B ）向右平移 个长度单位4（ C ）向左平移个长度单位（ D ）向右平移个长度单位22【答案】 B2、将函数 ysin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到本来的102 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是（ A ） ysin(2 x ) （B ） ysin(2 x)sin( 1x10sin( 1x 5 （ C ） y) （ D ） y )2102 20分析：将函数 y sin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 所得函数图象的分析式为 y ＝ sin( x10－)再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是10y sin( 1x) . 【答案】 C 210以本题为例，解说横向变换的实质也是替代。

可发问：上述步骤反演，结果怎样？3、（ 2010 天津文）（ 8）右图是函数 y Asin （ x+ ）（ xR ）在区间 - 5上的图象，为了获得这个函数的图象，只，6 6要将 y sin x （ x R ）的图象上全部的点(A) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原3来的 1倍，纵坐标不变2(B) 向左平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原3来的 2 倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变621【答案】 A【分析】本题主要考察三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。

由图像可知函数的周期为，振幅为1，因此函数的表达式能够是y=sin(2x+ ).代入（ - ， 0）可得的6一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+ )，即 y=sin2(x+ )，因此只需将 y=sinx （ x∈ R）3 3 6 1倍，纵坐标不变。

函数)sin(A ϕω+=x y 的图像1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像与sin y x =图像间的关系：① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()s i n y x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。

2、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：【典型例题】例1将函数)3sin(2π+=x y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变）， 所得图象对应的表达式为A ．)321sin(2π+=x y B ．)621sin(2π+=x yC ．)32sin(2π+=x yD ．)322sin(2π+=x y 例2、110610. 将函数)32cos(4π-=x y 的图像向右平移6π个单位，所得图像的解析式是（A ）)62cos(4π-=x y （B ）)322cos(4π-=x y （C ）x y 2cos 4= （D ）x y 2sin 4=例3、080606.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ） A ． 向左平移3π个单位长度B ． 向右平移3π个单位长度C ． 向左平移6π个单位长度D ． 向右平移6π个单位长度试题分析：因为sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需将函数sin 2y x =的图像向右平移6π各单位即可得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；故D 正确.【会考真题】1、101213.为得到函数)42sin(π+=x y 的图像，只须将函数x y 2sin =上所有点（ ）（A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4π个单位 （C ）向右平移8π个单位 （D ）向左平移8π个单位2、060615：要得到函数cos(2),3y x x R π=+∈的图像，只需把曲线cos 2y x =上所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度 （C ）向左平行移动6π个单位长度 （D ）向右平行移动6π个单位长度例4 、将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ） （B ）（C ） （D ） 解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.【答案】C1、100113：把函数3sin y x =的图像上每个点的横坐标伸长到到原来的两倍（纵坐标保持不变），然后再将整个图像向左平移3π个单位，所得图像的函数解析式是（ ）（A ）3sin(2)6y x π=-（B ）13sin()26y x π=+ （C ）3sin(2)3y x π=- （D ）13sin()23y x π=+2、070614或090113：将函数sin()()3y x x R π=-∈的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向左平移3π个单位长度，则得到的图像的函数解析式是（ ）（A ）1sin2y x = （B ）1sin()23y x π=- （C ）sin(2)6y x π=- （D ）1sin()26y x π=-sin y x =10πsin(2)10y x π=-sin(2)5y x π=-1sin()210y x π=-1sin()220y x π=-sin y x =10π10π1sin()210y x π=-3、090614：把函数sin(2),4y x x R π=+∈的图像向右平移8π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到到原来的12倍（纵坐标不变），则所得图像对应的函数解析式为（ ） （A ）cos(4)8y x π=+（B ）sin(4)8y x π=+ （C ）cos 4y x = （D ）sin 4y x =例5、为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析 y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋5π6)．故要得到y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度．。

三角函数的像变换与平移三角函数是数学中非常重要的概念之一，在三角函数中，像变换与平移是两个重要的概念。

它们描述了函数图像在坐标系中的移动和变形过程。

本文将重点介绍三角函数的像变换与平移。

1. 像变换（Image Transformation）像变换是指通过特定的变换规则，改变函数图像的形状、位置或尺寸等性质。

对于三角函数而言，常见的像变换包括拉伸、压缩、翻转和反转等。

1.1 拉伸（Stretch）拉伸是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更长或更短。

对于正弦函数（sin）和余弦函数（cos）而言，拉伸可以分别沿横轴和纵轴方向进行。

例如，当正弦函数的图像被沿横轴方向拉伸时，函数的周期将变得更长，波峰和波谷之间的距离增加；而当余弦函数的图像被沿纵轴方向拉伸时，函数的振幅（波峰或波谷与横轴的距离）增加。

1.2 压缩（Compression）压缩是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更短或更窄。

与拉伸相反，压缩使函数的周期变短，波峰和波谷之间的距离缩小；同时，压缩会使函数的振幅减小。

1.3 翻转（Reflection）翻转是指将函数图像相对于横轴或纵轴进行对称变换，以改变图像的朝向。

对于正弦函数和余弦函数而言，翻转可以使波形上下颠倒或左右翻转。

1.4 反转（Inversion）反转是指将函数图像的正负进行翻转，使得原本正值的部分变为负值，负值的部分变为正值。

对于正弦函数和余弦函数而言，反转会使波形关于横轴或纵轴进行对称。

2. 平移（Translation）平移是指将函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动，以改变图像的位置。

对于正弦函数和余弦函数而言，平移可以使波形向左或向右平移一定的距离，或者向上或向下平移。

2.1 横向平移（Horizontal Translation）横向平移是指将函数图像沿横轴方向上移动，通常用参数h表示平移的距离。

当h为正值时，函数图像向右平移；当h为负值时，函数图像向左平移。

数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。

三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。

三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。

一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。

三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。

三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。

二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。

对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。

这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。

三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。

3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变 换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解： 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。

三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。

在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。

一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。

对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。

b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。

2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。

b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。

二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。

对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。

b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。

2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。

b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。

三角函数的图象及性质函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs in 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．二、三角函数的图象及性质【基础自测】1．【07全国Ⅱ】2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ）A ．()44ππ-， B ．3()44ππ， C ．3()2ππ，D ．3(2)2ππ， 2. （08天津理）要得到2cos y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ .C ）A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ C ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,1）坐标代入即可.4. 函数f(x)＝sin(πx －π2)－1的奇偶性为___偶函数_____5.若函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω＞0)的最小正周期为π5，则ω＝_ 106已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ D ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 （B ）偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 7．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ D ）（A ）21- （B ）21（C ）23- （D ）238．函数y = －x ·cosx 的部分图象是( D)9.（０８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x xy 的图象和直线21=y 的交点个数是___2___ 10.【07安徽】函数()3sin(2)f x x π=-3的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间5()1212ππ-，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3【题例分析】12π3yx－π3 O例1．已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1, x ∈R ,（I ）当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(I ) y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1＝41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1＝41cos2x ＋43sin2x ＋45＝21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45＝21sin(2x ＋6π)＋45.函数y 取最大值必须且只需2x ＋6π＝2k π＋2π, k ∈Z , 即x ＝k π＋6π.∴自变量x 的集合是{x | x ＝k π＋6π,k ∈Z }(II ) 把y ＝sin x 的图象依次进行如下的变换：① 把y ＝sin x 的图象向左平移6π个单位，得到函数y ＝sin(x ＋6π)的图象；② 再把图象是各点的横坐标缩小到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋6π)的图象；③ 再把图象是各点的纵坐标缩小到原来的21倍(横坐标不变)，得到函数y ＝21sin(2x ＋6π)的图象④ 最后把函数的图象向上平移45个单位，得到函数y ＝21sin(2x ＋6π)＋45的图象。

三角函数的平移伸缩变换规律三角函数是数学中非常重要的一部分，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在三角函数中，平移和伸缩变换是非常常见的操作，通过对三角函数的平移和伸缩变换，我们可以得到不同的函数图像，从而更好地理解和分析函数的性质。

接下来，我们将详细介绍三角函数的平移伸缩变换规律。

首先，让我们来了解一下什么是三角函数的平移和伸缩变换。

在数学中，平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移，而伸缩变换则是指对函数图像进行拉伸或压缩。

对于三角函数而言，平移和伸缩变换会改变函数图像的周期、振幅、相位等性质。

对于正弦函数和余弦函数而言，它们的平移和伸缩变换规律如下：1. 正弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*sin(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制振幅的变化，当|A|>1时，振幅增大；当0<|A|<1时，振幅减小。

B控制周期的变化，周期T=2π/|B|。

C控制相位的变化，向右平移C个单位；向左平移-C个单位。

D控制上下平移，向上平移D个单位；向下平移-D个单位。

2. 余弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cos(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与正弦函数相似，只是对于余弦函数而言，A控制振幅的变化，B控制周期的变化，C控制相位的变化，D控制上下平移。

除了正弦函数和余弦函数外，切线函数和余切函数也有类似的平移和伸缩变换规律：3. 切线函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*tan(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制纵向拉伸或压缩。

B控制周期的变化，周期T=π/|B|。

C控制横向平移。

D控制上下平移。

4. 余切函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cot(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与切线函数相似，只是对于余切函数而言，A控制纵向拉伸或压缩，B控制周期的变化，C控制横向平移，D控制上下平移。

三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。

1。

为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。

三角函数图象的平移和伸缩函数s i n ()y A x k ωϕ=++的图象与函数s i n y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x=的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs i n24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2s i n 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2s i n 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．练习：1、选择题：已知函数)5sin(3π+=x y 的图象为C 。