数形结合(函数的应用)

数形结合在高中函数的应用
简单点说，数可以理解为数字，数学表达式，形即图形，包括函数图象，简图等等
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。

函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。

从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以
及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。

用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀数形结合在函数与方程中的应用◉江苏省常熟市浒浦高级中学㊀李宝香㊀㊀函数与方程是高中数学的重要组成部分,也是高考的核心考点,二者既相互联系又相互区别．它们与其他知识点也有着密切的联系,学好这部分知识点对学生提高数学水平㊁提升数学能力都有着非常重要的意义．方程与函数相结合的题目比较灵活,学生解题时常常因为找不到合适的切入点而望而却步．数形结合作为一种重要的思想方法,其在解决函数与方程问题中有着重要的应用．日常教学中,教师应让学生充分体会函数与方程的转化关系,重视启发学生借助图象的直观来解决一些抽象的方程㊁不等式㊁函数单调性等问题,以此提高解题效率．下面笔者结合实例谈谈自己在这部分知识教学时的一些心得体会,若有不足,请指正．１利用数形结合思想研究一元二次方程的根的分布问题㊀㊀方程的根与函数的零点既是高中数学的重点,也是难点．在这部分知识教学中,教师应重视基础知识的讲解,让学生理解并掌握二者之间的等价关系,并学会用数形结合思想方法解决问题,感悟数形结合思想方法在解决此类问题中的价值,发展数学素养．１．１探寻基础,沟通联系在函数与方程的教学中,教师应重视引导学生将方程中的相关结论用函数图象来表达,以此将方程的根与函数的零点建立联系,通过数形结合,让学生深刻理解二者的等价关系,从而为后期的应用奠基．设一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ʂ０)的两个实数根分别为x １,x ２,且x １ɤx ２,有以下重要结论．结论１:x １＞０,x ２＞０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＜０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＞０．ìîíïïïï根据结论１,结合二次函数图象得到函数零点的分布情况,如图１．图１结论２:x １＜０,x ２＜０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＞０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＜０．ìîíïïïï同理,结合结论１的研究经验,根据结论２可以得到对应的二次函数图象,如图２．图２结论３:x １＜０＜x ２⇔ca ＜０．结论４:x １＝０,x ２＞０⇔c ＝０且ba＜０;x １＜０,x ２＝０⇔c ＝０且ba＞０．(对应图象如图３㊁图４)图３图４数 与 形 建立联系,为研究方程的根的分布情况带来了便利,促进了学生高阶思维能力的发展．１．２灵活应用,深化认知例１㊀假设x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６＝０．(１)如果方程有两个根均大于０,求实数m 的取值范围;(２)如果方程的两个根一个比１大,一个比１小,３４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀求实数m 的取值范围;(３)如果方程的两个根均大于１,求实数m 的取值范围．问题给出后,教师让学生独立完成．教师巡视,发现大多学生选择运用初中所学的方程知识来求解．有的因为运算复杂而望而却步,有的因为漏解最终导致结果错误,解题效果一般．在解决此类问题时,教师要引导学生运用数形结合思想,借助图形的直观去研究已知,探寻未知,有效避免错误的发生．教学中,教师选择了一些典型性解答过程进行展示,以下是学生给出的解问题(３)的解答过程．生１:根据Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,(x １－１)(x ２－１)＞０,{可得m ȡ５或m ɤ－１．生２:由Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,ìîíïïïï得m ȡ５．生１按照解决问题(１)的思路求解,解得m ȡ５或m ɤ－１;而生２按照解决问题(２)的思路求解,解得m ȡ５．可以看出,大多学生习惯性地利用根的判别式和韦达定理来求解此类问题．对于简单的问题,此种方法确实一个好的解题策略,该方法虽然运算上略显复杂,但是学生易于理解和接受．不过,对于复杂的问题,若依然采用该方法求解可能会陷入误区．教学中,教师让学生思考: 上述问题(３)的两种解法正确吗?你能否举例验证呢 在问题的引导下,学生积极思考,很快就发现了问题．对于生１给出的(x １－１)(x ２－１)＞０这一条件,学生给出这样一个反例:若x １＝－３,x ２＝－１,虽满足(x １－１)(x ２－１)＞０,但却不满足 方程两根均大于１ 这一条件．对于生２给的条件,同样也给出了反例:若x １＝４,x １＝１２,同样满足x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,{但却不满足 方程两根均大于１ 这一条件．显然利用解决问题(１)和问题(２)的策略来研究问题(３)是行不通的．此时,教师不妨引导学生分析函数的零点,借助函数图象寻找解决问题的突破口．由y ＝x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６的图象(此处略),可得Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,２(m －１)２＞１,f (１)＞０,ìîíïïïï所以m ȡ５．在此基础上,教师可以引导学生运用函数零点分布的知识重新思考问题(１)和问题(２),以此通过对比分析发现不同解法的优缺点．以上问题求解后,教师还应引导学生向一般转化,思考这样几个问题:已知方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ＞０)有两个根．若方程有两个正根,此时应满足什么条件?若方程两根都比m 大,又应满足什么条件呢?若方程一个根比m 大,另一个根比m 小呢?由此通过由特殊到一般的转化,帮助学生总结二次函数零点分布的解法,提高学生解题技能．在数学教学中,不应仅将目光聚焦于问题解决上,还应思考问题解决过程中涉及的数学思想方法,让学生学会从整体㊁全局的角度去思考问题,通过深入探究提高学生分析和解决问题的能力．２利用数形结合思想解方程和不等式函数是方程与不等式的扩展,三者相互沟通㊁相互转化．谈起解方程,大家脑海中大多浮现的是解一元一次方程㊁一元二次方程(组),其实方程的类型远不止于此,有些方程直接求解可能很难找到合理的切入点,需要将其转化为函数,利用函数思想求解往往可以事半功倍．其实,在研究幂函数㊁指数函数㊁对数函数㊁三角函数等一些特殊形式的函数时,都会要求学生画出这些函数的图象,然后运用一些特殊方程与函数的交点问题来研究方程的根．３利用数形结合思想研究函数的单调性函数单调性是高中数学教学的一个难点内容．之所以难是因为函数单调性的概念比较抽象,部分学生直接应用定义法研究函数单调性时容易遇到障碍,从而影响解题效果．其实我们在学习新函数时,都会研究其图象,然后根据函数图象研究函数的相关性质．因此,在研究初等函数或者由初等函数复合而来的函数的单调性问题时,可以结合函数图象来分析,以此借助 形 的直观让问题更加形象,消除学生的畏难情绪,提高解题信心．例２㊀求函数y ＝x |x |－２|x |的单调区间．分析:在解决此类含绝对值的函数问题时,首先要引导学生去掉绝对值符号,然后结合函数图象研究其性质．根据绝对值的定义去掉绝对值,可得y ＝x ２－２x ,x ȡ０－x ２＋２x ,x ＜０,{然分别画出y ＝x ２－２x (x ȡ０)和y ＝－x ２＋２x (x ＜０)的函数图象,问题即可迎刃而解．数形结合在研究函数与方程问题中有着重要的应用,若在教学中合理加以利用可以淡化数学的抽象性,帮助学生更好地理解知识㊁解决问题,提高解题信心．因此,在课堂教学中,教师不仅要讲授知识,还要渗透思想与方法,以此提高教学质量和学生数学素养．Z４４。

高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集， 需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。

因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。

（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。

从而该函数的值域为：(]0,4-。

小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。

（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。

所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。

小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。

（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。

数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。

高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。

解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。

寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。

这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。

充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。

总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。

本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。

2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。

如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。

我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。

（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。

数形结合在数学中的应用数形结合是指将数学中的符号、公式、运算与几何中的图形、形状、空间相结合，以增强对于数学概念和原理的理解和应用。

数形结合在数学中的应用非常广泛，以下是一些具体例子。

1. 三角函数中的图像三角函数是数学中非常重要的概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

通过将这些函数与图像相结合，我们可以更好地理解它们的性质和特点。

例如，正弦函数的图像是一个周期性的波形，可以被看作是在单位圆上旋转的一个点的纵坐标。

余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是起始位置不同。

通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如正弦函数的周期为2π、余弦函数的最大值为1等。

同时，通过研究这些图形的对称性、周期性，我们也能够更深刻地理解三角函数的性质。

2. 空间几何中的向量向量是空间几何中的重要概念，它可以表示任意一个有大小和方向的量。

通过将向量与图形相结合，我们可以更好地理解向量的性质和应用。

例如，在二维平面中，我们可以用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的长度，箭头的方向表示向量的方向。

在三维空间中，向量变成了一个有长度和方向的线段。

通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如两个向量的点积、向量的模长等。

3. 几何中的圆与数学中的弧度圆是几何中的重要概念，它有着许多特殊的性质。

通过将圆与数学中的弧度相结合，我们可以更好地理解圆的性质和应用。

弧度是一个角度的度量单位，它可以用弧长除以半径来计算。

通过将弧度与圆相结合，我们可以得到圆的周长公式，而圆的面积公式也可以通过数学推导得到。

4. 数学中的图形变换图形变换是数学中非常重要的概念，它包括平移、旋转、缩放、翻转等。

通过将图形变换与几何中的图形相结合，我们可以更好地理解图形变换的性质和应用。

例如，在平面几何中，我们可以用矩阵来表示一个图形的平移、旋转和缩放。

通过观察这些矩阵的特点，我们可以得到一些图形变换的性质，例如平移变换不改变图形的大小和形状、旋转变换不改变图形的面积等。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。

在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。

“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。

本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。

一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。

一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。

二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。

通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。

在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。

可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。

老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。

二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。

可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。

通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。

在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。

通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。

在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。

数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。

下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。

思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。

数形结合在函数教学中的应用数学中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互解释，这便是“数形结合”的思想。

在初中函数中，函数变量关系与绘制图像联系密切，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。

在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了极大的方便。

例如在一次函数的教学中，设计了如下一些教学思路：（1）探究性课题：1、水电费账单数据的分析。

2、物理学科中电阻、电压、电流关系。

提出一些问题：探究这些变量之间的数量关系，画出相应的函数图象，并结合数学知识编制新问题。

这样把实际生活中的问题上升为数学问题并构建为数学模型。

设计练习：a:直角三角形的两个锐角的度数分别为x、y，用x表示y的关系式；b:从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？（2）问题情境：龟兔赛跑的结局提出新的问题：兔子醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，就以每小时3000米的速度去追，而乌龟仍以每小时500米的速度前进，那么谁能最终获胜？学生猜测、讨论思考：若设兔子醒后追了t小时，龟、兔离开睡觉处S（米）与时间t（小时）是什么关系？学生：兔：S=3000t (t>0)龟：S2=2500+500t (t>0)提问：1：能用学过的方法直观反映问题吗？（画图）2：图像的交点表示什么实际意义？交点的左侧呢？右侧呢？由学生通过讨论、计算得出3个结论。

教学策略：猜想—探究通过讨论、质疑、尝试，结合函数关系，利用数形结合进行分析，在实际问题与数学知识之间建立数学模型，探究结论，准确直观的解决问题。

在反比例函数和二次函数的教学中，有意识的去引导学生把“数”和“形”结合起来去解决相关问题，让学生在自我尝试中体会数学的魅力，从而降低了教与学的难度。