2021人教A版高考数学总复习《导数与函数的零点》

第8讲函数与方程[学生用书P33]一、知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编1．(必修1P92A 组T2改编)已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1，6]上至少有3个零点．故选B.2．(必修1P92A 组T5改编)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.3．(必修1P88例1改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是______．解析：由已知得f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(5)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)错用零点存在性定理； (2)误解函数零点的定义； (3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在R 上无零点的条件．1．函数f (x )＝x ＋1x的零点个数是______．解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点．答案：02．函数f (x )＝x 2－3x 的零点是______． 解析：由f (x )＝0，得x 2－3x ＝0， 即x ＝0和x ＝3. 答案：0和33．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是______． 解析：二次函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.答案：(－8，1]4．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是______． 解析：由题意得Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4. 答案：(0，4)[学生用书P34]函数零点所在区间的判断(自主练透)1．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，所以f (1)·f (2)＜0， 因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数，所以f (x )的零点所在的区间是(1，2)．2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A.因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．设函数y 1＝x 3与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______．解析：令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数， 有f (1)<0，f (2)>0，所以x 0所在的区间是(1，2)． 答案：(1，2)确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．函数零点的个数(师生共研)(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是______．(2)函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______． 【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin 2x (x >－1)与 y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．【答案】 (1)2 (2)2判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0. 则e x ＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.2．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为______．解析：由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x，作出函数y 1＝|log 0.5x |和y 2＝⎝⎛⎭⎫12x的图象， 由右图知两函数图象有2个交点， 故函数f (x )有2个零点． 答案：2函数零点的应用(多维探究)角度一 根据函数零点个数求参数(2020·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]【解析】 令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2 )，由f ′(x )<0得e x (x ＋2)<0，即x <－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )>0得e x (x ＋2)>0，即－2<x <0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0<b ≤1，故选D.【答案】 D 角度二 根据函数有无零点求参数(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D ．⎣⎡⎭⎫2，103 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. (2)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．【答案】 (1)D (2)D角度三 根据函数零点的范围求参数若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是______．【解析】 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m <12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫14，12根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为______．解析：若方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则⎝⎛⎭⎫122＋x＝a －2x有解，即14⎝⎛⎭⎫12x＋2x ＝a 有解，因为14⎝⎛⎭⎫12x＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.答案：a ≥－1[学生用书P267(单独成册)][基础题组练]1．(2020·河南商丘九校联考)函数f (x )＝(x 2－1)·x 2－4的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.要使函数有意义，则x 2－4≥0，解得x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去)，即x ＝2或x ＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.2．函数y ＝x －4·⎝⎛⎭⎫12x的零点所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.因为y ＝f (x )＝x －4⎝⎛⎭⎫12x＝x －⎝⎛⎭⎫12x －2是R 上连续递增的函数，且f (1)＝1－2<0，f (2)＝2－1>0，所以f (1)·f (2)<0，故函数y ＝x －4·⎝⎛⎭⎫12x的零点所在的区间为(1，2)．故选B. 3．(2020·福建晋江四校联考)设函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选C.令m (x )＝log 3x ＋x －3，则函数m (x )＝log 3x ＋x －3的零点所在的区间即为函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m (x )＝log 3x ＋x －3单调递增且连续，且满足m (2)m (3)<0，所以m (x )＝log 3x ＋x －3的零点在(2，3)内，从而可知方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象交点的横坐标x 0所在的区间是(2，3)．故选C.4．(2020·河南焦作统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，x ≥0，1－ln （x ＋6），－6<x <0，则函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 C.由题知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，x ≥0，1－ln （x ＋6），－6<x <0在(－6，＋∞)上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －x 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－6<x <0，1－ln （x ＋6）＝0，解得x ＝2或x ＝4或x ＝e －6，即函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为3.故选C.5．(2020·河北张家口模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝f (x )－mx 恰有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．⎝⎛⎭⎫1e ，2e C ．(0，1)D ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞解析：选A.g (x )有三个零点，即y ＝f (x )与y ＝mx 的图象有三个交点，作出y ＝f (x )和y ＝mx 的图象如图．当y ＝mx 与y ＝f (x )相切时，设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧mx 0＝ln x 0，1x 0＝m ，解得m ＝1e .则当0<m <1e 时，直线y ＝mx 与曲线y ＝f (x )有三个交点，即函数g (x )有三个零点．故选A.6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)＋3x ＋m 的零点在(0，1]上，则实数m 的取值范围为______． 解析：由题意知函数f (x )＝log 2(x ＋1)＋3x ＋m 在定义域上单调递增，又由函数f (x )在(0，1]上存在零点，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2（0＋1）＋3×0＋m <0，log 2（1＋1）＋3×1＋m ≥0，解得－4≤m <0，即实数m 的取值范围为[－4，0)．答案：[－4，0)7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．解析：如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3.答案：3 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x ＝1对称，所以两个函数在x ＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x ＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：109．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y ＝x ＋1x 在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，所以1－m ≥2，所以m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1]．10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示． (2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．[综合题组练]1．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0，故x 0∈(2，3)，所以g (x 0)＝[x 0]＝2.故选B.2．(2020·湖南娄底二模)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于( )A ．1B ．－1C ．eD ．1e解析：选A.考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，而A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.故选A. 3．(2020·湘赣十四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋2x ＋a （x ≤0）ax －3（x >0），有且只有1个零点，则实数a 的取值范围是______．解析：当a >0时，函数y ＝ax －3(x >0)必有一个零点，又因为－1a<0，故a ⎝⎛⎭⎫－1a 2＋2⎝⎛⎭⎫－1a ＋a >0，解得a >1；当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x ≤0），－3（x >0）恰有一个零点；当a <0时，若x >0，则f (x )＝ax －3<0，若x ≤0，则f (x )＝ax 2＋2x ＋a ，此时，f (x )恒小于0，所以当a <0时，f (x )无零点，故答案为a ＝0或a >1.答案：a ＝0或a >14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝a |x |的图象可知，若满足条件，则a ＞0. 当a ≥2时，在y 轴右侧，两函数图象只有一个公共点，此时在y 轴左侧，射线y ＝－ax (x ≤0)与抛物线y ＝－x 2－5x －4(－4＜x ＜－1)需相切． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－5x －4，y ＝－ax 消去y ， 得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝(5－a )2－16＝0，解得a ＝1或a ＝9.a ＝1与a ≥2矛盾，a ＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意．当0＜a ＜2，此时，在y 轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a ＜－1，即a ＞1.故1＜a ＜2.答案：(1，2)5．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 6．设函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈R 且x ≠1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫110＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)的值；(2)就m 的取值情况，讨论关于x 的方程f (x )＋x ＝m 在x ∈[2，3]上解的个数．解：(1)根据题意，函数f (x )＝x ＋1x －1，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x－1＝1＋x 1－x ＝－1＋x x －1， 则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，则f ⎝⎛⎭⎫110＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝f ⎝⎛⎭⎫110＋f (10)＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f (8)＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f (6)＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＝0.(2)根据题意，设g (x )＝f (x )＋x ＝x ＋1x －1＋x ＝(x －1)＋2x －1＋2， 令t ＝x －1，又由x ∈[2，3]，则t ∈[1，2]，则设h (t )＝t ＋2t ＋2，有h ′(t )＝1－2t 2＝t 2－2t 2， 分析可得，在区间[1，2)上，h (t )单调递减，在区间[2，2]上，h (t )单调递增； 则h (t )在[1，2]有最小值h (2)＝22＋2，且h (1)＝h (2)＝5，则函数h (t )在区间[1，2]上有最大值5，最小值22＋2，方程f (x )＋x ＝m 的解的个数即为函数g (x )与直线y ＝m 的交点个数，分析可得，当m ＜22＋2时，函数g (x )与直线y ＝m 没有交点，方程f (x )＋x ＝m 无解； 当m ＝22＋2时，函数g (x )与直线y ＝m 有1个交点，方程f (x )＋x ＝m 有1个解； 当22＋2＜m ≤5时，函数g (x )与直线y ＝m 有2个交点，方程f (x )＋x ＝m 有2个解； 当m ＞5时，函数g (x )与直线y ＝m 没有交点，方程f (x )＋x ＝m 无解；综上可得，当m ＜22＋2或m ＞5时，方程f (x )＋x ＝m 无解；当m ＝22＋2时，方程f (x )＋x ＝m 有1个解；当22＋2＜m ≤5时方程f (x )＋x ＝m 有2个解．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021年新高考数学总复习讲义：函数零点知识讲解一、函数的零点1.零点的定义：对于函数()y f x ，使()0f x 的实数x 叫做函数()yf x 的零点．2.函数零点的等价关系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标．即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．3.零点存在性判定定理定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函()y f x =在区间()a b ，内有零点，即存在()c a b ∈，，使得()0f c =，这个c 就是方程()0f x =的根．4.对函数零点存在的判断中，必须强调：1）()f x 在[]a b ，上连续； 2）()()0f a f b <； 3）在()a b ，内存在零点． 这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件． 注意：函数()yf x 的零点就是方程()0f x 的实数根，也就是函数()yf x 的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．5. 二次函数零点的判定判别式2=4b ac △0△ 0△ 0△0）的图像2ax bx c 0a ）的根2a2ax bxc0）的零点2ba2ax bxc0）的解集2ax bxc0）的解集1x 或2xx }2a6.一元二次方程20axbx c根的分布（下面对0a 进行讨论）20bk a △20bk a △1212()x x k k ，，1122k x k x )k ，内有且只有一根yyyky y1220b k a△23()0()0f k f k △且(2b k a经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018•重庆模拟）函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（2018•商洛模拟）函数f（x）=ln（x+1）﹣2x的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）3．（2017秋•镇原县校级期末）函数f（x）=2x+7的零点为（）A．7B．7 2C．﹣7D．−7 24．（2017秋•平罗县校级期末）方程2x=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）5．（2018春•番禺区校级月考）方程x3﹣3x﹣m=0在[0，1]上有实数根，则m的最大值是（）A．0B．﹣2C．﹣118D．16．（2017•奉贤区二模）若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1C．y=f（x）e x﹣1D．y=f（﹣x）e x+17．（2016秋•仙桃期末）函数f（x）=2x2﹣3x+1的零点个数是（）A．0B．1C．2D．38．（2016秋•库尔勒市校级期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的函数是（）A．y=sinx B．y=cosxC．y=lnx D．y=x3+19．（2016秋•黄山期末）函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（）A．（1，0）B．（2，0）C．1D．210．（2016秋•东莞市校级期末）函数f（x）=x2﹣4x+4的零点是（）A．（0，2）B．（2，0）C．2D．411．（2017秋•青冈县校级期中）函数f（x）=2x2﹣3x+1的零点是（）A．﹣12，﹣1B．﹣12，1C．12，﹣1D．12，112．（2017春•江津区期中）设f（x）=ax+4，若f（1）=2，则a的值（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3二．填空题（共5小题）13．（2014秋•新沂市校级月考）已知集合A={x|ax2﹣3x+2=0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a=．14．（2014秋•涟水县校级期中）方程4x2﹣12x+k﹣3=0没有实根，则k的取值范围是．15．（2012秋•浦东新区校级月考）2﹣x+x2=5的实根个数为．16．（2012秋•金山区校级月考）函数y=x3﹣2x的零点是．17．已知x 38=234，则x=．三．解答题（共1小题）18．解方程：x3+x2=1．。

第4节导数与函数的零点考试要求能利用导数解决函数的零点、方程的根、曲线的交点等问题。

知识梳理函数的零点、方程的根、曲线的交点,这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数;(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围.[常用结论与易错提醒］（1)注意构造函数;（2)注意转化思想、数形结合思想的应用。

诊断自测1.若函数f（x）＝错误!在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.(16，＋∞）B。

［16，＋∞）C。

（－∞，16） D.（－∞，16]解析①当x≤0时,f（x)＝x＋3x,∵y＝x与y＝3x在(－∞,0)上都单调递增，∴f(x）＝x＋3x在(－∞，0)上也单调递增，又f(－1）〈0,f（0)〉0，∴f(x）在(－1，0）内有一个零点。

②当x>0时，f（x）＝错误!x3－4x＋错误!，f′(x)＝x2－4＝(x＋2）（x－2).令f′（x)＝0得x＝2或x＝－2（舍），当x∈(0，2)时,f′（x)〈0，f(x)递减,当x∈(2,＋∞)时，f′(x)〉0，f(x）递增,∴在x〉0时,f（x）最小＝f(x)极小＝233－8＋错误!，要使f(x）在(0，＋∞)上无零点，需错误!－8＋错误!>0，∴a>16.答案A2。

已知函数f（x)＝x2＋e x－12（x〈0）与g（x)＝x2＋ln（x＋a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是() A。

错误! B.(－∞，错误!）C.错误!D。

错误!解析设点P(x0，y0)（x0〈0)在函数f(x）上，由题意可知，点P 关于y轴的对称点P′(－x0,y0)在函数g(x)上，所以错误!消y0可得x错误!＋e x0－错误!＝（－x0）2＋ln(－x0＋a）,即e x0－ln(a－x0）－错误!＝0（x0〈0),所以e x0－错误!＝ln（a－x0）(x0〈0）。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析考点一判断函数零点(方程根)的个数1.已知函数f(x)=3ln x-x2+2x-3ln 3-,则方程f(x)=0的解的个数为________.2.已知函数f(x)=e x-ax-1(a∈R)(e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)求f(x)的单调区间.(2)讨论g(x)=f(x)在区间[0,1]上零点的个数.【解题导思】序号联想解题1 由方程f(x)=0的解想到函数f(x)的零点序号题目拆解2(1)f(x)的单调区间求f′(x)并分析其正负确定单调区间(2)g(x)在区间[0,1]上零点的个讨论f(x)在[0,1]上的单调性,判断f(x)的零点个数,最后确定g(x)零点的个数.数【解析】1.因为f(x)=3ln x-x2+2x-3ln 3-(x>0),所以f′(x)=-x+2 ==,当x∈(0,3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(3)=3ln 3-+6-3ln 3-=0,因为当x→0时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→-∞,所以方程f(x)=0只有一个解.答案:12.(1)因为f(x)=e x-ax-1,所以f′(x)=e x-a,当a≤0时,f′(x)>0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;当a>0时,令f′(x)<0,得x<ln a,令f′(x)>0,得x>ln a,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,ln a),单调递增区间为(ln a,+∞).(2)令g(x)=0,得f(x)=0或x=,先考虑f(x)在区间[0,1]上的零点个数,①当a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)=0,所以f(x)在[0,1]上有一个零点;②当a≥e时,f(x)在[0,1]上单调递减且f(0)=0,所以f(x)在[0,1]上有一个零点;③当1<a<e时,f(x)在[0,ln a)上单调递减,在(ln a,1]上单调递增,而f(1)=e-a-1,当e-a-1≥0,即1<a≤e-1时,f(x)在[0,1]上有两个零点, 当e-a-1<0,即e-1<a<e时,f(x)在[0,1]上有一个零点.当x=时,由f=0得a=2(-1).综上知,当a≤1或a>e-1或a=2(-1)时,g(x)在[0,1]上有两个零点;当1<a≤e-1且a≠2(-1)时,g(x)在[0,1]上有三个零点.利用导数研究方程根(函数零点)的技巧(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置.(3)利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.设函数f(x)=ln x+,m∈R.讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数. 【解析】由题设,g(x)=f′(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x>0),则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.所以x=1是φ(x)的极大值点,也是φ(x)的最大值点.所以φ(x)的最大值为φ(1)=.由φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.考点二已知函数零点个数求参数问题【典例】已知曲线f(x)=e x(ax+1)在x=1处的切线方程为y=bx-e.(1)求a,b.(2)若函数g(x)=f(x)-3e x-m有两个零点,求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号【解题导思】序号题目拆解(1)曲线f(x)=e x(ax+1)在x=1处的切线方程为y=bx-e. 求导数,根据导数的几何意义,求出切线的斜率,解方程组,即可求出a和b的值(2)函数g(x)有两个零点求导数,利用导数确定函数的单调性,求出函数的极值,结合函数的零点与方程实数根的关系,数形结合,即可求出实数m的值.【解析】(1)f(x)=e x(ax+1),f′(x)=e x(ax+1)+e x·a=e x(ax+1+a),所以所以a=1,b=3e.(2)方法一:g(x)=f(x)-3e x-m=e x(x-2)-m,函数g(x)=e x(x-2)-m有两个零点,相当于曲线u(x)=e x·(x-2)与直线y=m有两个交点.u′(x)=e x·(x-2)+e x=e x(x-1),当x∈(-∞,1)时,u′(x)<0,所以u(x)在(-∞,1)上单调递减,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,所以u(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x=1时,u(x)取得极小值u(1)=-e,又x→+∞时,u(x)→+∞;x<2时,u(x)<0,所以-e<m<0.方法二:g(x)=f(x)-3e x-m=e x(x-2)-m,g′(x)=e x·(x-2)+e x=e x(x-1),当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,所以g(x)在(-∞,1)上单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-e-m,又x→-∞时,g(x)→-m,所以-e<m<0.已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.已知函数f(x)=ln x+,a∈R.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=ln x+的导数为f′(x)=-,得f(x)在x=1处的切线斜率为k=1-1=0,切点为(1,1),可得切线方程为y=1.(2)函数f(x)有且只有一个零点,即f(x)=0有且只有一个正实数根,可得-a=xln x,设g(x)=xln x,导数为g′(x)=1+ln x,可得x>时,g′(x)>0,g(x)单调递增;0<x<时,g′(x)<0,g(x)单调递减;即有x=时,g(x)取得最小值-,作出g(x)=xln x的图象,可得-a=-或-a≥0,解得a=或a≤0,则a的取值范围是∪(-∞,0].考点三可转化为函数零点个数的问题【典例】已知直线l:y=x+1,函数f(x)=ae x.(1)当a=1,x>0时,证明:曲线y=f(x)-x2在直线l的上方.(2)若直线l与曲线y=f(x)有两个不同的交点,求实数a的取值范围.世纪金榜导学号【解题导思】序号题目拆解(1)曲线y=f(x)-x2在直线l的上方证明曲线y=f(x)-x2在直线l的上方,转化为e x-x2-x-1>0恒成立.再利用导数判断函数单调性,从而求出最小值.(2)直线l与曲线y=f(x)有两个不同的交点令S(x)=ae x-x-1,直线l与曲线f(x)有两个不同的交点,既要判断S(x)在极值点两侧的单调性,又要判断极值点两侧的函数值的正负,即运用零点存在性定理,说明在极值点两侧零点各有一个.【解析】 (1)令J(x)=e x-x2-x-1,则J′(x)=e x-x-1,令g(x)=J′(x),则g′(x)=e x-1,当x>0时,g′(x)>0,所以在(0,+∞)上, J′(x)为增函数,所以J′(x)>J′(0)=0,从而J(x)也为增函数,得J(x)>J(0)=0. 故e x-x2>x+1,即曲线y=f(x)-x2在直线l的上方.(2)令S(x)=ae x-x-1,则S′(x)=ae x-1,当a≤0时,S′(x)<0,得S(x)在R上单调递减,不符合题意;当a>0时,令S′(x)=0,得x=ln ,所以S(x)在上为减函数,在上为增函数,由已知函数S(x)有两个零点,所以S(x)min=S=-ln <0,得0<a<1,此时S(-1)=>0,所以S(x)在上有且只有一个零点.由(1)得当x>0时,S(x)>a-x-1=ax2+(a-1)x+a-1,所以S>a+(a-1)+a-1=a+1>0.由(1)知,当x>0时,J′(x)>0得e x>x+1,令x+1=t,则ln t<t-1(t>1),所以>-1>ln ,所以S(x)在上有且只有一个零点,综上,0<a<1.处理函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图象,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,通过构造函数y=f(x)-g(x),利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a.(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.【解析】 (1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,由题意得-=-2,所以a=1.(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题意知1-k>0,当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x),h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

核心素养测评十六导数与函数零点1.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同的零点,求c的取值范围.【解析】 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f′(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f′(x)=3x2+8x+4.令f′(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.当x变化时,f(x)与f′(x)在区间(-∞,+∞)上的变化情况如下: (--2 -x∞,-2)f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗ c ↘c-↗所以,当c>0且c-<0时,存在x1∈(-∞,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)有三个不同零点.【变式备选】设函数f(x)=xe x+a(1-e x)+1,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若方程 f(x)=0在(0,+∞)上有解,证明:a>2.【解析】(1)因为f′(x)=[x-(a-1)]e x.所以x>a-1时,f′(x)>0,函数f(x)在(a-1,+∞)上单调递增,当 x<a-1时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,a-1)上单调递减.(2)函数f(x)在(0,+∞)有零点,可得方程f(x)=0有解.a===x+,有解.令g(x)=x+,g′(x)=1+=,设函数h(x)=e x-x-2,h′(x)=e x-1>0,所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-4>0,所以存在x0∈(1,2),使h(x)=0,故当x∈(0,x0)时,g′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,所以函数g(x)存在唯一最小值x0,满足=x0+2,所以g(x0)=x0+=x0+1∈(2,3),因为a=g(x)=x+有解,所以a≥g(x0)>2,所以a>2.2.(2020·揭阳模拟)已知函数f(x)=x-aln x-1.(1)若函数f(x)的极小值为0,求a的值.(2)∀t>0且a≤1,求证:f(e t)>t2.【解析】(1)因为f(x)=x-aln x-1,x∈(0,+∞),所以f′(x)=,当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在定义域上递增,不满足条件; 当a>0时,函数f(x)在(0,a)上递减,在(a,+∞)上递增,故f(x)在x=a处取得极小值0,所以f(a)=a-aln a-1=0,令p(a)=a-aln a-1, p′(a)=-ln a,所以p(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故p(a)≤p(1)=0,所以f(a)=0的解为a=1,故a=1.(2)方法一:由f(e t)>t2⇔e t-at-1>t2⇔e t-1>t2+at,因为a≤1,所以只需证当t>0时,e t-1>t2+t恒成立.令g(t)=e t-t2-t-1,g′(t)=e t-t-1,由(1)可知x-ln x-1≥0,令x=e t得e t-t-1≥0,所以g(t)在(0,+∞)上递增,故g(t)>g(0)=0,所以命题得证.方法二:f(e t)>t2⇔e t-at-1>t2⇔e t-t2-at-1>0,设g(t)=e t-t2-at-1(t>0),则g′(t)=e t-at-a,则g″(t)=e t-a,又e t>e0=1,a≤1,得g″(t)>0,所以g′(t) 单调递增,得g′(t)>g′(0)=1-a≥0,所以g(t)单调递增,得g(t)>g(0)=0,得证.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。