学年高一数学人教B版必修4精练：3.1.2两角和与差的正弦

3.1.2 两角和与差的正弦课后篇巩固探究 一、A 组 基础巩固1.sin 10°cos 35°-sin 260°sin 145°的值是( ) A.√22 B.-√22C.sin 25°D.-sin 25°2.已知sin α=-35,α∈(π,3π2),则sin (α+π4)的值为( ) A .3√210 B .7√210 C .-√210D .-7√210α∈(π,3π),sin α=-3,∴cos α=-4, sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4 =-35×√22+(-45)×√22=-7√210.3.在△ABC 中,A=15°,则√3sin A-cos(B+C )的值为( ) A .√32B .√22C .√2D .2=√3sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin45°=√2.4.在△ABC 中,2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形2cos B sin A=sin C ,∴2cos B sin A=sin(A+B ).∴2cos B sin A=sin A cos B+cos A sin B. ∴sin A cos B-cos A sin B=0,∴sin(A-B )=0. ∵A ,B 是△ABC 的内角,∴A=B. ∴△ABC 是等腰三角形.5.已知α∈(π,3π2),sin α=-14,β∈(3π2,2π),cos β=45,则α+β为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6.已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(√2,√2),a ·b =85,则cos (x -π4)= .7.已知sin α=12,sin β=13,则sin(α+β)sin(α-β)= .8.导学号73764075已知cos (π4-α)=35,sin (3π4+β)=513,其中π4<α<3π4,0<β<π4,求sin(α+β)的值.α+β+π2=3π4+β-(π4-α),所以sin(α+β)=-cos [π2+(α+β)] =-cos [(3π4+β)-(π4-α)] =-cos (3π4+β)cos (π4-α)-sin (3π4+β)sin (π4-α). 又因为π4<α<3π4,0<β<π4, 所以-π2<π4-α<0,3π4<3π4+β<π. 所以sin (π4-α)=-45,cos (3π4+β)=-1213.所以sin(α+β)=-(-1213)×35−513×(-45)=5665. 9.已知M (1+cos 2x ,1),N (1,√3sin 2x+a ),若f (x )=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点). (1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈[0,π2]时,f (x )的最大值为4,求a 的值.f (x )=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+cos2x+√3sin2x+a , ∴f (x )=cos2x+√3sin2x+a+1. (2)f (x )=cos2x+√3sin2x+a+1 =2sin (2x +π6)+a+1,∵x ∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴当2x+π6=π2时,即x=π6时,f (x )取得最大值为3+a ,∴3+a=4,∴a=1.二、B 组 能力提升1.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则lo g √5(tanαtanβ)2等于( )A.2B.3C.4D.62.sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°的值等于( ) A.2+√3 B.2+√32 C.2-√3D.2-√32=sin (15°-8°)+cos15°sin8°cos (15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=sin15°cos15°=√6-√246+24=2-√3.3.已知f (x )=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函数,且在[0,π]上是减函数,则θ的一个值是( ) A .π4B .πC .43πD .54π(x )=√2sin (3x +θ-π4),∵f (x )是奇函数,∴f (0)=√2sin (θ-π4)=0,∴θ=k π+π4,k ∈Z . ∵f (x )在[0,π6]上是减函数,∴k 为奇数. 当k=1时,θ=5π.4.在△ABC 中,已知sin(A-B )cos B+cos(A-B )sin B ≥1,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .等腰非直角三角形sin(A-B )cos B+cos(A-B )sin B=sin(A-B+B )=sin A ≥1,且0≤sin A ≤1,∴sin A=1,即A=π2,∴△ABC 是直角三角形.5.函数y=sin x+cos x+2(x ∈[0,π2])的最小值是( ) A .2-√2 B .2+√2 C .3D .1sin x+cos x+2=√2sin (x +π4)+2.∵x ∈[0,π2],∴x+π4∈[π4,34π], ∴y min =√2×√22+2=3.6.已知A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则sin (α+π4)= .AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3,sin α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α,sin α-3),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=cos 2α-3cos α+sin 2α-3sin α=1-3√2sin (α+π4)=-1.∴sin (α+π4)=√23.7.已知sin α+cos α=√62,α∈(0,π4),则sin (α-5π4)= .(α-5π4)=sin αcos 5π4-cos αsin 5π4=√22cos α-√22sin α=√22(cos α-sin α).∵α∈(0,π4),∴cos α>sin α, ∴(sin α+cos α)2=32,(sin α-cos α)2=12,∴cos α-sin α=√22. ∴sin (α-5π)=√2×√2=1.8.已知f (x )=sin 2x+√3cos 2x-1,x ∈[0,π2]. (1)求f (x )的最大值;(2)求f (x )在定义域上的单调递增区间.f (x )=2sin (2x +π3)-1.∵0≤x ≤π2,∴π3≤2x+π3≤4π3. ∴f (x )max =1.(2)由π3≤2x+π3≤π2,得0≤x ≤π12.∴f (x )在定义域上的单调递增区间为[0,π12].9.已知函数f (x )=A sin(x+φ)(A>0,0<φ<π,x ∈R )的最大值是1,其图象经过点M (π3,12).(1)求f (x )的解析式;(2)已知α,β∈(0,π2),且f (α)=35,f (β)=1213,求f (α-β)的值.因为函数f (x )的最大值为1,所以A=1.因为f (x )的图象经过点M (π3,12), 所以sin (π3+φ)=12.因为0<φ<π,所以π3<π3+φ<4π3. 所以π3+φ=5π6.所以φ=π2. 所以f (x )=sin (x +π2)=cos x. (2)因为f (α)=cos α=35,f (β)=cos β=1213, 且α,β∈(0,π2),所以sin α=45,sin β=513.所以f (α-β)=cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β =35×1213+45×513=5665. 10.导学号73764076已知函数f (x )=sin (2x +π6)+sin (2x -π6)+cos 2x+a (a ∈R ,a 为常数).(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间; (2)当x ∈[0,π]时,f (x )的最小值为-2,求a 的值.∵f (x )=2sin2x cos π+cos2x+a=√3sin2x+cos2x+a=2sin (2x +π6)+a ,∴f (x )的最小正周期T=2π2=π. 当2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z ,即k π-π≤x ≤k π+π(k ∈Z )时,函数f (x )单调递增, 故所求区间为[kπ-π3,kπ+π6](k ∈Z ). (2)当x ∈[0,π2]时,2x+π6∈[π6,7π6], ∴x=π2时,f (x )取得最小值. ∴2sin (2×π2+π6)+a=-2, ∴a=-1.。

两角和与差的正弦课时过关 ·能力提高1.cos 23 sin° 53 -sin° 23 cos° 53 等°于 ()A. B.- C.- D.分析 :原式 = sin 53 cos° 23 °-cos 53 °sin 23 =sin(53° °-23°)= sin 30 °= .答案 :A2.假如α∈,且 sin α= ,那么 sin cos α等于 ()A. B. - C. D. -分析 :sin cos α= sin αcos + cos αsin cos α=sin α=.答案 :A3.函数 f(x)= 5sin x-12cos x(x∈ R)的最小值是 ()A .-5B .-12 C.-13 D .0分析 :因为 f(x)= 5sin x-12cos x=sin(x+ φ)= 13sin( x+ φ),此中 ,sin φ=-,cos φ= .因为 x∈R ,所以 x+ φ∈ R ,故 f(x)的最小值是 -13.答案 :C4.设 a= 2sin 24 ,b=°sin 85-° cos 85 ,c=2(sin° 47·sin° 66 - sin° 24 sin° 43 ),°则()A. a>b>cB. b>c>aC.c>b>aD. b>a>c分析 :b= sin 85 °- cos 85 °=2sin(85 °-60°)= 2sin 25 ,°c= 2(sin 47 sin°66 - °sin 24 sin° 43 ) °=2(sin 47 cos° 24 -°cos 47 sin° 24 )=°2sin(47 -24°°)=2sin 23 , °而 a= 2sin 24 °,且 sin 23 <°sin 24 °<sin 25 ,°所以必有 b>a>c.答案 :D5.在△ ABC 中,若 sin B= 2sin Acos C,则△ ABC 必定是()A .等腰直角三角形B .等腰三角形C.直角三角形 D .等边三角形分析 :因为 A+B+C= π,所以 B= π-(A+C ).于是 sin B= sin[ π-(A+C )]= sin(A+C )= sin Acos C+ cos AsinC, 所以 sin Acos C+ cos Asin C= 2sin Acos C,于是 sin Acos C-cos Asin C= 0,即 sin(A-C )= 0,必有 A=C ,△ ABC 是等腰三角形 .答案 :B6.已知向量a= (cos x,sin x),b= (),a·b= ,则 cos等于()A.-B.-C.D.分析 :由 a·b= ,得cos x+sin x= ,∴cos x+ sin x= ,即 cos,应选 D.答案 :D7.若α,β都为锐角 ,则 sin(α+ β)与 sin α+ sin β的值知足()A.sin( α+β)> sin α+ sin βB.sin( α+ β)< sin α+ sin βC.sin( α+ β)= sin α+ sin βD.sin( α+β) ≥ sinα+ sin β分析 : 将 sin( α+ β)利用两角和的正弦公式睁开,注意锐角条件,则有sin( α+ β)= sin αcos β+ cosαsin β< sin α+ sin β.答案 :B8.已知 tan(α+ β)= 2,则=.分析 :原式==3.答案 :39.要使 sin α- cos α= 2m+ 1 存心义 ,则 m 的取值范围是.分析 :因为 sin α- cos α= 2= 2sin,所以 -2≤2m+ 1≤2,即 - ≤m≤.答案 :★10.已知 cos,sin,此中< α<,0< β< ,求 sin( α+ β)的值 .解 : ∵α+ β++ β-,∴s in(α+ β)=- cos=- cos=- cos cos-sin sin.∵< α< ,0< β< ,∴--α<0,+ β< π.∴sin=- ,cos=-.∴sin(α+ β)=-.★11.已知函数f(x)=- 1+ 2sin 2x+m cos 2x 的图象经过点A(0,1),求此函数在上的最值.解 : ∵点 A(0,1)在函数 f(x)的图象上 ,∴1=- 1+ 2sin 0+mcos 0,解得 m=2.∴f(x)=- 1+ 2sin 2x+ 2cos 2x=2(sin 2x+ cos 2x)-1= 2 sin-1.∵0≤x≤ ,∴≤2x+.∴- ≤sin≤1.∴-3≤f(x) ≤2 -1.∴函数 f(x)的最大值为 2 -1,最小值为 -3.。

3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)[自主预习·探新知]1．两角和与差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.2．辅助角公式siny＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θθ思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？[提示]对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()[解析](1)√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( ) A.12 B.22C.32D ．以上都不对A [原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.] 3．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4πC [y ＝sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴函数的最小正周期为T ＝2π.]4．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45，则sin(α＋β)＝________.【导学号：79402116】[解析] ∵α为锐角，且sin α＝35， ∴cos α＝45.又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－45， ∴cos β＝45，sin β＝－35.∴sin(α＋β)＝35×45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝0.[答案] 0[合 作 探 究·攻 重 难]利用公式化简求值(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12D.32(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值． [思路探究] (1)化简求值应注意公式的逆用．(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值． [解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12. [答案] C(2)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1. (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)· cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ；(2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).【导学号：79402117】[解] (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0. (2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.给值(式)求值设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．[思路探究] 应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解析] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin β＝－32，所以cos β＝12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝32×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32.母题探究：1.(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝32×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝34－34－14－34＝－1.2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？ [解] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32. 因为β为第三象限，所以cos β＝－12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34＋34＝0. [规律方法] (1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.,提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值.辅助角公式的应用[探究问题]1．函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z)的最大值为2对吗？为什么？ [提示] 不对．因为sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以函数的最大值为 2.2．函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ [提示] 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ， 令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)， 所以函数y 的最大值为5. 3．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式？[提示] a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫aa 2＋b 2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到． [思路探究] 辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．[解] (1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π(k ∈Z)，所以x ＝4π3＋2k π(k ∈Z)． 所以f (x )的最小值为－3，x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z. (2)将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y ＝3sin x 的图象；然后将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象.[当 堂 达 标·固 双 基]1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( )【导学号：79402118】A.12 B ．－12 C.32D ．－32D [原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D.] 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B.7210C ．－210 D.210A [∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35，由两角和的正弦公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B [f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 故选B.]4．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________. [解析] 原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝ sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32. [答案] 325．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。