极值点偏移定义及判定定理

极值点偏移的判定方法和运用策略一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在),(2021x a x x ∈+，所以021)(2x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。

结论（2）证明略。

判定定理2对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大,133132221++t t 21由于仅用a 难表示21x x +，故两式相减，构造用12x x t =表示21x x +的函数求解。

解法2:（运用判定定理1证明）：设21x x <，2344)('x x x f -=，函数3434)(x x x f -=的单调递减区间为)1,(-∞，单调递增区间为),1(+∞，又,)(34222122212121x x x x x x x x +++=+有0)(3)()2('22212222121<+--=+x x x x x x f ，则1221<+x x ，即221<+x x 。

一、极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f . 三、问题初现，形神合聚★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <.证明：421>+x x .所以)2()2(x h x h -<+，所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==，因为21<x ，242<-x ，)(x h 在)2,(-∞上单调递减所以214x x ->，即421>+x x .★已知函数x x f ln )(=的图象1C 与函数)0(21)(2≠+=a bx ax x g 的图象2C 交于Q P ,，过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点N M ,，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.四、招式演练★过点P(−1,0)作曲线f(x)=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=a f(x) (a∈R)交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求证：x1+x2<−4．【答案】（1）y=x+1（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率y′|x=0=1，再根据点斜式求切线方程y=x+1．因为x1≠x2，不妨设x1<−2，x2>−2．设g(x)=f(x)−f(−4−x)，则g′(x)=f′(x)+f′(−4−x)=(x+2)e x(1−e−2(2+x))，所以g(x)>g(−2)=0，所以当x>−2时，f(x)>f(−4−x)．因为x2>−2，所以f(x2)>f(−4−x2)，从而f(x1)>f(−4−x2)，因为−4−x2<−2，f(x)在(−∞,−2)单调递减，所以x1<−4−x2，即x1+x2<−4．一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；三、对点详析，利器显锋芒★已知函数)()(R x xe x f x ∈=-.(1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x ★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x =+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。

极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<<b.则称函数f(x)在区间（a,b ）上极值点偏移；）上极值点偏移；二：极值点偏移的判定定理,方程的解分且<<b.（1即函数 （2即函数 （3则即函数 （4则即函数x=x=x=1)(x )()x a f x -=+（或），则f 函数f(x)满足(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x))②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x))则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中①极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；性质：x 对称若则<=>1) )(xf的图象关于直线a,(=0,);2)则则,极值点偏移解题步骤：的极值点；(F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+ ,F(x)=f(x)-f()=0,F(判断)与f( f(x),①求函数f(x)的极值点；②构造函数F(x)=f(x+)-f(确定F(x)单调性③判断F(x)符号从而确定f(x+),f(的大小关系;假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f(④1.（2016年全国I 高考）已知函数有两个零点. 设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.2. (2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe -x （x ∈R ）.(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +>当)是增函)2.因为21x >>22x -,123. 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x a f x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=-（i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当 所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. （II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则 当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a'<<>=>而所以. 故当10x <<时，11()().f x f x +>- ………………8分4．已知函数 且5. 已知函数 =(a 若且求证:①②（已知函数 =(a ，其图象与轴交于A()B()两点且求证：）6. 已知函数 =(a 若f(x)有两个不同零点且求证：7. 已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：-18. 已知函数=f(求证:①②9．已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且=f(求证:11. (a若有两个不同零点且求证：12. =(a若求证：已知函数=(a①令g(x)②当a=2A(又导函数,满足证明①若;②若对都有f(x)求k范围;③若且f(证明：;15. 已知函数(a①②f(x)的极值点为若存在且求证:;16. 已知函数(a);存在两个极值点证明：与g(x)=3-在两个极值点，证明：；已知函数(a①有两个不同零点,①②若f(x)=lng(x)-a与y=m,(m图象有两个交点A、B,线段A、B中点为证明：;20. 已知函数图象的一条切线为x轴；①求a值；②令g(x)=若存在满足证明:21.已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；①若xf(x)对恒成立,求a最大值；②设f(x)在(1,)的实根，若在区间(1,)上, (a；g(x)=f(x)-(a-恰有两个不同的极值点证明已知函数；①②设函数若使得;已知函数①若使得对上f(x)恒成立求实数a的取值范围；②若g(x)=f(x)-ax-有两个不同零点求证：;25．已知函数①当时讨论y=f(x)在）上的单调性；②y=f(x)有两个不同零点且求证：。

极值点处理方法一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增 （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证. （5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221xx +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数)()(R x xe x f x∈=-. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x . ★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x=+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<。

专题02 极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数()y f x =，在区间(,)a b 上只有一个极大（小）值点0x ，方程()0f x =的解分别为1x ，2x ，且12a x x b <<<，（1）若102()(2)f x f x x <-，则120()2x x x +<>，即函数()y f x =在区间12(,)x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若102()(2)f x f x x >-，则120()2x x x +><，即函数()y f x =在区间12(,)x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏．证明：（1）因为对于可导函数()y f x =，在区间(,)a b 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数()f x 的单调递增（减）区间为0(,)a x ，单调递减（增）区间为0(,)x b ，由于12a x x b <<<，有10x x <，且0202x x x -<，又102()(2)f x f x x <-，故102()2x x x <>-，所以120()2x x x +<>，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略．左快右慢（极值点左偏122x x m +⇔<） 左慢右快（极值点右偏122x x m +⇔>）左快右慢（极值点左偏122x x m +⇔<） 左慢右快（极值点右偏122x x m +⇔>） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1．方法概述：（1）求出函数()f x 的极值点0x ；（2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+--； （3）确定函数()F x 的单调性；（4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定0()f x x +、0()f x x -的大小关系． 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随． 2．抽化模型答题模板：若已知函数()f x 满足2()()1f x f x =，0x 为函数()f x 的极值点，求证：1202x x x +<． （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点；假设此处()f x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增． （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；注：此处根据题意需要还可以构造成0()()()F x f x f 2x x =--的形式．（3）通过求导()F x '讨论()F x 的单调性，判断出()F x 在某段区间上的正负，并得出0()f x x +与0()f x x -的大小关系；假设此处()F x 在(0,)+∞上单调递增，那么我们便可得出000()()()()0F x F x f x f x >=-=，从而得到：0x x >时，00()()f x x f x x +>-．（4）不妨设102x x x <<，通过()f x 的单调性，12()()f x f x =，0()f x x +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，00()()f x x f x x +>-且102x x x <<，12()()f x f x =，故1202002002()()[()][()](2)f x f x f x x x f x x x f x x ==+->--=-，又因为10x x <，0202x x x -<且()f x 在0(,)x -∞上单调递减，从而得到1022x x x <-，从而1202x x x +<得证．（5）若要证明1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭，还需进一步讨论122x x +与0x 的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证． 此处只需继续证明：因为1202x x x +<，故1202x x x +<，由于()f x 在0(,)x -∞上单调递减，故1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭．【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求()f x 的单调性、极值点，证明0()f x x +与0()f x x -（或()f x 与0()f 2x x -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如1202x x x +<或1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题． 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数()()xf x xe x R -=∈． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>．【解析】容易求得第（1）问：()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()f x 的极值是1(1)f e=． 第（2）问：构造函数(1)1()(1)(1)(1)(1)x x F x f x f x x ex e -+-=+--=+--，则1(1)()x x F x x e e --+'⎡⎤=-⎣⎦，当0x >时，()0F x '>，★()F x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)0F =，★()0F x >，即(1)(1)f x f x +>-．★12x x ≠，不妨设12x x <，由（1）知11x <，21x >，★()()()()()1222211112f x f x f x f x f x ==+->--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．★21x >，★221x -<，()f x 在(,1)-∞上单调递增，★122x x >-，★122x x +>． ★函数434()3f x x x =-与直线13y a a ⎛⎫=>- ⎪⎝⎭交于()1,A x a 、()2,B x a 两点．证明：122x x +<．【解析】设12x x <，函数434()3f x x x =-的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞，有21x >， 设()(1)(1)F x f x f x =+--，()2()83210F x x x '=-+>， 故()F x 单调递增区间为(,)-∞+∞，又(0)0F =，所以当0x >时，()(0)0F x F >=，即0x >时，(1)(1)f x f x +>-，()()()()()1222112f x f x f x f x ==+->-，又11x <，221x -<， 又函数434()3f x x x =-单调递减区间为(,1)-∞， 所以122x x <-，即122x x +<．★已知函数2()ln f x x x=+，若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：124x x +>． 【解析】由函数2()ln f x x x=+单调性可知：若12()()f x f x =，则必有122x x <<．所以142x ->， 而11111122()(4)ln ln(4)4f x f x x x x x --=+-+--， 令22()ln ln(4)4h x x x x x=-++--，则 2222222222112(4)2(4)(4)'()(4)4(4)x x x x x x h x x x x x x x ---+-+-=--++=--- 2228(2)0(4)x x x -=-<- 所以函数()h x 在(0,2)为减函数，所以()(2)0h x h >=，所以11()(4)0f x f x -->即11()(4)f x f x >-，所以22()(4)f x f x >-，所以124x x +>．★已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点．设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．【解析】不妨设12x x <由题意知()()120f x f x ==．要证不等式成立，只需证当121x x <<时，原不等式成立即可．令()(1)(1)F x f x f x =--+，则()11()x x F x x e e -+'=-，当0x >时，()0F x '<．★()(0)0F x F <=．即(1)(1)f x f x -<+．令11x x =-，则()()()()()()()2111111112f x f x f x f x f x ==--<+-=-， 即()()212f x f x <-．而2x ，12(1,)x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上递增， 故212x x <-，即122x x +<． 四、招式演练 1．已知函数()ln 3af x x x=+-有两个零点1x ，2x （12x x <）． （1）求证：20a e <<； （2）求证：122x x a +>． 【答案】见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a 的范围即可；（2）问题转化为证明()()21f x f 2a x >-，设函数()()()g x f x f 2a x =--，根据函数的单调性证明即可． 试题解析：（1）证明：()f x 的定义域为()0,∞+，()22a 1x af'x x x x-=-+=． ★当a 0≤时，()f'x 0≥，所以函数()f x 在区间()0,∞+上是增函数，不可能有两个零点； ★当a 0>时，在区间()0,a 上，()f'x 0<，在区间()a,∞+上()f'x 0>； 所以()f x 在区间()0,a 上递减，在区间()a,∞+上递增．()f x 的最小值为()f a lna 2=-，依题意，有()f a 0<，则20a e <<．（2）证明：要证12x x 2a +>，只要证21x 2a x >-，易知2x a >，12a x a ->． 而()f x 在区间()a,∞+上是增函数，所以只要证明()()21f x f 2a x >-， 即证()()11f x f 2a x >-，设函数()()()g x f x f 2a x =--，而()g a 0=，并且在区间()0,a 上()()()()()()222224a a x x a 2a x a g'x f'x f'2a x 0x 2a x x 2a x -----=+-=+=<--， 即()g x 在区间()0,a 上是减函数，所以()()1g x g a 0>=． 而()()()111g x f x f 2a x 0=-->，所以()()21f x f 2a x >-成立， 所以12x x 2a +>．点睛：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，可以转化为()()21f x f 2a x >-，利用条件()()21f x f x =将不等式转化为求证()()11f x f 2a x >-，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.2．已知函数()()22ln ,0x f x x a R a a=-∈≠.（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有两个零点1212,()x x x x <，且4a =，证明：124x x +>. 【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，分两种情况讨论a 的范围，分别令()0f x '>求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()0f x '<求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性可得函数的极值★ （2）1x ★2x 为函数()f x 零点，可得1202x x <<<，要证124x x +>，只需证214x x >-★()()111142ln 242ln 4f x x x x -=-+--，构造函数利用单调性可得结论.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+★()22222x x af x a x ax-'=-=. 当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上是减函数，所以()f x 在()0,∞+上无极值； 当0a >时，若(x ∈，()0f x '<，()f x在(上是减函数.当)x ∈+∞，()0f x '>，()f x在)+∞上是增函数，故当x =()f x 在()0,∞+上的极小值为11ln fa =-=-，无极大值.（2）当4a =时，()22ln 4x f x x =-，由（1）知，()f x 在()0,2上是减函数，在()2,+∞上是增函数，2x =是极值点， 又1x ，2x 为函数()f x 零点，所以1202x x <<<，要证124x x +>，只需证214x x >-. ★()()()2111442ln 44x f x x --=-- ()2111242ln 44x x x =-+--，又 ★()21112ln 04x f x x =-=，★()()111142ln 242ln 4f x x x x -=-+--，令()()2ln 242ln 4(02)h x x x x x =-+--<<，则()()()222222044x h x x x x x -'=-+=>--，★()h x 在()0,2上是增函数，★()()20h x h <=，★()()1240f x f x -<=， ★124x x -<，即124x x +>得证. 【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，3．已知函数1()211f x x a nx x=--+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，正数1x ，2x 满足12()()2f x f x +=，证明：122x x +≥. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得导数22(01),,2()x ax f x x-+'=+∞，令()221h x x ax =-+，则()()411a a ∆=-+，分0∆≤和>0∆两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当1a =时，得到1()2ln 1f x x x x=--+，根据函数()f x 的单调性，不妨设1201x x <≤≤，得到11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，结合导数求得函数()g x 的单调性和极值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数1()211f x x a nx x=--+的定义域为(0,)+∞， 可得2222121()1a x ax f x x x x-+'=-+=， 令()221h x x ax =-+，则()()244411a a a ∆=-=-+.★当11a -≤≤时，0∆≤，可得()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立， 则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.★当1a <-或1a >时，>0∆，令()0f x '=，得1x a =2x a =+ （i ）当1a <-时，120x x <<，所以()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立.则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. （★）当1a >时，120x x <<.若1(0,)x x ∈，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 若12(,)x x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 若2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当1a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，在(0,a -和()a +∞，上()f x 单调递增；在(a a ()f x 单调递减.（2）当1a =时，函数1()2ln 1f x x x x=--+，由（1）可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又易知()11f =，且12()()2f x f x +=，不妨设1201x x <≤≤， 要证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()2()f x f x ≥-，即证11()2()2f x f x -≥-， 即证11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，所以11()22ln(2)2ln 2g x x x x x=------，(]0,1x ∈， 则32322222221214(331)4(1)()2(2)(2)(2)x x x x g x x x x x x x x x--+---'=--+==----， 当(0,1]x ∈时，()0g x '≥，所以函()g x 数在区间（0，1]上单调递增， 则()()10g x g ≤=，所以11())220(f x f x -+-≤得证，从而122x x +≥. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4．已知函数()21ln 2,R 2⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭x a x ax a f x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x ，使得()()123+=-f x f x ，证明：122x x +>. 【答案】（1）当12a ≤时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减；当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上递减，在1,21a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上递增； 当1a >时，()f x 在10,21⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上递增，在1,121⎛⎫⎪-⎝⎭a 上递减，在()1,+∞上递增；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，分12a ≤，112a <<，1a =进行讨论，可得()f x 的单调性； （2）()f x 在定义域内是是增函数，由（1）可知1a =，()21ln 22=+-f x x x x ，设12x x <，可得()()()12321+=-=f x f x f ，则1201x x <<<，设()()()()23,0,1=-++∈g x f x f x x ，对()g x 求导，利用其单调性可证明122x x +>.【详解】解：()f x 的定义域为()0,∞+， 因为()21ln 22⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭a x f x x ax ， 所以()()()()()2121121211212---⎡⎤--+⎣⎦=+--=='x a x a x ax a x x x x f a x， 当12a ≤时，令()00f x x '⎧>⎨>⎩，得01x <<，令()00f x x '⎧<⎨>⎩，得1x >； 当112a <<时，则1121a >-，令()00f x x '⎧>⎨>⎩，得01x <<，或121>-x a ， 令()00f x x '⎧<⎨>⎩，得1121<<-x a ；当1a =时，()0f x '≥，当1a >时，则10121<<-a ，令()00f x x '⎧<⎨>⎩，得1121<<-x a ； 综上所述，当12a ≤时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减；当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上递减，在1,21a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上递增； 当1a >时，()f x 在10,21⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上递增，在1,121⎛⎫⎪-⎝⎭a 上递减，在()1,+∞上递增；（2）()f x 在定义域内是是增函数，由（1）可知1a =， 此时()21ln 22=+-f x x x x ，设12x x <， 又因为()()()12321+=-=f x f x f ，则1201x x <<<， 设()()()()23,0,1=-++∈g x f x f x x ，则()()()()()()()22311212022---'''=--+=-+=>--x x x g x f x f x xxx x 对于任意()0,1x ∈成立， 所以()g x 在()0,1上是增函数，所以对于()0,1x ∀∈，有()()()12130<=+=g x g f ， 即()0,1x ∀∈，有()()230-++<f x f x ， 因为101x <<，所以()()11230-++<f x f x ， 即()()212f x f x >-，又()f x 在()0,∞+递增， 所以212x x >-，即122x x +>. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题. 5．已知函数()(0)xaxf x a e =≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，如果方程()f x t =有两个不等实根1,x 2x ，求实数t 的取值范围，并证明122x x +>. 【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(,1)-∞；（2）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，证明见解析.【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，对a 分类讨论，分别求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）由（1）得出()f x t =有两解时t 的范围，以及12,,t x x 关系，将122x x +>，等价转化为证明()()121212121x xx x x x e e ---+>-，不妨设12x x >，令12m x x =-，则0,m >1me >，即证(2)20m m e m -++>，构造函数()(2)2(0)x g x x e x x =-++>，只要证明对于任意0,()0x g x >>恒成立即可.【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且(1)()xa x f x e -'=. 由10x x e ->，得1x <；由10x xe-<，得1x >. 故当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞， 单调递减区间是(1,)+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞， 单调递减区间是(,1)-∞.（2）由（1）知当1a =时，()x xf x e =，且max1()(1)f x f e==. 当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.∴当10<<t e时，直线y t =与()y f x =的图像有两个交点， ∴实数t 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.方程()f x t =有两个不等实根1,x 2x ，11x x t e ∴=，22x x t e=，11x x te ∴=，22x x te =， ()1212x x x x t e e ∴-=-，即122x x x t e e-=-.要证122x x +>，只需证()122xx t e e+>，即证()()1212122x x x x x x e e e e-+>-，不妨设12x x >.令12m x x =-，则0,m >1m e >， 则要证()121m m m e e +>-，即证(2)20mm e m -++>.令()(2)2(0)x g x x e x x =-++>，则()(1)1xg x x e '=-+. 令()(1)1xh x x e =-+，则()0xh x xe '=>，()(1)1x h x x e ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴>=. ()0g x '∴>，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增， ()(0)0g x g ∴>=，即(2)20x x e x -++>成立，即(2)20mm e m -++>成立.122x x ∴+>.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 6．已知函数()ln f x x ax =-（a 为常数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅰ）若0a >，求不等式()20f x f x a ⎛⎫-->⎪⎝⎭的解集； （Ⅰ）若存在两个不相等的整数1x ，2x 满足()()12f x f x =，求证：122x x a+>. 【答案】（★）答案见解析；（★）12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭；（★）证明见解析.【解析】 【分析】（★）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （★）设()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，根据函数的单调性求出不等式的解集即可；（★）求出0a >，不妨设1210x x a <<<，则121,x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，根据函数的单调性得到()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，由()()12f x f x =，替换即可.【详解】（★）()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=， （1）当0a ≤时，恒有()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）当0a >时，由()0f x '>，得10x a<<， 故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 综上（1）（2）可知：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（★）()f x 的定义域为()0,∞+，所以0x >，且20x a ->，而0a >，20x a<<； 设()()2222ln ln ln ln 22F x f x f x x ax x a x x x ax a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---+-==--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()21202a x a F x x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=≥⎛⎫- ⎪⎝⎭，且当且仅当1x a =时取等号， 所以()F x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1x a =时，()10F x F a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x <，当12,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >， 故()20f x f x a ⎛⎫-->⎪⎝⎭的解集为12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （★）由（★）知0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，若()()12f x f x =，则12x x =不合题意；故0a >，而()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 若存在两个不相等的正数1x ，2x 满足()()12f x f x =， 则1x ，2x 必有一个在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，另一个在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，不妨设1210x x a <<<，则121,x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，又由（★）知10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x <，即()20f x f x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， 所以()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为()()12f x f x =，所以()212f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 又因为()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a >-，即122x x a+>. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．7．（1）试比较2lnx 与1(0)x x x->的大小． （2）若函数()f x x lnx m =--的两个零点分别为1x ，2x ， Ⅰ求m 的取值范围； Ⅰ证明：122x x m +<．【答案】（1）答案见解析；（2）★(1,)+∞；★证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构造函数1()2(0)g x lnx x x x=-+>，对函数求导，结合导数可求函数的单调性，进而可比较大小；（2）★利用导数可分析函数()f x 的单调性，然后结合零点存在条件即可求解m 的范围； ★由（1）的结论可得111111()2x m lnx x x -=>-，222211()2x m lnx x x -=<-，即21121x mx ->-，22221x mx -<-，由不等式的性质即可得到证明．【详解】（1）设1()2(0)g x lnx x x x=-+>， 则22221(1)()10x g x x x x--=--='， 故()g x 在(0,)+∞上单调递减． 因为g （1）0=，所以当01x <<时，()0>g x ；当1x =时，()0g x =；当1x >时，()0<g x ． 即当01x <<时，12lnx x x>-； 当1x =时，12lnx x x =-； 当1x >时，12lnx x x<-．（2）★因为()f x x lnx m =--，所以11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<， 则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 故()()1f x f 1m =-．因为()f x 有两个零点，所以10m -<，即1m ． 因为()20mmf e e m =->，()0mm f ee --=>，所以当()f x 有两个零点时，m 的取值范围为(1,)+∞． ★证明：因为1x ，2x 是()f x 的两个零点， 不妨设12x x <，则1201x x <<<．因为110x lnx m --=，220x lnx m --=，所以111111()2x m lnx x x -=>-，222211()2x m lnx x x -=<-， 即21121x mx ->-，22221x mx -<-，则221212220x x mx mx --+>，即121212()()2()0x x x x m x x -+-->， 即1212()(2)0x x x x m -+->．因为12x x <，所以120x x -<，则1220x x m +-<，即122x x m +<． 【点评】本题主要考查了利用导数比较函数值的大小，还考查了由零点存在的条件求解参数范围及利用导数证明不等式，属于中档题．8．已知函数()()23366xf x x x e x =-+-（e 为自然对数的底数）．（1）求()f x 的图象在x =1处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间和极值；（3）若12x x ≠，满足12()()f x f x =，求证：120x x +<．【答案】（1）y ＝（3e ﹣3）x +2；（2）f （x ）的增区间是（0，+∞），减区间是（﹣∞，0），极小值f （0）＝6，无极大值；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）根据导数与单调性的关系及极值存在条件即可求解；（3）要证x 1+x 2＜0，等价于证明f （x 2）＝f （x 1）＜f （﹣x 1），结合函数f （x ）在（0，+∞）上单调性即可证明． 【详解】（1）★f '（x ）＝3x 2e x ﹣3x 2＝3x 2（e x ﹣1），★f '（1）＝3（e ﹣1），即在x ＝1处的切线斜率为k ＝3（e ﹣1）． 又★f （1）＝3e ﹣1，★函数f （x ）的图象在x ＝1处的切线方程为y ﹣（3e ﹣1）＝3（e ﹣1）（x ﹣1）， 整理得y ＝（3e ﹣3）x +2．（2）★f '（x ）＝3x 2e x ﹣3x 2＝3x 2（e x ﹣1）， ★当x ＞0时，f '（x ）＞0；当x ＜0时，f '（x ）＜0．则f （x ）的增区间是（0，+∞），减区间是（﹣∞，0）， 所以f （x ）在x ＝0处取得极小值f （0）＝6，无极大值． （3）★f （x 1）＝f （x 2）且x 1≠x 2，由（1）可知x 1，x 2异号． 不妨设x 1＜0，x 2＞0，则﹣x 1＞0．令g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝（3x 2﹣6x +6）e x ﹣（3x 2+6x +6）e ﹣x ﹣2x 3， 则g '（x ）＝3x 2e x +3x 2e ﹣x ﹣6x 2＝3x 2（e x +e ﹣x ﹣2）≥0， 所以g （x ）在R 上是增函数．又g （x 1）＝f （x 1）﹣f （﹣x 1）＜g （0）＝0， ★f （x 2）＝f （x 1）＜f （﹣x 1）， 又★f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ★x 2＜﹣x 1，即x 1+x 2＜0． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及单调性，极值关系的综合应用及利用导数证明不等式，属于中档题． 9．设函数()1x f x e -=-.（1）证明:x ∈R ，()f x x ≤； （2）令()()()1h x x f x =- Ⅰ求()h x 的最大值； Ⅰ如果12x x ≠，且12h x h x ，证明：122x x +>.【答案】（1）证明见解析；（2）★()h x 的最大值为1e；★证明见解析122x x +>． 【解析】 【分析】（1）令()()1xg x f x x e x -=-=--，则()1x g x e -'=-，利用导数求出函数()g x 的单调性与最值，由此可证明结论；（2）由题意得()xh x xe -=，()()1xh x x e -'=-，★利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值； ★由题意不妨设12x x <，又12h x h x ，可得1201x x <<<，令()()()2H x h x h x =--，[)1,x ∈+∞，利用导数可得函数()H x 在[)1,+∞上单调递增，从而可推出()()2h x h x >-，结合条件可得()()122h x h x >-，易得12,21x x -<，从而借助函数()h x 在(),1-∞上单调递增即可证明． 【详解】（1）证明：令()()1xg x f x x ex -=-=--，则()1x g x e -'=-，由()0g x '≤得0x ≥，由()0g x '>得0x <，★函数()g x 在(),0-∞上单调递增，在[)0,+∞上单调递减， ★函数()g x 在0x =处取得极大值，也是最大值， ★()()00100g x g e ≤=--=，即x ∈R ，()f x x ≤；（2）解：()()()1h x x f x =-()11xxx exe--⎡⎤=--=⎣⎦，()()1xh x x e -'=-，★由()0h x '≤得1≥x ，由()0h x '>得1x <，★函数()h x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， ★函数()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ★()h x 的最大值()()1max 11h x h ee-===； ★由12x x ≠，不妨设12x x <，又12h x h x ，★当0x >时，()0xh x xe -=>，且()00h =，★1201x x <<<，令()()()2H x h x h x =--()22xx xe x e --=--，[)1,x ∈+∞，则()()()2112xx H x x e x e --'=---+-()()2211x x x e e --=--，★1≥x ，★220x -≥，2210x e --≥， ★()0H x '≥，★函数()H x 在[)1,+∞上单调递增， 又()10H =，★当1x >时，()()()()210H x h x h x H =-->=，即()()2h x h x >-，则()()222h x h x >-， 又12h x h x ，则()()122h x h x >-，★1201x x <<<，★221x -<，即12,21x x -<， 而函数()h x 在(),1-∞上单调递增， ★122x x >-， ★122x x +>． 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，考查转化与化归思想，属于难题． 10．已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：124x x +>． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】分析：★1）求导，对参数a 分0,0a a ≥<两种情况进行讨论，令()0f x '>得函数()f x 的单调递增区间，令()0f x '<得函数()f x 的单调递减区间★★2★令()0f x =，分离参数得1xea x=-★令1()x xg x e-=，研究函数()g x 的性质，可将证明124x x +>转化为证明21()(4)g x g x >-，即证明12411(3)10x x e x --+-<成立，令24()(3)1,(1,2)x h x x e x x -=-+-∈，利用导数研究函数()h x 的增减性，可得()(2)0h x h <=，问题得证. 详解：（1）()1xf x ae ='+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）证明：由()0f x =得1x x a e -=，设()1x x g x e -=，则()2xx g x e ='-． 由()0g x '<，得2x <；由()0g x '>，得2x >． 故()()2min 120g x g e==-<的最小值． 当1x >时，()0g x <，当1x <时，()0g x >， 不妨设12x x <，则()()121,2,2,x x ∈∈+∞，124x x +>等价于214x x >-，142x ->且()g x 在()2,+∞上单调递增，要证：124x x +>，只需证()()214g x g x >-，()()12g x g x a ==，只需证()()114g x g x >-，即1111413x x x x e e--->， 即证()12411310x ex x --+-<；设()()()2431,1,2x h x e x x x -=-+-∈， 则()()24251x h x ex --'=+，令()()m x h x ='，则()()2442x m x e x -'=-，()()1,2,0x m x '∈∴<，()m x ∴在()1,2上单调递减，即()h x '在()1,2上单调递减， ()()20h x h ''∴>=，()h x ∴在()1,2上单调递增， ()()()1241120,310x h x h e x x -∴<=∴-+-<，从而124x x +>得证．点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数a 进行分类讨论，再分别令()0,()0f x f x ''><，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对a 进行参数分离，再构造新函数()g x ，利用函数()g x 的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.11．设函数()()22ln f x x a x a x =---．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根1x ，2x ，求证：12()02x x f +'>． 【答案】（1）答案不唯一，详见解析；（2）3；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对a 分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）由（1）可得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值()02a f ，即244ln02a a a a -+-<．可化为()4ln 402ah a a =+->．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出；（3）由1x ，2x 是方程()f x c =得两个不等实数根，由（1）可知：0a >．不妨设120x x <<．则()21112ln x a x a x c ---=，()22222ln x a x a x c ---=．两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，化为221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--．由()02a f =，当(0,)2a x ∈时，()0f x '<，当(,)2a x ∈+∞时，()0f x '>．故只要证明1222+>x x a即可，即证明11221222ln x x x x x x -<+，令12x t x =换元，再利用导数即可证明． 【详解】（1）(0,)x ∈+∞．22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x----+'=---==．当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a >时，由()0f x '>得2a x >；由()0f x '<，解得02ax <<． 所以函数()f x 的单调递增区间为(,)2a +∞，单调递减区间为(0,)2a．（2）由（1）可得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值()02af ，即244ln02aa a a -+-<． 0a >，∴4ln 402aa +->．令()4ln 402ah a a =+->，可知()h a 在(0,)+∞上为增函数，且h （2）2=-，h （3）3814ln 1ln 1ln 10216e =-=->-=，所以存在零点0()0h a =，0(2,3)a ∈，当0a a >时，h （a ）0>；当00a a <<时，h （a ）0<． 所以满足条件的最小正整数3a =．又当3a =时，f （3）()32ln30=->，f （1）0=，3a ∴=时，()f x 由两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3． （3）1x ，2x 是方程()f x c =得两个不等实数根，由（1）可知：0a >．不妨设120x x <<．则()21112ln x a x a x c ---=，()22222ln x a x a x c ---=．两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，化为221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--．()02a f '=，当(0,)2a x ∈时，()0f x '<，当(,)2ax ∈+∞时，()0f x '>． 故只要证明1222+>x x a即可， 即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--，即证明11221222ln x x x x x x -<+， 设12(01)x t t x =<<，令()22ln 1t g t t t -=-+，则22214(1)()(1)(1)t g t t t t t -'=-=++． 10t >>，()0g t ∴'>．()g t ∴在(0,1)上是增函数，又在1t =处连续且g （1）0=，∴当(0,1)t ∈时，()0g t <总成立．故命题得证．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值等基础知识，及其分类讨论思想方法、等价转化方法、换元法等基本技能与方法． 12．已知函数()()2xf x e axa =-∈R 在()0,∞+上有2个零点1x 、()212x x x <．（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：124x x +>．【答案】（1）2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）令()0f x =可得2xe a x=，将问题等价于直线y a =与函数()2xe g x x =在区间()0,∞+上的图象有两个交点，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性与极值，数形结合可求得实数a 的取值范围；（2）由题意可知1202x x <<<，且有122212x x e e a x x ==，可得12122ln ln x x x x -=-，于是可将所证不等式等价于证明不等式1121221ln 21x x x x x x -<⨯+，令()120,1x t x =∈，即证()21ln 01t t t --<+，令()()()21ln 011t h t t t t-=-<<+，利用导数证明出()0h t <即可. 【详解】（1）()20xf x e ax =-=，等价于2xe a x=，设()2xe g x x =，则()()32x e x g x x-'=， 令()0g x '=得2x =，当02x <<时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减； 当2x >时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增．所以，函数()y g x =在2x =处取得极小值，亦即最小值，即()()2min 24e g x g ==.而且0x →时()g x →+∞，x →+∞时()g x →+∞， 如下图所示：由图象可知，当24e a >时，直线y a =与函数()y g x =在区间()0,∞+上的图象有两个交点，所以实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，当函数()y f x =有2个零点时，一定有1202x x <<<，且122212x x e e a x x ==，两边取对数得11222ln 2ln x x x x -=-，所以12122ln ln x x x x -=-．要证明的不等式等价于()12121212022ln ln x x x x x x x x +-><<<-． 等价于121212ln ln 2x x x x x x --<⨯+，等价于证明1121221ln 21x x x x x x -<⨯+，令()120,1x t x =∈，等价于证明()21ln 01t t t--<+，其中01t <<， 设函数()()()21ln 011t h t t t t-=-<<+， 则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，故函数()y h t =在()0,1上是增函数，所以()()10h t h <=，即()21ln 01t t t--<+成立，所以原不等式成立． 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了极值点偏移问题，考查利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于较难题. 13．已知()()ln f x x m mx =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅰ）设1m ，1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<. 【答案】（★）见解析; （★）见解析. 【解析】试题分析: （★）根据导数()1'f x m x m =-+，分类讨论，当0m ≤时，()1'0f x m x m∴=->+；当0m >时，()11'm x m m f x m x m x m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∴=-=++，由()'0f x = 得()1,x m m m =-∈-+∞，1,x m m m ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，1,x m m ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即可得出单调区间；（★）由（★）知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭．不妨设12m x x -<<，由条件知()()1122{ln x m mx ln x m mx +=+=，即1212{mx mx x m e x m e +=+=，构造函数()mxg x e x =-，()mx g x e x =-与y m =图像两交点的横坐标为1x ，2x ，利用单调性只需证()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭构造函数利用单调性证明． 试题解析：（★）()()ln f x x m mx =+-，()1'f x m x m∴=-+ 当0m ≤时，()1'0f x m x m∴=->+，即()f x 的单调递增区间为(),m -+∞，无减区间； 当0m >时，()11'm x m m f x m x m x m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∴=-=++，由()'0f x =得()1,x m m m=-∈-+∞ 1,x m m m ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，1,x m m ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，0m ∴>时，易知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭（★）由（★）知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭．不妨设12m x x -<<，由条件知()()1122{ln x m mx ln x m mx +=+=，即1212{mx mx x m e x m e+=+= 构造函数()mxg x e x =-，()mx g x e x =-与y m =图像两交点的横坐标为1x ，2x由()'10mxg x e=-=可得ln 0mx m-=<， 而2ln (1)m m m >>，()ln ,mm m-∴∈-+∞ 知()mxg x ex =-在区间ln ,m m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间ln ,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．可知12ln mm x x m--<<< 欲证120x x +<，只需证122ln m x x m +<，即证212ln ln ,m m x x m m ⎛⎫<-∈-+∞ ⎪⎝⎭考虑到()g x 在ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，只需证()212ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭ 由()()21g x g x =知，只需证()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭令()()2ln 2ln 2ln 2mx m mx m m h x g x g x e x e m m --⎛⎫=--=---⎪⎝⎭，则()()2ln 2ln '2222220m mxm m mxmx mx e h x mem em e e ---⎛⎫=---=+-≥== ⎪⎝⎭即()h x 单增，又ln 0m h m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 结合1ln m m x m --<<知()10h x <，即()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭成立，即120x x +<成立点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会． 14．已知函数2()ln ,()1af x xg x bx x==+-，(a ，b ⅠR ) （1）当a =﹣1，b =0时，求曲线y =f (x )﹣g (x )在x =1处的切线方程；（2）当b =0时，若对任意的x Ⅰ[1，2]，f (x )+g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当a =0，b >0时，若方程f (x )=g (x )有两个不同的实数解x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：x 1+x 2>2. 【答案】（1）30x y +-=（2）[,)2e+∞（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()()y f x g x =-的导函数，求出函数在1x =时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（2）对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x +都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+，恒成立，构造函数22()(12)h x x lnx x x =-+，求出()h x 的最大值可得a 的范围；（3）由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，构造函数()1(0)F x lnx bx x =-+>，将问题转化为证明112()0()F x F x b ->=，然后构造函数证明1122()()0()F x F x F x b->==即可． 【详解】（1）当1a =-时，0b =时，211y lnx x =++， ∴当1x =时，2y =，312y x x∴=-'， ∴当1x =时，1y '=-，∴曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为30x y +-=；（2）当0b =时，对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x +都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+恒成立，令22()(12)h x x lnx x x =-+，则()2h x xlnx x -'=+．令()0h x '=，则x =∴当1x <<()0h x '>，此时()h x 单调递增；2x <<时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，∴()2max e h x h ==，2e a ∴， a ∴的取值范围为[,)2e +∞；（3）当0a =，0b >时，由()()f x g x =，得10lnx bx -+=， 方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <， 令()1(0)F x lnx bx x =-+>，则12()()0F x F x ==，1()F x b x'=-， 令()0F x '=，则1x b=， ∴当10x b <<时，()0F x '>，此时()F x 单调递增；当1x b >时，()0F x '<，此时()F x 单调递减， ∴1()()0maxF x F b=>，01b ∴<<，又1()0bF ee=-<，F （1）10b =->， ∴1111x e b <<<， ∴121x b b->， ∴只要证明212x x b >-，就能得到1222x x b+>>，即只要证明112()0()F x F x b ->=，令221()()()()22(0)G x F x F x ln x lnx bx xb b b=--=--+-<， 则212()()02()b x b G x x x b -='<-，()G x ∴在1(0,)b 上单调递减，则1211()()()()0G x G F F b b b b >=--=，∴1112()()()0G x F x F x b=-->，。

导数之极值点的偏移基础内容讲解：一、极值点偏移的含义单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。

如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。

说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。

若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2210x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。

反之极值点偏移。

如果2210x x x ＋＜，则极值点左偏；如果2210xx x ＋＞，则极值点右偏。

二、极值点偏移的判定定理对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。

其中21x x ＜ （1）、若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏；（2）若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极小值点右偏；三、极值点偏移的用处函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。

四、极值点偏移的用法例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。

求证：2211ex x ＜变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。

求证： （1）、e x x 221＞＋ （2）、221e x x ＞例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足()()21x f x f ＝。

求证：()()021＜＋x f x f ''变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。

相对极值点偏移定义及判定定理相对极值是数学中极值点的一种特殊情况。

在这种情况下，极值点的偏移成为一个重要的概念。

本文将介绍相对极值点偏移的定义以及判定定理。

相对极值点偏移的定义相对极值点偏移是指在函数图像中，极值点发生偏离原来位置的现象。

通常来说，相对极值点偏移发生在函数局部最值点附近。

具体而言，设函数f(x)在某一区间I上连续，且在区间I内存在极值点a。

如果存在一个区间J，满足a∈J⊂I，且在区间J内的某一点b处，f(b)的值更小（或更大）于f(a)的值，则称极值点a发生了相对极值点偏移。

相对极值点偏移的判定定理相对极值点偏移的判定定理可以帮助我们判断一个极值点是否发生了偏移。

判定定理可以分为两种情况：1. 对于连续函数f(x)而言，如果在极值点a的左侧和右侧导数的符号相反，即$f'(x_{\text{{left}}}) \cdot f'(x_{\text{{right}}}) < 0$，则可以判断极值点a发生了相对极值点偏移。

2. 对于可导函数f(x)而言，如果在极值点a的左侧导数和右侧导数的大小关系与函数曲线的斜率相反，即$f'(x_{\text{{left}}})\cdot f'(x_{\text{{right}}}) \cdot f''(a) < 0$，则可以判断极值点a发生了相对极值点偏移。

需要注意的是，以上判定定理适用于在区间J内存在函数图像的情况，因此在应用判定定理前需要先进行图像分析。

以上，我们介绍了相对极值点偏移的定义以及判定定理。

对于分析函数极值变化的问题，相对极值点偏移是一个重要的概念，可以帮助我们更深入地理解极值点的特性及其变化。

一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、对点详析，利器显锋芒★已知函数)()(R x xe x f x ∈=-.(1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x . ★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x =+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。