线性代数历年真题(87-15)

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。

答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。

答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。

答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。

线性代数_中国人民大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.下列结论中不正确的是【图片】参考答案:若n阶实矩阵A的列向量组两两正交, 则A必为正交矩阵2.下列矩阵中为正交矩阵的有参考答案:_3.若向量组【图片】线性无关, 则在每个向量的相同位置去掉若干分量后仍会线性无关.参考答案:错误4.设A为n阶实矩阵对称，满足【图片】=0,且【图片】,则【图片】（）参考答案:5.【图片】中的任意一个向量与自身的内积必大于零参考答案:错误6.任何实二次型都可经过可逆线性替换化为规范形，且规范形唯一。

参考答案:正确7.若m与n不相等且均大于1,则以下哪些矩阵可以视为向量？参考答案:1行n列的矩阵_m行1列的矩阵8.设【图片】是【图片】矩阵，【图片】的秩，【图片】，则下列说法中正确的是参考答案:当时，将按列分块后, 的所有列所组成的向量组必线性相关.9.已知矩阵【图片】，且【图片】，则【图片】参考答案:10.本周视频中【百鸡问题】对应的线性方程组理论上一定有无穷多解，但是只有有限个解符合实际含义。

参考答案:正确11.当用初等变换法求解n元线性方程组时, 若方程组的增广矩阵经初等行变换化成的阶梯形矩阵的最后一列不含主元，则该方程组可能存在以下什么情况？参考答案:有无穷多个解_有唯一解12.任意一个向量组都有极大线性无关组参考答案:错误13.对于【图片】中的任意两个向量【图片】,都必有【图片】参考答案:正确14.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数等于参考答案:该方程组系数矩阵的列数减去系数矩阵的秩_该方程组中自由未知量的个数15.当线性方程组的系数矩阵为以下什么方阵时,对该方程组一定可以运用克拉默法则？参考答案:可逆矩阵_初等矩阵16.设矩阵【图片】的秩为【图片】，则下列叙述正确的是参考答案:至少有一个阶子式不等于 017.下列下列叙述正确的是（）参考答案:单位矩阵既是对角矩阵又是对称矩阵18.下列论断中是矩阵【图片】正定的充分必要条件的是（）.参考答案:正定19.一个二次型可能有多个标准型。

[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (11)设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为（A）α1，α3．（B）α1，α2．（C）α1，α2，α3．（D）α2，α3，α4．2 (15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为3 (05分)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是（A）λ1≠0（B）λ2≠0（C）λ1=0（D）λ2=0二、填空题4 (01)设方程组有无穷多个解，则a=______．5 (02)矩阵A=的非零特征值是______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6 (97)λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．7 (98)已知α1=[1，4，0，2]T，α2=[2，7，1，3]T，α3=[0，1，-1，a]T，β=[3，10，6，4]，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并写出此表示式．8 (00)设A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置．求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+y9 (01)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα1，β4=α1+tα1．讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX=0的一个基础解系．10 (02)已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．11 (03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．12 (04)设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．13 (05)已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b．c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．14 (06)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解．15 (07)设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a-1 ②有公共解，求a的值及所有公共解．16 (08)设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)a n；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．17 (09)设(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，Aξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关.18 (10)没A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．19 (12)设A=(Ⅰ)计算行列式｜A｜；(Ⅱ)当实数n为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．20 (13)设A=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.21 (14)设A=，E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．22 (16)设矩阵A=，且方程组Ax=β无解．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求方程组A T Ax=A Tβ的通解．23 (17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， (Ⅰ)证明r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．24 (18)已知a是常数，且矩阵A=可经初等列变换化为矩阵B=(1)求a；(2)求满足AP=B的可逆矩阵P．25 (03)若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr-1AP=Λ．26 (04)设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求n的值，并讨论A是否可相似对角化．27 (06)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q T AQ=A．28 (07)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A 的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵b．。

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )A．A的任意m个列向量必线性无关．B．A的任意一个m阶子式不等于零．C．若矩阵B满足BA=O，则B=O．D．A通过初等行变换，必可以化为[ImO]的形式．正确答案：C解析：1 由BA=O知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=0的解，由题设知A的列向量中有m个是线性无关的，故Bx=0解集合中至少有m个线性无关的解向量，因而Bx=0的基础解系所含向量个数不小于m，即m－r(B)≥m，所以r(B)≤0，故r(B)=0，即B=O．2 由于r(Am×n)=m，故存在可逆矩阵Pm×n，使得AP=[Im O]用右乘两端，得记n×m矩阵Q=P，则有AQ=Im，于是用Q右乘题设等式BA=O两端，得BAQ=O，即BIm=O，亦即B=O．知识模块：线性代数2．齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O，则( )A．λ=－2且|B|=0B．λ=－2且|B|≠0C．λ=1且|B|=0D．λ=1且|B|≠0正确答案：C解析：1 设B按列分块为B=[β1 β2 β3]，则由题设条件，有O=AB=[A β1Aβ2 Aβ3]所以Aβj=0(j=1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Ax=0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Ax=0存在非零解，从而有=(λ－1)2=0得λ=1另一方面，必有|B|=0，否则|B|≠0，则B可逆，于是由给AB=O 两端右乘B－1，得A=O，这与A≠O矛盾，故必有|B|=0．因此C正确．2 同解1一样可说明必有|B|=0，同理有|A|=0，观察可知当λ=1时有|A|==0，故C正确．知识模块：线性代数3．设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且A 的秩r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解X=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于AX=b的通解等于AX=b的特解与AX=0的通解之和，故只要求出AX=0的基础解系，即得AXb的通解．因为r(A)=3，故4元齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为4－r(A)=1，所以AX=0的任一非零解就是它的基础解系．由于α1及1／2(α2+α3)都是Ax=b的解．故α1－(α2+α3)=1／2[2α1－(α2+α3)]是AX=0的一个解，从而ξ=(2，3，4，5)T也是AX=0的一个解，由上述分析知考是AX=0的一个基础解系，故Ax=b的通解为X=α1+cξ，因此C正确．知识模块：线性代数4．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAN=0，必有( )A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：若向量X满足方程组AX=0，两端左乘AT，得ATAX=0，即X也满足方程组ATAX=0，故AX=0的解都是ATAX=0的解．反之，若X满足ATAX=0，两端左乘XT，得ATATAX=0，即(AX)T(AX)=0，或‖AX‖2=0，故AX=0，即X也满足方程组AX=0，故ATAX=0的解都是AX=0的解由以上两方面，说明方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解的，故A正确．知识模块：线性代数5．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩=秩(A)，则线性方程组( ) A．AX=α必有无穷多解．B．AX=α必有惟一解．C．=0仅有零解．D．=0必有非零解．正确答案：D解析：方程组=0是λ+1元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=An ×n的秩≤n＜n+1，故该λ+1元齐次线性方程组必有非零解．于是知D正确．知识模块：线性代数6．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：1 注意AB为m阶方阵，方程组(AB)x=0有非零解(只有零解)(AB)＜m(r(AB)=m)．当m＞n时，有r(AB)≤r(A)≤n＜m故当m＞n时，方程组(AB)x=0必有非零解．可以举例说明备选项A、B都不对．故只有D正确．2 B为n×m 矩阵，当n＜m时，齐次线性方程组Bx=0必有非零解，从而知当n＜m时，齐次线性方程组ABx=0(即(AB)x=0)必有非零解．知识模块：线性代数7．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系( )A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B解析：由A*≠O知A*至少有一个元素Aij=(－1)ijMij≠0，故A的余子式Mij≠0．而Mij为A的n－1阶子式，故r(A)≥n－1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n－1，因此，Ax=0的基础解系所含向量个数为n－r(A)=n －(n－1)=1，只有B正确．知识模块：线性代数8．设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：首先，由A[1／2(η2+η3)]=β，知1／2(η2+η3)是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2－η1及η3－η1均为方程组Ax=0的解；再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2－η1，η3－η1]及矩阵的秩为2，知向量组η2－η1，η3－η1，线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3－r(A)=3，r(A)=0．A=O，这与Aη1=β≠0矛盾)，于是η2－η1，η3－η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2－η1)+k2(η3－η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．知识模块：线性代数填空题9．设其中ai≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)．则线性方程组ATX=B的解是_______．正确答案：(1，0，…，0)T．解析：因为a1，a2，…，an两两不相等，故范德蒙行列式|A|=(ai－aj)≠0，所以方程组ATX=B的系数行列式|AT|=|A|≠0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为X=(1，0，…，0)T．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

20XX年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷(课程代码 04184)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设3阶方阵A的行列式为2，则= 【】A．-1 B．-C． D．12．设，则方程的根的个数为【】A．0 B．1C．2 D．33．设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若|A|≠|B|，则必有A．|A|=0 B．|A+B|≠0C．|A|≠0 D．|A-B|≠04. 设A、B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是【】A． B．C． D．5．设A= ，其中，则矩阵A的秩为【】A．0 B．1C．2 D．36.设6的阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为【】A．0 B．2C．3 D．47.设向量a=（1，-2，3），与=（2，k，6）A．-10 B．-4C．4 D．108．已知线性方程组无解，则数a= 【】A．- B．0C． D．19．设3阶方阵A的特征多项式为，则|A|= 【】10．若3阶实对称矩阵A=( )是正定矩阵，则4的3个特征值可能为【】二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设行列式D=,其第三行各元素的代数余子式之和为．12设A=，B=,则AB：．13设A是4x3矩阵且r（A）=2，B=，则r（AB）．14.向量组（1,2），（2,3），（3,4）的秩为15设线性无关的向量组可由向量组线性表示，则r与s的关系为16．设方程组有非零解，且数，则= ．17．设4元线性方程组Ax=b的三个解，已知，．则方程组的通解是．19．设矩阵有一个特征值=2，对应的特征向量为，则数20．设实二次型，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．设矩阵，，其中口，均为3维列向量，且 |A|=18，|B|=2．求|A-B|．22．解矩阵方程23．设向量组，，问P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组．24．设3元线性方程组(1)确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)25.已知2阶方阵A的特征值为，方阵．(1)求B的特征值；(2)求B的行列式．。

《线性代数》在线练习题（50%）选择题1.n 阶行列式 n D 可按任一行（列）展开，其展开式共有!n 项.如果按逆序数表示可写为（ B ）B. nnn j n j j j j j j j j r n a a a D 21212121)()(∑-=2、行列式D 按第k 行展开等于（ C ）C.),,2,1(1n k A ai k ni ik =∑=2. 互换行列式的两行（列），则行列式（ B ） B. 变号3. 范德蒙行列式的计算公式)(1111121121==---n nn n nn x x x x x x V(A)A.∏≤<≤-nj i i j x x 1)(答案： 选 A.4.)(=AB (B) B.BA ⋅5. 若,0≠A 则矩阵A 可逆，且（ A ）A.*-=A A1A16. 若A 为正交矩阵，则其行列式 )(=A (C)C. 1±7.向量),,(554用向量 )2,3,3(,)4,1,1(,)3,2,1(-的线性表示式为（ B ） B. )5,5,4(),,(),,(233321+= 或)5,5,4(),,(),,(4113213--=8.n 元齐次线性方程组 =x A 0有非零解的充分必要条件是（ C ）C. nr <)(A9. 若向量组k b b b ,,,21 可用向量组ma a a ,,,21 线性表示，则（ D ）D. r rk ≤),,,(21b b b ),,,(21m a a a10. 方阵A互不相同的特征值k λλλ,,,21 所对应的特征向量k ααα,,,21 必（ B ）B. 线性无关11.设λ是矩阵A的 k 重特征值，则有不等式（ D ）D. ).(A E --≥λr n k12.n 阶矩阵()ji a =A 所有特征值之和等于A 的主对角线上所有元素之和等于（ D ）D..1i i ni a ∑=13. 二次型xA x T 为正定的充分必要条件是（B ） B.A的顺序主子式都大于零14.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++.0200z y x z y k x z y x k 有非零解，则其中 )(=kD. 1-=k 或 4=k 答案： 选D .15.设,0010,1000⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 则BA =（ D ）D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡001016.若,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθA 则),(=kA 其中k 为一个正整数.C. ,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθk k k k kA (C)17.用初等变换可求得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=431212321A 的逆矩阵)(1=-AA. .315416112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---答案： 选 A.18.矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112A 的特征值为（ A ） A. ,11=λ32=λ19.已知向量Tk )1,,1(=α是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，则常数 k 等于（ B ）B. 1 或 - 220. 向量的范数有如下三角不等式关系（ C ） C．βαβα+≥+21、已知二次型,)0(2332),,(32232221321>+++=a x x a x x x x x x f 通过正交变换化成标准型,52232221y y y f ++=则参数 a 等于（ C ）C ．2=a21.用配方法求出二次型3132********),,(x x x x x x x x x f +-=的标准形为（A ） A.232221622w w w f +-=22. 向量组)1,1,3,4(),2,4,3,1(,)0,2,1,3(,)1,3,1,2(4321-=-=-=-=αααα中的一个极大无关组是（ C ） C ． 21αα,23.设有向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=411,512,102:321ααααA ， 及向量,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11βb 已知向量b 不能由向量组A 线性表示,则βα,应为（ C ）C ． 4-=α，0≠β24. 若 ,010113221=λλ 则21,λλ必须满足（ ）.答案： 选 )(C .25.行列式 0401011>-a a a 的充分必要条件是（ D ）.26. 计算).(0000000=v u d c y x b a (B)27.排列)2(42)12(31n n - 的逆序数是（ A ）.28.用行列式性质，化下列行列式为上三角形行列式，再求出行列式的值..)(1111111111111111=------(C)( C ) 8.29.下列行列式中，其值为零的是（ D ）.(D) 261422613-30. 行列式.)(0001110333322211==b a a a b a a b a D (C)31.设c b a ,,两两互不相同，则 0222=+++=c b a c b a b a a c c b D 的充分必要条件是.)((A)32. 利用行列式性质先简化行列式，再计算行列式.1111111111111111yy x x-+-+其值为（ C ）.33.如果线性方程组⎩⎨⎧=+=+2122c y kx c ky x 21,(c c 为不等于零的常数）有唯一解，则 k必须满足（ ）. (D) 2-≠k且 2≠k答案： 选 )(D .34. 若齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-.0002321321321x x kx x x k x x x x 有非零解，则k必满足(A)(A) 1-=k或 4=k35.线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=++32282422z y x y x z y x 的增广矩阵是（ B ）.36.已知 ,723322⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+b a a b a b a 则b a ,的值为（ A ）.37..)(22121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n b b b a a a (A)38.设,70,2,70⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y xy v u y x C B A 且,2O C B A =-+则vu y x ,,,的值等于（ A ）.39.设CB,A,均为n阶方阵，且,ECACBAB===则).(222=++CBA(A)40.乘积).(24131211314311412=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(A)41.设,25123211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A则).(])[(1=-*TA(A)(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----10642442.将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+--=++=-+11222221432432432xxxxxxxxxxx，求得其秩为（ D ）.(D) 4.43.用两种方法求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321211A的逆矩阵. 其逆矩阵是（A ）．（Ａ）.31310021210011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-A 44.设齐次线性方程O X A = 有非零解，其中,11223112321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=t A 则).(=t (C)45.设 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+=+++,332,1,1234214324321x x x x a x a x x x x x 问)(≠a 时，方程组有解 ？并在有解时,其通解中含有（ ）个任意常数.(D)46.),1,0,2,1(,)0,0,1,2(,)1,0,1,1(--=-=-=γβα 则向量=ξ).(23=+-γβα(B))2,0,1,6()(--B 47.设a 为三维列向量，Ta 是a 的转置. 若,111111111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=T aa 则).(=a a T(C)3)(C48. 设向量组321,,a a a 线性无关，向量321,,a a a 线性表可由321,,a a a 线性表示，而向量2β不能由321,,a a a 线性表示，则对于任意常数,k 必有（ ）.)(A 321,,a a a ,21ββ+k 线性无关(A)49. 设三阶矩阵,403212221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=A 三维列向量(),1,1,Ta =a 已知A a 与 a 线性相关，则a =（ B ）.B 、 -150.向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7431,6514,3121321a a a 的一个最大无关组是（ C ）.51.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为,A 若存在三阶矩阵,O B ≠使得,O B A =则（ C ）.1)(=λC 且0=B52.四元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-==+00041241x x x x x 的基础解系是（ B ）.T B )0,2,0,0()(53.设α是A 关于特征值λ的特征向量，则α不是（ ）的特征向量.(C)54. 设A 为n 阶方阵，以下结论中不成立的是（A ）．)(A 若A 可逆，则矩阵A 属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征值λ1的特征向量．55.与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010001A 相似的矩阵是（ C ）.56.n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的(B))(B 充分而非必要条件57.设A 、B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，则（D ）. )(D r r =)(A )(B58.对于二次型,),,,(21Ax x T n x x x f = 其中A 为n 阶实对称矩阵，下述结论正确的是（ D ）.)(D f 的规范形是唯一的59.设A 是n 阶对称矩阵，则A 是正定矩阵的充分必要条件是（ D ）. )(D A 与单位矩阵合同62、设A 是n 阶方阵，且A^2=2A,则未必有(A)A.A 可逆；63、二次型的秩为(B)B. 264、n 元实二次型正定的充分必要条件是其标准形中n 个平方项的系数全大于零(C)C. 充分必要条件65、若，其中n为一个正整数(B)B.66、(C)C.65、(A)A.66、(D)D.67、(C)C.68、行列式1221≠--k k 的充分必要条件是（ C ）.31)(31)(3)(1)(≠-≠≠-≠≠-≠k k D k k C k B k A 或且69、 若,010113221=λλ 则21,λλ必须满足（ C ）.均可为任意数可为任意数21212121,)(,2)()(0,2)(λλλλλλλλD C B A =====270、已知行列式 ,111111111bb aD -++=则.)(=D (B)22222)()()1()()(ba D ba Cb a B b b a A -+--71、 行列式 0401011>-aa a 的充分必要条件是（ D ）.2)(2)(2)(2)(<>≤>a D a C a B a A72、 )0(.)(010100111121210≠=n na a a a a a a 其中(B)（A ） 0. ( B ) .)1()(101∑∏==-ni ini ia a a( C ) .1∏=ni ia( D ) .0∑=ni i a73、设c b a ,,两两互不相同，则行列式 0222=+++=c b a c b a ba a c cb D 的充分必要条件是(A)1))()(()(0))()()(()())()(()(0)(=---≠---++---==++b c a c a b D b c a c a b c b a C b c a c a b abc B c b a A74. 如果线性方程组⎩⎨⎧=+=+2122c y kx c ky x 21,(c c 为不等于零的常数）有唯一解，则 k必须满足（ ）.(A) 0=k(B) 2-=k 或 2=k(C) 2-≠k 或 2≠k (D) 2-≠k 且 2≠k（第1章 选D ）75. 乘积 ).(20413121013143110412=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---6520867)(654321)(6520876)(6520876)(D C B A（第2章． 选 A . 按矩阵乘法定义计算 )76. 若A , B都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( ).)(A TTTA B AB =)(. )(B 111)(---=A B AB .)(C ***=A B AB )(. )(D 222)(A B AB =. （ 第2章. 选 D . 注意：问的是：不一定正确者 ) 77. 若 ),,0(2k k =β能由)1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,1(321k k k +=+=+=ααα唯一线性表示，则k 等于（ ）.0)(≠k A 3)(-≠k B 0)(≠k C 且 3-≠k k D )(任意. （ 第4章.选 C .78. 设向量组r B b b b ,,,:21 能由向量组m A a a a ,,,:21 线性表示，则( ).)(D 当m r >时，向量组B 必线性相关（第4章． 选 D . 解法提示：用反证法排除其余三种可能 )79. 设A 为n 阶方阵，以下结论中成立的是（）．)(A 若A 可逆，则矩阵A 属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A的属于特征值λ1的特征向量．)(B A 的特征向量即为方程o x A E =-)(λ的全部解．)(C 若A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量， 则E A λ≠．)(D A 与TA 不可能有相同的特征值． （第5章．选 A ）80. n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的).()(A 充分必要条件 )(B 充分而非必要条件 )(C 必要而非充分条件 )(D 既非充分也非必要条件（第5章． 选 B . ）81. 设A ,B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，则（ ）.)(A A 与B 相似 )(B =A B)(C A 与B 有相同的特征值 )(D r r =)(A )(B（第5章．选D ）82. 若 44553321a a a a a j i 是5阶行列式中带有正号的一项, 则j i ,的值应为（ ）. )A (3,1==j i )B (3,2==j i )C (2,1==j i )D (1,2==j i （第1章． 选C.）83. 设D 是n 阶行列式, 则下列各式中正确的是（ B ）.)(A n j A aj i ni ji ,,2,1,01 ==∑= )(B n j D A a j i ni j i ,,2,1,1==∑=)(C D A aj nj j=∑=111 )(D n i A aj i nj ji ,,2,1,01==∑=（第1章．选B . 解法提示：根据行列式展开定理知选B . 它是行列式按第j 列展开的公式. ）84、若A为正交矩阵,则其行列式|A|=( C )C85、C:-16答案为C的解为（C）86、方程87答案为B88、设向量组则（B）B、B能由A线性表示，但A不能有B线性表示88、设A为三阶矩阵，|A|＝1/2，求|(2A)^(-1)－5A*|C、-16 答案：C14、若A~B矩阵A与B等价，即A~B，则它们的秩有如下关系（B）B、r（A）一定等于r（B）89、如果则方程组的解是(C)90、n阶矩阵A所有特征值得乘积等于（C）C、|A|91、设有三个线性无关的特征向量，则x 和y 应满足条件（B ）B 、x+y=092、设则行列是|AB|=（A ）A 、24 93、设矩阵矩阵X 满足，其中是的伴随矩阵，则矩阵X=（B ）94、与矩阵相似的矩阵是（D ）95、行列式与其转置行列式（A ） A 、相等96、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-.0002321321321x x kx x x k x x x x 仅有零解，则k必满足（D ）97、（AB ）^T=（B ） B 、B^T A^T98、A 的特征值全大于零是二次型为正定的（C ）C 、充分必要条件99、若方程组无解，则k 应等于（B ）B、k=4100、设则AB=（C）C、101、排列的逆序数是（A）A、n（n-1）102、已知向量a1,a2,a3线性无关。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 为三阶矩阵，|A|=a ≠0，则其伴随矩阵A *的行列式|A *|=（ ） A ．a B ．a 2 C ．a 3D ．a 4答案：B2．设A 、B 为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（ ） A ．|AB|=|BA| B ．|A+B|=|A|+|B| C ．（AB ）-1=A -1B -1D ．（A+B ）2=A 2+2AB+B 2答案：A3．设A 可逆，则下列说法错误．．的是（ ） A ．存在B 使AB=E B ．|A|≠0C ．A 相似于对角阵D ．A 的n 个列向量线性无关 答案：C4．矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0112的逆矩阵的（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2110 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2110答案：C5．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4答案：D6．设矩阵A ＝（1，2），B ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，C ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）A ．ACB B ．ABC C ．BACD ．CBA答案：B7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） A ．A ＋A T B ．A －A T C ．AA T D ．A T A答案：B8．设2阶矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，则A ＊＝（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d 答案：A9．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3130 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 答案：C10．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500043200101， 则A 中（ ） A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零 答案：D11．设A 是3阶方阵，且|A |=21-，则|A -1|=（ ）A ．-2B ．21-C ．21D ．2答案：A12．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A ．λ|A | B ．|λ||A | C ．λn |A | D ．|λ|n |A | 答案：C13．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ ） A ．B T =B B ．B =2A C ．B T =-B D ．B =0 答案：A14．矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111答案：D15．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001 B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100101110C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001300010 答案：C16．设A 为3阶方阵，且已知|-2A |=2，则|A |=（ ） A ．-1B ．-41C ．41D ．1答案：B17．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ ） A ．A T B T C T B ．C T B T A T C ．C T A T B T D ．A T C T B T 答案：B18．设A 为2阶可逆矩阵，且已知（2A ）-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则A =（ ）A ．2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 C ．214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛答案：D19.设A 为三阶方阵且,2-=A 则=A A T 3（ ）A.-108B.-12C.12D.108 答案：D20.设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ） A.AB=B B.()111---+=+B A B AC.B A B A +=+ D.()T T T B A B A +=+答案：D21.设A 为四阶矩阵，且,2=A 则=*A （ ）A.2B.4C.8D.12答案：C22．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d b a 04=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32c b a ，则（ ） A ．a=3,b=-1,c=1,d=3B ．a=-1,b=3,c=1,d=3C ．a=3,b=-1,c=0,d=3D ．a=-1,b=3,c=0,d=3答案：C23．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（） A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111 答案：B24．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（ ） A ．（-5）n AB ．-5AC ．5AD ．5n A答案：A25．设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则*A =（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4答案：B26.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误．．的是（ ） A.|AB |=|A | |B |B. (AB )-1=B -1A -1C. (A+B )-1=A -1+B -1D. (AB )T =B T A T答案：C27.设A 为三阶矩阵，且|A |=2，则|（A *）-1|=（ ） A.41 B.1 C.2D.4答案：A28．设A 为3阶方阵，且==-||3131A A 则，（ ） A ．-9 B ．-3 C ．-1D ．9答案：B29．设A 、B 为n 阶方阵，满足A 2=B 2，则必有（ ） A ．A =B B ．A = -B C ．|A |=|B |D ．|A |2=|B |2答案：D30．已知矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011，B =⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，则AB -BA =（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1201B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1001 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0000 答案：A31．设A 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的矩阵是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0000B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0001C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1011 答案：D32．设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛3421，则矩阵A 的伴随矩阵A *=（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1423B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1423C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1243 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1243 答案：B33．设A 为5×4矩阵，若秩（A ）=4，则秩（5A T ）为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C34．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++121112221121a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，P 2=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101，则必有（ ）A ．P 1P 2A =B B ．P 2P 1A =BC ．AP 1P 2=BD ．AP 2P 1=B答案：B35．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ ） A ．A -1C -1 B ．C -1A -1 C ．AC D ．CA答案：D36．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000100010，则A 2的秩为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B37.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A （B +C ）=BA +CAD.（AB ）T =B T A T答案：C38.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ） A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A答案：C39.若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-131224，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211230，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是（ ） A.ABC B.AC T B T C.CBAD.C T B T A T答案：D40．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．2答案：C41．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B答案：A42．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a答案：A43．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ） A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011001答案：D44.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -1答案：B45.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32答案：D46.设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBAD.BCA答案：D47.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ） A.-8 B.-2 C.2D.8答案：A48.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ）A.P AB.APC.QAD.AQ答案：B49.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0答案：C3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( )A.21 B.2 C.4 D.8二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数试题及答案线性代数试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】04184线性代数（经管类）2⼀、⼆、单选题1、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D2、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D3、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B4、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D6、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B20、A:k-1 B:kC:1 D:k+1做题结果：A 参考答案：B21、⾏列式D如果按照第n列展开是【】A.,B.,C.做题结果：A22、关于n个⽅程的n元齐次线性⽅程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果⾏列式不等于0，则⽅程组必有⽆穷多解B:如果⾏列式不等于0，则⽅程组只有零解C:如果⾏列式等于0，则⽅程组必有唯⼀解D:如果⾏列式等于0，则⽅程组必有零解做题结果：A 参考答案：B23、已知三阶⾏列D中的第⼆列元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为-1、1、2，则D的值为。

【】A:-3 B:-7C:3 D:7做题结果：A 参考答案：A24、A:0 B:1C:-2 D:2做题结果：A 参考答案：C25、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D26、A:a≠2 B:a≠0C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0做题结果：A 参考答案：D27、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B28、A:-2|A| B:16|A|C:2|A| D:|A|做题结果：A 参考答案：B29、下⾯结论正确的是【】A:含有零元素的矩阵是零矩阵B:零矩阵都是⽅阵C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵D:若A，B都是零矩阵，则A=B做题结果：A 参考答案：C30、设A是n阶⽅程，λ为实数，下列各式成⽴的是【】C.,D.做题结果：C 参考答案：C31、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B 32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。

B 21 02 00 1 0 01 10 1A.-2B.—C.12D.22答案：B1 11 4 •设矩阵A1 2 1 的秩为2，则2 31A.2B.1C.0D.-1答案:BA. AB BAB. AB BAC. (AB)TA TB TD. (AB)2答案：BAB BA A| B2 .在下列矩阵中，可逆的是()0 0 A.0 1 0 B. 0 0 1 11 0 C.0 1 1 D. 12 1答案：D3 •设A 是3阶方阵，且A 2,，则A 1A 2 1 2 0 1 1 1 (( )提示：显然第三行是第一行和第二行的和15 ．设 A0， 1矩阵 X 满足方程 AX E A 2 X ，求矩阵 X .答案：解： AX显然 E 可逆， 1(A E) 1(A X0 A 2(A 所以： E)(A 6．求下列矩阵的秩 (A E)E)XA 2 EE) 1(AE)X X (AE) 1(A 2 E)答案： 3 7．设矩阵 答案： P 1AP,D，矩阵 A 由矩阵方程P 1AP D 确定，试求 A 5.所以： A 5127/3 31/351PD 5P 1PDP 1A 511/31/3 51 0P 1,D 54/ 31/30 32114 10 1/ 3 1/ 3 511/3 127/3 1 1 . 0 324/ 31/3127/331/31 0 2511/3 127/3 A45 PD 5PB.可逆矩阵C.转置矩阵10.设n 阶方阵A ，且A 0，则（A *） 1( ).A A.AB.D.AA *11若( )，则 A: BA. AB. 秩(A)=秩(B)8 •设矩阵A 可逆，证明（A ） 1），贝U A 必为方阵•A.分块矩阵D.线性方程组的系数矩阵答案：B答案：C. A 与B 有相同的特征多项式D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且 n 个特征值各不相同答案：B112.设 A 2，则 AA T _________3证明：因为AA * A * A A E ，矩阵A 可逆，所以A 0AA AA E又因为A1 * A ，所以：（A ）A 1A T (A 1)TB. BCC. ABT(AA 1)T(A 1A)TE T，即：(A 1)TAT所以：（A ）T A 1，即A 1也是对称矩阵.。

线性代数试题库试题一、填空题1 、排列24315是 排列（填奇或偶）。

2、行列式6412781619441321111----的值是 3、设A=2142⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，则2A = 4、设A 为三阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，且A =3，则*A =5、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4213，则A 的逆矩阵A -1= 6、矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----431431211的秩是 7、四阶行列式展开项中a 14a 23a 32a 41的符号是 （填正或负）8、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是9、已知向量a=（1，—1，2），b=（7，6，4），c=（0，0，0），则向量组a ，b ，c 线性 （填相关或无关）10、设A 为3阶方阵，A 的行列式det(A)=－3，则det(－2A)=11、若0=λ是方阵A 的一个特征值，则行列式det(A)=12、设矩阵A 为正交矩阵，则A =13.排列n(n-1)(n-2)……21的逆序数是14、n 元齐次线性方程组Ax=0存在非零解的充分必要条件是15、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛004300020的逆矩阵是16、设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300020001，则2A 的行列式A 2= 17、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式det(A)=18、设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则1-A 的特征值为 19 、排列36875412是 排列（填奇或偶）20、行列式27118911431121111--的值是 21、设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500410101，则行列式A 2-= 22、设A 是三阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，且A =4，则*A =23、设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300020001，则A 的逆矩阵1-A = 24、设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------385123421321，则A 的秩R （A ）= 25、 排列123456789的逆序数是26、行列式2594532111=27.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2412，则2A = 28．A 为三阶方阵，且A =-2，则A A =29、 A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则A 的伴随矩阵A *= 30、 A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200100001，则A 的秩R （A ）=31、在函数x x x x x x f 21112)(---=中，3x 系数是___________32、设A 、B 均为n 阶矩阵，,3,2-==B A 则______________21*=-B A33、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=864297510213A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=612379154257B ，且A+2X=B ，则X=___________ 34、矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=314020112A 的特征值为___________ 35、由m 个n 维向量组成的向量组，当 时，向量组一定线性相关。

线性代数复习题(选择填空题)-D O C(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k --D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或2k =B 、1k =或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭B A 、4B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ=DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++=AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+B 、AB BA =C 、AB BA =D 、A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =CA 、11ABC --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是CA 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A -C 、()B A n m 1-+D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+,232αα+，312αα+练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββD 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中D 是错误的 A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A A D 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是DＡ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是C A 、12,x x 中的一个B 、()/123C 、()/111D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -=DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是13练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a ==24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是AB BA =16、设3318A ⨯=，则()22A =1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -=6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A +=0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --=1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -=1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

线性代数试卷和答案分析学院：电力学院专业：热能与动力工程（水动）班级：学号:姓名:线性代数试卷第一部分 选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.A ,B 都是n 阶矩阵，且AB =0，则必有( )(A) A =0或B =0 (B)|A|=|B|=0 (C)A =B =0 (D)|A|=0或|B|=02.100⎛⎫ A. C. 3.）A. 4.设 A. C. 5. 6. A.s βs =0B.s ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A.秩(A )<n B.秩(A )=n -1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.n 维向量组a 1……a i （2<I<n ）线性无关的充要条件是（ ） （A（B (C) (D) 12.设 A.| C.A 13.设 A. B. C. D.14. A.⎛⎝C.⎛⎝ 15.设16.设17.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .19.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设a=(1,k,0), b=(0,1,k), c=(k,0,1) .如果向量a ,b, c 线性无关，则实数k 的取值范围是 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A=01061332108---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A=120340121-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B=22341--⎛⎝⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A|.26.27.28.29.30.AT=D.31.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。

历年考研真题概率论部分——万学教育 海文考研 安徽教研室(1.87数一) 已知三维向量空间的基底为则向量在此基底下的坐标是_____________.(2.87)设矩阵和满足关系式其中求矩阵 (3.87)设为阶方阵，且的行列式而是的伴随矩阵，则等于 (A)(B)(C)(D)(4.87)（本题满分8分）问为何值时,现线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.(5.88)设4阶矩阵其中均为4维列向量,且已知行列式则行列式= _____________. (6.88)维向量组线性无关的充要条件是( )(A)存在一组不全为零的数使(B)中任意两个向量均线性无关(C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)中存在一个向量都不能用其余向量线性表示(7.88)（本题满分6分）已知其中求 123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα(2,0,0)=βA B 2,+AB =A B 301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A .B A n A ||0,a =≠A *A A *||A a 1a 1n a -n a ,a b 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ234,,,,αβγγγ4,1,==A B +A B n 12,,,(3)s s n ≤≤ααα12,,,,s k k k 11220s s k k k +++≠ααα12,,,s ααα12,,,s ααα12,,,s ααα,=AP BP 100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 5,.A A(8.88)（本题满分8分）已知矩阵与相似. (1)求与(2)求一个满足的可逆阵(9.89)设矩阵则矩阵=_____________. (10.89)设是阶矩阵,且的行列式则中 (A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合(11.89)、（本题满分6分） 问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式. (12.89)、（本题满分8分）假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明(1)为的特征值. (2)为的伴随矩阵的特征值.(13.90)已知向量组 则该向量组的秩是_____________.(14.90)已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解、是对应其次线性方程组的基础解析、为任意常数,则方程组的通解(一般解)必是( )(A) (B) (C)(D)20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B x .y 1-=P AP B .P 300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 1(2)--A I A n A 0,=A A λ13x x λ+=123422x x x λ++=+1236423x x x λ++=+λn A 1λ1-A λA A *A 1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα1β2β=AX b 1,α2α=AX 01,k 2k =AX b 1211212()2k k -+++ββααα1211212()2k k ++-+ββααα1211212()2k k -+++ββαββ1211212()2k k ++-+ββαββ(15.90)、（本题满分6分） 设四阶矩阵且矩阵满足关系式其中为四阶单位矩阵表示的逆矩阵表示的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵(16.90)（本题满分8分）求一个正交变换化二次型成标准型.(17.91)设4阶方阵则的逆阵=_____________. (18.91)设阶方阵、、满足关系式其中是阶单位阵,则必有( )(A) (B) (C)(D)(19.91)（本题满分8分）已知及(1)、为何值时不能表示成的线性组合?(2)、为何值时有的唯一的线性表示式?写出该表示式.(20.91)（本题满分6分）设是阶正定阵是阶单位阵,证明的行列式大于1.(21.92)设其中则矩阵的秩=_____________.1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C A 1()-''-=A E C B C E E 1,-C C ,'C C .A 22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A 1-A n ABC ,=ABC E E n =ACB E =CBA E =BAC E =BCA E 1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα(1,1,3,5).b =+βa b ,β1234,,,ααααa b ,β1234,,,ααααA n ,E n +A E 111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 0,0,(1,2,,).i ia b i n ≠≠=A ()r A(22.92)要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为( )(A)(B)(C)(D) (23.92)、（本题满分7分）设向量组线性相关,向量组线性无关,问: (1)能否由线性表出?证明你的结论. (2)能否由线性表出?证明你的结论.(24.92)、（本题满分7分）设3阶矩阵的特征值为对应的特征向量依次为又向量(1)将用线性表出. (2)求为自然数).(25.93)设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为则线性方程组的通解为_____________.(26.93)已知为三阶非零矩阵,且满足则( ) (A)时的秩必为1(B)时的秩必为2 (C)时的秩必为1(D)时的秩必为2(27.93)、（本题满分8分）已知二次型通过正交变换化成标准形求参数及所用的正交变换矩阵.12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ=AX 0A []212-201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦123,,ααα234,,ααα1α23,αα4α123,,αααA 1231,2,3,λλλ===1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ββ123,,ξξξ(n n A βn A A 1,n -=AX 012324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 0,=PQ 6t =P 6t =P 6t ≠P 6t ≠P 22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>22212325,f y y y =++a(28.93)、（本题满分6分）设是矩阵是矩阵,其中是阶单位矩阵,若证明的列向量组线性无关.(29.94)已知设其中是的转置,则=_____________.(30.94)已知向量组线性无关,则向量组 (A)线性无关 (B)线性无关(C)线性无关 (D)线性无关(31.94)、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.(32.94)、（本题满分6分）设为阶非零方阵是的伴随矩阵是的转置矩阵,当时,证明(33.95)设三阶方阵满足关系式且则=_____________.(34.95)设则必有 (A) (B) (C)(D)A n m ⨯,B m n ⨯,n m <I n ,=AB I B 11[1,2,3],[1,,],23==αβ,'=A αβ'ααn A 1234,,,αααα12233441,,,++++αααααααα12233441,,,----αααααααα12233441,,,+++-αααααααα12233441,,,++--αααααααα122400x x x x +=-=12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-A n *,A A ,'A A *'=A A 0.≠A ,A B 16,-=+A BA A BA 100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B 11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 12AP P =B 21AP P =B 12P P A =B 21P P A =B(35.95)、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵的特征值为对应于的特征向量为求(36.95)、（本题满分6分）设为阶矩阵,满足是阶单位矩阵是的转置矩阵求(37.96)设是矩阵,且的秩而则=_____________. (38.96)四阶行列式的值等于 (A)(B) (C)(D)(39.96)、（本题满分6分）设其中是阶单位矩阵是维非零列向量是的转置.证明 (1)的充分条件是(2)当时是不可逆矩阵.(40.96)、（本题满分8分）已知二次型的秩为2,(1)求参数及此二次型对应矩阵的特征值.(2)(数一)指出方程表示何种二次曲面.(41.97)设为三阶非零矩阵,且则=_____________.A 1231,1,λλλ=-==1λ101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ.A A n ('=AA I I n ,'A A ),0,<A .+A I A 43⨯A ()2,r =A 102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ()r AB 1122334400000000a b a b a b b a 12341234a a a a b b b b -12341234a a a a b b b b +12123434()()a a b b a a b b --23231414()()a a b b a a b b --,T A =-I ξξI n ,ξn ,T ξξ2=A A 1.T =ξξ1T =ξξ,A 222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-c 123(,,)1f x x x =12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B ,=AB O t(42.97数一)设则三条直线 (其中)交于一点的充要条件是 (A)线性相关(B)线性无关(C)秩秩(D)线性相关线性无关(43.97)、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)(数一)设是秩为2的矩阵是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基.(2)已知是矩阵的一个特征向量.1)试确定参数及特征向量所对应的特征值.2)问能否相似于对角阵?说明理由.(44.97)（本题满分5分）设是阶可逆方阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为 (1)证明可逆.(2)求(45.98)设为阶矩阵为的伴随矩阵为阶单位矩阵.若有特征值则必有特征值_____________.(46.98数一)设矩阵是满秩的,则直线与直线 111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα1112223330,0,0a xb yc a x b y c a x b y c ++=++=++=220,1,2,3i i a b i +≠=123,,ααα123,,ααα123(,,)r =ααα12(,)r αα123,,ααα12,,ααB 54⨯123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--αααx =B 0x =B 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A ,a b ξA A n A i j .B B 1.-AB A n *,0,≠A A A ,E n A ,λ*2()+A E 111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦333121212x a y b z c a a b b c c ---==---111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面(47.98)、（本题满分6分）已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程求的值和正交矩阵 (48.98)、（本题满分4分）设是阶矩阵,若存在正整数使线性方程组有解向量且证明:向量组是线性无关的.(49.98)、（本题满分5分） 已知方程组(Ⅰ)的一个基础解析为试写出线性方程组(Ⅱ)的通解,并说明理由.(50.99)设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是 _____________.(51.99)设是矩阵,是矩阵,则 (A)当时,必有行列式 (B)当时,必有行列式 (C)当时,必有行列式 (D)当时,必有行列式 (52.99)、(本题满分8分)设矩阵其行列式又的伴随矩阵有一个特征值,属于的一个特征向量为求和的值.2222224x ay z bxy xz yz +++++=x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 2244,ηξ+=,a b .P A n ,k k x =A 0,α1.k -≠A α01,,,k -αA αA α1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=n A A n A m n ⨯B n m ⨯m n >||0≠AB m n >||0=AB n m >||0≠AB n m >||0=AB 153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A ||1,=-A A *A 0λ0λ(1,1,1),T =--α,,a b c 0λ(53.99)、(本题满分6分)设为阶实对称矩阵且正定,为实矩阵,为的转置矩阵,试证为正定矩阵的充分必要条件是的秩(54.00)已知方程组无解,则= _____________. (55.00)设维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的充分必要条件为 (A)向量组可由向量组线性表示 (B)向量组可由向量组线性表示(C)向量组与向量组等价(D)矩阵与矩阵等价(56.00)、(本题满分6分)设矩阵的伴随矩阵且,其中为4阶单位矩阵,求矩阵.(57.00数一)、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和记成向量 (1)求与的关系式并写成矩阵形式:(2)验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. A m B m n ⨯T B B TB ABB ().r n =B 12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦a n 1,,()m m n <ααn 1,,mββ1,,m αα1,,m ββ1,,m ββ1,,m αα1,,m αα1,,m ββ1(,,)m =A αα1(,,)m =B ββA *10000100,1010038⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 113--=+ABA BA E EB 1625n n x ,n y .n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηηA(3)当时,求 (58.01)设,则= _____________.(59.01)设,则与 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(60.01)、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系,,其中为实常数,试问满足什么条件时也为的一个基础解系?(61.01)、(本题满分8分)已知三阶矩阵和三维向量,使得线性无关,且满足.(1)记求使. (2)计算行列式.(62.02)已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_____________. (63.02数一)设有三张不同平面,其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为111212x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭24+-=A A E O 1(2)--A E 1111400011110000,1111000011110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B A B 12,,,s ααα=AX O 1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα21,t t 21,t t 12,,,s βββ=AX O A x 2,,A A x x x 3232=-A A A x x x 2(,,),=P A A x x x B 1-=A PBP +A E 323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=216y f =a ii i i d z c y b x a =++3,2,1=i(64.02)、(本题满分6分)已知四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无关,.若,求线性方程组的通解.(65.02)、(本题满分8分) 设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.(66.03数一)从的基到基的过渡矩阵为 . (67.03)设向量组I:可由向量组II:线性表示,则(A)当时,向量组II 必线性相关(B)当时,向量组II 必线性相关 (C)当时,向量组I 必线性相关(D)当时,向量组I 必线性相关(68.03) 、(本题满分10分)设矩阵,,,求的特征值与特征向量,其中为的伴随矩阵,为3阶单位矩阵.(69.03数一)、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为, ,.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为(70.04)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .1234(,,,)=A αααα1234,,,αααα234,,ααα1232=-ααα1234=+++βααααx =A β,A B ,A B ,A B ,A B 2R 1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ12,,,r ααα12,,,s βββs r <s r >s r <s r >322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 1*-=B P A P 2+B E *A A E :1l 032=++c by ax :2l 032=++a cy bx :3l 032=++b ay cx .0=++c b a 210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B **2=+ABA BA E *A A E B(71.04)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A)(B) (C)(D)(72.04)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 (A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(73.04)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(74.04)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.(75.05)设均为3维列向量,记矩阵,,如果,那么 .(76.05)设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,A AB BC =AQ C Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110,A B =AB O A ,B A ,B A ,B A ,B 121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩a 12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A a A 123,,ααα123(,,)=A ααα123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα1=A =B 21,λλA 12,αα1α线性无关的充分必要条件是(A) (B)(C)(D)(77.05)设为阶可逆矩阵,交换的第1行与第2行得矩阵分别为的伴随矩阵,则(A)交换的第1列与第2列得 (B)交换的第1行与第2行得 (C)交换的第1列与第2列得(D)交换的第1行与第2行得(78.05)(本题满分9分)已知二次型的秩为2.(1)求的值；(2)求正交变换,把化成标准形. (3)求方程=0的解. (79.05)(本题满分9分)已知3阶矩阵的第一行是不全为零,矩阵(为常数),且,求线性方程组的通解.(80.06)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则= . (81.06)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是 (A)若线性相关,则线性相关 (B)若线性相关,则线性无关(C)若线性无关,则线性相关 (D)若线性无关,则线性无关.(82.06)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得12()+A αα01≠λ02≠λ01=λ02=λA (2)n n ≥A **.,B A B ,A B *A *B *A *B *A *-B *A *-B 21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=a x y =Q ),,(321x x x f ),,(321x x x f A c b a c b a ,,),,,(12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B k =AB O 0x =A 2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A EB 2=+BA B E B 12,,,,s αααn A m n ⨯12,,,,s ααα12,,,,s A αA αA α12,,,,s ααα12,,,,s A αA αA α12,,,,s ααα12,,,,s A αA αA α12,,,,s ααα12,,,,s A αA αA αA A B B,记,则(A) (B)(C)(D)(83.06)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵的秩. (2)求的值及方程组的通解. (84.06)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(1)求的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵和对角矩阵,使得.(85.07)设向量组线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A) (B) (C)(D)(86.07)设矩阵,,则与(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(87.07)设矩阵,则的秩为________.C 110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 1-=C P AP 1-=C PAP T =C P AP T=C PAP 1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩A ()2r =A ,a b A ()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα0x =A A Q A T=Q AQ A 123,,ααα,,122331---αααααα,,122331+++αααααα1223312,2,2---αααααα1223312,2,2+++αααααα211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A 100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B A B 01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A 3A(88.07)(本题满分11分) 设线性方程组与方程 有公共解,求的值及所有公共解.(89.07)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵的特征向量值是的属于特征值的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(1)验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵.(90.08)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则(A)不可逆,不可逆 (B)不可逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆 (91.08数一)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3(92.08)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,,则的非零特征值为. (93.08)(本题满分11分),为的转置,为的转置.证明:(1).(2)若线性相关,则. (94.08)(本题满分11分)1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩12321,x x x a ++=-a A 12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-αA 1λ534,=-+B A A E E 1αB B B A n E n 30=A -E A +E A -E A +E A -E A +E A -E A +E A A (,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A A 12,αα12120,2==+A αA αααA T T =+A ααββT ααT ββ()2r ≤A ,αβ()2r <A设矩阵,现矩阵满足方程,其中,,(1)求证.(2)为何值,方程组有唯一解,求. (3)为何值,方程组有无穷多解,求通解.(95.09)设是3维向量空间的一组基,则由基到基的过渡矩阵为 (A) (B)(C)(D) (96.09)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为(A)(B)(C)(D) (97.09)若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为 . (98.09)(本题满分11分)2221212n na a aa a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A A =AX B ()1,,Tn x x =X ()1,0,,0=B ()1nn a =+A a 1x a 123,,ααα3R 12311,,23ααα122331,,+++αααααα101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,A B **,A B ,A B 2,3==A B O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭,αβ2T=αβTααTβα设, (1)求满足的.的所有向量,. (2)对(1)中的任意向量,证明无关. (99.09)(本题满分11分)设二次型.(1)求二次型的矩阵的所有特征值;(2)若二次型的规范形为,求的值.(100.10)设为型矩阵为型矩阵,若则 (A)秩秩 (B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩(101.10)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B)(C)(D) (102.10)(本题满分11分)设已知线性方程组存在两个不同的解.(1)求(2)求方程组的通解.(103.10)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ21=A ξξ2ξ231=A ξξ2ξ3ξ2ξ3ξ123,,ξξξ()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-f f 2212y y +a A m n ⨯,B n m ⨯,=AB E (),m =A ()m =B (),m =A ()n =B (),n =A ()m =B (),n =A ()n =B A 20,+=A A A A 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1110⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭11010,1,111a λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b =A x b ,.a λ=A x b 123(,,)T f x x x =A x x x y =Q 2212,y y +Q .T(1)求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.(104.11)．设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ).（A ）12PP （B ）112P P - （C ）21P P （D ）121P P -(105.11)．设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( ).（A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+- (106.11)设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为A 31,ααB 21,ααC 321,,αααD 432,,ααα(107.11)．设二次型123(,,)T f x x x x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy =下的标准形为 .(108.11).二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为________________(109.11数一)、若二次曲面的方程42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为42221=+y y ，则_______=a(110.11)．(本题满分11分)设向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5TTTααα===不能由向量组()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T Ta βββ===线性表示求a 的值；将123,,βββ用123,,ααα线性表示..A +A E E(111.11光棍题)．(本题满分11分)设A 为3阶实对称矩阵，()2R A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.（I ）求A 的所有特征值与特征向量；（II ）求矩阵A .(112.12)设1234123400110,1,1,1,c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ).123124134234.,,.,,.,,.,,A B C D αααααααααααα(113.12)设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010,002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若123(,,),P Q ααα==1223(,,),αααα+则1().Q AQ -=100100200200.020.010.010.020001002002001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(114.12)设A 为3阶矩阵，*3,A A =为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵,B 则|*|.BA =(115.12)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (116.12)（本题满分11分）设10010101,.00100010a a A a aβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭计算行列式;A（II ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (117.12)（本题满分11分）已知101011,1001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2. （I ）求实数a 的值；（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.(118.13)设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB C =且B ( ). （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价(119.13)矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）.（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2,a b =为任意常数(120.13)设ij A (a )=是3阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则.（121.13）（本题满分11分） 设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C .（122.13）（本题满分11分）设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变换下的标准形为22122y y +.(123.14）行列式0000().0000a b a b c d c d =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d - （124.14）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的( ).（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件（125.14）设二次型22123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是_________.（126.14）（本题满分11分）设123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为3阶单位矩阵.(I) 求方程组0Ax =的一个基础解系；(II) 求满足AB E =的所有矩阵B .（127.14）（本题满分11分）证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似. (128.15) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω(B) ,a d ∉Ω∈Ω(C) ,a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω(129.15)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y (130.15数一) n 阶行列式20021202___________.00220012-=- (131.15)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式________.=B(132.15) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα. （I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(133.15) (本题满分11 分) 设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =.求,a b 的值；（II）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..。