极值点偏移个人方法

极值点偏移四种解题方法极值点偏移是数学中一个重要的概念，它指的是极值点在函数图像上偏移的现象。

本文将介绍四种解决极值点偏移问题的解题方法。

下面是本店铺为大家精心编写的5篇《极值点偏移四种解题方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《极值点偏移四种解题方法》篇1一、定义法定义法是解决极值点偏移问题的一种基本方法。

该方法的主要思路是利用函数的定义式，通过分析函数在某一点处的导数值，来判断该点是否为极值点。

如果函数在某一点处的导数值等于零，则该点为极值点。

如果函数在某一点处的导数值不存在，则该点也可能是极值点。

二、导数法导数法是解决极值点偏移问题的另一种基本方法。

该方法的主要思路是利用函数的导数，通过分析函数在某一点处的导数值，来判断该点是否为极值点。

如果函数在某一点处的导数值等于零，则该点为极值点。

如果函数在某一点处的导数值不存在，则该点也可能是极值点。

三、极值判定法极值判定法是解决极值点偏移问题的一种重要方法。

该方法的主要思路是利用函数的极值判定条件，通过分析函数在某一点处的极值条件，来判断该点是否为极值点。

如果函数在某一点处满足极值条件，则该点为极值点。

四、图像法图像法是解决极值点偏移问题的一种直观方法。

该方法的主要思路是通过绘制函数的图像，来判断函数的极值点是否偏移。

如果函数的图像在某一点处发生变化，则该点可能是极值点。

如果函数的图像在某一点处出现拐点，则该点可能是极值点。

综上所述，极值点偏移四种解题方法分别为定义法、导数法、极值判定法和图像法。

《极值点偏移四种解题方法》篇2极值点偏移是高中数学中常见的问题之一，通常出现在导数相关的题目中。

极值点偏移指的是，在可导函数的一个区间内，如果存在一个极值点，且该极值点左右两侧的增减速度不同，那么这个极值点可能会偏移到区间的中点，从而造成函数图像的不对称。

解决极值点偏移问题的方法有很多种，以下是四种常见的解题方法： 1. 构造函数法：该方法的本质是构造一个新的函数，使得新函数的导数与原函数的导数之间存在一定的关系。

一、极值点偏移的定义
二、对数平均定义与证明
（对数平均不等式在高考中不能直接用，在解答题中需要证明）
三、高考例题
极值点偏移问题在历年考题中反复出现，比如2016年全国卷、2013年湖南卷、2011年
辽宁卷、2010年天津卷等。

四、 解后思考：答题模板
第一步: 根据f(x1)= f(x1) 建立等式
第二步: 如果等式含有参数，则消参; 有指数的 则两边取对数，转化为对数式 第三步: 通过恒等变换转化为对数平均问题，利 用对数平均不等式求解
高考中对函数极值的考察正向多样化发
展，其中含参的函数极值不等式越来越被高考命题专家所钟爱，本文通过一道例题汇总一下此类题目的多种典型解法．
解法一：齐次构造消参
解法二: 构造函数1
解法三: 构造函数2
解法四: 引入变量1
解法五: 巧引入变量2。

极值点偏移的解题方法在数学中，极值点是指函数在某个点上取得最大值或最小值的点。

在解题中，我们常常需要找到函数的极值点，以便求解问题。

然而，有时候函数的极值点会发生偏移，这就给我们的解题带来了困难。

本文将介绍一些解决极值点偏移的方法。

一、极值点的定义在数学中，如果函数f(x)在点x0处取得最大值或最小值，那么x0就是函数f(x)的极值点。

极值点可以分为两种类型，一种是最大值点，另一种是最小值点。

最大值点就是函数在该点上取得了最大值，而最小值点则是函数在该点上取得了最小值。

二、极值点的求解方法在求解函数的极值点时，我们一般采用求导法。

具体步骤如下：1、对函数f(x)求导，得到f'(x)。

2、令f'(x)=0，求出x的值。

3、将x的值代入原函数f(x)中，得到y的值。

4、得到极值点(x,y)。

三、极值点偏移的原因在实际问题中，函数的极值点可能会发生偏移，这是由于函数的性质或者外界因素的影响导致的。

例如，函数的定义域发生改变、函数的参数发生变化、函数的形式发生变化等都可能导致极值点的偏移。

四、极值点偏移的解决方法1、重新求导法当函数的形式发生变化时，我们可以重新对函数求导，得到新的导函数，再按照求解极值点的方法进行求解。

这种方法适用于函数的形式发生变化的情况。

2、参数法当函数的参数发生变化时，我们可以将参数视为变量，将函数看作一个二元函数，然后对该函数进行求导，得到关于参数的导函数。

再按照求解极值点的方法进行求解。

这种方法适用于函数的参数发生变化的情况。

3、图像法当函数的形式和参数都不发生变化时，我们可以通过观察函数的图像来判断极值点的位置。

具体方法是绘制函数的图像，然后根据图像的特点来确定极值点的位置。

这种方法适用于函数的形式和参数都不发生变化的情况。

五、实例分析下面以一个实例来说明极值点偏移的解决方法。

例：求函数f(x)=x^3-3x^2的极值点。

解：对函数f(x)求导，得到f'(x)=3x^2-6x。

极值点偏移问题专题(三)一一题学懂端点
偏移5大套路
问题背景
在数学中，极值点偏移是指函数的极值点随着一定条件的改变而发生位移的现象。

在解决极值点偏移问题时，有许多常用的策略和技巧可以应用。

解决方案
以下是解决极值点偏移问题的五种常见策略：
1. 极值点的函数改变
通过改变函数的形态和特征，可以导致极值点的偏移。

这可以通过增加或减少函数的项、重新调整函数的系数等方式来实现。

2. 增加约束条件
通过引入额外的约束条件，可以使极值点受到限制，从而发生偏移。

这些约束条件可以是函数的限制、变量的限制等。

3. 改变函数的定义域
通过改变函数的定义域，可以使极值点的位置发生变化。

这可以通过增加或减少函数定义域的范围、改变函数定义域的形状等方式来实现。

4. 变换坐标系
通过变换坐标系，可以使原本的极值点在新的坐标系中发生偏移。

这可以通过旋转、平移、缩放等方式来实现。

5. 改变问题的目标函数
通过改变问题的目标函数，可以直接影响极值点的位置。

这可以通过调整目标函数的构成、改变目标函数的权重等方式来实现。

总结
极值点偏移问题在数学中很常见，但通过简单的策略和技巧，我们可以解决这些问题。

以上介绍的五种策略可以作为解决极值点偏移问题的参考，灵活运用它们可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。

极值点偏移问题处理策略一、极值点偏移已知函数y=f(x)是连续函数，f(x)在区间(x1,x2)内只有一个极值点x0，且f(x1)=f(x2)，不少极值函数由于极值点左右的增减速度不同，函数的图像并不关于直线x =x0对称，即x0≠x1+x22。

这就是极值点偏移问题。

二、极值点偏移问题的解决方法之构造对称函数首先构造F(x)=f(x0+x)−f(x0−x),其中x0为f(x)的极值点，求导判断单调性，结合F(0)=0确定F(x)的符号，即判断f(x0+x)>f(x0−x)还是f(x0+x)<f(x0−x)。

设x1<x0<x2，根据上式，判断f(x0+(x0−x1))>f(x0−(x0−x1)还是f(x0+(x0−x1))<f(x0−(x0−x1)，即判断f(2x0−x1)> f(x1)还是 f(2x0−x1)< f(x1)，结合f(x1)= f(x2)，由f(x)在x0左侧的单调性来判断2x0−x1>x2还是2x0−x1<x2。

例如：已知f(x)=ln x−ax有两个零点x1，x2，求证x1+x2>2a.首先求出f(x)的极大值为1a ，构造F(x)=f(1a+x)−f(1a−x)，求导可判断F(x)为单调递增函数，结合结合F(0)=0确定F(x)>0，即f(1a +x)>f(1a−x)。

设x1<1a <x2，根据上式，得到f(1a+(1a−x1))>f(1a−(1a−x1)，即f(2a−x1)>f(x1)，结合f(x1)= f(x2)，由f(x)在(1a ，+∞)单调递减，判断2a−x1<x2，即x1+x2>2a.三、极值点偏移问题的解决方法之对数平均不等式定义两个正数的对数平均数为L(a,b)={a−b ln a−ln ba(a=b)(a≠b),称：√ab≤a−b ln a−ln b ≤a+b2为对数平均不等式，当且仅当a=b时取等号。

⾼中数学：极值点偏移问题有什么好的解决办法？1. 所谓的极值点偏移，就是函数在极值点左右的增减速度不⼀样，导致函数的图象不具有对称性。

如果极值点左侧的增减速度快于右侧，则极值点左偏，反之，则极值点右偏。

2. 极值点偏移问题常常出现在⾼考数学的压轴题当中，这类题往往思维要求较⾼，过程较为繁琐，计算量较⼤，具有相当的难度，因此常常令考⽣望⽽⽣畏。

3. 解决极值点偏移问题，构造对称函数和利⽤对数平均不等式是两种典型的⽅法，⼆者各有千秋，独具特⾊。

4. 极值点偏移问题是近⼏年⾼考中的热点问题，在各地的⾼考模拟试卷中也时常出现，并由此衍⽣出⼀系列的压轴题，⽐如拐点偏移就是其中最典型的⼀种。

⼀·极值点偏移问题：⼆·构造对称函数：构造对称函数是处理极值点偏移问题的基本⽅法，其步骤总结如下：三·对数平均不等式：1·对数平均不等式：我们已经学习过算术平均数，⼏何平均数，调和平均数和平⽅平均数，由这些平均数之间构成的⼤⼩关系称之为均值不等式，⽽今天我们介绍的对数平均数不外乎是⼀种新的平均数，它是均值不等式中的⼀环⽽已。

【评注】对数平均不等式也称之为”A-L-G“不等式，它是均值不等式的加强版，其放缩功能更加精细，因此在⾼考压轴题中具有强⼤功效。

2·对数平均不等式的⼏何意义：对数平均不等式具有明确的⼏何意义，这⾥需要借助定积分加以说明，⽂科考⽣可以直接略过。

四·⾼考中的极值点偏移问题：对于极值点偏移问题，⽆论是构造对称函数，还是利⽤对数平均不等式，⼆者皆较为程式化，最终殊途同归。

以上，祝你好运。

探索探索与与研研究究在连续区间(x1极值点x0=x1+x22.化率不同，导致x0≠x1+x22及系出现.习和参考.一、换元需引入新变量，据已知关系式消去函数式，例1.已知函数(1)求a(2)求证：x1x2＞解：(1)a(2)假设x1＜x2则a()x1+x2=a=lnx2-ln x1x2-x1由x1x2＞e2则ln x1+ln x2==令t=x2x1()t＞1，x1x2＞e2也成立.f()x1=f()x2=0，x2x1将目标式转f()t，并利用导数法证能使极值点偏移x0的值，构造与极值()x-f()2x0-x或函数F()x求导并得到)、f()2x0-x之间的大f()x1、f()2x0-x2.()x∈R，若x1≠x2且.=()1-x e-x，f()x单调递增；f()x单调递减，52所以f ()1是函数f ()x 的极大值，假设x 1＜x 2,则0＜x 1＜1＜x 2，则x 1+x 2＞2，即x 1＞2-x 2，因为2-x 2＜1，所以f ()x 1＞f ()2-x 2，因为f ()x 1=f ()x 2，f ()x 1＞f ()2-x 2，即f ()x 2＞f ()2-x 2，设F ()x =f ()x -f ()2-x =xe -x -2e x -2+xe x -2()x ＞1，因为F '()x =e -x()1-x éëùû1-e 2()x -1＞0，所以F ()x 为增函数，则F ()x ＞F ()1=0，故不等式x 1+x 2＞2成立.解答本题，主要运用了构造对称函数的技巧.根据题意构造对称函数F ()x =f ()x -f ()2-x ，然后对F ()x 求导，判断出函数的单调性，即可比较出f ()x 和f ()2-x 、f ()x 1和f ()2-x 2、f ()x 2和f ()2-x 2的大小关系，进而证明不等式成立.三、利用对数均值不等式对数均值不等式ab ＜a -b ln a -ln b ＜a +b2在解题中应用广泛.运用对数均值不等式求解极值点偏移问题，需根据已知条件找出等量关系式，将其变形为等价的对数式.可在等式的两边同时取对数或分离等式中的对数式，然后根据化简后式子的结构特点选择合适的对数均值不等式，将其代入不等式中并放缩，即可解题.例3.已知函数f ()x =x ln x 与直线y =m 交于A ()x 1,y 1，B ()x 2,y 2两点，试证明：0＜x 1x 2＜1e2.解：由x 1ln x 1=m ，x 2ln x 2=m ，可得x 1=m ln x 1①，x 2=m ln x 2②，①-②得x 1-x 2=m æèçöø÷ln x 2-ln x 1ln x 1ln x 2，则x 1-x 2ln x 1-ln x 2=-m ln x 1ln x 2，③①+②得x 1+x 2=m ()ln x 1+ln x 2ln x 1ln x 2，④根据对数均值不等式得x 1+x 22＞x 1-x2ln x 1-ln x 2()x 1≠x 2，将③④式代入上式可得m ()ln x 1+ln x 22ln x 1ln x 2＞-m ln x 1ln x 2，⑤由直线y =m 与函数f ()x =x ln x 交于两点，可知m ＜0，化简⑤可得ln ()x 1x 2＜-2=ln e -2，则0＜x 1x 2＜1e 2.首先根据f ()x =x ln x 和f ()x 1=f ()x 2=m 建立等量关系式，由于该等式中含有对数式，可直接将对数式分离，然后根据对数式的结构特点，运用对数均值不等式a +b 2＞a -b ln a -ln b将对数式放缩，从而证明结论.例4.已知函数f ()x =1x-x +a ln x ，(1)讨论f ()x 的单调性；(2)若存在两个极值点x 1、x 2，证明f ()x 1-f ()x 2x 1-x 2＜a -2.解：(1)当a ≤2时，函数f ()x 在定义域上单调递减；当a ＞2时，函数f ()x 在æèççø0，èöø÷÷+∞上单调递减，在èø上单调递增.(过程略)(2)由(1)可知，当a ＞2时，函数有两个极值点x 1、x 2，并且是方程x 2-ax +1=0的两个不同实数根，可得x 1x 2=1，假设x 1＜x 2，则x 2＞1，因为f ()x 1-f ()x 2x 1-x 2=a ()ln x 1-ln x 2x 1-x 2-1-1x 1x 2，根据对数均值不等式可得1=x 1x 2＜x 1-x 2ln x 1-ln x 2，所以f ()x 1-f ()x 2x 1-x 2＜a -2.解答第二个问题，需首先根据第一个问题的结论得到关系式x 1x 2=1，然后根据对数均值不等式x 1x 2＜x 1-x 2ln x 1-ln x 2进行放缩，即可证明不等式成立.虽然极值点偏移问题较为复杂，但是在解题时，我们只要仔细审题，根据已知条件建立恰当的关系并进行合理的变形，就能通过换元，构造对称函数，利用对数均值不等式求得问题的答案.（作者单位：广东省韶关市新丰县第一中学）探索探索与与研研究究53。

高考数学压轴题--------极值点偏移问题的三种解法
在高考和模考中.极值点偏移问题都是一个热点问题.这类试题设问新颖多变,难度较大,综合性强,能较好考查学生的逻辑推理能力、数据处理能力、转化与化归思想、函数与方程思想等.往往作为压轴题出现，对于这类问题，学生通常会望而却步，甚至不敢解、不想解.笔者通过对极值点偏移问题的探究，总结出解决这类问题三种方法,希望可以帮助学生克服畏难心理,迎难而上.
下面通过典型试题介绍这类问题的三种求解策略.
一 .构造法
构造法是解决极值点偏移问题最基本的方法。

对函数y =f（x）,要考虑它在极值点x0附近偏移问题，可以通过构造并判断函数F(x) =f(x0+x)-f（x0-x）在x >0时的符号.确定x >0时f(x0+x)与f（x0-x）的大小关系;再将x = x0-x1代人上式，结合F（x1）=f(x2),得到f（2x0-x1）与f（x2）的大小关系;最后结合函数f（x）的单调性解决问题.
二、利用对称性
三、增量法
解决极值点偏移的方法有很多，以上三种方法各有优劣，不同
题目使用三种方法的繁简程度不一样,我们应该根据题目的实际情况,择优选择.。

极值点偏移问题的三种解法在高考和模考中，极值点偏移问题都是一个热点问题．这类试题设问新颖多变，难度较大，综合性强，能较好考查学生的逻辑推理能力、数据处理能力、转化与化归思想、函数与方程思想等，往往作为压轴题出现．对于这类问题，学生通常会望而却步，甚至不敢解、不想解．笔者通过对极值点偏移问题的探究，总结出解决这类问题三种方法，希望可以帮助学生克服畏难心理，迎难而上．下面通过典型试题介绍这类问题的三种求解策略．一、构造法构造法是解决极值点偏移问题最基本的方法．对函数y=f（x），要考虑它在极值点x附近偏移问题，可以通过构造并判断函数F（x）=f（x0+x）－f（x－x）在x＞0时的符号，确定x＞0时f（x0+x）与f（x－x）的大小关系；再将x=x0－x1＞0代入上式，结合f（x1）=f（x2），得到f（2x－x1）与f（x2）的大小关系；最后结合函数f（x）的单调性解决问题．例1设函数f（x）=e x－ax+a（a∈Ｒ），其图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f'（x1x槡2）＜0．分析对问题（2），要证f'（x1x槡2）＜0，只要证e x1x槡2＜a，因为x1x槡2＜x1+x22，所以只要证e x1+x22＜a．解（1）a＞e2（过程略）．（2）令f'（x）=e x－a=0，可得极值点x0 =ln a，且f（x）在（－ɕ，ln a）单调减，在（ln a，+ɕ）单调增，从而x1＜ln a＜x2．构造F（x）=f（ln a+x）－f（ln a－x），x ＞0，则F'（x）=a e x+1e()x－2a≥0，F（x）在（0，+ɕ）单调增，所以F（x）＞F（0）=0，即f（ln a+x）＞f（ln a－x）（x＞0）．令x=ln a－x1＞0，则f（2ln a－x1）＞f（x1）；又f（x1）=f（x2），所以f（2ln a－x1）＞f（x2）．而x2、2ln a－x1都位于x=ln a的右侧，且f（x）在（ln a，+ɕ）单调增，故x2＜2ln a－x1，即ex1+x22＜a，因此e x1x槡2＜a，即f'（x1x槡2）＜0．得证．二、利用对称性例2（2010年天津高考题）已知函数f（x）=x e－x（x∈Ｒ）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2＞2．解（1）f（x）在（－ɕ，1）内单调增，在=e t2t－e t2+e－t()2e t－1，其中e t－1＞0，e t2＞0．令h（t）=t－e t2+e－t2，则h'（t）=1－12e t2+e－t()2≤0，h（t）在（0，+ɕ）单调减，且h（0）=0，所以h（t）＜0在（0，+ɕ）内恒成立，得f'x1+x2()2＜0．得证．解决极值点偏移的方法有很多，以上三种方法各有优劣，不同题目使用三种方法的繁简程度不一样，我们应该根据题目的实际情况，择优选择．（1，+ɕ）内单调减；极大值f（1）=1e（过程略）．（2）略．（3）由（1）可知，f（x）在（－ɕ，1）单调增，在（1，+ɕ）单调减，极值点为x=1，极大值f（1）=1e．不妨设0＜x1＜1＜x2．记图1中虚线部分的解析式为g（x）=f（2－x），由（2）可知在（1，+ɕ）内f（x）＞g（x）恒成立，故f（x2）＞g（x2）．又f（x1）=f（x2），则f（x1）＞g（x2）=f（2－x2），此时x1和2－x2都在x=1的左侧，结合f（x）在（－ɕ，1）单调增，得2－x2＜x1，即x 1+x2＞2，即证．评注作单极值点函数位于极值点左边（或右边）的图象关于极值点所在直线x=x的对称图形，利用所得对称图形（如图1中虚线部分）完全在原图象同侧的下方（或上方）．由此可以直观地发现原图象在x左右两侧的增减速度不同，这正是函数极值点发生偏移的原因．因此，对本题第（3）问，通过构作对称图形，利用第（2）问的结论，并结合f（x1）=f（x2）得到了f（x1）与f（2－x2）的大小关系，最后由单调性解决问题．三、增量法增量法是根据题设中f（x1）=f（x2）的条件列出两个方程，然后从这两个方程出发消去参数，同时将所证不等式转化为只含有x1、x 2的不等式，再通过令x2x1=t（比值增量法）或x 2－x1=t（差值增量法）的代换方法，将含二元变量x1、x2的不等式问题转化为一元变量t的不等式问题，最后构造关于t的函数，以导数为工具证明．1．构造比值增量函数例3（2011年辽宁高考题）已知函数f（x）=ln x－ax2+（2－a）x．设y=f（x）的图象与x轴交于A、B两点，线段AB的中点横坐标为x0，证明f'（x）＜0．证明设A（x1，0）、B（x2，0），不妨设0＜x1＜x2，则x=x1+x22．由f'（x）=1x－2ax+2－a，得f'（x）=f'x1+x2()2=2x1+x2－a（x1+x2）+2－a．由点A、B在函数y=f（x）的图象上，所以ln x1－ax21+（2－a）x1=0，ln x2－ax22+（2－a）x2=0，两式相减，得ln x2－ln x1x2－x1－a（x2+x1）+（2－a）=0．将结果代入f'（x）表达式，得f'（x）=2x1+x2－ln x2－ln x1x2－x1．令x2x1=t（t＞1），则f'（x）=2x1+tx1－ln ttx1－x1=1x1（t－1）2（t－1）t+1－ln[]t，其中1x1（t－1）＞0．令h（t）=2（t－1）t+1－ln t（t＞1），则h'（t）=－（t－1）2t（t+1）2＜0，h（x）在（1，+ɕ）单调减，故h（t）＜h（1）=0，即h（t）＜0在（1，+ɕ）内恒成立，所以f'（x）＜0．得证．2．构造差值增量函数例4已知函数f（x）=a e x(－x+b a、b∈Ｒ）有两个不同的零点x1、x2，对任意a∈（0，+ɕ），b∈Ｒ，证明：f'x1+x2()2＜0．证明不妨设x1＜x2．因为x1、x2是f（x）的两个不同的零点，所以a e x1－x1+b=0，a e x2－x2+b=0，两式相减，得a=x2－x1e x2－e x1．因为f'（x）=a e x－1，所以f'x1+x2()2=x2－x1e x2－e x1ex2+x12－1．令x2－x1=t＞0，则f'x1+x2()2=te x1+t－e x1e2x1+t2－1。

ʏ江苏省阜宁县实验高级中学 周 敏极值点偏移问题是近几年高考数学中比较经常出现的一类热点问题之一,也是考生比较难处理的一类常见问题㊂结合极值点偏移问题的三个常见破解策略,通过实例加以剖析,归纳总结破解的基本技巧与方法,引领并指导同学们进行复习备考㊂若单峰函数f (x )的极值点为m ,且函数f (x )满足定义域内x =m 左侧的任意自变量x 都有f (x )>f (2m -x )或f (x )<f (2m -x ),则函数f (x )的极值点m 左㊁右两侧的变化快慢不同㊂若单峰函数f (x )的定义域内任意不同的实数x 1,x 2满足f (x 1)=f (x 2),则x 1+x 22与极值点m 必有确定的大小关系:若m <x 1+x 22或m >x 1+x 22,则称为极值点左(或右)偏㊂此类极值点偏移问题,一直是高考中函数与导数问题比较常见且难度比较大的一类问题,备受老师和同学们的关注㊂一㊁对称变换例1 已知函数f (x )=x e -x ㊂(1)求函数f (x )的单调区间和极值;(2)若x 1ʂx 2,且f (x 1)=f (x 2),求证:x 1+x 2>2㊂解析:(1)求导可得f '(x )=e -x(1-x )㊂令f '(x )>0,得x <1;令f '(x )<0,得x >1㊂所以函数f (x )在(-ɕ,1)上单调递增,在(1,+ɕ)上单调递减㊂所以f (x )有极大值f (1)=1e,f (x )无极小值㊂(2)构造辅助函数F (x )=f (x )-f (2-x ),x >1,求导得F '(x )=f'(x )+f '(2-x )=e -x (1-x )+e x -2(x -1)=(x -1)㊃(e x -2-e -x)㊂因为当x >1时,x -1>0,e x -2-e -x>0,所以F '(x )>0,所以F (x )在(1,+ɕ)上为增函数,所以F (x )>F (1)=0,故当x >1时,f (x )>f (2-x )㊂(*)由f (x 1)=f (x 2),x 1ʂx 2,可设x 1<1<x 2,将x 2代入(*)式可得f (x 2)>f (2-x 2)㊂又因为f (x 1)=f (x 2),所以f (x 1)>f (2-x 2),又x 1<1,2-x 2<1,而f (x )在(-ɕ,1)上单调递增,所以x 1>2-x 2,所以x 1+x 2>2㊂点评:对称变换策略主要是解决极值点偏移问题中与两个极值点之和(或积)相关的不等式的证明问题㊂对称变换策略的解题要点为:(1)定函数(极值点为x 0);(2)构造函数,即根据极值点构造对称函数F (x )=f (x )-f (2x 0-x ),若证x 1x 2>x 20,则令F (x )=f (x )-fx 0x;(3)判断单调性;(4)比较大小;(5)转化㊂二㊁消参减元例2 已知函数f (x )=x 2+2x -2l n x ,若方程f (x )=x 2+2m 有两个不等实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并证明:x 1x 2<1㊂解析:方程f (x )=x 2+2m ,即x -l n x-m =0,令函数h (x )=x -l n x -m (x >0),求导得h '(x )=1-1x㊂当x ɪ(0,1)时,h '(x )<0,故h (x )单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,h '(x )>0,故h (x )单调递增㊂所以h (x )m i n =h (1)=1-m ㊂若方程f (x )=x 2+2m 有两个不等实根,则有h (x )m i n <0,即m >1㊂当m >1时,0<e -m <1<e m ,h (e -m )=e -m >0,h (e m )=em-2m ,令函数p (x )=e x-2x (x >1),求导得p'(x )=e x-2>0,即p (x )在(1,+ɕ)上是91解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.增函数,所以p (x )>p (1)=e -2>0,所以h (e m)>0,所以原方程有两个不等实根,所以实数m 的取值范围为(1,+ɕ)㊂不妨设x 1<x 2,则0<x 1<1<x 2,0<1x 2<1㊂要证x 1x 2<1,即证x 1<1x 2,即证h (x 1)>h 1x 2㊂因为h (x 1)=h (x 2)=0,所以h (x 1)-h 1x 2 =h (x 2)-h 1x 2=(x 2-l n x 2-m )-1x 2-l n 1x2-m =x 2-1x 2-2l n x 2㊂令函数φ(x )=x -1x-2l n x (x >1),求导得φ'(x )=1+1x2-2x =1x -12>0,所以φ(x )在(1,+ɕ)上单调递增,所以当x >1时,φ(x )>0,即x 2-1x 2-2l n x 2>0,所以h (x 1)>h1x 2,所以x 1x 2<1㊂点评:消参减元策略解决极值点偏移问题,结合所要证明的多变元(一般两个及以上)关系式加以恒等变形,建立与所求解问题相关的函数,结合消参并减元,合理构建关系式,通过研究函数的单调性㊁极值与最值等相关问题来恒等变换,进而得以解决对应的极值点偏移问题㊂三㊁比(差)值换元例3 已知函数f (x )=a x 2-e x(a ɪR )在(0,+ɕ)上有两个零点x 1,x 2(x 1<x 2)㊂(1)求实数a 的取值范围;(2)求证:x 1+x 2>4㊂解析:(1)因为f (x )=a x 2-e x在(0,+ɕ)上有两个零点,所以方程a =e xx2=h (x )有两个解,求导得h '(x )=e x(x -2)x3㊂当x ɪ(0,2)时,h '(x )<0,所以h (x )在(0,2)上单调递减;当x ɪ(2,+ɕ)时,h '(x )>0,所以h (x )在(2,+ɕ)上单调递增㊂所以h (x )m i n =h (2)=e24,所以实数a 的取值范围为e 24,+ɕ㊂(2)因为x 1,x 2(x 1<x 2)是f (x )=a x 2-e x 在(0,+ɕ)上的零点,所以a x 21=e x 1,a x 22=e x 2,两式相除可得x 2x 12=ex 2-x 1,令x 2x 1=t (t >1),则t 2=ex 2-x 1,即x 2-x 1=l n t 2=2l n t ,与x 2x 1=t 联立,解得x 1=2l n tt -1,x 2=2t l n tt -1㊂要证明x 1+x 2>4,即证明2l n t t -1+2t l n tt -1>4,即证明l n t +t l n t >2t -2㊂令函数h (t )=l n t +t l n t -2t +2,求导得h '(t )=1t+l n t -1㊂令函数φ(t )=1t+l n t -1,求导得φ'(t )=1t -1t 2=t -1t 2>0,故φ(t )在(1,+ɕ)上单调递增,故φ(t )>φ(1)=0,即h '(t )>0,故h (t )在(1,+ɕ)上单调递增,故h (t )>h (1)=0,即l n t +t l n t >2t -2,结论得证㊂点评:比(差)值换元策略解决极值点偏移问题,比(差)值换元的目的也是消参㊁减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参㊁减元的目的㊂设法用比值或差值(一般用t 表示)表示两个极值点,继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题㊂熟练理解并把握极值点偏移问题的基本破解策略,着重抓住对称变换㊁消参减元㊁比(差)值换元策略解决问题的实质,关键是以不同的策略巧妙通过消参或消元等方式,合理构建函数,利用导数的运算与应用,以及函数的单调性㊁极值与最值等来综合应用,合理化归与转化,借助数形结合思想,巧妙应用,合理破解㊂(责任编辑 王福华)2 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。