第3章 时间响应分析_2

两边取对数得：ts
ts 3 ( 5%)
1
n
ts
ln(
4
1 1
2
)
n
n
( 2%)
(5) 振荡次数N:在调节时间内响应曲线穿越其稳 态值次数的一半
ts 2 2 N ，Td Td d n 1 2
Td为阻尼振荡的周期。
总结：
tr,tp和ts表示控制系统对输入信号反应的快速性;
特征方程：s2 2n s n2 0
欠阻尼
s1× n
0
j
j s1 ×
无阻尼
n 1 2
n

0
s2 ×
s1,2 n jd

s2 ×
0 1时：s1,2 n jn 1 2
0时，s1,2 jn
过阻尼
临界阻尼
当n一定时，越小，tr越小； 当一定时， n越大，tr越小。
tr d n 1 2
（2）峰值时间tp ：响应曲线达到第一个峰值所需的时间。
对y(t ) 1 e
nt
cos d t

1 2
ent sin d t求导即可得。

y (t ) 1 e 1
n t
cos d t

1 2
ent sin d t ent
2
ent 1
2
+ sin d t ) 1 ( 1 2 cos d t
其中： arctg
1 2
1 2 Td : 阻尼振荡周期
β
0 欠阻尼0 < <1
1 t
s2
0
s平面 s1
无阻尼 =0
n
y(t) 1 t 0
s2
n
s平面 1
y(t)
t s1,2
0 临界阻尼 =1
0
s平面
1 s2 s1 0 过阻尼 >1
y(t)
t 0
结论：
① 欠阻尼时，二阶系统单位阶跃响应函数的过渡过程 为衰减震荡，且随着阻尼的减小，其振荡特性表现得 愈加强烈；在=0时达到等幅振荡。 ② =1和>1时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的 特性。在无振荡单调上升的曲线中，以=1时的过渡 时间最短。 ③ 欠阻尼系统，当=0.4~0.8时，不仅过渡过程时间比 =1时更短，且振荡并不严重。因此，一般希望二阶 系统工作在=0.4~0.8的欠阻尼状态，因为这个工作状 态振荡特性适度而持续时间又较短。
y(t ) ne
nt
(cos d t

1
2
sin d t ) d e
nt
( sin d t

1
2
cos d t )
代入d n 1 2 得：
y (t ) n e
n t
cos d t
2n
1 2
e nt sin d t e nt cos d t
根据定义，当t tr时，y(tr ) 1 ，所以有：
y (t ) 1 en 1
2
sin(d tr ) 1

entr 1 2 1 1
2
sin(d tr ) 0 0，e
n tr
0
d tr n (n 0, 1, 2, )
则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式， 可以求得:
tp ts
n 1
3
2
0.12(秒)
n
0.174(秒)
/ 1 2
M p% e N 2 ts
100% 13%
2
d
t sn 1 2
0.72(次)
K A 1500时,n 86.2(弧度 / 秒)； 0.2 t p 0.037(秒)，ts 0.174(秒)，M p % 52.7%, N 2.34(次)
nt cos t e sin d t n d 2 2 2 2 2 1 s s 2n s n s 2n s n s n n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d 2 nt
n
1 2
e nt sin d t 0
sin d t p 0
d t p n (n 0, 1, 2, )
d t p t p d n 1 2
当n一定时， 越小，tp越小； 当一定时， n 越大，tp越小。
（3）超调量Mp :响应曲线最大值与稳态值之差
nt
1 e
nt
(1 nt )
e s1t
讨论（4）：过阻尼情况 > 1
s1 n n 2 1，s2 n n 2 1
e s1t e s2t y (t ) 1 2 2 1 s1 s2

s1 ( s2 ) n
×
2 j j d n 1 称为“有阻尼振荡频率”
s1
0
s2
× 0

×

s2
1时，s1,2 n
1时，s1,2 n n 2 1
3.4.2
二阶系统单位阶跃响应
欠阻尼情况：0<<1
=0 临界阻尼情况: =1 过阻尼情况: >1
2 2
讨论（1）：欠阻尼情况0< <1
( s n ) 2 d 2
2
s 2 2n s s 2n 1 1 2 2 2 s s ( s 2n s n ) s s 2n s n 2 s 1 取拉氏反变换： y ( nt ) 1 e
第三章 系统的时间响应分析
3.4 二阶系统的时间响应分析
研究二阶系统的意义：一般的控制系统均系高阶系统， 但在一定准确度条件下，可忽略某些次要因素近似用 一个二阶系统来表示，因此比较有实际意义。
n 2 Y ( s) G( s) 2 U (s) s 2n s n 2
3.4.1
y(t ) 1 cos nt
Tn 2
n
讨论（3）：临界阻尼情况 = 1
n 2 1 Y ( s ) G ( s )U ( s) 2 s 2n s n 2 s n 2 n 2 ( s 2 2sn ) ( s 2 2sn ) 2 s ( s n ) s ( s n ) 2
sin(d t )
j
cos ，sin 1 2
y(t)
d
s1×
β
n 1 2
n 0 s2 ×

1
0
t
讨论（2）：无阻尼情况 = 0
n 2 1 Y ( s ) G ( s)U ( s ) 2 2 s 2n s n s n 2 n 2 s 2 s 2 1 s 2 2 2 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s s n 2
y (t p ) 1 e
n t p 2
1
sin( )
2
Mp
y(t p ) y () y ( )
100%
sin( ) sin 1 ，t p y (t p ) 1 e
/ 1 2
n 1 2
y(t)
第一次达到稳态值时间 到达最大值时间 响应曲线最大值与稳态值之差 响应曲线第一次进入误差带时间 在调节时间内响应曲线穿越其稳态值次数的一半
y(t p ) y () y ( )
5%
100%
or 2%
Mp
误差带5%或2%
Mp
1.0
y( )
tr
0
tp
ts
（1）上升时间tr:响应曲线第一次达到稳态值时间
无阻尼情况：
( s n ) n 1 2 n 1 2 2 2 2 2 Y ( s ) G ( s )U ( s ) 2 s 2 s (1 ) n n n s 2n s n 2 s 2 2 s 2 s n 2 n 2 ( s 2 2n s) (ns 2 2nn s ) 2 2 s ( s 2n s n ) s ( s 2 2n s n 2 )
(4) 调节时间ts:响应曲线第一次进入误差带时间
根据定义 ent 1 2 sin( 1 2 nts ) ，不易求出ts
近似计算时，常把 sin( 1 2 nts )这一项去掉 写成： e nts 1 2 ，即：ents 1 2
二阶系统的特征方程与零点、极点
bm s bm1s b0 G( s ) an s n an1s n1 a0
m m1
an sn an1sn1
a0 0称为特征方程
2 2
二阶系统的特征方程：s 2n s n 0 n：自然频率；：阻尼比
Mp%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼 程度; 其中ts和Mp%是最重要的两个动态性能的指标。 在设计系统时，通常由要求的最大超调量决定,而调节 时间则由无阻尼振荡频率n来决定。

各种指标之间有矛盾，故应折衷处理
例:已知单位反馈系统的开环传递函数为
5K A G( s) s ( s 34.5)
设系统的输入量为单位阶跃函数，试计算放大器增益 KA=200时，系统输出响应的动态性能指标。当KA增 大到1500时或减小到KA =13.5，这时系统的动态性能 指标如何?
解:系统的闭环传递函数为:
5K A G(s) ( s) 2 1 G ( s) s 34.5s 5K A 1000 K A 200, ( s) 2 s 34.5s 1000 2 n 1000 n 31.6(弧度 / 秒) 34.5 2n 34.5， 0.545 2n