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一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，那么)100(-f 的值为__________.2.假设实数y x ,满足1cos 22=+y x ，那么y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，那么四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.假设一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，那么称其为“平稳数〞.平稳数的个数是。
5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，那么棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，那么这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.假设3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，那么AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，那么11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z 〔其中)Re(z 表示复数z 的实部〕. 〔1〕求)Re(21z z 的最小值； 〔2〕求212122z z z z --+++的最小值.二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,〔不同于点B 〕.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.假设相邻连个小方格的颜色不同，那么称它们的公共边为“分隔边〞.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不一样的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.6.7. 8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试〔B 卷〕一、填空题：本大题共8个小题,每题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，22a =，333a 1201172017a a a a ++的值为. 2.设复数z 满足91022z z i +=+，那么||z 的值为.3.设()f x 是定义在R 上的函数，假设2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，那么(1)f 的值为. 4.在ABC ∆中，假设sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，那么cos A 的值为.5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，那么DEF ∆的面积为.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，那么这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，那么a 的值为.8.假设正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，那么数组(,,)a b c 的个数为.二、解答题 〔本大题共3小题，共56分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，XX 数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.〔1〕证明：数列{}n b 也是等差数列；〔2〕设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试〔B 卷〕一、〔此题总分值40分〕设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、〔此题总分值40分〕给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d 〔可以一样〕，满足ab cd m -=.三、〔此题总分值50分〕如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、〔此题总分值50分〕设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.5,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比拟两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||5z =3.答案：74-。
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联赛试题与答案第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()()341f x f x +⋅-=-．又当07x ≤<时，()()2log 9f x x =-，则()100f -的值为 ．答案：1.2-解：由条件知，()()()114,7f x f x f x +=-=+所以()()()()21111001001472.5log 42f f f f -=-+⨯=-=-=-=- 2.若实数,x y 满足22cos 1x y +=，则cos x y -的取值范围是 ．答案：1.⎡⎤-⎣⎦解：由于[]212cos 1,3x y =-∈-，故.x ⎡∈⎣由21cos 2x y -=可知，()2211cos 1 1.22x x y x x --=-=+-因此当1x =-时，cos x y -有最小值（这时y 可以取2π）；当x =cos x y -1（这时y 可以取π）．由于()21112x +-的值域是1⎡⎤-⎣⎦，从而cos x y -的取值范围是1.⎡⎤-⎣⎦ 3.在平面直角坐标xOy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为 ．解：易知()()3,0,0,1.A F 设P的坐标是()3cos ,0,,2πθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则11313cos 23OAPF OAP OFP SS S θθ=+=⋅+⋅⋅)()3sin .2θθθϕ=+=+其中ϕ=当θ=时，四边形OAPF 另解：易知()()3,0,0,1.A F 经过C 上位于第一象限内点()000,P x y 一条切线与直线1AF 平行．该切线方程为001910x x y y+=． 因为这两条平行直线的斜率相等，所以 00101.93x y -⋅=- 又因22001,910x y +=所以00x y ==易得点0P ⎝⎭到直线1:330AF x y +-=)1.于是，四边形OAPF 的面积的最大值为)01131122OAF FAP S S +=⋅⋅+=4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ．答案：75.解：考虑平稳数abc ．若0b =，则{}1,0,1a c =∈，有2个平稳数．若1b =，则{}1,2a ∈，{}0,1,2c ∈，有236⨯=个平稳数． 若28b ≤≤，则{},1,,1a c b b b ∈-+，有73363⨯⨯=个平稳数． 若9b =，则{},8,9a c ∈，有224⨯=个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是2663475.+++= 另解：设abc 是一个平稳数，则1b a -≤且 1.c b -≤ 由1b a -≤可知0b a -=，1．由1c b -≤可知c b -=0，1. 1）若0,0b a c b -=-=，则,1,2,,9abc aaa a ==，有9个平稳数．2）若0,1b a c b -=-=，则 ,1,b a c a =⎧⎨=+⎩或,1.b a c a =⎧⎨=-⎩于是，()1abc aa a =+，1,2,,8a =；或()1abc aa a =-，1,2,,9a =．有8917+=个平稳数．3）若1,0b a c b -=-=，则 ,1,c b a b =⎧⎨=-⎩或, 1.c b a b =⎧⎨=+⎩ 于是，()1abc b bb =-，2,3,,9b =；或()1,0,1,,8abc b bb b =+=．有8917+=个平稳数．4）若1,1b a c b -=-=，则1b a -=±， 1.c b -=± 由1,1b a c b -=-=得()()12,1,2,,7abc a a a a =++=；由1,1b a c b -=-=-得()1,1,2,,8abc a a a a =+=；由1,1b a c b -=--=得()1,1,2,,9abc a a a a =-=；由1,1b a c b -=--=-得()()12,2,3,,9.abc a a a a =--=有789832+++=个平稳数．综上可知，平稳数的个数为 917173275.+++=5.正三棱锥P -ABC 中，1,2AB AP ==，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为 ．解：设,AB PC 的中点分别为,K M ，则易证平面ABM 就是平面α．由中线长公式知()()222222*********,24242AM AP AC PC =+-=+-⨯=所以KM ==又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK，而1,CM KC ==所以222531cos 2KM MC KC KMC KM MC +-+-∠===⋅故棱PC 与平面α6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){},|,1,0,1.K x y x y ==-在K 中随机取出三个点，则的概率 ．答案：4.7解：易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式有3984C =种．将K 中的点按右图标记为128,,,,,A A A O 其中有8由对称性，考虑14,A A 两个点的情况，则剩下的一个点有7种取法．这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个()1,2,,8i A i =，K 中恰有35,i i A A ++（这里下标按模8理解），因而恰有{}()35,,1,2,,8i i i A A A i ++=这8个三点组被记了两次．从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484.847= 7.在ABC 中，M 是BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若3A π∠=，ABC 的面积AM AN ⋅的最小值为 ．1. 解：由条件知，()131,244AM AB AC AN AB AC =+=+，故()22131134.2448AM AN AB AC AB AC AB AC AB AC ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13sin ,24ABCSAB AC A AB AC ==⋅⋅⋅=⋅⋅所以4AB AC ⋅=，进一步可得 cos 2,AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=从而2212348AM AN AB AC AB AC ⎛⎫⋅≥⋅+⋅ ⎪⎝13 1.2AB AC AB AC ⋅+⋅=+当,2AB AC ==AM AN ⋅ 1.8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：10102017a b =<，对任意正整数n ， 有211,2,n n n n n a a a b b +++=+=则11a b +的所有可能值为 ．答案：13,20.解：由条件可知：121,,a a b 均为正整数，且12.a a <由于9101120172512b b b >=⋅=，故{}11,2,3.b ∈反复运用{}n a 的递推关系知 1098877665542325385a a a a a a a a a a a =+=+=+=+=+43322113821131421,a a a a a a =+=+=+ 因此1101032212121133421,a a b a a a a ≡==+=+而13213481⨯=⨯+，故()1111132113226mod34.a a b b ≡⨯≡⨯= ①另一方面，注意到12a a <，有1211553421512,a a a b <+=故11512.55a b <② 当11b =时，①，②分别化为()1151226mod34,,55a a ≡<无解． 当12b =时，①，②分别化为()11102452mod34,,55a a ≡<得到唯一的正整数118,a =此时1120.ab +=当13b =时，①，②分别化为()11153678mod34,55a a ≡<，得到唯一的正整数110,a =此时1113.ab +=综上所述，11a b +的所有可能的值为13,20.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设,k m 为实数，不等式21x kx m --≤对所有[],x a b ∈成立．证明：b a -≤证明：令()2f x x kx m =--，[],x a b ∈，则()[]1,1.f x ∈-于是 ()21,f a a ka m =--≤ ① ()21,f b b kb m =--≤ ②21.222a b a b a b f k m +++⎛⎫⎛⎫=-⋅-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 由①+②2-⨯③知，()()()22 4.22a b a b f a f b f -+⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭故b a -≤另证：令()2f x x kx m =--，[],.x a b ∈因为不等式()1f x ≤对所有[],x a b ∈成立，所以()f x 在[],a b 上的最大值与最小值之差不超过2．下面用反证法证明b a -≤假设b a ->1）当2ka ≥时，()()(()2f b f a f a f a ≥->+-((()22a k a m a ka m =+-+----228a ka m a ka m =++----++888.2k=-+≥-+=矛盾．2）当2kb ≤时， ()()(()2f a f b f b f b ≥->--888.2k=-++≥-++=矛盾．3）当2ka b <<时， ⅰ）若22k a b+≤，则 ()()222k a b f b f f b f +⎛⎫⎛⎫≥-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b a b a b f f +++⎫⎛⎫>-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭2 2.2k≥+=矛盾．ⅱ）若22k a b+>，则 ()()22222k a b a b a b f a f f a f f f +++⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫≥->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭22 2.22a b k+=-++>-+=矛盾．10.（本题满分20分）设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求 ()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++⎪⎝⎭的最大值和最小值．解：由柯西不等式()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭ ()2123 1.x x x =++=当1231,0,0x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为()()52123113312315353553553x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2123123115355543x x x x x x ⎡⎤⎛⎫≤⋅+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦212311466203x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()212319666,205x x x ≤++= 当12311,0,22x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最大值为9.511.（本题满分20分）设复数12,z z 满足()()12Re 0,Re 0z z >>，且()()2212Re Re 2z z ==（其中()Re z 表示复数z 的实部）． （1）求()12Re z z 的最小值；（2）求121222z z z z +++--的最小值．解：对1,2k =，设()i ,k k k k k z x y x y R =+∈．由条件知()()222Re 0,Re 2.k k k k k x z z y z =>-== 因此()()()()1211221212Re Re i i z z x y x y x x y y =++=-()12122 2.y y y y +-≥又当12z z ==()12Re 2z z =．这表明，()12Re z z 的最小值为2.（2）对1,2k =，将k z 对应到直角坐标系xOy 中的点(),k k k P x y ．记2P '是2P 关于x 轴的对称点，则12,P P '均位于双曲线22:2C x y -=的右支上．设12,F F 分别是C 的左、右焦点，易知()()122,0,2,0.F F -根据双曲线的定义，有11122122PF PF P FP F ''=+=+进而得 1212112222z z z z z z z +++--=++-112112122212PF P F PP PF P F PP ''''=+-=+-≥等号成立当且仅当2F 位于线段12P P '上（例如，当122z z ==时，2F 恰是12P P '的中点）．综上可知，121222z z z z +++--的最小值为加试题一、（本题满分40分）如图，在ABC 中，AB AC =，I 为ABC 的内心．以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点B 、I 的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）．设IP 与BQ 交于点R ．证明：.BR CR ⊥证明：连接,,,,.IB IC IQ PB PC由于点Q 在圆2Γ上，故,IB IQ =所以.IBQ IQB ∠=∠又,,,B I P Q 四点共圆，所以,IQB IPB ∠=∠于是,IBQ IPB ∠=∠ 故IBP ∽IRB ，从而有,IRB IBP ∠=∠且RQP ICBA A BCIP Q R,IB IP IR IC= 注意到AB AC =，且I 为ABC 的内心，故IB IC =，所以,IC IP IR IC= 于是ICP ∽IRC ，故.IRC ICP ∠=∠又点P 在圆1Γ的弧BC 上，故11802BPC A ∠=-∠，因此BRC IRB IRC IBP ICP ∠=∠+∠=∠+∠360BIC BPC =-∠-∠113609018022A A ⎛⎫⎛⎫=-+∠--∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭90,= 故.BR CR ⊥二、（本题满分40分）设数列{}n a 定义为11,a = 1,,1,2,.,,n n n nn a n a n a n a n a n ++≤⎧⎪==⎨->⎪⎩若若求满足20173r a r <≤的正整数r 的个数．解：由数列定义可知121, 2.a a ==假设对某个2r ≥有r a r =，我们证明对1,,1t r =-，有2122121,2.r t r t a r t r t a r t r t +-+=+->+-=-<+ ①对t 归纳证明．当1t =时，由于r a r r =≥，由定义，121,r r a a r r r r r +=+=+=>+()()2112112r r a a r r r r r ++=-+=-+=-<+，结论成立．设对某个11t r ≤<-，①成立，则由定义()21222221,r t r t a a r t r t r t r t r t +++=++=-++=+>++()()222121221122,r t r t a a r t r t r t r t r t ++++=-++=+-++=--<++即结论对1t +也成立．由数学归纳法知，①对所有1,2,,1t r =-成立，特别当1t r =-时，有321r a -=，从而()3132323 1.r r a a r r --=+-=- 若将所有满足r a r =的正整数r 从小到大记为12,,,r r 则由上面的结论可知1211,2,31,2,3,.k k r r r r r +===-=由此可知，()11131,,122k k r r k m +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，从而11111313.222m m m r r --+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由于201730182017201820193131322r r ++=<<=，在20171,2,,3中满足r a r =的数r 共有2018个，为122018,,,.r r r由①可知，对每个1,2,,2017k =，1,2,,32k k k r r r ++-中恰有一半满足.r a r <由于2017201831112r ++=+与20173均为奇数，而在201720181,,3r +中，奇数均满足r a r >，偶数均满足r a r <，其中偶数比奇数少1个．因此满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为()20172017132019320181.22---= 另解：易知1231,2,4a a a ===；4567891,5,10,4,11,3,a a a a a a ======10111212,2,13a a a ===；1314151617181920211,14,28,13,29,12,30,11,31,a a a a a a a a a =========222310,32,a a == 242526272829309,33,8,34,7,35,6,a a a a a a a =======31323336,5,37,a a a ===344,a = 353637383938,3,39,2,40a a a a a =====；……当正整数n 足够大时，若1n a =，则()121321,1,122,2,n n n n n n n a a a n n a a n n a a n n +++++==+=+=++=+=-+=()435465323,41,524,n n n n n n a a n n a a n n a a n n ++++++=++=+=-+=-=++=+由以上等式易观察出：若1n a =，正整数2k n <+，则 2122,2 1.n k n k a n k a n k +-+=-+=++因为当21n k -+=时，1k n =+，2131,n k n +-=+所以，当1n a =时，使得1m a =且m n >的最小正整数3 1.m n =+当1n >，且1n a =时， 11,11n n a n a n n +=<=+≤+，2222,n a n n +=+>+ 212221,212,2,,.n k n k a n k n k a n k n k k n +-+=-+<+-=++>+= 因为11a =，所以使得1m a =且1m >的最小正整数31m =+．因为311a +=，所以使得1m a =且31m >+的最小正整数()2331133 1.m =⋅++=++依此类推下去，可知使得1n a =的一切正整数n 分别为221,13,133,,1333,k +++++++．设220121,13,133,,1333,k k n n n n ==+=++=++++．易知2007201620173,n n <<20161n a =，2016201612016201622016201611,22 2.n n a n n a n n ++=+≤+=+>+ 201620162120162016220162016221,212,n k n k a n k n k a n k n k +-+=-+<+-=++>+2017201632,,.2n k -=满足01,r a r n r n <≤<的正整数r 的个数为零；满足,3r i i a r n r n <≤<+ 的正整数r 的个数为1，1,2,,2016.i =满足1331i i i n r n n ++≤<=+的正整数r 共有22i n -（偶数）个，1,2,,2015,i =其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．满足2017201633n r +≤≤的正整数r 共有2017201632n --（偶数）个，其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．于是，满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为20172017332017320192016.22-⨯-+=三、（本题满分50分）将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L ．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色， 粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =下面证明56.L ≥将方格纸的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,,B B B ．行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ．三种颜色分别记为123,,.c c c 对于一种颜色j c ，设()j n c 是含有j c 色方格的行数与列数之和．记()1,,0,i j i j A c A c δ⎧⎪=⎨⎪⎩若行含有方格，否则，类似地定义(),i j B c δ．于是()()()()()()33333111,,iiijiji i j n A n B A c B c δδ===+=+∑∑∑11331716()()()()3333111,,.i j i j j j i j A c B c n c δδ====+=∑∑∑由于染j c 色的方格有21333633⋅=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定在这a 行和b 列的交叉方格中，因此363ab ≥，从而()38,j n c a b =+≥> 故 ()39,1,2,3.j n c j ≥= ①由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，因此至少有()1i n A -条分隔边．同理在列j B 中，至少有()1j n B -条分隔边．于是()()()()33331111i i i i L n A n B ==≥-+-∑∑()()()33166i i i n A n B ==+-∑ ②()3166.j j n c ==-∑ ③下面分两种情形讨论．情形 1：有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为1c 色，从而方格纸的33列中均含有1c 色方格．由于1c 色方格有363个，故至少有11行中含有1c 色方格，于是()1113344.n c ≥+= ④由①，③及④即得()()()123664439396656.L n c n c n c ≥++-≥++-=情形2：没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意133i ≤≤，均有 ()()()33166334666656.i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑综上所述，分隔边条数的最小值等于56. 四、（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，.m n ≥12,,,n a a a 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素．证明：对任意实数x ，均存在一个()1i i n ≤≤，使得()2,1i a x x m m ≥+这里y 表示实数y 与它最近的整数的距离．证明：首先证明以下两个结论． 结论1：存在整数12,,,n c c c ，满足11221,n n c a c a c a +++=并且,1.i c m i n ≤≤≤由于()12,,,1n a a a =，由裴蜀定理，存在整数12,,,n c c c ，满足1122 1.n n c a c a c a +++= ①下面证明，通过调整，存在一组12,,,n c c c 满足①，且绝对值均不超过m ．记()()112212,,,0,,,,0.i j n in j c mc mS c c c cS c c c c ><-=≥=≥∑∑如果10S >，那么存在1,i c m >>于是1,i i c a >又因为12,,,n a a a 均为正数，故由① 可知存在0.j c <令i i c c a '=-。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1•设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x 3) f(x_4) = -1 .又当0辽X ::： 7时，f (x) =log2(9 —x)，则f(—100)的值为______________2•若实数x, y满足x2+2cosy =1，贝U x — cosy的取值范围是___________2 23.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:x y 1 , F为C的上焦点，A为C的9 10右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 _____________ . 4•若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5•正三棱锥P - ABC中，AB =1 , AP =2，过AB的平面:将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为___________ .6•在平面直角坐标系xOy中，点集K =〈x,y)x, y - -1,0,1】在K中随机取出三个点，贝U这三点中存在两点之间距离为J5的概率为______________7•在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若.A ABC的面积为3J3，则AM AN的最小值为______________ •8•设两个严格递增的正整数数列也Jb n 1满足：a®：：：2017，对任意正整数n，有a n^ =a n* +a n,b n+ =2b n，则a 的所有可能值为___________ •二、解答题9•设k,m为实数，不等式x2—kx —m兰1对所有la,b】成立证明：b—a兰2应.10•设/必必是非负实数，满足x1 x2 X3 =1，求(x1 3x2 5X3)(X1 •—-)的最3 5小值和最大值•11.设复数Z1,Z2满足Re(z1) 0, ReZ) 0,且Re(才)=Re(z；) = 2(其中Re(z)表示复数z的实部)•(1)求Re⑵Z2)的最小值；(2)求N +2 + Z2 + 2 —乙—Z2的最小值•2017年全国高中数学联赛 A 卷二试.如图，在:ABC 中，AB=AC , I 为:ABC 的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆 M , 以I 为圆心，IB 为半径作圆 『2，过点B , I 的圆r 3与】1,丨2分别交于点P,Q （不同于点B ）.设IP 与BQ 交于 点R .证明：BR_CR 二.设数列^aj 定义为 Q =1 ，a + nQ 兰 n,a n + = Jn =1,2，….求满足an- n,a n A n,a r ::: r < 32的正整数r 的个数•三•将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等 •若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”•试求分隔边条数的最小值•四•设m,n 均是大于1的整数，m_n , a 1,a 2/' ,a n 是n 个不超过 m 的互不相同的正整数, 且a 「a 2,…，a .互素•证明：对任意实数x ，均存在一个i （1 一 i 一 n ）,使得2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.答案：丄解：由黃件知*广（工+[4） = _—-——=r 所以dA-100）= <（-100 + 14x7）= === ~/（5） log-422a i x2 m(m 1)II X ，这里| y 表示实数y到与它最近的整数的距离答案：［-1*若+1］ *解：由于 v'-1-2cosr^［-1. 3J* 故［-点间.由cw r --— 可知» v -cos v-x --------------- ----- -(.V - U : - 1.阖此当 r =［时，1- 7 'A g 和有最小值|(这时$可以S1-)：当V - V'时 * A cos r 有最大值Jj I (这时F 可以取 2由于+的值域是［7 巧+ 1］・从而x-eosy 的取值范围是［-1, V3 + IL3.答第芈.£r解：易知卫⑶0)｝ F(0, 1). i 殳P 的坐标是(3cos<9, J?6审询,W 0冷・则盈>S — s 叫州F 屮 」辺神|——(vTOcosf/ I .sin//)= —^―sin(^ + ip) *2 2arctati ^1" 当/y-ardanVlO 时・四边形Oz 尸尸面积的最大值为芒叵. 10 24.答案：75. _解；考虑平稳数赢*若b = 0,则□ = ), c 怎｛01｝「有2个平稳数.若B=l ・JWX 仏2｝,虫｛0丄2"有2x3 = 6个平稳数・， ^r2<6<8,则口,匚€少一1",占+ 1八 有7x3x3 = 63个平稳数.若b = 9、则｛8,9｝ 1有2x2 = 4个平稳数.综上可知，平橈数的个数是2 + 6 +利+ 4=方・5.-丄 j.Jiihim 11WTT …答案:看解：设血PC 的中点分別为H ,则易证平而卫&灯就是平面口.由中线 长公式知5 I gg 」"土 ％—； 2KMMC 石 故棱PC 与平面任所戒角的余弦值为婕.106.解：易知K 中有9个点，故在K 中粗机取出三个点的 方式数为C ： = 84种.将K 中的点按右图标记为其中有8 对点之问的葩奥为J?.由对称性，考虑取厶局两点的情 况.则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序人对每个4G = U,--S 8）. K中恰有4宀4乜两点与之距證为｛这里下标按模8理解）.因而恰有 卩，心/』（心kN …⑻这$个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个 数为56-8 = 48・进而所求概率为—=-.S4 77.答案土 C 卜I 解：由条件知f AMACt AN故2'?斗 4I ，-?—-1' ][ ( I —' I TAM AN - -{Jfi + ^C]*| -.4B + - JC - - 3|AB^ +|^C| -4JS-Jtj.由于 ^3 = S 曲北=|jC | ■ sin J = |^45||/1C| r 所以 AB AC — 4* 进2 4步可得 AH AC — .4( I €0> .4 — 2* 从而IV/r所以 KM = JIC')- -PC --(2^= ---- T2文易知直线/＜在平滴。
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f 。
又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=,则)100(-f 的值为__________.2。
若实数y x ,满足1cos 22=+y x ,则y x cos -的取值范围是__________。
3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF 的面积的最大值为__________。
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数".平稳数的个数是 。
5。
正三棱锥P —ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________。
7。
在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点。
若3π=∠A ,ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8。
设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b 。
10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值。
重磅丨2017年全国高中数学联赛试题（AB卷）出炉！
2017年第33届全国高中数学联赛于今天上午8：00至12：10进行。
一试11题，二试4题，共计300分。
竞赛由全国高中数学竞赛组委会统一命题。
自主招生在线团队第一时间收集到本届高中数学联赛试题及赛场花絮，供考生查阅。
★赛场花絮★
2017年全国高中数学联赛试题
本次竞赛将产生省级一、二、三等奖，并会选拔出省队成员参加中国数学奥林匹克(CMO)。
各省获奖名单预计在9月下旬录取公布，自主招生在线会持续关注赛事信息，并第一时间为大家分享，请保持关注！
数学联赛后，还有哪些事要关注？。
