当前位置：文档之家 › 高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.2事件的相互独立性检测含解析

高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.2事件的相互独立性检测含解析

  • 格式：docx
  • 大小：80.21 KB
  • 文档页数：5

2.2 二项分布及其应用

2.2.2 事件的相互独立性

A级 基础巩固

一、选择题

1．有以下三个问题：

①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；

②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；

③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．

这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

解析：①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝35，P(N)＝12，即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝12，P(N)＝12，P(MN)＝14，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件．

答案：C

2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )

A．1－a－b B．1－ab

C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)

解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．

答案：C

3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(

)

A.49 B.29 C.23 D.13

解析：设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，

则P(A)＝23，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，

则P(B)＝23.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×23＝49.

答案：A

4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )

A.12 B.512 C.14 D.16

解析：所求概率为23×14＋13×34＝512或P＝1－23×34－13×14＝512.

答案：B

5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )

A.19 B.16 C.13 D.718

解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝13，P(B)＝12，P(C)＝23，停车一次即为事件ABC＋ABC＋ABC的发生，

故概率P＝1－13×12×23＋13×1－12×23＋13×12×1－23＝718.

答案：D

二、填空题

6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．

解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝160200×180240＝35.

答案：35

7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．

解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3

×0.5＝0.65；P(A|B)＝P(A)＝0.3.

答案：0.65 0.3

8．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．

解析：在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0. 05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.

答案：0.95

三、解答题

9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．

解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P(AB)[1－P(CD)]＝P(A)P(B)[1－P(CD)]＝12×12×1－12×12＝316.

所以灯亮的概率为1－316＝1316.

10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.

(1)求恰有一名同学当选的概率；

(2)求至多有两人当选的概率．

解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，

则有P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝710.

(1)因为A，B，C相互独立，

所以恰有一名同学当选的概率为

P(A—

B —

C )＋P(—

A B—

C )＋P(—

A —

B C)＝P(A)P(—

B )P(—

C )＋P(—

A )P(B)P(—

C )＋P(—

A )P(—

B )P(C)＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.

(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－45×35×710＝83125.

B级 能力提升

1．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )

A．2个球不都是红球的概率

B．2个球都是红球的概率

C．至少有1个红球的概率

D．2个球中恰有1个红球的概率

解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝13，P(B)＝12，由于A、B相互独立，所以1－P(—

A )P(—

B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C正确．

答案：C

2．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为________．

解析：都未解决的概率为1－121－13＝12×23＝13，

问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P＝1－13＝23.

答案：13 23

3．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、第二、第三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．

(1)求该选手被淘汰的概率；

(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．

解：(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25.

所以该选手被淘汰的概率

P＝1－P(A1A2A3)

＝1－P(A1)P(A2)P(A3)

＝1－45×35×25

＝101125.

(2)ξ的所有可能取值为1，2，3.

则P(ξ＝1)＝P(A1)＝15，

P(ξ＝2)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝45×25＝825，

P(ξ＝3)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝45×35＝1225，

所以ξ的分布列为：

ξ 1 2 3

P 15 825 1225

合集下载

高考数学选修-随机变量及其分布-二项分布及其应用

高考数学选修-随机变量及其分布-二项分布及其应用

1 / 9

高考数学选修

二项分布及其应用

知识点

一、条件概率

1.一般的，设A,B为两个事件，且0)(AP，则称)()()|(APABPABP为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。)|(ABP读作：A发生的条件下B发生的概率。

2.条件概率的性质：

（1）1)|(0ABP；

（2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0.

（3）若事件B与C互斥，)|()|()|(ACPABPACBP

二、相互独立事件

1.设A，B为两个事件，若)()()(BPAPABP，则称事件A与事件B相互独立。

2.条件概率的性质：

（1）若事件A与B相互独立，则)()|(BPABP，)()|(APBAP，)()()(BPAPABP。

（2）如果事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B

三、独立重复试验与二项分布

1.独立重复试验：

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。

2.二项分布：

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1()(。此时称随机变量X服从二项分布，记作),(~pnBX

2 / 9

题型一 条件概率

【例1】已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于( )

A.56 B.910 C.215 D.115

【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)等于 ( )

A.25 B.12 C.35 D.45

【例3】任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：

(1)该点落在区间0，13内的概率是多少？

(2)在(1)的条件下，求该点落在15，1内的概率．

2第二章随机变量及其分布

2第二章随机变量及其分布

1 第二章 随机变量及其分布

1．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球的最大号码，写出随即变量X的分布规律。

解：X的所有可能取值为：3，4，5

22343335551136345101010CCPXPXPXCCC

X的分布规律为

X 3 4 5

kp

1/10

3/10

6/10

2．解：X取0或1或2

1312535321311235PxPxPx１２１１２２２１３１２１３２１２１３１２２０＝１１１４１３３５１５１４１３１５１４１３１５１４１３２１１１１３２１５１４１３１５１４１３１５１４１３所以：

X 0 1 2

kp 22/35 12/35 1/35

3．解：设X表示在同一时刻被使用的设备数 则X~B(5,0.1)

22350051142235550051142233325555005520.10.90.0729313101210.10.90.10.90.10.90.0085630.10.90.10.90.10.90.10.90.9995411010.10.90.4095PxCPxpxPxPxPxCCCPxCCCCPxpxC

4．解：设 n次重复独立试验中A发生的次数为X, 则(,0.3)XBn

332441550555~(5,0.3)

30.30.70.30.70.30.70.16308XBPxCCC

007116225777~(7,0.3)

3101210.30.70.30.70.30.70.3529305XBPxPxPxPxCCC5．解:设每分钟收到的呼唤次数为X , (4)XP

高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第七节 n次独立重复试验及二项分布)

高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第七节 n次独立重复试验及二项分布)

1

第七节 n次独立重复试验及二项分布

一 基础知识

1.条件概率及其性质

(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝PABPA(P(A)＞0).

(2)条件概率的性质

①非负性：0≤P(B|A)≤1；

②可加性：如果B和C是两个互斥事件，

则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).

2.相互独立事件

(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件.

(2)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.

(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立.

(4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，

P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).

(5)一般地，如果事件A1，A2，…，An(n＞2，n∈N*)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An).

互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点

(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；

(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.

3.独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.

高二数学选修2-3第二章 随机变量及其分布

高二数学选修2-3第二章 随机变量及其分布

第 1 页 共 11 页 §2.1.1离散型随机变量

一、教学目标

1.复习古典概型、几何概型有关知识。

2. 理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。

3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.

重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.

难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.

二、复习引入：

1.试验中不能 的随机事件，其他事件可以用它们来 ，这样的事件称为

。所有基本事件构成的集合称为 ，常用大写希腊字母 表示。

2.一次试验中 的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。

互斥事件的概率加法公式 。

3. 一次试验中 的两个事件叫做互为对立事件，

事件A的对立事件记作 ，对立事件的概率公式

4. 古典概型的两个特征：（１） .（２） .

5. 概率的古典定义：P（A）= 。

6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。

三、预习自测：

1.在随机试验中，试验可能出现的结果 ，并且X是随着试验的结果的不同而 的，这样的变量X叫做一个 。常用 表示。

文档推荐

最新文档