高等数学课程简介

例 7 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久， 他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修 好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数 用图形描述出来．
解
离家距离
王先生离家的距离关于时间的函数图形见左下图．
离家距离
6 3
9
O
时间
O
1 2 3 4 5
时间
如果给上页左图标明具体的数值如上页右图， 则可由解析表 达式表示为
1. 任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？ 你是否可以用例子说明？
2. 设 f ( x ) 的定义域为（0，1） ，求 f (tan x ) 的定义域．
3. 设 f ( x) 1 , 求 f [ f ( x)] ， f { f [ f ( x)]} ． 1 x
第三节 数学模型方法简述
一、数学模型的含义 二、数学模型的建立过程 三、函数模型的建立
2
使 x 2 x 6 有定义,必须满足 x 2 － x －6≥0，即
( x 3)( x 2) 0 ， x ≥ 3 或 x ≤－ 2 ，即 x 2 x 6 的 定 义 域 为 解得 ( , 2 ] [ 3 , ;)
2x 1 2x 1 而使a r c s i n 有定义,必须满足∣ ∣≤1，即 7 7
一、数学模型的含义
数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一 个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和 假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近 似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的 现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理 对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实， 不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应 用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物 的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机.
例 1 f ( x) =2 x +3 x 1 就是一个特定的函数， f 确定的对应规律为： 2 f （ ）=2( ) +3( )－1 .
2
例2
解
1 2 1 y f ( x ) f 设 = = sin ，求 ( )． x π x
y
x 2 π
f (
2 π π π ) sin( ) . π 2 2 2
3 x , f ( x) 3, 3 x 6,
0 x 1, 1 x 3, 3 x 5.
该函数 f ( x )的定义域为 D=［0，5］ ，但它在定义域内 不同的区间上是用不同解析式来表示的，这样的函数称为 分段函数．分段函数是定义域上的一个函数,不要理解为多 个函数，分段函数需要分段求值，分段作图．
第一章
函
数
第一节 函数及其性质 第二节 初等函数 第三节 数学模型方法简述
第一节
函数及其性质
一、 函数的概念 二、 函数的几种特性 三、 反函数
第一节 函数及其性质
一、 函数的概念
1．函数的定义
定义 1 设有两个变量 x 和 y ， 若当变量 x 在实数 的某一范围 D 内，任意取定一个数值时，变量 y 按照一 定的规律 f ，有惟一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的 函数,记作 y = f ( x) ， x D，其中变量 x 称为自变量，变 量 y 称为函数（或因变量） ．自变量的取值范围 D 称为 函数的定义域．
-1
( x ) 在同一坐标系中
第二节 初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数
三、初等函数
第二节 初等函数
一、基本初等函数
函数名称
函数表达式
y =C
常数函数
幂函数 指数函数 对数函数 三角函数
(C 为常数)
y x
( 为实数)
( a ＞0,a ≠1,a 为常数)
( a ＞0, a ≠1,a 为常数)
《高等数学》课程简介
本课程是计算机信息管理、电子商务、经济 信息管理、市场营销、会计电算化、投资理财、 物流等专业的一门必修专业基础课程。 通过本课程的学习，使学生系统地获得一元 函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函 数微积分、无穷级数和常微分方程的基本知识， 掌握必要的基础理论和常用的计算方法，使学生 初步具有用数学方法解决实际问题的能力。
y =tan x , y =cot x
y ax
y = log a x
y = sin x , y = cos x , y =sec x , y =csc x
反三角函数 y = arcsin x , y arccotx
y arccos x ,
y arctan x
这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、 图形必须熟悉．
－7≤2 x －1≤7 ，
解得
2x 1 即 arcsin 的定义域为[3, 4] . 7 于是，所求函数的定义域是 ［－3，－2］ [3，4］ .
－3≤x ≤4 ，
例5 下列函数是否相同,为什么? x ; (1) y = ln x 2 与y = 2ln (2) = u 与y = x ．
x 不是相同的函数,因为定 解 (1) y = ln x 2 与y = 2ln 义域不同.
f [g ( x )]=[g ( x )] =( 2 ) = 4
2
x 2 x
g f ( x) .
f ( x)
f (x )] = 2 ,g [
=2
x2
.
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合 步骤所构成， 且用一个解析式表示的函数， 叫做初等函数， 否则就是非初等函数．
思考题
例8
作出下面分段函数的图形：
f(x)
2 1
0, f ( x) x 2 , 3 x,
1 x 0, 0 x 1, 1 x 2.
-1
O
1
2
x
解
该分段函数的图形如上图所示．
定义 2 设D 与M 分别是两个数集，存在对应律f ,若 对 D 中的每一个数 x ，通过对应规律 f ，集合M 中都有惟 一确定的数 y 与之对应,则称 y 为从 D 到 M 的函数（也 称为映射）,记作 f : D M ,其中 D 称为函数 f 的定义 域, D 中的每一个 x 根据对应规律 f 对应于一个 y ， 记 作 y = f ( x ) , 称为函数 f 在 x 的函数值，全体函数值的集 合 M w y y f ( x ), x D M D 称为函数 f 的值域， x 称为 f 的自变量， y 称为因变量， 如右图所示．
思考题
1.确定一个函数需要哪几个因素?
2.思考函数的几种特性的几何意义?
3.直接函数 y = f ( x) ，其直接反函数为 x ( y ) ，其矫
1 形反函数为 y f ( x) ( x) ．
⑴ x = ( y )与 y = ( x )是否为同一函数？
⑵ y = f ( x ) 、 x = (y )、y = f 的几何表现是什么？
(2) = u 与y = x 是相同的函数 , 因为对应规 律与定义域均相同.
3. 函数的表示法：表格法、图像法及公式法． 函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图 像法和公式法．
例 6 中央电视台每天都播放天气预报， 经统计， 某 地 1999 年 9 月 19 日—29 日每天的最高气温如下表所示．
例 3 设 f ( x +1)= x 2-3 x ，求 f ( x) .
解 令 x 1 t ，则 x t 1,
2 2 所以 f (t ) (t 1) 3(t 1) t 5t 4,
所以
f ( x ) = x 2 5 x 4.
（２）定义域
2x 1 例 4 求函数y = x x 6 +arcsin 定义域． 7 解 这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函 数的定义域, 然后求其公共部分即可．
日期(9月) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
最高气温/℃
28
28
27
25
24
26
27
25
23
22
21
这个表格确实表达了温度是日期的函数，这里不存 在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了） ，但 是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期 t ，都有惟一个与 t 相应的惟一最高气温 N ．
单调性
奇偶性 设函数 f ( x ) 在某区间 I 上有定义，I 为关于原点对 称的区间，若对于任意 x I ，都有 f ( x ) = f ( x ) ， 则称 f ( x )为偶函数； 若f (- x )= - f ( x ) ， 则称 f ( x ) 为奇函数.
若存在不为零的数 周期性 设函数 f ( x ) 在某区间 I 上有定义， T , 使 得 对 于 任 意 x I , 都 有 f ( x T ) f ( x) ， 则 称 f ( x ) 为周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它 的最小正周期．
f
二、 函数的几种特性
有界性
设函数 f ( x ) 在某区间 I 上有定义，若存在正数M ， 使得 f ( x) M ，则称 f ( x ) 在 I 上有界.
设函数 f ( x ) 在某区间 I 上有定义， 对于区间 I 内任 意两点 x 1， x 2，当 x1 x2 时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 称 f ( x ) 在 I 上单调增加，区间 I 称为单调增区间； 若 f ( x1 ) f ( x2 ) 则称 f ( x ) 在 I 上单调减少，区间 I 称为单调减区间.
* 第三节 数学模型方法简述
函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型． 数学模 型方法是处理科学理论问题的一种经典方法， 也是处理各类实 际问题的一般方法．掌握数学模型方法是非常必要的．在此， 对数学模型方法作一简述． 数学模型方法 （Mathematical Modeling)称为 MM 方法． 它 是针对所考察的问题构造出相应的数学模型， 通过对数学模型 的研究，使问题得以解决的一种数学方法．
培养学生丰富的空间想象能力、严密的逻辑 思维能力和准确而快速的计算能力，以及综合运 用所学知识分析问题、解决问题的能力。为学生 学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠 定必要的数学基础。 计划课时：90学时。 第一学期：60学时；第二学期：30学时。 学习评价：平时占总评成绩的30%，期末占总评成 绩的70%。
例2
分析下列复合函数的结构：
⑴ y=
x cot 2
;
u cot v ,
⑵ ye
sin x 2 1
.
解
⑴ y= u,
⑵ y = eu ,
例3
解
u sin v ,
x v . 2 v t ,
t x2 1 .
设 f Hale Waihona Puke Baidu x) x 2 , g ( x) 2 x , 求 f g ( x),
y 有惟一 若对于确定的x0 D ， 通过对应规律 f ， 函数 确定的值 y0 相对应，则称 y0 为 y f ( x) 在 x0 处的函数 值，记作 y0 y x x0 f ( x0 ) . 函数值的集合，称为函数的值 域，记作 M .
2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应规律
三、反函数
y = f ( x) ， y 当作自变 定义 3 设给定y 是 x 的函数 如果把 量，x 当作函数，则由关系式 y = f ( x ) 所确定的函数 x ( y ) 称为函数 y = f ( x ) 的反函数．而 y = f ( x ) 称为直接函数．
习惯上总是用 x 表示自变量，而用 y 表示函数，因此， y = f ( x) 的矫形反 往往把 x = (y )改写成 y = ( x )，称为 1 函数，记作 y f ( x ) .称函数 y f ( x) 的反函数 x ( y ) 为 直接反函数．
设 y f (u ) , 其中 u ( x) ,且 ( x) 的值全部或部分落 在 f (u ) 的定义域内， 则称 y f ( x)为 x 的复合函数， 而u 称为中间变量．
二、复合函数
例 1 （1）函数 y sin 2 x 是由 y u 2 , u sin x 复合而 成的复合函数，其定义域为(,) ，它也是 u sin x 的定 义域. 2 （2）函数 y 1 x ,是由 y u ， u 1 x 2 复合 2 而成的，其定义域为［-1，1］ ，它是 u 1 x 的定义域的一 部分. （3） y = arcsin u ,u =2+ x 2 是不能复合成一个函数的．