逆用导数运算法则构造函数型

导数公式逆用中的函数构造在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它表示了函数在其中一点的变化率。

导数的计算通常使用导数公式，而逆用中的函数构造则是根据已知的导数来构造一个原函数。

在导数公式逆用中的函数构造中，我们可以利用已知的导数来求解原函数。

由于求导是一个线性运算，即导数函数具有加法和乘法性质，我们可以运用这些性质来构造原函数。

首先，我们考虑一些基本的导数公式，如常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。

这些导数公式是我们构造原函数的基础。

1.常数函数的导数是0，即如果f(x)=C，其中C是一个常数，那么f'(x)=0。

因此，我们可以使用常数函数来构造原函数。

2. 幂函数的导数是幂次减一后乘以原函数的系数，即如果f(x) = Cx^n，其中C和n是常数，那么f'(x) = Cnx^(n-1)。

利用这个性质，我们可以通过已知的导数来构造原函数。

3.指数函数的导数是指数函数自身乘以原函数的系数，即如果f(x)=Ce^x，其中C是常数，那么f'(x)=Ce^x。

同样地，我们可以通过已知的导数构造指数函数的原函数。

4. 对数函数的导数是倒数函数除以原函数的系数，即如果f(x) = Cln(x)，其中C是常数，那么f'(x) = C/x。

我们可以运用这个性质来构造对数函数的原函数。

5. 三角函数的导数可以通过三角函数的定义公式和三角函数的相关性质来求解。

例如，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)，tan(x)的导数是sec^2(x)等。

通过对这些导数公式的熟悉，我们可以构造出原函数。

除了使用基本的导数公式之外，我们还可以运用导数的加法性质和乘法性质来构造原函数。

1.导数的加法性质：如果f(x)和g(x)分别是两个函数的导数，那么f(x)+g(x)是两个函数的和的导数。

通过这个性质，我们可以将已知的导数分解为几个已知导数的和，然后分别构造出原函数，最后求和即可。

逆用求导公式法则，合理构造函数求解抽象函数问题函数与导数历来是高考的重点和热点问题，对一些具体函数的求导问题，只需正确运用和、差、积、商函数的求导公式即可解决，但是对于一类抽象函数的求导问题，尤其是需要逆用求导公式法则的题目，由于平时训练不多，因而求解起来觉得有点困难。

本文试图通过一些例题来揭示其一般规律，希望对大家有所帮助。

一、逆用和差函数求导公式构造函数例1：若定义在R上的函数f(x）满足f（0）=-1，f`（x）>k>1，则下列结论中一定错误的是（）。

A．f（）<B．f（）>C．f（）<D．f（）>分析：由f`(x）>k可联想差函数求导法则，构造函数f（x）=kx-1。

解：构造函数f（x）= 2x-1。

若取k=，则f（）=f（）=<=，排除A。

若取k=，则f（）=f（10）=19>11=，排除D。

再构造函数f（x）=10x-1。

若取k=2，则f（）=f（）=4>1=，排除B。

故选C。

例2：函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意的x∈R，f`（x）> 2，则f（x）>2x+4的解集为（）。

A．（-1，2）B．（-1，+∞）C．（-∞，-1） D．R解：构造函数g（x）=f（x）-2x-4，则 f（x）>2x+4 等价g（x）>0。

由f`（x）>2得g`（x）=f`（x）-2>0，∴g（x）在（-∞，+∞）上单调递增。

又f（-1）=2，∴g（-1）=f（-1）+2-4=0，∴f（x）>2x+4等价于g（x）>g（-1），则x>-1，故选 B。

评析：在处理可导函数问题时，若已知条件为af`（x）>bg`（x）或af`（x）<bg`（x）时，可构造函数f（x）=af（x）-bg（x）；若已知条件为f`（x）<m〔或f`（x）>m〕，则可构造函数f（x）=f（x）-mx。

专题24 逆用导数运算法则构造函数型[真题再现]例1 设奇函数f (x )定义在(－π，0)∪(0，π)上其导函数为f '(x )，且f (π2)＝0，当0＜x ＜π时，f '(x )sin x －f (x )cos x ＜0，则关于x 的不等式f (x )＜2f (π6)sin x 的解集为 ．【答案】(－π6，0)∪(π6，π)【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y 轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(f g )'＝f 'g －fg 'g 2，(sin x )'＝cos x ，于是本题的本质是构造f (x )sin x 来解不等式【解析】设g(x )= f (x )sin x ，则g ' (x )= (f (x )sin x )'＝f '(x )sin x －f (x )cos x sin 2x， 所以当0＜x ＜π时，g ' (x )<0，g(x ) 在(0，π)上单调递减又由于在(0，π)上sin x ＞0，考虑到sin π6＝12，所以不等式f (x )＜2f (π6)sin x 等价于f (x )sin x ＜f (π6)sin π6，即g(x )< g (π6),所以此时不等式等价于π6＜x ＜π.又因为f (x ) 、sin x 为奇函数，所以g(x )是偶函数，且在(－π，0)上sin x ＜0，所以函数g(x )在(－π，0)是单调递增函数，原不等式等价于g(x )＞g(－π6)=f (－π6)sin(－π6)，所以此时不等式等价于－π6＜x ＜0， 综上，原不等式的解集是(－π6，0)∪(π6，π)．例2 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .【答案】（1-，+∞）【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中2)(>'x f ，只需构造函数()g x ，使得()()2g x f x ''=-，不难得到()()2g x f x x c =-+（这里c 为常数，本题中取0c =），进而利用()g x 的单调性，即可找到解题的突破口.【解析】构造函数()()2g x f x x =-，则()g x '=()20f x '->，故()g x 单调递增，且(1)(1)214g f -=--⨯-=（）.另一方面所求不等式42)(+>x x f ， 就转化为()()(1)g x f x x g =->-，逆用单调性定义易知1x >，则不等式的解集为(1,)-+∞.例3 设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1·f (x 2－1)的解集为________．【答案】[ [1,2)【解析】设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，可得函数F (x )是R 上的增函数． 又x ＋1>0，∴由f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可变形得x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即F (x ＋1)>F (x 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>x 2－1，x ≥1，解得1≤x <2. 点评：题目已知中出现含f (x )、f ′(x )的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新，然后再逆用单调性等解决问题，构造新函数的方法有：1.对于()f x a '>，构造()()h x f x ax b =-+.2.对于()()0(0)xf x f x '+><，构造()()h x xf x '=；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '+><，构造()()n h x x f x =．3.对于()()0(0)xf x f x '-><，构造()()xx f x h =；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '-><，构造()()n f x h x x =． 4.对于()()0(0)f x f x '-><，构造()()x ex f x h =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '-><，构造()()nxf x h x e =． 5.对于()()0(0)f x f x '+><，构造()()x f e x h x =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '+><，构造()()nx h x e f x =．6.对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．7.对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=． 8.对于()0()f x f x '>，构造()ln ()h x f x =. 9.对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()x h x a f x =.10.对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =. [强化训练]1.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为______．【答案】 (0，＋∞)【解析】构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0， 所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.2.已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ．【答案】()1,2-3.已知()()R x x f y ∈=的导函数为()x f '.若()()32x x f x f =--，且当0≥x 时，()23x x f >'，则不等式()()13312+->--x x x f x f 的解集是 . 【答案】),21(+∞4．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ） A ． B ．R ()f x (2)1f =()f x ()1f x x '>-21()12f x x x <-+{}22x x -<<{}2x x >C ．D ．或【答案】C ．5．设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且'()'()f x g x >，则当a x b <<时，有（ ）.()()A f x g x > .()()B f x g x <.()()()()C f x g a g x f a +>+ .()()()()D f x g b g x f b +>+【答案】C【解析】构造函数，则易知单调递增，于是，，选C.6.设()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x <-，则不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是（ ）A. (0,1)B. (1,)+∞C. (1,2)D. (2,)+∞【答案】D【解析】构造函数[()]'()'()0xf x f x xf x =+<，于是该函数递减，2(1)(1)(1)f x x f x +>--变形为22(1)(1)(1)(1)x f x x f x ++>--，于是22101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，得2x >，选D.7．定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，()())12,3,12a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】构造函数()()1f x g x x =-， {}2x x <{|2x x <-2}x >()()()F x f x g x =-()F x ()()()F a F x F b <<()()()()f x g x f a g a ->-当()1,x ∈+∞时，()()()()()2101f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增， 则()()()22221f a f g ===-，()()()3133231f b f g ===-，)1f c f g ===则()()23g g g <<，即c a b <<，选A ． 8．定义的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）AC【答案】A【解析】由()()'tan f x f x x >得()()'cos sin 0f x x f x x ->，构造函数()()cos F x f x x =，则()'0F x >，故()F x 单调递增，有cos cos 666333F f f F ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选A ． 9．函数的导函数为，对任意的，都有)()(x f x f >'成立，则（ ）A.)3(ln 2)2(ln 3f f >B.)3(ln 2)2(ln 3f f <C.)3(ln 2)2(ln 3f f =D.)2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定【答案】B【解析】令()()x f x h x e =,则()()()()()()()22'()''''x x x x x x xf x e f x e f x e f x e f x f x h x e e e ---===,因为()f x ()'f x ()()'tan f x f x x >⋅()f x ()f x 'x R ∈()()()()''0f x f x f x f x >⇒->,所以在R 上()'0h x >恒成立.即函数()h x 在R 单调递增.因为ln3ln2>,所以()()ln3ln 2h h >即()()()()()()ln 3ln 2ln3ln 2ln3ln 22ln33ln 232f f f f f f e e >⇒>⇒>.答案选B ．。

逆用导数运算法则构造函数逆用导数运算法则是指根据已知函数的导数，逆向推导出原函数的方法。

这种方法在数学和物理中具有重要的应用，例如解微分方程、求定积分等问题。

本文将从逆用导数运算法则的基本概念、常见的逆用导数运算法则以及它们的应用等方面展开，共计1200字以上。

首先，我们来介绍逆用导数运算法则的基本概念。

在微积分中，已知一个函数f(x)的导数f'(x)，我们可以通过逆用导数运算法则逆向推导出原函数f(x)。

逆用导数运算法则基于导数与原函数之间的关系，利用导数运算法则的逆向思维，寻找与已知导数相对应的原函数。

逆用导数运算法则可以帮助我们从导数推导出原函数，从而解决一些复杂的数学问题。

接下来，我们将介绍常见的逆用导数运算法则。

首先是逆求导法则，逆求导法则是最基本的逆用导数运算法则，用于求解一些函数的原函数。

如果已知函数f(x)在一些区间上的导数为f'(x)，则在该区间上，f(x)的原函数为F(x)，即F'(x)=f(x)。

逆求导法则可以通过常见的求导公式进行逆向的推导，从而求出原函数。

其次是逆微分法则，逆微分法则是逆用导数运算法则的一种扩展形式，用于解决复杂的微分方程问题。

逆微分法则通过将微分方程两边进行积分，将关系式从微分形式转换为积分形式，然后通过逆求导法则将积分形式的方程转换为原函数的形式。

逆微分法则在解决微分方程、求解定积分等问题中有广泛的应用。

另外，还有逆链式法则和逆复合函数法则。

逆链式法则用于求解复合函数的原函数。

若已知复合函数f(g(x))的导数为h'(x)，则通过逆链式法则，可以求得g(x)的原函数。

逆复合函数法则是逆用导数运算法则的推广形式，用于求解反函数的导数。

如果已知函数y=f(x)的反函数为x=g(y)，则通过逆复合函数法则，可以求出g'(y)与f'(x)之间的关系，从而求得反函数的导数。

最后，我们来讨论逆用导数运算法则的应用。

导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。

在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。

下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。

一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。

在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。

由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。

我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。

当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。

例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。

当 $x0$ 恒成立。

则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。

因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。