新北师大版九年级数学下册《三章 圆 .3 垂径定理》教案_13

垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？【探究二】 1.，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.O E CBAO C DB A OCDE O CD BO DB AC2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______ （三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（四）巩固训练： 题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。

*3.3 垂径定理1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)一、情境导入如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝ 3.∴OD＝23，∴AB＝4 3.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB︵)，点O是这段弧的圆心，C 是AB︵上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】垂径定理的综合应用如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长．解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OE＝12OB＝12OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根据勾股定理可以解得CE 的长，进而求出CD的长．(1)证明：连接AC ，如图，∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴AC ︵＝AD ︵，∴AC ＝AD .∵过圆心O 的直线CF ⊥A D ，∴AF ＝DF ，即CF 是AD 的垂直平分线，∴AC ＝CD ，∴AC ＝AD ＝CD ，即△ACD 是等边三角形，∴∠FCD ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝12OC ，∴OE ＝12OB ，∴点E 为OB 的中点；(2)解：在Rt △OCE 中，AB ＝8，∴OC ＝OB ＝12AB ＝4.又∵BE ＝OE ，∴OE ＝2，∴CE＝OC 2－OE 2＝16－4＝23，∴CD ＝2CE ＝4 3.方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二：垂径定理的推论【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数如图所示，⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON 的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题．【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD ＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计垂径定理1．垂径定理2．垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

*3 垂径定理教学目标一、基本目标1．通过圆的轴对称性质的学习,理解垂径定理及其推论． 2．能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题． 二、重难点目标 【教学重点】 垂径定理及其推论． 【教学难点】运用垂径定理及其推论解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P74～P75的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．即一条直线如果满足：①CD 经过圆心O 且与圆交于C 、D 两点；②AB ⊥CD 交CD 于点M ,则AM ＝BM ＝12AB ,AC ︵＝BC ︵ ,AD ︵ ＝BD ︵.2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧． 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵ ,点O 是CD ︵所在圆的圆心),其中CD ＝600 m,E 为CD ︵上一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF ＝90 m,求这段弯路的半径．【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径可转化为求OC 的长,结合已知条件,在Rt △OCF 中利用勾股定理即可求得OC 的长．【解答】连结OC .设弯路的半径为R m,则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ,∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m)．在Rt △OCF 中,根据勾股定理, 得OC 2＝CF 2＋OF 2, 即R 2＝3002＋(R －90)2, 解得R ＝545.∴这段弯路的半径为545 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)常用辅助线：连结半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为5,OC ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点C ,且CD ＝1,则弦AB 的长是多少？解：连结AO .由题意可知,OA ＝OC ＝5, ∴OD ＝OC －CD ＝5－1＝4. ∵OC ⊥AB , ∴∠ODA ＝90°,∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得 AD ＝OA 2－OD 2＝3. 又∵AB 为⊙O 的弦,∴由垂径定理,得AB ＝2AD ＝6, 即弦AB 的长是6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB ＝10 cm,水面宽AB ＝16 cm.求截面圆心O 到水面的距离．解：如图,过点O 作OC ⊥AB 于点C . ∵OC ⊥AB ,AB ＝16 cm,∴∠OCB ＝90°,BC ＝12AB ＝8 cm.又OB ＝10 cm,∴在Rt △OBC 中,由勾股定理,得 OC ＝OB 2－BC 2＝6 cm.即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.3．如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D ,若AC ＝8 cm,DE ＝2 cm,求OD 的长．解：∵E 是AC ︵的中点, ∴OE ⊥AC , ∴AD ＝12AC ＝4 cm.∵OD ＝OE －DE ＝(OE －2)cm,OA ＝OE , ∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得OA 2＝OD 2＋AD 2, 即OA 2＝(OE －2)2＋42, 解得OE ＝5 cm. ∴OD ＝OE －DE ＝3 cm. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知⊙O 的半径为13,弦AB ＝24,弦CD ＝10,AB ∥CD ,求这两条平行弦AB 、CD 之间的距离．【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB 、CD 之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线,构造直角三角形．【解答】分两种情况讨论：当弦AB 和CD 在圆心同侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,交AB 于点E ,连结OC 、OA .由题意可知,OA ＝OC ＝13. ∵AB ∥CD ,OF ⊥CD , ∴OE ⊥AB .又∵AB ＝24,CD ＝10,∴由垂径定理,得AE ＝12AB ＝12,CF ＝12CD ＝5,∴由勾股定理,得EO ＝OA 2－AE 2＝5,OF ＝OC 2－CF 2＝12, ∴EF ＝OF －OE ＝7；当弦AB 和CD 在圆心异侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,反向延长OF 交AB 于点E ,连结OC 、OA .同理可得,EO ＝5,OF ＝12, ∴EF ＝OF ＋OE ＝17.综上,两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧,再结合实际作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用,小心别漏解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)垂径定理及其逆定理,以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．练习设计请完成本课时对应练习！。

2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版数学九年级下册第3.3节的内容，本节课主要介绍垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径把这条弦平分。

这个定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆有关的问题具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质以及一些基本的运算。

但是，对于证明一个定理，他们可能还不是很熟悉。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、推理等方法，逐步理解并证明垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，并掌握其证明过程。

2.能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和推理能力。

四. 教学重难点1.教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。

2.教学难点：如何引导学生通过观察、思考、推理等方法，证明垂径定理。

五. 教学方法1.引导法：通过提问、引导，激发学生的思考，帮助他们理解垂径定理。

2.推理法：引导学生通过观察、推理，证明垂径定理。

3.实例法：通过具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。

六. 教学准备1.教学PPT：包括垂径定理的定义、证明过程以及应用实例。

2.教学素材：一些与圆有关的问题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.黑板：用于板书重要的概念和证明过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的与圆有关的问题，引导学生复习之前学过的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。

首先，让学生观察一些与圆有关的几何图形，引导他们发现其中的规律。

然后，通过推理和论证，得出垂径定理的结论。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试用垂径定理解决一些与圆有关的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）针对学生的讨论结果，进行讲解和分析，巩固他们对垂径定理的理解。

同时，通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。

课题垂径定理目标（三维目标）1．知识与技能（1）探索并理解垂径定理(2)熟练掌握垂径定理及其逆定理2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•理解定理的推导,掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．重点难点1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教法讲授法演示法学法示范指导法启迪思维法教学过程：（详案）讨论修改一、复习引入（学生活动）请同学口答下面问题（提问一、两个同学）复习上节课内容:包括圆的概念以及与圆相关的概念二、探索新知（实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．（2）AM=BM，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧ACB和弧ADB．这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为MAM=B求证：M.，，分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可．证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴点A和点B关于CD对称∵⊙O关于直径CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴，三、学生活动（证明垂径定理的逆定理）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD、弦AB（除直径）且AM=BM求证：（1）CD⊥AB （2），四、例题讲解1、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．2.在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB•与CD之间距离．解：如图所示，过O作OM⊥AB，∵AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=AB=×40=20cm，∴OM==15cm．同理可求ON==7cm，所以MN=OM-ON=15-7=8cm．以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上五、拓展训练例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．解：如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m∵OE⊥CD∴CF=CD=×600=300（m）根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+（R-90）2解得R=545∴这段弯路的半径为545m．练习1.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．。

北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。

本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。

垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。

但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。

2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。

2.难点：垂径定理的证明过程。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。

2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。

3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。

2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。

3.练习题：巩固所学内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。

引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。

3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。

学生分组讨论，分享解题方法。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。

九年级数学下册第 3 章圆 3.3 垂径定理教课设计新版北师大版《垂径定理》◆模式介绍“研究式教课”是指学生在学习观点和原理时，教师不过给他们一些案例和问题，让学生自己经过阅读、察看、实验、思虑、议论、听讲等门路去主动研究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教课方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地研究，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的因由和事物内部的联系，从中找出规律，形成观点，成立自己的认知模型和学习方法架构．研究式教课法能充足发挥了学生的主体作用．研究式教课往常包含以下五个教课环节：创建情境——启迪思虑——研究问题——形成结论——稳固提升◆设计说明第一经过问题 1 由学生亲身着手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题 2 经过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引起学生进一步探究的欲念．问题 3 让学生回首圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题4展现垂径定理的条件，为马上研究与证明垂径定理作准备．问题5和问题6研究并证了然垂径定理及其推论．最后经过例、习题的稳固，突出了垂径定理及其推论的应用．◆教材剖析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第3节《垂径定理》的教课内容，本节课是在学生学习了圆的有关观点和圆的对称性的基础长进行的，本节内容是依据圆的轴对称性研究了垂径定理及其有关的结论．垂径定理及其推论反应了圆的重要性质，是证明线段或角相等以及垂直关系的重要依照，同时也为有关圆的一些计算和作图问题供给了方法和依照．关于垂径定理的学习，要帮助学生剖析定理的条件和结论，加深学生对定理的理解．垂径定理有关推论的学习，能够按条件画出图形，让学生经过察看、思虑、亲身得出结论．◆教课目的【知识与能力目标】1、研究并证明垂径定理及其逆定理．2、能够运用垂径定理及其推论解决有关证明、计算及作图问题．【过程与方法】经历研究垂径定理及其逆定理的过程，发展推理能力．【感情态度与价值观】历研究垂径定理及其逆定理的过程，让学生领悟数学的谨慎性，并体验发现的乐趣．◆教课重难点【教课要点】垂径定理及其逆定理的证明．【教课难点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教课过程【创建情境】问题 1 请取出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试．追问 1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？追问 2：假如是一个残破的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？问题 2你知道赵州桥吗？它是1300 多年前我国隋代建筑的石拱桥，是我国古代人民勤奋与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度( 弧所对的弦长 ) 为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离) 为 7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精准到0.1 m）设计企图：问题 1 由学生亲身着手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题2经过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引起学生进一步研究的欲念．【启迪思虑】问题 3经过前方的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？结论：⑴圆是轴对称图形；⑵经过圆心的每条直线（注：提示学生说不可以说直径）都是它的对称轴；⑶圆的对称轴有无数条．问题 4 如图，对折⊙O 使圆的两半部分重合获得一条折痕， 在 上取一点 ，过CDOCM点 M 再次对折⊙ O ，使 CM 与 MD 重合，新的折痕与⊙O 交于 A 、 B 两点．（ 1）察看图形，它是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？（ 2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的原因．设计企图：问题 3 让学生回首圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题4展现垂径定理的条件，为马上研究与证明垂径定理作准备．【研究问题】问题 5 已知：如图，AB 是⊙ O 的一条弦， 是⊙ O 的一条直径，而且 ⊥ ，垂足CD CD ABM ．求证： AM=BM ， AC BC ， AD BD ．证明：连结 OA 、 OB ，则 OA =OB ．又∵ CD ⊥ AB ，∴直线 CD 是等腰△ AOB 的对称轴，又是⊙ O 的对称轴．所以沿着直径折叠时，双侧的两个半圆重合， A 点和 B 点重合， 和CDCDAMBM 重合， AD 、 AC 分别和 BD、BC重合．所以，AM=BM ，AC BC ，AD BD ．追问：你还有其余方法证明这个结论吗？说明：能够用全等三角形知识来证明．问题 6如图，AB是⊙ O的弦（不是直径），作一条均分AB的直径 CD，交 AB于点 M．（1）察看图形，它是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的原因．（3）AB与CD的地点关系怎样？说一说你的原因．解：，，．原因以下：连结 OA、OB，则 OA=OB．又∵ AM=BM，∴△ AOM≌△ BOM，∴∠ AMO=∠ BMO=90°，∴CD AB ，∴直线 CD是等腰△ AOB的对称轴，而CD又是⊙ O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时， CD双侧的两个半圆重合， A 点和 B点重合，AD、AC 分别和 BD、BC重合．所以，CD AB，AC BC，AD BD．【形成结论】你能文字语言表达问题 5 和问题 6 中的结论吗？问题 5 的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径均分弦，而且均分弦所对的两条弧．问题 6 的结论（垂径定理的推论）：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧．追问：假如弦AB是直径，以上结论还成立吗？近似还有以下结论：（1）均分弦所对的两条弧的直径，垂直均分弦；（2）弦的垂直均分线，必过圆心且均分弦所对的两条弧．【稳固提升】例 1如图，一条公路的转弯处是一段圆弧( 即图中 CD ，点O 是CD的圆心)，此中CD=600m，E 为CD上一点，且OE⊥ CD，垂足为 F， EF=90m．求这段弯路的半径．解：连结 OC．设弯路的半径为Rm，则 OF=（ R－90） m．∵OE⊥CD，∴CF 1 1300 （m）．CD 6002 2在 Rt△ OCF中，依据勾股定理，得OC2 CF 2 OF2，即 R222 ．R 90300解这个方程得R＝545．所以，这段弯道的半径是545m．追问：此刻能解决课前提出的赵州桥问题了吗？解：如图，由题意可知，AB=37m， CD=7.23 m，所以 AD=1AB＝18.5 m，2 OD OC CD R 7.23 ．在 Rt△ OAD中，由勾股定理，得AO 2 OD 2 AD 2，即 R2 18.522R 723 ，解得R 27.3（ m）．所以，赵州桥的主桥拱半径为27.3 ．m学生练习 1 课本 76 页随堂练习第 2 题．学生练习 2 如图，已知 AB ，请你利用尺规作图的方法作出AB 的中点，说出你的作法．A B作法： (1) 连结AB；(2)作 AB的中垂线，交AB于点 C，点 C就是所求的点．讲堂小结：本节课你学到了哪些数学知识？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？1、本节课我们研究了圆的轴对称性；2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；3、垂径定理和勾股定理相联合，结构直角三角形，可解决心算弦长、半径、弦心距等问题．部署作业：1、教科书习题 3.3 第 1 题、第 2 题．（必做题）2、教科书习题 3.3 第 3 题、第 4 题．（选做题）◆教课反省略．。

3.3垂径定理一、教学目标1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.二、课时安排1课时三、教学重点运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.四、教学难点运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.五、教学过程（一）导入新课引导学生说出点与圆的位置关系：（二）讲授新课活动内容1：探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.３.经过圆心的弦叫做直径探究2： AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.小明发现图中有:理由：连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,和重合和重合AC BC,AD BD.∴==AC BC,AD BD.活动2：探究归纳定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（三）重难点精讲例1.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.证明：连接OA ，∵ CD = 20，∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中，直径CD ⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形.在Rt △OMA 中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得：222AO OM AM =+，AM 8===， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.例2.如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？解:作OG ⊥AB ， ∵AG=BG,CG=DG ， ∴AC=BD.例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ,点O 是CD 所在圆的圆心),其中CD=600m,E 是CD 上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.解:连接OC.,(90).Rm OF R m =-设弯路的半径为则,OE CD ⊥11600300().22CF CD m ∴==⨯= 根据勾股定理得：222,OC CF OF =+即()22230090.R R =+-解这个方程得R=545∴这段弯路的半径为545米。