第九届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛题和参考答案
2017
年10月28日
一、填空题（满分42分，共六小题，每小题7分） 1、已知可导函数
满足
,
则()f x == 。
2、求极限()
n n n +∞
→22sin lim π == 。
3、设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则2
1
xx yy w w c - = _ ___。
4、设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，
则24
0(sin )lim x f x x → = ______ 。
5、不定积分 sin 2sin 2(1sin )x e x
I dx x -=-⎰= ________。
6. 记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，
则三重积分V
zdxdydz ⎰⎰⎰ = ____ ______。
二、（本题满分14分)
设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数。 对任何角度α，定义一元函数
()(cos ,sin )g t f t t ααα=。若对任何α都有(0)0dg dt α=且22(0)
0d g dt α>。 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值。
三、(本题满分14分)
设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段。 求曲线积分⎰Γ
++=xdz zdy ydx I 。
四、(本题满分15分)
设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x e f x dx +∞
---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，
2
()2
b
a
b a f x dx -+≤
⎰
。
五、(本题满分15分)
设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。若()
lim n p n n a a λ+→∞
-=，其中λ为常数，
证明 lim
n
n a n
p
λ→∞=。
