三角函数图像的平移变换经典分类

三角函数的图像变换三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们在图像上呈现出规律性的波动变化，而通过对这些函数进行图像的平移、缩放、翻转等操作，可以得到各种不同形态的函数图像。

本文将介绍三角函数的图像变换过程，并探讨不同变换对函数图像的影响。

正弦函数的图像变换正弦函数 $y = \\sin(x)$ 是一种周期性函数，其图像在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内呈现出波浪状的变化。

对正弦函数进行图像变换可以通过调整函数中的关键参数来实现。

平移平移是一种简单的图像变换操作，可以沿着横轴和纵轴分别对函数图像进行移动。

对于正弦函数 $y=\\sin(x)$ 来说，平移操作可以表示为 $y = \\sin(x - a)$，其中a为平移距离。

当a>0时，函数图像向右平移；当a<0时，函数图像向左平移。

缩放缩放是改变函数图像振幅的一种常见操作。

对于正弦函数$y=\\sin(x)$，可以通过调整函数中的系数来实现振幅的变化。

例如，当 $y=2\\sin(x)$ 时，函数图像的振幅将变为原来的两倍；当 $y=\\frac{1}{2}\\sin(x)$ 时，函数图像的振幅将缩小为原来的一半。

翻转翻转是改变函数图像对称性的一种操作。

对于正弦函数$y=\\sin(x)$，可以通过在函数中引入负号来实现翻转操作。

例如，当 $y=-\\sin(x)$ 时，函数图像将在a轴进行翻转。

余弦函数的图像变换余弦函数 $y = \\cos(x)$ 也是一种周期性函数，其图像在$[0, 2\\pi]$ 区间内呈现出波浪状的变化。

对余弦函数进行图像变换同样可以通过平移、缩放、翻转等操作来实现。

平移对于余弦函数 $y=\\cos(x)$，平移操作的表达式为 $y =\\cos(x - a)$，其中a为平移距离。

与正弦函数类似，当a> 0时，函数图像向右平移；当a<0时，函数图像向左平移。

三角函数图象的平移和伸缩 【2 】函数sin()y A x kωϕ=++的图象与函数sin y x=的图象之间可以经由过程变化A kωϕ，，，来互相转化．Aω，影响图象的外形,k ϕ，影响图象与x 轴交点的地位．由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由ϕ引起的变换称相位变换,由k引起的变换称高低平移变换,它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换办法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．xy sin =)3sin(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍例1 将sin y x =的图象如何变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（办法一）①把sin y x=的图象沿x轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． （办法二）①把sin y x=的图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得2sin y x=的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍解释：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin 2y x=的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到本来的12,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于庞杂的变换,可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象如何变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 剖析：应先经由过程引诱公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 依据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。

三角函数的图象变换与性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。

接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。

三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。

平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。

伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。

翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。

通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。

正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。

正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。

余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。

余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。

正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。

正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。

正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。

除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。

它们的图象可以通过适当的变换得到。

例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。

三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．xy sin =)3sin(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。

三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。

1。

为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。

三角函数的变换与性质三角函数是数学中常见的一类函数，它们在数学和物理等领域有着重要的应用。

本文将介绍三角函数的变换与性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、正弦函数的变换与性质正弦函数可以表示为f(x) = sin(x)，其图像是一个周期性的波形。

正弦函数的变换包括平移、伸缩和翻转等操作。

1. 平移：当正弦函数的自变量加上一个常数c时，函数图像将向左平移c个单位。

例如，f(x) = sin(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。

2. 伸缩：当正弦函数的自变量乘以一个常数a时，函数图像将在x轴方向上缩放。

若a>1，则图像纵向压缩；若0<a<1，则图像纵向拉伸。

3. 翻转：当正弦函数的自变量乘以-1时，函数图像将在y轴方向上翻转。

即f(x) = sin(-x)的图像将关于y轴对称。

正弦函数的性质有：1. 周期性：正弦函数的图像以x轴为对称轴，其周期为2π。

即sin(x + 2π) = sin(x)。

2. 奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即f(-x) = - f(x)。

这意味着正弦函数的图像关于原点对称。

二、余弦函数的变换与性质余弦函数可以表示为f(x) = cos(x)，它与正弦函数是相互关联的。

余弦函数的变换与正弦函数类似，也包括平移、伸缩和翻转等操作。

1. 平移：当余弦函数的自变量加上一个常数c时，函数图像将向左平移c个单位。

例如，f(x) = cos(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。

2. 伸缩：当余弦函数的自变量乘以一个常数a时，函数图像将在x轴方向上缩放。

若a>1，则图像纵向压缩；若0<a<1，则图像纵向拉伸。

3. 翻转：当余弦函数的自变量乘以-1时，函数图像将在y轴方向上翻转。

即f(x) = cos(-x)的图像将关于y轴对称。

余弦函数的性质有：1. 周期性：余弦函数的图像以x轴为对称轴，其周期为2π。

即cos(x + 2π) = cos(x)。

三角函数的图像变换三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理和工程等领域中有着广泛的应用。

而其中，图像变换是三角函数中一个非常有趣和重要的概念。

图像变换可以通过改变三角函数的参数来改变其图像的形状、位置和大小。

本文将探讨三角函数的图像变换，并介绍一些常见的图像变换方法。

首先，我们来讨论正弦函数的图像变换。

正弦函数的一般形式为y = A*sin(Bx+ C) + D，其中A、B、C和D分别是函数的振幅、周期、相位和纵坐标平移量。

通过改变这些参数，我们可以实现正弦函数图像的各种变换。

首先，我们来看振幅的变换。

振幅决定了正弦函数图像的上下波动程度。

当振幅A增大时，正弦函数的波峰和波谷的高度也会增加，图像变得更加陡峭。

相反，当振幅A减小时，正弦函数的波峰和波谷的高度也会减小，图像变得更加平缓。

接下来，我们来看周期的变换。

周期决定了正弦函数图像的重复性。

当周期B增大时，正弦函数的波峰和波谷之间的距离增加，图像变得更加拉长。

相反，当周期B减小时，正弦函数的波峰和波谷之间的距离减小，图像变得更加压缩。

然后，我们来看相位的变换。

相位决定了正弦函数图像的水平位置。

当相位C增大时，正弦函数图像向左平移，波峰和波谷的位置向左移动。

相反，当相位C减小时，正弦函数图像向右平移，波峰和波谷的位置向右移动。

最后，我们来看纵坐标平移量的变换。

纵坐标平移量决定了正弦函数图像的垂直位置。

当纵坐标平移量D增大时，正弦函数图像向上平移，波峰和波谷的位置上升。

相反，当纵坐标平移量D减小时，正弦函数图像向下平移，波峰和波谷的位置下降。

除了正弦函数，余弦函数和正切函数也可以进行图像变换。

余弦函数的图像变换和正弦函数类似，只是相位的变换方向相反。

正切函数的图像变换则更为复杂，它的一般形式为y = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C和D同样是函数的参数。

通过改变这些参数，我们可以实现正切函数图像的各种变换，包括振幅、周期、相位和纵坐标平移量的变换。

三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。

三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。

它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。

在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。

本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。

在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。

对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。

当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。

在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。

对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。

当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

伸缩变换还可以改变函数的周期。

对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。

通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。

三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。

在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。

对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。

三角函数平移的知识点总结一、三角函数平移的基本概念1. 正弦函数和余弦函数的平移正弦函数和余弦函数的平移可以通过改变函数的自变量(x)来实现。

对于正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数g(x) = cos(x)来说，它们的平移操作可以分别表示为f(x + a)和g(x + a)，其中a表示在x轴上的平移距离。

当a为正数时，函数图像向左平移;当a为负数时，函数图像向右平移。

同样，如果在函数中加上一个常数b( f(x) + b 或 g(x) + b)，则代表在y 轴上的平移。

当b为正数时，函数图像上移; 当b为负数时，函数图像下移。

2. 正弦函数和余弦函数的平移公式正弦函数和余弦函数的平移公式可以表示为:f(x ± a) = sin(x ± a)g(x ± a) = cos(x ± a)f(x) ± b = sin(x) ± bg(x) ± b = cos(x) ± b这些公式表示了正弦函数和余弦函数在x和y轴上的平移操作。

通过改变a和b的数值，可以控制函数图像在坐标系中的位置，从而得到不同的函数图像。

3. 正切函数和余切函数的平移类似于正弦函数和余弦函数，正切函数和余切函数的平移操作也可以通过改变自变量来实现。

对于正切函数h(x) = tan(x)和余切函数k(x) = cot(x)来说，它们的平移操作可以分别表示为h(x + a)和k(x + a)。

同样，如果在函数中加上一个常数c( h(x) + c 或 k(x) + c)，则代表在y轴上的平移。

4. 正切函数和余切函数的平移公式正切函数和余切函数的平移公式可以表示为:h(x ± a) = tan(x ± a)k(x ± a) = cot(x ± a)h(x) ± c = tan(x) ± ck(x) ± c = cot(x) ± c这些公式表示了正切函数和余切函数在x和y轴上的平移操作。

三角函数图象的平移和伸缩函数 y Asi n ( x) k的图象与函数 y sin x 的图象之间可以通过变化 A，，，k来相互转化． A，影响图象的形状，，k影响图象与x 轴交点的位置．由 A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩y sin x 的图象向左 ( >0) 或向右 (0)平移个单位长度得 y sin( x) 的图象横坐标伸长 (0<<1) 或缩短 ( >1)到原来的1(纵坐标不变 )得 y sin(x) 的图象纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0< A <1)为原来的 A倍 (横坐标不变 )得 y Asin(x) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 y Asin( x) k 的图象．y sin x纵坐标不变横坐标向左平移π/3个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的 1/2横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍先伸缩后平移y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )y sin(x)3y sin(2x)3y 3sin(2x)3得 yAsin x 的图象 横坐标伸长 (0 1) 或缩短 ( 1)到原来的 1(纵坐标不变 )得 yAsin( x) 的图象向左 ( 0)或向右 ( 0)平移个单位得 yAsin x( x ) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 yA sin( x ) k 的图象．纵坐标不变y sin x横坐标缩短为原来的 1/2纵坐标不变横坐标向左平移π /6个单位横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍y sin 2xy sin(2x)3y 3sin(2x ) 3例 1 将 y sin x 的图象怎样变换得到函数y 2sin2 xπ1 的图象．4解：（方法一）①把y sin x 的图象沿 x 轴向左平移π个单位长度，得y sin xπ的图象；②将所得44图象的横坐标缩小到原来的1，得 y sin 2xπ的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得24y 2sin 2xπ的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1 个单位长度得到y2sin 2xπ 1 的图象．44（方法二）①把 ysin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得 y 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得 y 2sin2 x 的图象； ③将所得图象沿 x 轴向左平移 π个单位长度得 y 2sin 2 x π 的 2 88 图象；④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y π 1 的图象．2sin 2 x4说明： 无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由 ysin 2x 的图象向左平移π个单位长度得到的函数图象8的解析式是 y sin 2xπ而不是 ysin 2 xπ ，把 ysin xπ的图象的横坐标缩小到原来的1，得到884 2的函数图象的解析式是y sin 2xπ而不是y sin 2 x π ．44 对于复杂的变换，可引进参数求解．例 2将 y sin 2 x 的图象怎样变换得到函数y cos 2 xπ的图象．4分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解： y sin 2 x cos π2x cos 2x π ，22在 y cos 2xπ中以 x a 代 x ，有 y cos 2( x a)πcos 2x2a π ．222 根据题意，有 2 x 2a π 2x π，得 a π．2 4 8所以将 y sin 2 x 的图象向左平移π个单位长度可得到函数y cos 2xπ 的图象．84。

高中三角函数的像变换三角函数是数学中常见的函数形式，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

像变换是对函数图像进行的一种变换操作，可以通过变换操作来改变原始函数图像的形态和位置。

在高中数学中，三角函数的像变换是一个重要的概念，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。

一、平移变换平移变换是一种保持函数形状不变，只改变位置的变换操作。

对于三角函数来说，平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种类型。

1. 水平平移水平平移是将函数图像沿x轴的方向移动，可以使函数图像向左或向右平移。

数学上，水平平移的量可以用常数c表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x + c)的图像向左平移c个单位；- 余弦函数y = cos(x + c)的图像向右平移c个单位；- 正切函数y = tan(x + c)的图像向左平移c个单位。

2. 垂直平移垂直平移是将函数图像沿y轴的方向移动，可以使函数图像向上或向下平移。

数学上，垂直平移的量可以用常数d表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x) + d的图像向上平移d个单位；- 余弦函数y = cos(x) + d的图像向上平移d个单位；- 正切函数y = tan(x) + d的图像向上平移d个单位。

二、伸缩变换伸缩变换是一种改变函数图像形状和大小的变换操作。

对于三角函数来说，伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种类型。

1. 水平伸缩水平伸缩是通过改变自变量x的取值范围来改变函数图像的形状。

数学上，水平伸缩的量可以用常数a表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 余弦函数y = cos(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 正切函数y = tan(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压。

2. 垂直伸缩垂直伸缩是通过改变因变量y的取值范围来改变函数图像的形状和大小。

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象1用五点法做函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象变换 (1)振幅变换：y ＝f (x )―→ ．y ＝sin x 的图象的纵坐标伸长 或缩短 到原来的 倍( 坐标不变)得到y ＝A sin x 的图象． (2)平移变换；y ＝f (x )―→y ＝ ．y ＝sin x 的图象向左 或向右 平移 个单位得到y ＝sin(x ＋φ) 的图象． (3)周期变换：y ＝f (x )―→ ．y ＝sin x 的图象的 坐标伸长 或缩短到原来的1ω倍，( 坐标不变)得到y ＝sin ωx 的图象．（4)由y ＝sin x 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ) 的图象． ①先平移后伸缩y ＝sin x ――――――→向左平移|φ|(φ＞0)向右平移|φ|(φ＜0)y ＝sin(x ＋φ)――→伸缩变换y ＝sin(ωx ＋φ)―→y ＝A sin(ωx ＋φ)2.先伸缩后平移3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈(0，＋∞))表示一个振动量时，A 叫做 ，T ＝2πω叫做 ．f ＝1T 叫做 ，ωx ＋φ叫做 ，φ叫做 ．4.解题经验1．注意y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象形状，利用一个周期内起关键作用的五点．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心及对称轴可把ωx ＋φ看作“整体”．再利用y ＝sin x 的对称中心及对称轴来求．3．三角函数的单调性，往往把ωx ＋φ看作整体，运用复合函数的单调性解决．4．图象变换的两种途径的不同，先平移后伸缩是左右平移|φ|个单位，先伸缩后平移是左右平移|φω|个单位1．(2010·惠州二模)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ≤2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于( )A.π6B.7π6C.11π6D.5π62．(2010·四川，6)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π203．f (x )＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝32有____________个交点．题型1：五点画法例1：已知函数y ＝3sin x 2＋cos x2(x ∈R )． (1)用“五点法”画出它的图象； (2)求它的振幅、周期及初相；(3)说明该函数的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？[点评与警示] 用“五点法”作图应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．⑤图象的变换顺序有两种，一是先平移，后伸缩；二是先伸缩，后平移．两者平移量不同，前者横移|φ|个单位，后者是横移|φ|ω个单位．变形思考：将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin(12x －π2) C ．y ＝sin(12x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)题型2：求函数的解析式例2：(2010·广东，16)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，0＜φ＜π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式； (3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求sin α.题型3：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象与性质例3：已知f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x ＋32cos2x ＋12sin2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的最大值及最小值； (3)写出函数f (x )的单调递增区间； (4)证明f (x )在[－π3，π12]上递增．例4：(2010·北京，15)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．一、选择题1．(2007·海南、宁夏卷)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )2．(2008·全国Ⅰ)为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0、ω＞0、|φ|＜π2)的部分图象如右图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为( )A ．y ＝sin2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝sin(2x ＋2π3) D ．y ＝sin(2x －π6)5．(2010·辽宁，5)设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫w x ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则w 的最小值是( )A.23B.43C.32 D ．36．(2009·安徽卷)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z B ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z C ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z D ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z 二、填空题7．(2008·江苏卷)f (x )＝cos(ωx －π6)的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω＝________.8．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的一条对称轴的距离的最小值π4，则f (x )的最小正周期是________．9．(2007·安徽卷)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线x ＝1112π对称； ②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.10．(2009·辽宁卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.三、解答题11．(2009·广州调研)已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值，并指出此时x的值．12．(2009·山东卷)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(c2)＝－14，且c为锐角，求sin A.。

三角函数的图像和变换一、图像对于sinx 、cosx 、tanx 、cotx 、我们都应把它们的图像性质给讨论一遍。

这里以sinx 为例，讨论如下：（1）定义域：x R ∈（2）值域：[]1,1-（3）特殊点：1,221,220,y x k y x k y x k πππππ==+=-=-==（4）周期：2T π=（5）单增：2,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 单减：32,222k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭ （6）为奇函数（7）对称轴：2x k ππ=+（8）对称点：(),0k πcosx ，如下（1）定义域：R（2）值域：[-1,1]（3）特殊点：()1,21,210,2y x k y x k y x k ππππ===-=+==+（4）周期：2T π=（5）单增：()2,2k k πππ-单减：()2,2k k πππ+（6）为偶函数（7）对称轴：x k π=（8）对称点：,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭tanx 如下：（1）定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ （2）值域：R（3）特殊点：0,y x k π==（4）周期：T π=（5）单增：,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （6）为奇函数（7）对称轴：无（8）对称点：,02k π⎛⎫ ⎪⎝⎭二、三角函数的平移变换1()()w y f x y f wx ==→横()()A y f x y Af x ==→纵例1 -12sin 322sin 32sin 322222x x y x y y πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭横倍右1 2sin 32sin 3x 1)22sin 3-12222x y x y y πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭右1（横倍 例2 将函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭按照向量,16π⎛⎫-- ⎪⎝⎭移动后为（C ） A 3sin 212y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ B 3sin 212y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C 3sin 216y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ D 3sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭解析：如下 ，因此左移6π，下移1 3sin 2166y x ππ⎛⎫⎛⎫⇒=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简后选择C 例3 （天津）函数()sin (0,||)2y A wx w πϕϕ=+><的部分图像如图所示，则函数的表达式为（A ）A 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B 4sin 84y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C 4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 解析：（1）横向看周期：2168T w w ππ==⇒= （2）纵向看A44A A ⇒=⇒=±（3）再看特殊点注意，此时一定看最大值或最小值点，才能一步到位本题中最小值点为（2，-4），代入，则求得A=-4，选择A。