第1章充要条件参考答案1．1充分条件和必要条件【要点梳理】1．充分条件，p q．2．如果q，那么p．3．必要条件，p q．【闯关训练】1．1充分条件和必要条件一、选择题1．D．2．C．3．A．4．B．*5．C．提示：判断p是不是结论q的充分条件，只需要判断由p能不能推出q．*6．A．提示：判断p是不是结论q的必要条件，只需要判断由q能不能推出p．二、填空题1．假命题2．日取其半，万世不竭3．如果己所不欲，那么勿施于人三、解答题充分条件：x＝10；x＞8；必要条件：x－5＞0；x＞0．1．2 充要条件【要点梳理】1．充要条件，p q．2．充分条件，必要条件．【闯关训练】1．2充要条件一、选择题1．B．*2．C．提示：要想p是q的充分不必要条件，那么，不但由p能推出q，而且由q不能推出p．*3．A．提示：要想p是q的必要不充分条件，那么，不但由q能推出p，而且由p不能推出q．4．C．二、填空题*1．（2）（3）（4）．提示：由“且”联结的两个命题，如果都是真命题，那么整个命题为真，只要有一个是假命题，整个命题就是假命题，即所谓：真真才为真；由“或”联结的两个命题，如果都是假命题，那么整个命题为假，只要有一个是真命题，整个命题就是真命题，即所谓：假假才为假．2．（1）（2）（3）（4）（5）（6）第一章自我检测一、选择题（每小题10分，共60分）1．D．2．A．3．B．4．A．5．C．6．D．二、填空题（每小题10分，共30分）1．必要不充分．*2．充要．提示：本题是学生比较熟悉的关联情境问题，在“A、B是 ABC内角”的前提下，A、B中最多只有一个钝角或都是锐角；如果sin A＝sin B，那么A 与B只可能相等且都为锐角，不可能互补；同时，如果A＝B，那么必有sin A＝sin B．*3．（1）（3）．提示：命题（1）中由a＋b＋c＝0可知1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个实数根；可以用特殊值法,例举小于或等于0的x，不满足1x＞1;命题（4）可以结合图示法判断；命题（5）可以采用特殊值法,当“x≠1且y≠2”时,如x ＝0且y＝3,照样有x＋y＝3,“x≠1且y≠2”不是“x＋y≠3”的充分条件．三、解答题（10分）必要不充分条件．因为：A B C D，即A D，也就是说D A，所以D 是A的必要不充分条件．第2章平面向量参考答案2．1 向量的概念【要点梳理】1．大小，方向.2．大小，|a|.3．模为1.4．模为0，0或0，任意的.5．模相等，方向相同.6．模相等，方向相反，零向量.7．方向相同，相反，共线向量.【闯关训练】2．1 向量的概念一、选择题1．B.2．D.3．A.4．D.5．D.6．C.7．A.8．B.二、填空题1．任意的.2．−.3．充分不必要.4．AD，DA，CD，DC，BD，DB，BC，CB.三、解答题1．如图，其中向量AB 是单位向量．2．（1）=KJ DC ，模为2； （2）=HG UV；（3）AB ∥MN，模分别为，HG ∥UV ，模为10DC ∥KJ ∥ST ，模分别为2、2和1， FE ∥PQ ，模分别为3和1.3．（1）GC ∥CG ∥AE ∥EA ∥EB ∥BE ∥AB ∥BA ； （2）=AG EC ．2．2 向量的线性运算【要点梳理】1．加法，减法，数乘. 2．AC ，CB . 3．a ，0. 4．AC . 5．b +a ，(a +b )+c . 6．|λ||a |.7．相同，相反，0，是任意的. 8．λ(μa )，μ(λa )，λa +μa ，λa +λb . 9．存在实数λ，使得b =λa .xy OA BC1 2-3110．e=λa +μb （λ、μ均为实数）.【闯关训练】2．2．1 向量的加法运算一、选择题1．B ． 2．A ． 3．D ．4．C.提示：向量同向时和向量的模为4，向量反向时和向量的模为2. 5．C ． 二、填空题1． AD .提示：原式==AB BC CD AD ++. 2．水平向西，2.3．（1）DE .提示：原式==DB BE DE +； （2）ED .提示：原式=++=+=EA AB BD EB BD ED . 三、解答题1．=AD AO OD +，=AD AB BD +,=AD AC CD +；由于=AD BC ，因此=AD BO OC +,=AD BD DC +,=AD BA AC +；由于=AO OC ，=BO OD ，因此==AD AO BO OC OD ++．2．图略．2．2．2 向量的减法运算一、选择题1．A. 2．B. 3．A.4．B.提示：==AC AB BD DC BC -+.*5．D.提示：=OA OB BA -，因为=AC CA -，所以==BA AC BA CA BC +-. 二、填空题1． DC . 2．（1）DB ； （2）DC .3．2或4.提示：两个向量同向时差向量的模是2，反向时差向量的模是4. 三、解答题1．原式===CB CD DE DB DE EB ---． 2．图略．2．2．3 向量的数乘运算一、选择题1．C. 2．A. 3．C. 4．D. 5．B. 二、填空题1． -a . 2．相反，2. 3．OD . 三、解答题1．原式=5a -6a -4b +3a -3b =2a -7b ．2．（1）根据题意，“A 队”在静水中的速度大小为11 km/h 、方向正北，所以实际速度为9 km/h 、方向正北；（2）由AC =-4AB 得到“B 队”的实际速度大小为8 km/h 、方向正北． 【学海探津】平行四边形.提示：==+AB AD DB +a b ,==+DC DA AC +a b ，即=AB DC .2．3 向量的内积【要点梳理】1．最小正角，<a ,b >. 2．0，π，0≤<a ,b >≤π. 3．|a ||b |cos <a ,b >，0. 4．（1）a ⋅b =0；（2；（3）⋅a ba b.【闯关训练】2．3 向量的内积一、选择题1．C ． 2．B ． 3．A ． 4．A ． 5．D ． 6．B ． 7．B ．*8．C.提示：由0AB AC ⋅<知cos A <0，所以三角形中角A 为钝角，即三角形是钝角三角形. 二、填空题1．2. 2．135°.3．120°.提示：向量AB 与向量CA 起点不相同，需要将向量平移至同一起点再确定夹角. 4．3 600.三、解答题1．a ⋅(a -b )= a ⋅a -a ⋅b =|a |2-|a ||b |cos <a ,b >=4-⎛ ⎝⎭=7． 2．当向量a 与b 同向，即a 与b 的夹角<a ,b >=0时，a ⋅b =|a ||b |cos0=2；当向量a 与b 反向，即a 与b 的夹角<a ,b >=π时，a ⋅b =|a ||b |cosπ=-2．3．根据平面几何知识=2DB ，并且DC DB ，=45°，所以=12=12DC DB ⋅⨯．2．4 向量的坐标表示【要点梳理】1．a =x i +y j ，a =(x ,y ).2．(0,0)，(1,0)，(0,1)，(x ,y )，2121(,)x x y y --.3．1212(+,+)x x y y ，1212(,)x x y y --，11(λ,λ)x y ，1212+x x y y . 4．（1）21x x =21y y ，1221=x y x y ；（2）1212+=0x x y y ；（3）；（4.【闯关训练】2.4.1 向量的坐标表示一、选择题1．D. 2．B. 3．C. 4．A. 5．B. 二、填空题1．(5,-4)，(5,-4). 2．(5,3).3．(10,2)，(-2,-3). 三、解答题1．OA =(-3,1)，OA =-3i +j ，在坐标系中如图所示：2．设点C 的坐标是(x ,y )，因为四边形是平行四边形，所以=OB DC .根据已知条件，OB =(4,0)，DC =(x -2, y -3)，所以应满足2=43=0x y -⎧⎨-⎩，，解得 x =6，y =3，即点C 的坐标是(6,3).2.4.2 向量线性运算的坐标表示一、选择题1．A.2．D.3．D.4．C.5．B.二、填空题1．(7,9).2．-5.*3．(-4,1)或(-12,3).提示：应分类讨论两种情况．如果点C在线段OB上，那么点C 坐标是(4,-1)，此时=BC(-4,1)；如果点C在线段BO延长线上，那么点C坐标是(-4,1)，此时=BC(-12,3).三、解答题1．（1）a-2b=(-2-2×2,2-2×4)=(-6,-6)，3a+b=(3×(-2)+2, 3×2+4)=(-4,10)；（2）a-2b=(3-2×(-1),1-2×0)=(5,1)，3a+b=(3×3+(-1), 3×1+0)=(8,3).2．设点D的坐标是(x,y)，根据已知得到，AB=(6,6)，DC=(-1-x,2-y)，所以(6,6)=2(-1- x,2- y)=(-2-2x,4-2y)，得到方程组22=642=6xy--⎧⎨-⎩，，解得：x=-4，y=-1，所以点D的坐标是(-4,-1)．2.4.3 向量内积的坐标表示一、选择题1．B.2．D.3．C.4．A.5．A.6．D.7．C.*8．B.提示：AB AC⋅=0 ，所以∠A=90°.二、填空题1．0. 2．5. 3．2.4．(42,-28)，(-34,-85).提示：a ⋅b =2×(-3)+5×4=14，所以(a ⋅b )c =14c =(42,-28)；b ⋅c =(-3)×3+4×(-2)=-17，所以a (b ⋅c )=-17a =(-34,-85)． 三、解答题1．a ⋅b =4×2+(-3)×2 =2；|a ；|b ；cos ,=⋅a b a b a b 2．由题意得 a +λb =(4,-2)+ λ(1,-3)=(4+λ,-2-3λ)，因为a +λb 与b 垂直，所以 (4+λ,-2-3λ)⋅(1,-3)=4+λ+(-3)×(-2-3λ)=10+10λ=0，所以λ=-1．3．由题意得cos <a ,b >=cos60°=1212，解得=k ±【学海探津】约为5 kg ．第二章 自我检测一、选择题（每小题8分，共40分）1．D. 2．B. 3．A. 4．C. 5．B.二、填空题（每小题8分，共40分）1．b .提示：原式=5a -2a +4b -3a -3b =b ． 2．10. 3．(1,1). 4．18.5．-7.提示：原式=(-1+2×1,3+2×(-2))⋅(-1-1,3-(-2))=( 1,-1)⋅(-2,5)=-7. 三、解答题（每小题10分，共20分）*1．由题意知i ⋅j =0，a ⋅b <0． ——————————————————4分 因为a ⋅b =(3i -m j )⋅(i +2j )=3-2m <0． ————————————————8分解得32m>，即m的取值范围是3+2∞⎛⎫⎪⎝⎭，．——————————————10分2．（1）如图所示：——————3分（2）根据题意建立直角坐标系时，应有|f1|=|f2|=60，——————5分所以f1=(30-,，f2=(30,，———————7分f1+f2=(0,. ———————9分（3）f1+f2是与物体重力方向相反，大小相同的力，因此垃圾所受重力是N.———————10分第3章 圆锥曲线 参考答案3.1 椭圆【要点梳理】1．两个定点12,F F ；常数. 2.焦点；焦点；焦距.3.()222210y x a b a b+=>>；,a x a b y b --；()()()(),0,,0,0,,0,a a b b --；()()()(),0,,0,0,,0,b b a a --；()(),0,,0c c -；2c ；2a ；2b ；ca. 【闯关训练】3.1.1椭圆的标准方程一、选择题 1.C.2.B.3.C.4.B.5.C.6.D.7.A.8.A.二、填空题1. 2.20. 3.6. 4.1. 三、解答题1.解：由题意设所求的椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x .因为2c =，所以32=c ，即1222=-b a，又因为点P 在椭圆上，因此22821a b +=，即222212,82 1.a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得2216,4.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆标准方程为221164x y +=. 2.解：由题意得，Sab π=,即S ab π==，得ab =.又因为21212432F AB C AF AF BF BF a =+++==△，得8a =，所以b =，故椭圆的标准方程为221364x y +=. 3.解：由题意得，2c =,12=4F F . 又因为112122PF F F F F PF -=-，因此1212282PF PF F F a +===，即4a =， 则22216412b a c =-=-=，故椭圆的标准方程为2211612x y +=.3.1.2椭圆的几何性质一、选择题 1.A. 2.D. 3.D. 4.A. 5.B. 6.C. 7.D.*8.B.二、填空题1.()()()()2,0,2,0,0,1,0,1--；2. 2.221169x y +=. 3.22198x y +=.*. 三、解答题1.解：由椭圆方程得，22124x y +=，焦点在y 轴上， 则2242a ,b ==，因此2222c a b =-=，即2a ,b ===因此椭圆的长轴长为4，短轴长为，焦距为，焦点坐标为((00,,，顶点坐标为()()())020200,,,,,-，离心率2c e a ==. 2.解：由题意得，椭圆焦点可能在x 轴上或y 轴上， （1）当椭圆焦点在x 轴上时，228a ,b m ==，且8m <，则2228c a b m =-=-，而12e =，因此2221848c m e a -===，解得6m =.（2）当椭圆焦点在y 轴上时，228a m,b ==，且8m >，则2228c a b m =-=-，而12e =，因此222184c m e a m -===，解得323m =.综上所述，m 的值为6或323. *3.解：在Rt OFA ∆中，,,AF a OA b OF c ===，由题意得26a =，得3a =，2cos 3OF c OFA AFa ∠===，可解得2c =， 因此222945b a c =-=-=，故椭圆的标准方程为22195x y +=．【学海探津】解：设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由题意得200174086001740a c a c -=+⎧⎨+=+⎩，解得61404200a c =⎧⎨=⎩，所以离心率42000.686140c e a ==≈．3.2 双曲线【要点梳理】1．两个定点12,F F ；绝对值. 2.焦点；焦距.3. y 2a 2−x 2b 2=1；,x a x a y R -∈或；()(),0,,0a a -；()()0,,0,a a -；()(),0,,0c c -；()()0,,0,c c -；2c ；2a ；2b ，c a ；b y x a=±；a y x b =±.【闯关训练】3.2.1双曲线的标准方程一、选择题 1.B. 2.D. 3.A. 4.A. 5.C.7.A. 8.C. 二、填空题1.2.((0,,. 3.()(),14,-∞+∞.*4.1.三、解答题1. 解：由题意得，6b =，10c =，且焦点在x 轴上，则2221003664a c b =-=-=，故双曲线的标准方程为2216436x y -=． 2. 解：由2120m +>知双曲线的焦点在x 轴上， 因此2212a m =+，224b m =-，且240m -<， 又因为2222212416c a b m m =+=++-=，所以4c =， 故双曲线的焦点坐标为()()4,0,4,0-，焦距为*3. 解：由双曲线定义得，216AF AF -=，216BF BF -=，因此216AF AF =+，216BF BF =+，而22211ABF C AB AF BF AB AF BF =++=++△3.2.2双曲线的几何性质一、选择题2.B.3.C.4.D.5.A.6.C.7.B.8.C.9.A.*10.B.二、填空题1.45y x =±.2.6.3.221412x y -=. 4. 3∶1.5.221416x y -=或22141y x -=. *6. 4.三、解答题1. 解 将双曲线的方程22169144x y -=化为标准方程221916x y -=， 由此可得双曲线的焦点在x 轴上，229,16a b ==，22291625c a b =+=+= 从而，3,4a b ==，5c =．故双曲线的焦点坐标为()()5,0,5,0-，顶点坐标为为()()3,0,3,0-，实轴长为6，虚轴长为8，离心率53c e a ==，渐近线方程为43b y x x a =±=±.2. 解 ⑴由题意得，5210,5,4c c c e a ====， 则2224,9a b c a ==-=， 又因为焦点在x 轴上，故双曲线的标准方程是221169x y -=； ⑵由题意得1b =，又因为2e =，则22222514c a e a a +===，解得24a =，由于焦点在y 轴上，故双曲线的标准方程为22141y x -=.3. 解 由于22126x y k k +=--是双曲线方程，且26k k ->-， 因此2060.k k ->⎧⎨-<⎩，解得26k <<．即222,6a k b k =-=-，则222264c a b k k =+=-+-=，2c =， 而2ce a==，得到1a =，因此23b =，b = 故21k -=，3k =，故双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-，渐近线方程为y =. *4. 解 由题意得双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标为()()5,0,5,0-，5c =．方法一：设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则224,325.b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得229,16.a b ⎧=⎨=⎩ 故双曲线的标准方程为221916x y -=．*方法二：根据渐近线方程x y 34±=，可设双曲线方程为()220916x y λλ-=≠， 因此229,16a b λλ==，则2229162525c a b λλλ=+=+==，得=1λ，故双曲线的标准方程为221916x y -=．3.3 抛物线【要点梳理】 1．定点，相等. 2．焦点，准线.3. 22y px =-；22x py =；22x py =-；0,x y R ∈；0,y x R ∈；0,y x R ∈；x 轴；y 轴；y 轴；,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭；0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭；0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2p x =；2p y =-；2py =；()0,0；1．【闯关训练】3.3.1抛物线的标准方程一、选择题 1.D. 2.D. 3.C. 4.A. 5.A. 6.C. 7.B. 8.B. 二、填空题 1. ()1,0.2. 28y x =-.3. 3.4. 4. 三、解答题1. 解：（1）由焦点坐标可知22p=，4p =，焦点在y 轴负半轴上， 故抛物线的标准方程为28x y =-. （2）由准线方程可知122p =，1p =，焦点在y 轴正半轴上， 故抛物线的标准方程为22x y =.（3）由题意可知4p =，故抛物线的标准方程为28y x =或28y x =-.2. 解：（1）将抛物线的方程化为标准方程22y x =-可知，抛物线的焦点在x 轴负半轴上，且22p =，1p =，122p =， 故抛物线的焦点坐标为1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程12x =．（2）将抛物线的方程化为标准方程26x y =可知，抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且26p =，3p =，322p =， 故抛物线的焦点坐标为30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程32y =-．3. 解：由题意可得，动点P 到定点(4,0)F 的距离与它到定直线4x =-的距离相等，动点P 的轨迹是焦点为(4,0)F ，准线方程为4x =-的抛物线.因此42p=，8p =，216p =.动点P 的轨迹方程为216y x =.【学海探津】如图建立平面直角坐标系，则有()16,8A -，设抛物线方程为()220x py p =->，将()16,8A -代入得，16p =，即抛物线方程为232x y =-， 当2x =时，18y =-，而1638788-=>，则竹排能够安全通过桥孔．3.3.2抛物线的几何性质一、选择题 1.D. 2.C. 3.B. 4.A. 5.A. 6.C. 7.B. *8.D. 二、填空题 1. 28y x =. 2. 2±. 3. 16.*4. ()()1,1,4,2-. 三、解答题1. 解：（1）因为抛物线的对称轴为x 轴，点()2,1-是第二象限内的点，故抛物线的焦点在x 轴的负半轴上，设抛物线方程为22y px =-， 将点()2,1-代入方程得，41p =，14p =，122p =．故抛物线的标准方程为212y x =-.（2）由双曲线方程22142x y -=可知双曲线的右顶点为()2,0， 因此抛物线的焦点为()2,0，则22p=，4p =，28p = 故抛物线的标准方程为28y x =.2. 解：因为抛物线的对称轴为y 轴，点(),3P m 是第一或第二象限内的点，故抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，如图所示， 由抛物线的定义可知3522p p pPF y =+=+=， 因此4p =，28p =，故抛物线的标准方程为28x y =.*3. 解：如图所示，由抛物线和正三角形的图形特征可得直线AB 的倾斜角为6π，直线BC 垂直于x 轴，且,B C 关于x 轴对称.直线AB方程为y x =，代入抛物线方程22y x =，解得6,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或0,0.x y =⎧⎨=⎩因此(6,(6,B C -， 故△ABC 的边长BC =. 【学海探津】解：以拱桥的桥顶为原点，如图所示，建立平面直角坐标系．CBAyx可设抛物线的标准方程为22x py =-， 由题意得，点()16,8-在抛物线上，将点()16,8-代入方程22x py =-得，16p =，232p =，因此抛物线的标准方程为232x y =-．解法一：因为木箱的宽为4m ，则2x =±，代入方程得，18y =-，那么此时的最高限度为16387.875788-==>， 所以此时竹排能够安全通过桥孔．解法二：因为木箱的高为7m ，则871-=，1y =-，代入方程得，x =±，那么此时的最大宽度为4>，所以此时竹排能够安全通过桥孔．第三章 自我检测一、选择题 （每小题6分，共48分）1.B.提示：由题意可得，,2ab b π⎧=⎪⎨⎪=⎩即可解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2. B.提示：由题意可得，2a =，b =5a y x xb =±=±. 3. D.提示：由题意可得，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，52p=，10p =. 4. D.提示：由题意可得，28a =，4a =，又因为34c e a ==，可得3c =，图3-11Oy x因此2221697b a c =-=-=，而椭圆的焦点可能在x 轴或y 轴上，因此椭圆方程有两种可能.5. C.提示：可结合图像得到，13p y +=，2p y =.6. B.提示：由题意可得，2516,160.m m m ->+⎧⎨+>⎩求解即可得到m 的取值范围.*7. B.提示：由题意可得，12222322AF AF AF AF AF a -=-==，因此2AF a =，13AF a =，又因为1290F AF ∠=︒，可得2221212AF AF F F +=，即22294a a c +=，化简得，22104a c =，2252c a =，即2c e a ==.*8. B.提示：由已知得81.5010a =⨯，离心率0.02ce a==，因此，80.0310c =⨯，则地球到太阳的最远距离为8881.50100.0310 1.5310a c km +=⨯+⨯=⨯，最近距离为8881.50100.0310 1.4710a c km -=⨯-⨯=⨯. 二、填空题（每小题8分，共32分） 1.提示：由题意可得，221m +=，解得m =.2. 212y x =-.提示：由题意可得，椭圆的左顶点为()3,0-，因此抛物线的焦点即为()3,0-，则32p=，6p =. 3. 1.提示：由题意可得，24a =，24b m =-，所以2a =，222c a b m =-=，而12c e a ==，则1c =. *4. ()2,2.提示：从图像中可知，要使PA PF +最小，则过点A 作AQ l ⊥，垂足为Q ，交抛物线于点P ，此时点P 的纵坐标为2，代入抛物线方程可得横坐标为2.三、解答题（每小题10分，共20分）1. 解：由题意可设抛物线的标准方程为22x py =，---------------2分当水面宽度为40m 时，水面最深处为2m ， 即当20x =时，2y =，---------------1分将点()20,2代入抛物线方程得，4004p =，100p =，---------------2分 则抛物线的标准方程为2200x y =，---------------2分当水面宽度为36m 时，即18x =时，得 1.62 1.8y =<，---------------2分 因此这艘吃水深度为1.8m 的货船不能安全通过．---------------1分*2. 解：方法一：由题意得，双曲线141622=-y x 渐近线为12y x =±，---------------2分当x =时，12y =±⨯=而2<<，因此所求的双曲线焦点在x 轴上，---------------2分设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则221,2244 1.b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩---------------4分 故双曲线的标准方程为22182x y -=．---------------2分 *方法二：设双曲线方程为()220164x y λλ-=≠，---------------4分将点2)代入方程得，12λ=，---------------2分 故双曲线的标准方程为2211642x y -=即22182x y -=．---------------4分第4章立体几何参考答案4.1 平面【要点梳理】1. 无限延伸；平行四边形；α、β、γ….2.同一直线上;A∈α,B∈α,C∈α;所有点；m α；该直线外一点；相交直线；平行直线；公共直线；α∩β=l.【闯关训练】4.1.1平面的特征和表示一、选择题1.C.2.B.3.D.4.D.5.D.二、填空题1.平面BD、平面DB、平面CA、平面ABCD（答案不唯一）.2.A∈m且A β.三、解答题1.解：连接BD′和AC′，则BD′与AC′的交点就是点P，如图所示.4.1.2平面的基本性质一、选择题1.D.2.D.3.D.4.C.A BC DB′C′D′A′P（1） （2） （3）二、填空题 1.相交.2.1或 3. 3.l ∩α=A .三、解答题1.答：A ∈AB ，AB 平面AB ′，AB ∩BC =B （答案不唯一）.2.解：如图 （1）（2）（3）.4.2直线与直线的位置关系【要点梳理】1.异面直线；共面直线.2.3；平行；相交；异面.3.同一条直线.4.1；最小正角.5.0；02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；02π⎛⎤⎥⎝⎦，.6.相等.7.不经过.8.公垂线；公垂线段；距离.【闯关训练】4.2.1共面直线一、选择题 1.C.2.D.3.B.4.D.αBCAαPmnαmn二、填空题1.AB 与BC ，AB ′与BB ′.（答案不唯一）2.AB 与CD ，BB ′与CC ′.（答案不唯一）3.AA ′与AB ，BC 与B ′C ′.（答案不唯一） 三、解答题1.（1）平行；（2）相交.*2.证明：在长方体 ABCD －A′B′C′D′中，∵点O 是AC 与BD 的交点，点O′是A′C′与B′D′的交点. ∴OD =12BD ，O′D′=12B′D′，且OD ∥O′D′ 又∵BD = B′D′ ∴OD O′D ′∴四边形OO′D′D 是平行四边形.4.2.2异面直线一、选择题 1.C.2.C.3.D.4.B.5.C.6.C.7.D.8.B.二、填空题1.AB 与CD 、BC 与AD 和AC 与BD .2.异面.*3.3π.提示：将 A D′平移至 BC′，则∠A′C′B 是 AD′与 A′C′所成的角. 连接 A′B ，则△A′BC′是等边三角形，故AD′与A′C′所成的角为3π.*4.125.提示：因为DD ′⊥平面AC ，AC 平面AC ，所以DD ′⊥AC ，故点D 到AC 的距离就是DD ′与AC 的距离，设为h.在△ACD 中，AB=4cm ，BC=3cm,由AD ×DC=AC ×h 知，h=125. 三、解答题1.解：与直线EH 异面的直线有SC 、AC 、BC.2.解：（1）∵长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，D′C′⊥DD′且D′C′⊥BC′∴D ′C ′是直线DD′与BC′的公垂线段 又∵D′C′=AB=8∴DD′与BC′的距离为8.（2）平移DD ′至CC ′，则∠CC ′B 是直线DD ′与BC ′所成的角.在RT △BCC ′中，BC=CC′=6∴∠CC ′B=4π，即直线DD ′与BC ′所成角的大小为4π. 3.证明：假设PC 与AB 共面.∵点A 、B 、C 同在平面α内则PC α，与直线PC 与平面相交于点C 矛盾 ∴PC 与AB 是异面直线.4.3 直线与平面的位置关系【要点梳理】 1.无数；相交；平行.2.直线在平面外.3.平行.4.平行.5.垂直.【闯关训练】4.3.1 直线与平面平行一、选择题 1. D. 2. C.3.A.4.D.5.C.二、填空题1.平行或在平面内.2.平行、相交、异面.3.无数.三、解答题1.证明：连接AC交BD于点O，连接MO.由□ABCD知，点O为AC的中点.∵点M为P A中点，∴在△P AC中，MO为中位线，有MO∥PC.又∵MO 平面MBD ，PC 平面MBD,∴PC∥平面MBD.2.证明：连接MO.由□ABCD知，点O为中点，∵点M为PB的中点,∴在三角形PBD中，MO为中位线，有MO∥PD.又∵PD 平面MAC，MO 平面MAC，∴PD∥平面MAC.4.3.2 直线与平面垂直一、选择题1.C.2.A.3.B.4.D.5.C.6.C.7.C.8.B.二、填空题 1.1.2.2. 3.60°.4.2a . 三、解答题1.l l l l l 设△ABC 在平面 α内，直线⊥AB ，⊥BC ，求证：⊥AC 证明：∵ ⊥AB ， ⊥BC ，AB 平面 α，BC 平面 α且 AB ∩BC =B ，l ∴ ⊥平面 ABC .又∵AC 平面 ABC ，∴l ⊥AC ，即与三角形两边垂直的直线也和三角形的第三边垂直.2．证明：∵点O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴点O 是AC 和BD 的中点. ∵P A=PC ，∴在等腰三角形P AC 中， PO ⊥AC. 同理：PO ⊥BD .又∵AC 平面ABCD ，BD 平面ABCD 且AC ∩BD =O ， ∴PO ⊥平面ABCD.*3. 证明：（1）∵点O 为□ABCD 对角线交点，∴点O 为AC 的中点. 又∵点M 是PC 的中点，在△P AC 中，由中位线定理知，MO ∥P A . ∵P A ⊥平面ABCD ， ∴MO ⊥平面ABCD .（2）∵AD=AC=2，在等腰 ACD 中，过A 作AE ⊥CD ，∴点E 为CD 的中点，连接ME 、PD . 由ME 为中位线知，ME12PD .∵P A ⊥平面ABCD ，AD 平面ABCD ， ∴P A ⊥AD .在Rt P AD 中，P A=AD=2，PD =.∴ME .4.3.3 直线与平面所成角一、选择题*1. D. 提示：直角在平面的射影当摆放角度不同时可得到直角、锐角和钝角的情况. 2.B.3.A.4.D.5.D.*6. C.提示：设平面 α 内的等腰 RT △ABC 的腰长为 1，则可得 AB =RT △PBC 中，∠PBC =60°,BC=1,可得PB =2，因此在RT △P AB 中,cos ∠PBA =AB PB=2,所以，∠PBA =45°. *7. D.提示：由点 P 到四条边的距离相等，则其射影也相等，即点 P 在四边形ABCD 的射影到四条边的距离都相等，因此，四边形即为圆的外切四边形. 8. D.二、填空题 1.90°、0°.2.90°.3.垂足与斜足.4.45°.三、解答题1.解：（1）由题知在正方体中，1A B 与平面所成角为∠1A BA =45°（2）连接11B C BC 与交于点O ，连接1A O 可证∠1BA O 即为直线1A B 与平面11A B CD 所成角，设正方体边长为1，可得12A B BO ==，则在直角三角形1A BO 中，∠1BA O =30°.2.解：（1）正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，B 1 D 1 ∥BD ，∴∠OBD 是BO 与B 1 D 1所成的角. ∵正方体棱长为2,∴BD=，.在RT △ABO 中，∵222BD =OD +BO ，∴△BOD 是直角三角形，∠BOD =90°. 又∵OD =12BO ， ∴∠OBD =30°.（2）过O 做OE ⊥AD ，连接BE ，则∠OBE 为BO 与平面ABCD 所成的角.由正方体棱长为2，可得OE =1，BE则tan ∠OBE =5*3. 提示：本题主要考查正棱锥顶点在底面射影在底面高线上，且分高所成比例为2∶1 .解：过点 P 做 PO ⊥面 ABC ，AD ⊥BC ，则点 O 在 AD 上且 AO:OD =2∶1在△PBC 中，可得PD =2，在△ABC 中，可得AD =2，因此OD ，在RT △POD 中，由勾股定理可得PO =34.4 平面与平面的位置关系【要点梳理】1.相交；平行.2.相交.3.半平面；二面角.4.垂直.【闯关训练】4.4.1 两平面平行一、选择题1.D.2.A.3.A.4.D.5.B.二、填空题1.平行或异面.2.平行.3.0或1.三、解答题1.证明：在正方体ABCD- A1B1C1D1中，A1B∥D1C.∵A1B 平面CB1D1，D1C 平面CB1D1，∴A1B∥平面CB1D1.同理可得A1D∥平面CB1D1.又∵A1B与A1D相交于平面A1BD内一点A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD.*2. 如图所示，已知平面α∥平面β，AB∥CD，A、C∈平面α，B、D∈平面β.求证：AB=CD.图4-47 证明：连接AC 、BD .如图所示，平面ABDC ∩α=AC ，平面ABDC ∩β=BD,∵α∥β， ∴AC ∥BD . 又∵AB ∥CD ， ∴ABDC 为平行四边形∴AB=CD .4.4.2 二面角一、选择题 1.C.2.C.*3. B.提示：在长方体中，二面角的平面角为∠1A BA ，在RT △1A BA 中，AB=1,13AA =，则∠1A BA =60°.*4. D.提示： 连接AC 、BD 和MO ，由题知∠MOC 为二面角的平面角，可先算出其互补角∠MOA =60°. 5.B.二、填空题 1.82. 2.532. *3. 30°.提示：在长方体中可得二面角的平面角为∠11D AA ，在RT △11D AA 中，边长1113,1AA A D BC ===，可得∠11D AA =30°. 三、解答题1.解：设上升到点P ，过P 做PO ⊥底面，由直道与水平线成45°且长度为200米，可得点P 到坡脚距离为1002，又山坡斜度为60°，6则可得,PO =50.*2.提示：分别利用直线和平面所成角求出 MD 和 MA ，在 RT △MAD 中可求αCAβBD解：（1）由题知∠CMD为MC与平面MAD所成角，∠MCA为MC与平面ABC 所成角，由MC=4，可得MD=MA=2，在RT△MAD中，可得AD=2（2）过点D作DE⊥MC，过A做AN⊥MC，做EH∥AN，在等腰RT△MDC中，可得DE=2，在△MAC中，可得AN，EH，,又在△ACD与△AHD中,利用余弦定理可得DH=3.在△DEH中,利用余弦定理可得cos∠DEH=34.4.3 两平面垂直一、选择题1.A．2.C．3.B．4.A．5.A．6.B．7.D．8.D．二、填空题1. .2.垂直.3. .4.互相平行.三、解答题1.证明：∵MB=MC，D为中点，∴在等腰△MBC中，MD⊥BC.同理，在等腰△ABC中，AD⊥BC.∵MD交AD于平面MAD内一点D,∴BC⊥平面MAD.又∵MA 平面MAD,∴BC⊥MA.∵MA⊥AD,且AD交BC于平面ABC内一点D，∴MA⊥平面ABC.又∵MA 平面MAB,∴平面ABC⊥平面MAB.*2. 证明：（1）由MA⊥平面ABC，NC⊥平面ABC知MA∥NC，又∵MA=NC∴四边形MACN为平行四边形，则MN∥AC.∵MN 平面ABC，AC 平面ABC，∴MN∥平面ABC.（2）由（1）知MACN为平行四边形，又MA⊥平面ABC，∴MA⊥AC.因此，MACN为矩形，有MN⊥MA.又∵AC⊥AB,∴MN⊥AB.由于AB交PB于平面MAB内一点A∴MN⊥平面MAB，又∵MN 平面MBN，∴平面MAB⊥平面MBN.3.证明：∵MA⊥平面ABC，∴MA⊥BC.又∵点C在圆上，AB为直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC.又AC∩MA=A，∴BC⊥平面MAC.∵BC 平面PBC，∴平面MAC⊥平面PBC.第四章自我检测一、选择题（每小题10分，共60分）1.D.2.D.3.C.4.C.5.C.*6.C. 提示：连接AC、 EC，则1AE=DE=2a，在Rt∆EDC中，2a，在Rt∆AEC中，2a.二、填空题（每小题6分，共18分）1.293. 提示：连接PD、PB、BD，作AE⊥BD交BD于E，连接PE，因为PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=6，在△ABD中，AE=125，在Rt△PAE中，，所以，PBD1S=BD2⨯⨯.2.相交、平行或在α内.*3.1010. 提示：由BH∥AE，则AE与FG所成的角就是∠BGF.在∆BGF中，BG＝BF＝5，FG＝2，可求得cos∠BGF＝225＝1010.三、解答题（第10题10分，第*11题12分，共22分）1.证明：由题知，在三角形ABC中，EF为底边AC中位线，∴EF∥AC，且EF＝12AC.————————————2分同理HG∥AC,且HG＝12AC. ————————————4分∴EF∥GH，且EF＝GH. ————————————5分因此，EFGH为平行四边形. ————————————6分同理EH＝GF＝12 BD，————————————7分又∵AC＝BD，∴EF=EH，————————————8分即四边形EFGH为菱形. ————————————9分因此，对角线EG⊥FH. ————————————10分*2.（1）由PC⊥平面ABC知，PB为斜线，∴BC为PB在平面ABC内的射影. ————————————2分∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，则PB⊥AB.即PB为点P到直线AB的距离. ————————4分又∵在RT△PBC中，PC=6，BC=33∴=————————6分（2）由（1）知AC为斜线P A在平面ABC内的射影，则∠P AC为P A与平面ABC 所成的角.————————8分在RT△ABC中，AB=3,BC=∴AC————————10分又∵PC=6，∴三角形P AC为等腰直角三角形.因此∠P AC=45°，即直线P A与平面ABC所成的角为45°.———12分第5章 复数 参考答案 5.1 复数的概念和意义【要点梳理】1．（1）虚数单位，－1． （2）实部，虚部，C ．（3）虚数，a ＝0．（4）虚轴，虚数．（5）a 2+ b 2．2．a ＝c 且b ＝d ，a ＝0且b ＝0，a －b i ． 【闯关训练】5.1.1 复数的概念一、1．C. 2．B ． 3．C ． 4．A ． 5．B ． 二、填空题 1．b ≠0．2．－1． 3．14． 三、解答题*（1）若z 是实数，则m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或3.（2）若z 是纯虚数，则m 2－2m －3≠0且m 2＋m －12＝0，解得m ＝－4．（3）z 对应的点在第二象限，则m 2＋m －12＜0且m 2－2m －3＞0，解得－4＜m ＜－1．5.1.2 复数的几何意义一、选择题1．B ．2．C ．3．A ．4．B ．5．D ．二、填空题1．8＋6i 或－8＋6i ．2．z ＝2．*3．m ＝4．由0z <知z 是实数，所以m 2＋3m －28＝0且m 2－m ＋15＜0，解得m ＝4．三、解答题（1）如图，复数65i +对应的向量为OA ＝（6，5），复数34i -+对应的向量为OB ＝（－3，4）.（2）由AB ＝OB －OA ＝（－3，4）－（6，5）＝（－9，－1）知，AB 表示的复数为－9－i ；由BA ＝－AB ＝（9，1）知，BA 表示的复数为9＋i ．5.2 复数的运算【要点梳理】（a ＋c ）＋(b ＋d )i ； （a －c ）＋(b －d )i ； (ac －bd)＋(ad ＋bc)i .【闯关训练】5.2.1 复数的加法与减法一、选择题 x y O AB -3 6 4 51. A.2. A.3. D.4. C.5. D.二、填空题1.2．2－3i.三、解答题解：（1）由题知AB =（a ,1）－（1，2）=（a －1,－1），所以1z =（a －1）－i. 同理CD =（－1，b ）－(2,3)=(-3,b －3),所以2z =-3＋（b －3）i.又121z z i +=+，即（a －1）－i －3＋（b －3）i =1＋i ，所以 a －4=1,a =5;b －4=1,b =5.因此1z =4－i ,2z =－3+2i.(2)由题知1z ＋2z =（a －4）＋(b －4)I 2=又1z －2z =（a －1）－i ＋3－（b －3）i =(a ＋2)＋(－b ＋2)i 为实数，即b =2代入得a =4.5.2.2 复数的乘法一、选择题1．C.2．A.3．D.4．A.二、填空题1.2．7.三、解答题*1．（1）设1z =a ＋b i ，则（a ＋b i ）.i =－b ＋a i =1＋i ，所以b =－1,a=1． 因此1z =1－i ．（2）12z z ⋅=（1－i ）（m ＋2i ）=(m ＋2)＋(2－m )i 为纯虚数，因此m =－2． 2.(1)由题知1z =2－3i. (2)当m ＝1时，2z =1－i ．因此12z z =（2＋3i ）（1－i ）=5＋i ．5.3 实系数一元二次方程的解法【要点梳理】（1）aac b a b x 242221-±-=，. （2）ab x 221-=，. （3）i ab ac a b x 22221-±-=4，．【闯关训练】5.3 实系数一元二次方程的解法一、选择题1. B ．2. B ．3. A ．4. C ．二、填空题1.（x ＋22i ）（x －22i ）．2. －4＋3i ．3. 1－2i ．4. a ＝－12，b ＝20.三、解答题将方程化为()22+210（）x x m x i ++--=，因为m 与x 都是实数，所以220x x m ++=且210x --=，解得x ＝－12，m ＝0．第五章 自我检测题一、选择题（每小题6分，共48分）1．B.2．C.3. C.4．D.5．B.6．C.7．D.8．A.二、填空题（每小题8分，共32分）1．z =1+i.2．=a 2.3．c =3．4．2+4i ．三、解答题（每小题10分，共20分）1．图形是半径大于3小于等于5的圆环（不含内圈），如图所示．2．（1）当2m =时，z=2+5i ，————————————————1分 x y O -5 -3 3 5 -5-335因此z=2-5i．————————————————2分所以z z⋅=（2+5i）（2-5i）=29．————————————————4分=上，即该复数实部和虚部相等，———————6分（2）若点Z在直线y x因此2-=m+3，——————————8分m m即2230--=，所以m=3或-1．——————————10分m m。
