第九章 曲线积分与曲面积分习题解答(详解)

曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）CI s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此100CI s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B-之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰2cos1dππθθ-==+⎰（3）(1)dCx y s++⎰ ，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于O A:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:A B1y x=-,01x≤≤，于是ds===．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:B O 0x =（01y ≤≤），0d s =，则103(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰．综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰（4）C⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）,且12ds d θθ==．于是201cos222Cd πθθ=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABC D ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示，2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt ==，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t ===+)10(≤≤t ，则ds ==，故112212(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰2(2所以2222A BB CC Dx y z d sx y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ===.则332π2π22221ds sin sin d 2y a θθθθΓ===⎰⎰.2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ===，所以3221[(1)]3b ba aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。

解 设曲线在,,xOy yOz zOx 坐标平面内的弧段分别为1L 、2L 、3L ，曲线的重心坐标为(),,x y z ，则曲线的质量为1123233342L L L L Mds ds ππ++===⨯=⎰⎰ ．由对称性可得重心坐标()12312311L L L L L L x y z xds xds xds xds M M++====++⎰⎰⎰⎰()131120L L L xds xds xdsMM=++=⎰⎰⎰102243MMπ===⎰．故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．4. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧C 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1ρ=）.解: 如右图建立坐标系，则 2Cd I y s =⎰.为了便于计算，利用C 的参数方程:cos ,sin ().C x R t y R t t αα==-≤≤于是222 C d sin I y s Rt αα-==⎰⎰323sin d (sin cos ).Rt t R ααααα-==-⎰习题9-21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：设L 是直线y b =上从点1(,)a b 到点2(,)a b 的一段，其参数方程可视为()y y x b ==，（12a x a ≤≤）， 于是21(,)(,)00a La Q x y dy Q xb dx =⋅⋅=⎰⎰。

2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）22 Cd d y x x y +⎰，其中C 为上半椭圆cos ,sin x a t y b t ==，其方向为顺时针方向；解0222222Cπd d [sin (sin )cos cos ]d y x x y b t a t a t b t t +=⋅-+⋅⎰⎰23232ππ4sin d cos d 3ab t t a b t t ab=-+=⎰⎰.（2）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 将曲线L 的方程2y x =视为以y 为参数的参数方程2x y =，其中参数y 从1-变到1。

因此11224114()25Lxydx y y y dy y dy --'===⎰⎰⎰。

（3）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解1L 的方程为y x =(01)x ≤≤，则有322)()(1222221==-++⎰⎰dx x dy y xdx y xL ．2L 的方程为2y x =-(12)x ≤≤，则dyy xdx y xL )()(22222-++⎰222 1[(2)]x x dx =+-⎰ 2221[(2)](1)x x dx +--⋅-⎰2212 2(2)3x dx =-=⎰．所以 34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（4）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解利用曲线的参数方程计算．L 的参数方程为:cos ,sin x a y a θθ==，在起点(,0)A a -处参数值取π，在终点(,0)B a 处参数值相应取0，故θ从π到0．则sin (cos )cos (sin )Lydx xdy a d a a d a πθθθθ+=+⎰⎰=02cos 20ad πθθ=⎰．（5）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 利用曲线的参数方程计算．L 的参数方程为:cos ,sin x a y a θθ==，在起点(0,)A a 处参数值取2π，在终点(0,)B a -处参数值相应取2π-，则22Lxy dy x ydx -⎰2222cos (sin )(sin )(cos )sin (cos )a a d a a a d a ππθθθθθθ-=-⎰422222s i n c o s ad ππθθθ-=⎰44aπ=-。

（6）()d x y z x Γ++⎰，其中Γ是螺旋线：cos x t =,sin y t =,z t =从0t =到πt =上的一段；解π03()d (c o s s i n )(s i n )d π.2x y z x t t t t t Γ++=++-=-⎰⎰（7）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段A B ；解 直线A B 的方程为yo(,0)A a -(,0)B a x321x y z ==化成参数方程得3x t =，2y t =，z t =，t 从1变到0。

所以3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰02221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt =+-⎰3187874t dt ==-⎰。

（8）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-⎰ ，L 为椭圆周22 1 ,2 ,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正方向看去，L 取顺时针方向。

解 L 的参数方程为cos x t =，sin y t =，2cos sin z t t =-+，t 从2π变到0，()()()LI z y d x x z d y x y d z=-+-+-⎰222(3cos sin 2sin 2cos )t t t t dt π=---⎰2π=-。

3 设z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置111(,,)x y z 沿直线移到222(,,)x y z 时重力所作的功。

解 因为力(0,0,)F m g =所以2121()z z W m gdz m g z z ==-⎰。

4. 设Γ为曲线x t =,2y t =,3z t =上相应于t 从0变到1的一段有向弧，把第二型曲线积分d d d P x Q y R z Γ++⎰化成第一型曲线积分.解 2d d , d2d , d 3d x t y t t z t t ===，故ds t t ==，于是d d x s==，d d y s==2d d z s==，所示d d d d d d d d d d xy z P x Q y R z P Q R s sss s ΓΓ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰。