【精准解析】黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟数学(文)试题

专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则 （1）否命题：“若，则” （2）逆命题：“若，则” （3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多个→至少个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且 且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定 ② 一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联p q p ⌝q ⌝q p q ⌝p ⌝p q ∨p q ∧p q ∨p q ∧p ⌝n 1n +,p q ,p q ⌝⌝p q p ⌝q ⌝p q p ⌝q ⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝∀⇔∃()p x ()p x ⇒⌝x M2、，，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、：与命题真假相反. 4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论． 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，p q ∨p q ∧p ⌝p M M M同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（ ）A ．000sin cos x R x x ∃∈-，B ．00cos 1x R x ∃∈≥，C ．()01ln x x x ∀∈+∞-≥，，D ．(0)tan 2x x x π∀∈>，，【答案】A【解析】因为sin cos )4x x x π-=-，其值域为[，所以A 项错误；因为cos [1,1]x ∈-，所以B 项正确；令()1ln =--f x x x ，11'()1x f x x x-=-=， 当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以函数()1ln =--f x x x 在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增， 所以()1ln =--f x x x 在1x =处取得最小值，且(1)0f =， 所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，所以C 项正确；借助于三角函数线，可知(0)tan 2x x x π∀∈>，，，所以D 项正确；故选：A.【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题【答案】C【解析】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题，故选：C.【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥. 故选：C.【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( ) A ．若＝，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则＝D ．若x <y ，则x 2<y 2【答案】A 【解析】由得x=y ，而由x 2=1得x=±1，由x=y ，不一定有意义，而x ＜y 得不到x 2＜y 2，故选A ．例6．【河南省名校联盟2020年高三三模】下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=，则0a =或0b =；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①中，当x =22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=，可以有a b ⊥，不一定要0a =或0b =，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2.故选：B.【专家解读】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中学2020届高三三模】下列命题错误的是( )A ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”B ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 【答案】A【解析】A 选项中命题的否定是：若0xy =，则x ，y 都不为零，故A 不正确；B 选项是一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出1x =，故D 正确， 故选：A.【专家解读】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.【精选精练】1．【2020届湖南长沙市第一中学高三三模】已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．2．【河南省开封市2020届高三二模】已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题， 故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 【专家解读】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．3．【黑龙江省大庆实验中学2020届高三三模】下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C【解析】对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C.【专家解读】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4．【吉林省长春市2020届高考数学二模】命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A【专家解读】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不重合的直线，命题p ：“若m α⊥，m n ⊥，则//n α”；命题q ：“若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】C【解析】命题p 中，若m α⊥，m n ⊥，则n 与α可能平行，也可能n ⊂α，故命题p 为假命题； 命题q 中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，m 与β的位置关系可能是m β⊂，//m β，也可能m 与β相交，故命题q 为假命题.因此p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧都是假命题，()p q ∨⌝为真命题.故选：C.【专家解读】本题主要考查判断复合命题的真假，涉及线面位置关系，属于基础题型. 6．【辽宁省沈阳二中2020届高三五模试题】已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 【专家解读】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.7．【2020届重庆市南开中学高三三模】已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B【专家解读】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题. 8．【黑龙江省哈尔滨三中2020届四模试题】下列命题错误的是（ ） A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题 B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件 【答案】B【解析】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确； 故选：B.【专家解读】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.9．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三三模】下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 C ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真 D ．命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤ 【答案】C【解析】对于A ，由逆否命题的概念可得命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；对于B ，若2a =，则函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数；若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则只需满足1a >；所以“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=” 的逆命题为“若()00f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，对函数()3f x x =，()00f '=，但0x =不是函数()f x 的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C 错误；对于D ，由全称命题的否定可知命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤，故D 正确. 故选：C.【专家解读】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.10．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月模拟】已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】D【解析】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形， 如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【专家解读】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．11．【广东省肇庆市2020届高中毕业班第三次统一检测】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆ ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-，∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，MH ==，∴11122BCM S BC MH ∆=⨯⨯=⋅112210=≥=，当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确； 对于11//D C DC ，DC平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错； ③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为2266a ==⎝⎭．④对．故选C ． 【专家解读】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．12．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三三模】已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.【答案】()12,0-【解析】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题即230x ax a -->恒成立，则∆<0，即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【专家解读】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.13．【2020届湖南省永州市祁阳县高三二模】已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=， （1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题， 则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有20440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-， 所以实数m 的取值范围为2m <-.【专家解读】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.已知a⃗=(3,4)，|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗·b⃗ 的值是()A. 7B. 12C. 5D. 254.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的图象大致为()A. B.C. D.5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于点A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为163，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为()A. 2√3B. 2√5C. 2√10D. 2√156.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法预测7.某一算法框图如图，输出的S值为()A. √32B. −√32C. √3D. 08. 函数f(x)=3sin(ωx −π6)(ω>0)在区间[0,π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为( )A. (76,136]B. [76,136)C. (56,116]D. [56,116)9. 若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a，在R 上是单调函数，则a 的取值范围为( )A. (1,10]B. (1,+∞)C. (0,10]D. [10,+∞)10. 在三棱锥A −BCD 中，ΔBCD 是等边三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD 的距离为√3，则三棱锥A −BCD 的体积的最大值为( )A. 3√3B. 9√3C. 27D. 8111. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x >0时，f(x)=log 2(2x +1)，则f(−12)等于( )．A. log 23B. log 25C. 1D. −112. 如图，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C和y 轴分别交于点A ，B ，E 为准线l 上一点，且|AF|=|AB|=|AE|，则△BEF 的面积为( )A. 2√3B. 3√22C. 3√2D. 2√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=−34，则cos2α=______．14.设x，y满足约束条件{x−y≥1x+y≤4x≥0y≥0，则z=x−3y的取值范围为_________．15.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=2asinB，则∠A=______．16.设函数f(x)=e x(2x−3)−a2x2+ax，若函数f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设各项均为正数的数列{a n}满足4S n=(a n+1)2(n∈N∗)．(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n⋅a n+1，n∈N∗，求b n的前n项和T n．18.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87919.如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N，SA=AD．(1)求证：SC⊥MN；(2)若SA=2，求三棱锥M−ANC的体积．20. 椭圆mx 2+ny 2=1与直线x +y =1相交于A 、B 两点，C 为AB 中点，若|AB|=2√2，O 为坐标原点，OC 的斜率为√22，求m ，n 的值．21. 已知函数f(x)=x −lnx −a(a ∈R ).(1)讨论f(x)的零点个数；(2)若g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，a ∈(1,e −1]，求g(x)的极小值ℎ(a)的值域．22. 已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)，定点A(0,−√3)，F 1、F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；(Ⅱ)设(Ⅰ)中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|⋅|F1N|．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解． 解：∵集合A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x <3}， ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题． 利用数量积的定义即可得出． 解：∵a⃗ =(3,4)，∴|a ⃗ |=5． 又|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60°=5×2×12=5． 故选C ．4.答案：B解析：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的图象，属于基础题．可从对数的运算性质和函数的单调性取特值(或范围)入手用排除法解此题．解：当x>2时，x+1>3，ln(x−1)>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)=(x+1)ln(x−1)>0，且随着x→+∞时，f(x)→+∞，故排除A、C；当x<−1时，，x+1<0，|x−1|>2，ln|x−1|>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)<0，故排除D．故选B．5.答案：C解析：本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和离心率公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【解得】解：由题意可得e=ca =√52，a2+b2=c2，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠AOB=2aba2−b2，设FB⊥OB，则F到渐近线y=bax的距离为d=b，即有|OB|=a，则△OAB的面积可以表示为12⋅a⋅atanθ=a3ba2−b2=163，解得a=2√2,b=√2,c=√10，则2c=2√10，故选C．6.答案：A解析：本题考查了简易逻辑推理，属于基础题．分别假设甲，乙，丙预测正确，再根据其他人预测错误逐个判断各人的名次．解：(1)若只有甲预测正确，则甲为第一名或第二名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第二名，于是丙为第三名，故丙预测正确，矛盾；(2)若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第三名，于是丙为第二名，乙为第一名．故选A．7.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3的值，由于y=sin nπ3的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336，故S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3=336×0=0，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查函数的零点存在性问题，涉及三角函数的图像及性质的应用，属于中档题目．解：∵x∈[0,π]，ω>0，，∵函数f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点， ∴π≤ωπ−π6<2π，解得76≤ω<136．故选B ．9.答案：A解析：解：若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a ，在R 上是单调函数，由y =lgx ，x >a 是增函数， 所以{a −1>01+lga ≥(a −1)a −88，当a >1时，lga −a 2+a +89>0，画出函数y =1+lga ， 以及y =a 2−a −88的图象如图： 可得，a ∈(1,10]． 故选：A ．判断函数的单调性，利用函数的单调性的性质，列出不等式，即得所求．本题主要求函数的单调性的性质，分段函数的应用，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．由题意画出图形，再由已知求出底面三角形的边长，数形结合可知，当△ABC 为等边三角形时，三棱锥A −BCD 的体积取最大值，则答案可求． 解：如图，取等边三角形BCD的中心G，过G作三角形BCD的垂线GO，截去GO=√3．则O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由4πR2=60π，得R2=15．即OD=√15，∴DG=√15−3=2√3．则DE=3√3，可得BC=6，过O作OF⊥平面ABC，则F为三角形ABC的外心，连接DG并延长，角BC于E，则E为BC的中点，要使三棱锥A−BCD的体积最大，则AFE共线，即△ABC为等边三角形，此时三棱锥A−BCD的高为3√3．∴三棱锥A−BCD的体积的最大值为V=13×12×6×3√3×3√3=27．故选C．11.答案：D解析：解：∵由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−x)=−f(x)，∴f(−12)=−f(12)=−log2(2×12+1)=−1．故选：D．由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−12)=−f(12)，由此可解得f(−12)的值．本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题．12.答案：B解析：本题考查了抛物线的性质，三角形的面积计算，属于中档题．根据抛物线的性质，求出a值，即可计算三角形的面积．解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1．设E(−1,2a)，则A(a 2,2a)，由中点公式可得B(0,4a)，故2a 2=1，解得a =√22， 故E (−1,√2)，B(0,2√2)， ∴直线BF ：2√2x +y −2√2=0，故可得点E 到直线BF 的距离d =√2+√2−2√2|√(−2√2)2+1=√2，又|AB|=√(0−1)2+(2√2−0)2=3，∴△BFE 的面积为12×3×√2=3√22． 故选B ． 13.答案：725解析：解：∵tanα=−34，∴cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−9161+916=725， 故答案为：725．利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要求的式子，可得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．14.答案：[−2,4]解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x −y ≥1x +y ≤4x ≥0y ≥0作出可行域如图，联立{x +y =4x −y =1，解得A(52,32)， 联立{y =0x +y =4，解得B(4,0)， 由图可知，当目标函数z =x −3y 过A 时，z 有最小值为−2；当目标函数z =x −3y 过B 时，z 有最大值为：4．故答案为：[−2,4]．15.答案：π6解析：解：∵b =2asinB ，∴sinB =2sinAsinB ，∵sinB ≠0，∴sinA =12，∵A 为锐角，∴A =π6， 故答案为：π6根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理，以及解三角形，属于基础题． 16.答案：(0,1)解析：解：函数f(x)=e x (2x −3)−a 2x 2+ax ，∴f′(x)=e x (2x −1)−ax +a ，若要使f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，只需f′(x)=0在(−∞,1)内有两个解，可转换为函数g(x)=e x (2x −1)与ℎ(x)=a(x −1)的图象在(−∞,1)内有两个交点，由g′(x)=e x (2x +1)知，当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，函数g(x)在(−∞,−12)上为减函数;当x ∈(−12,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(−12,1)上为增函数，当直线ℎ(x)=a(x −1)与曲线g(x)=e x (2x −1)相切时，设切点坐标为(x 0,y 0)，由导数的几何意义可以得到{e x 0(2x 0+1)=ay 0=e x 0(2x 0−1)y 0=a(x 0−1)，解得x 0=0或x 0=32(不合题意，舍去)，可知a =e 0(2×0+1)=1，由图象可知，g(x)与ℎ(x)的图象在(−∞,1)内有两个交点，则a 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1)．本题考查了利用函数的导数判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)，n =1时，4a 1=4S 1=(a 1+1)2，解得a 1=1，当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=(a n +1)24−(a n−1+1)24，整理可得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，因为数列{a n }各项均为正数，a n −a n−1=2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以{a n }的通项公式为a n =2n −1；(Ⅱ)由b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(Ⅰ)由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算x=1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，近视不近视合计长时间使用手机651075不长时间使用手机101525合计7525100由表中数据，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841，∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值；(3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：(1)证明：由已知，得DC⊥SA，DC⊥DA，又SA∩DA=A，SA，DA⊂平面SAD，∴DC⊥平面SAD，∵AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA =AD ，M 是SD 的中点，∴AM ⊥SD ，又AM ⊥DC ，SD ∩DC =D ，DC ⊂平面SDC ，∴AM ⊥平面SDC ，又SC ⊂平面SDC ，∴SC ⊥AM ．由已知SC ⊥AN ，则SC ⊥平面AMN ．∵MN ⊂平面AMN ，∴SC ⊥MN ；(2)解：由题意可知，在Rt △SAC 中，SA =2,AC =2√2,SC =2√3，由SA ⋅AC =SC ⋅AN ，可得AN =√22√3=√2√3， 则CN =2−AN 2=4√33，∴CN SC =4√332√3=23， 故三棱锥M −ANC 的体积V =12V D−ANC =12V N−ACD =12×23V S−ACD =(13)2×12×2×2×2=49．解析：(1)由已知利用线面垂直的判定可得DC ⊥平面SAD ，得到AM ⊥DC.再由已知得到AM ⊥SD ，可得AM ⊥平面SDC ，从而得到SC ⊥AM ，结合SC ⊥AN ，利用线面垂直的判定可得SC ⊥平面AMN.则SC ⊥MN ； (2)由已知求解三角形得到AN ，进一步求得CN ，得到CN SC =23，然后利用等积法求三棱锥M −ANC 的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20.答案：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将A ，B 点坐标代入方程得：mx 12+ny 12=1，mx 22+ny 22=1，两式相减得：m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，{x 1+x 2=2x 0y 1+y 2=2y 0， mx 0+ny 0⋅y 1−y0x 1−x 0=0， ∴mx 0+ny 0k OC =0，m =−ny 0x 0⋅k OC =−n ×√22×(−1)=√22n ，即n =√2m ，∴椭圆mx 2+√2my 2=1联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +1，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0， x 1+x 2=√2√2+1，x 1x 2=√2m−1√2+1，2√2=|AB|=√2⋅(6√2√2+1)−49√2m−1√2+1，解得m =13,n =√23．解析：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由点差法得m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，得n =√2m ，椭圆mx 2+√2my 2=1，联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +3，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0，由椭圆弦长公式能求出m ，n 的值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆弦长公式的合理运用． 21.答案：解：(1)因为f(x)=x −lnx −a ，所以f′(x)=1−1x =x−1x ，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(1)=1−a ．①当a <1时，f(x)无零点；②当a =1时，f(x)有一个零点； ③当a >1时，因为f(e a )=e a −2a >0，f(1e )=1e>0，f(1)=1−a <0，所以f(x)有两个零点． (2)因为g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，所以g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a ．由(1)可知当a ∈(1,e −1]时，f(x)有两个零点x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，同时x 1，x 2也是F(x)=e x−a −x 的两个零点，且在定义域内f(x)与F(x)的符号完全相同， 所以g(x)在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，所以g(x)的极小值为ℎ(a)=g(x 2)=e x 2−a −x 2lnx 2+(1−a)x 2．因为x 2满足e x 2−a −x 2=0，所以a =x 2−lnx 2，则ℎ(a)=g(x 2)=x 2−x 2lnx 2+(1−x 2+lnx 2)x 2=2x 2−x 22． 因为a =x 2−lnx 2∈(1,e −1]，所以x 2∈(1,e]，所以ℎ(a)=g(x 2)∈[2e −e 2,1)．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题，(1)求出f′(x)=1−1x =x−1x ，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后判断零点的个数．(2)通过g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，求出g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a.通过函数的零点与函数的单调性转化求解即可．22.答案：解：(1)圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)， ∴普通方程为C ：x 24+y 23=1，A(0,−√3)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，k AF 2=√3，直线l 的方程为y =√3(x +1)，∴直线l 极坐标方程为：ρsinθ=√3ρcosθ+√3，化为2ρsin(θ−π3)=√3．(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t(t 为参数)， 代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，∴t 1t 2=−125．∴|F 1M|⋅|F 1N|=|t 1t 2|=125．解析：(1)利用cos 2θ+sin 2θ=1可得曲线C 的普通方程，即可得出焦点坐标，得到直线l 的点斜式方程，化为极坐标方程即可；(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t (t 为参数)，代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，利用参数的意义即可得出．本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m ≥3，n ≥3，所以f(m)+f(n)=|m −3|+|n −3|=m −3+n −3=3， 即m +n =9．所以1m +4n =19(m +n)(1m +4n )=19(1+4+n m +4m n )≥19(5+2√n m ⋅4m n )=1，当且仅当n m =4m n ，即m =3，n =6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，说明x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，求出a ，然后转化不等式f(x)<2f(x +1)−1为|x −3|<2|x −2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m +n =9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。

2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）(1)(3)i i --在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合{|(2)(3)0}A x x x =+-…，{}B a =，若A B A =U ，则a 的最大值为( ) A ．2-B ．2C ．3D ．43．（5分）若函数()cos()(0)3f x x πωω=->的最小正周期为2π，则(ω= )A ．2B ．3C ．4D ．84．（5分）已知函数()f x =，则( ) A ．f （1）f >（2） B ．()f x 的定义域为[3-，3] C ．()f x 为偶函数D ．()f x 在[0，3]上为增函数5．（5分）已知向量(1,2)AB =u u u r ，(,4)BC x =-u u u r ，若A ，B ，C 三点共线，则(AC BC =u u u r u u u rg)A ．10B ．80C ．10-D ．80-6．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，且短轴长为6，则C 的方程为()A ．22198x y +=B ．221109x y +=C ．2213635x y +=D ．2213736x y +=7．（5分）2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志．阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就．装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐．此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注．某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A ．13B ．25C ．23 D ．358．（5分）已知(,)42ππθ∈，且310sin()4πθ+=，则tan (θ= )A ．2B ．43C ．3D ．1259．（5分）我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为( )A ．30，8900B ．31，9200C ．32，9500D ．33，980010．（5分）在四棱锥P ABCD -中，2PB PD ==，1AB AD ==，33PC PA ==，120BAD ∠=︒，AC 平分BAD ∠，则四棱锥P ABCD -的体积为( )A 6B 6C 6D 311．（5分）现有下列四条曲线：①曲线22x y e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--．直线2y x =与其相切的共有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．（5分）已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||||MP PF +的最小值为12||F F ，则C 的离心率为()A ．2BC ．4+D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x ，y 满足约束条件1123x x y -⎧⎨+⎩剟„，则x y -的最小值为 ．14．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -的12条棱中，与平面11BC D 平行的棱共有 条． 15．（5分）已知312a =，32log 2b =，现有下列四个结论：①2a b =；②1a b -=；③2a b <；④3a b +<．其中所有正确结论的编号是 ．16．（5分）在ABC ∆中，60B ∠=︒，b =2c a m -„恒成立，则m 的最小值为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a +，34a +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和n S ．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，3DAB π∠=，面PAD ⊥面ABCD ，PA PD ==． （1）证明：PB BC ⊥；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．（12分）国家每年都会对中小学生进行体质健康监测，一分钟跳绳是监测的项目之一．今年某小学对本校六年级300名学生的一分钟跳绳情况做了统计，发现一分钟跳绳个数最低为10，最高为189．现将跳绳个数分成[10，40)，[40，70)，[70，100)，[100，130)，[130，160)，[160，190]六组，并绘制出如下的频率分布直方图．（1）若一分钟跳绳个数达到160为优秀，求该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数； （2）上级部门要对该校体质监测情况进行复查，发现每组男、女学生人数比例有很大差别，[10，40)组男、女人数之比为2:1，[40，70)组男、女人数之比为5:1，[70，100)组男、女人数之比为11:7，[100，130)组男、女人数之比为10:11，[130，160)组男、女人数之比为19:20，[160，190]组男、女人数之比为1:6．试估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留整数）．20．（12分）已知函数2()x f x lnx =．（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x a =-在123[,]e e 上只有一个零点，求a 的取值范围．21．（12分）已知以椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．（1）求椭圆E 的方程；（2）直线:(0)l y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M ．若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos (2|sin |x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线l的参数方程为13,(4x t t y a t =+⎧⎨=+⎩为参数）．（1）若43a =-，求C 与l 的普通方程；（2）若l 与C 有两个不同的公共点，求a 的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|||f x x x a =+-+． （1）若1a =-，求不等式()1f x -…的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围．2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）(1)(3)i i --在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(1)(3)24i i i --=-Q ，(1)(3)i i ∴--在复平面内对应的点的坐标为(2,4)-，位于第四象限．故选：D ．2．（5分）设集合{|(2)(3)0}A x x x =+-„，{}B a =，若A B A =U ，则a 的最大值为( ) A ．2-B ．2C ．3D ．4【解答】解：{|23}A x x =-Q 剟，{}B a =，且A B A =U ，B A ∴⊆，a ∴的最大值为3．故选：C ．3．（5分）若函数()cos()(0)3f x x πωω=->的最小正周期为2π，则(ω= )A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：因为22T ππω==，所以4ω=． 故选：C ．4．（5分）已知函数()f x =，则( ) A ．f （1）f >（2） B ．()f x 的定义域为[3-，3] C ．()f x 为偶函数D ．()f x 在[0，3]上为增函数【解答】解：f Q （1）=()f x =，f ∴（1）f <（2），故A 错误； 由290x -…，得33x -剟，()f x ∴的定义域为[3-，3]，故B 正确； ()f x 为奇函数，故C 错误； (0)f f =Q （3）0=，故D 错误．故选：B ．5．（5分）已知向量(1,2)AB =u u u r ，(,4)BC x =-u u u r ，若A ，B ，C 三点共线，则(AC BC =u u u r u u u rg)A ．10B ．80C ．10-D ．80-【解答】解：因为A ，B ，C 三点共线， 所以//AB BC u u u r u u u r ，则24x =-，2x =-，所以(1,2)AC AB BC =+=--u u u r u u u r u u u r；∴(1)(2)(2)(4)10AC BC =-⨯-+-⨯-=u u u r u u u rg ；故选：A ．6．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，且短轴长为6，则C 的方程为()A ．22198x y +=B ．221109x y +=C ．2213635x y +=D ．2213736x y +=【解答】解：依题意可得22c =，26b =，则1c =，3b =，所以22210a b c =+=，所以C 的方程为221109x y +=．故选：B ．7．（5分）2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志．阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就．装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐．此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注．某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A ．13B ．25C ．23 D ．35【解答】解：这6位外国人分别记为a ，A ，B ，C ，D ，E ，其中a 未关注此次大阅兵， 从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，基本事件有(,)a A ，(,)a B ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共15个，其中被采访者都关注了此次大阅兵的基本事件有10个， 故被采访者都关注了此次大阅兵的概率为102153P ==． 故选：C ．8．（5分）已知(,)42ππθ∈，且310sin()4πθ+=，则tan (θ= )A ．2B ．43C ．3D ．125【解答】解：因为(,)42ππθ∈， 所以(42ππθ+∈，3)4π， 又310sin()4πθ+=，所以10cos()4πθ+=，则tan()34πθ+=-，所以31tan tan()24413ππθθ--=+-==-．故选：A ．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为( )A ．30，8900B ．31，9200C ．32，9500D ．33，9800【解答】解：根据算法的功能，可知输出的x ，y 是方程组300100,4003400y x y x =-⎧⎨=-⎩的解，解此方程可得33,9800.x y =⎧⎨=⎩故选：D ．10．（5分）在四棱锥P ABCD -中，2PB PD ==，1AB AD ==，33PC PA ==，120BAD ∠=︒，AC 平分BAD ∠，则四棱锥P ABCD -的体积为( )A 6B 6C 6D 3【解答】解：由已知可得，222PA AB PB +=，则PA AB ⊥， 同理可得PA AD ⊥，又AB AD A =I ，PA ∴⊥平面ABCD ，则PA AC ⊥．33PC PA ==Q ，223(3)6AC ∴-．120BAD ∠=︒Q ，且AC 平分BAD ∠，∴四边形ABCD 的面积为33216=从而四棱锥P ABCD -的体积为1326332⨯． 故选：A ．11．（5分）现有下列四条曲线：①曲线22x y e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--．直线2y x =与其相切的共有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解答】解：若()22x f x e =-，则由()22x f x e '==，得0x =，点(0,0)在直线2y x =上，则直线2y x =与曲线22x y e =-相切；若()2sin f x x =，则由()2cos 2f x x '==，得2()x k k Z π=∈，所以(2)0f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若1()3f x x x =+，则由21()32f x x'=-=，得1x =±，因为(1,4)，(1,4)--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若3()2f x x x =--，则由2()312f x x '=-=，得1x =±，其中(1,2)--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切． 故共有3条曲线与直线2y x =相切， 故选：C ．12．（5分）已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||||MP PF +的最小值为12||F F ，则C 的离心率为()A ．26B 26+ C ．46+D 46+ 【解答】解：由双曲线的定义可得21||||2PF PF a -=， 则211||||||||2||2MP PF MP PF a MF a +=+++…，当M ，P ，1F 三点共线时，取得最小值1||2MF a -，即为222b c a ++， 由题意可得2222b c a c ++=，移项平方可得2222222484b c c a c ca a +=-=-+， 化为222850c ac a -+=，由(1)ce e a=>， 可得22850e e -+=，解得662(222e =+-（舍去）， 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x ，y 满足约束条件1123x x y -⎧⎨+⎩剟„，则x y -的最小值为 3- ．【解答】解：作出x ，y 满足约束条件1123x x y -⎧⎨+⎩剟„表示的可行域，如图所示，当直线z x y =-经过点(1,2)A -时，x y -取得最小值3-．故答案为：3-．14．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -的12条棱中，与平面11BC D 平行的棱共有 2 条． 【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D -的12条棱中， 与平面11BC D 平行的为棱11A B 与棱CD ．共2条．故答案为：2．15．（5分）已知312a =，32log 2b =，现有下列四个结论：①2a b =；②1a b -=；③2a b <；④3a b +<．其中所有正确结论的编号是 ②③ ．【解答】解：由312a =，32log 2b =，得3log 12a =，3log 4b =，则32log 16b =， 所以3log 31a b -==，2a b <，33log 48log 273a b +=>=，即正确的有②③， 故答案为：②③．16．（5分）在ABC ∆中，60B ∠=︒，3b =，若2c a m -„恒成立，则m 的最小值为 ．【解答】解：60B ∠=︒Q ，3b = 由正弦定理可得，32sin sin 3a cA C===，2sin a A ∴=，2sin 2sin(120)c C A ==︒-，22sin(120)4sin 33sin 2360)c a A A A A A ∴-=︒--=-=+︒0120A ︒<<︒Q ， 06060180A ∴<+︒<︒，∴11cos(60)2A -<+︒<， 232∴-<360)3A +︒<2c a m -Q „恒成立，则3m …m 3 3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a +，34a +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和n S ．【解答】解：（1）由题意，数列{}n a 的公差为2，则212a a =+，314a a =+． 11a +Q ，22a +，34a +成等比数列，2111(1)(8)(4)a a a ∴++=+，解得18a =．{}n a ∴的通项公式为82(1)26n a n n =+-=+，*n N ∈．（2）由（1）知，2262n n n a n -=+-， 故1212(2)(2)(2)n n n S a a a =-+-+⋯+- 1212()(222)n n a a a =++⋯+-++⋯+122[810(26)]12n n +-=++⋯++-- 1(826)22212n n n +++-=-- 1(7)(22)n n n +=+--21722n n n +=++-．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，3DAB π∠=，面PAD ⊥面ABCD ，PA PD ==． （1）证明：PB BC ⊥；（2）求点A 到平面PBC 的距离．【解答】证明：（1）取AD 中点H ，连结PH ，HB ，BD ，ABCD Q 是边长为1的菱形，3DAB π∠=，由2222cos60BH AB AH AB AH =+-︒g g ， 得211131214224BH =+-⨯⨯⨯=，3BH ∴=， 由22AH BH H +=，AD ∴⊥面PHB ，又PB ⊂面PHB ，AD PB ∴⊥，//AD BC Q ，PB BC ∴⊥．解：（2）由//AD 平面PBC ，知点A 与点H 到面PBC 的距离相等， 由（1）知AD ⊥面PHB ，//AD BC ，BC ∴⊥面PHB ，而BC ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PHB ，过点H 作HM PB ⊥于M ，由面PHB ⋂面PBC PB =，知HM 即为点H 到面PBC 的距离，由面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD AD =，PH ⊂面PAD ，PH AD ⊥，PH ∴⊥面ABCD ，BH ⊂Q 面ABCD ，PH BH ∴⊥，由题意得32PH =，3BH =，90PHB ∠=︒，3PB =，∴点A 到平面PBC 的距离3332243PH BH HM PB ⨯===g ．19．（12分）国家每年都会对中小学生进行体质健康监测，一分钟跳绳是监测的项目之一．今年某小学对本校六年级300名学生的一分钟跳绳情况做了统计，发现一分钟跳绳个数最低为10，最高为189．现将跳绳个数分成[10，40)，[40，70)，[70，100)，[100，130)，[130，160)，[160，190]六组，并绘制出如下的频率分布直方图．（1）若一分钟跳绳个数达到160为优秀，求该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数；（2）上级部门要对该校体质监测情况进行复查，发现每组男、女学生人数比例有很大差别，[10，40)组男、女人数之比为2:1，[40，70)组男、女人数之比为5:1，[70，100)组男、女人数之比为11:7，[100，130)组男、女人数之比为10:11，[130，160)组男、女人数之比为19:20，[160，190]组男、女人数之比为1:6．试估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留整数）．【解答】解：（1）由图可知，优秀的频率为1(0.0010.0040.0060.0070.013)300.07-++++⨯=，所以该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数为3000.00721⨯=；（2）[10，40)组男生人数为20.0013030063⨯⨯⨯=，[10，40)的中点值为25，[40，70)组男生人数为50.00430300306⨯⨯⨯=，[40，70)的中点值为55，[70，100)组男生人数为110.006303003318⨯⨯⨯=，[70，100)的中点值为85，[100，130)组男生人数为100.007303003021⨯⨯⨯=，[100，130)的中点值为115，[130，160)组男生人数为190.013303005739⨯⨯⨯=，[130，160)的中点值为145，[160，190)组男生人数10.0730037⨯⨯=，[160，190)的中点值为175，故可估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数为1(2565530853311530145571753)1066303330573x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈+++++．20．（12分）已知函数2()x f x lnx =．（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x a =-在123[,]e e 上只有一个零点，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为(0，1)(1⋃，)+∞，2(21)()x lnx f x ln x-'=，易得，当(0,1)(1x ∈U 时，()0f x '<，函数单调递减；在)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增；．所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，，单调递增区间为)+∞． （2）由()0g x =得()f x a =．因为1233()3f e e =，241()2f e e =，且243132e e >，又2f e =，所以a 的取值范围为2431(3,]{2}2e e e U ．21．（12分）已知以椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线:(0)l y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M ．若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）Q 椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，∴22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得24a =，22b =， ∴椭圆方程为22142x y +=．（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，11(0x y ≠，220)x y ≠， 则1(C x -，1)y -， 则11AD y k x =， 联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得222(12)4240k x km m +++-=， 122412km x x k ∴+=-+，121222()212my y k x x m k +=++=+ 1211121122y y y k x x k x +∴==-=-+，直线BC 的方程为：11121()2y y y x x x +=-+， 令0y =，由10y ≠，可得13x x =-， 1(3M x ∴-，0)，11211134y yk x x x ==+，11121122024y yk k x x ∴+=-+⨯=， 1220k k ∴+=二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos (2|sin |x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线l的参数方程为13,(4x t t y a t =+⎧⎨=+⎩为参数）．（1）若43a =-，求C 与l 的普通方程；（2）若l 与C 有两个不同的公共点，求a 的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为22cos (2|sin |x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4(0)x y y -+=…．直线l 的参数方程为13,(4x t t y a t=+⎧⎨=+⎩为参数）．由于43a =-，转换为直角坐标方程为3480x y --=．（2）直线l 的参数方程为13,(4x t t y a t =+⎧⎨=+⎩为参数）．转换为直角坐标方程为43430x y a --+=．若l 与C 有两个不同的公共点，所以圆心(2,0)到直线43430x y a --+=的距离2d =<，解得：1423a -<<， 当直线经过原点时，直线的正好与圆有两个交点， 所以43a =． 当423a <„时，直线与圆有两个公共点． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|||f x x x a =+-+． （1）若1a =-，求不等式()1f x -…的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =-时，2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪⎩„…，由()1f x -…，得12x -…． 故不等式()1f x -…的解集为1[,)2-+∞．（2）Q “x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，∴ “x R ∃∈，()|21|f x a +…”为真命题，()|21|max f x a ∴+…．()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-Q „，()|1|max f x a ∴=-，则|1||21|a a -+…，22(1)(21)a a ∴-+…， 即220a a +„，解得20a -剟， a ∴的取值范围为[2-，0]．。