应用概率统计课后习题答案详解

习 题 一 解 答

１. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来：

(1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生；

(2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生；

(3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生；

(4) 三个事件中至少有两个事件发生；

(5) 三个事件中最多有两个事件发生；

(6) 三个事件中只有一个事件发生．

解：（1）CBA (2)CAB (3)CBA (4)BCACABABC

(5)ABC (6)CBACBACBA

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２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi表示“第i次取到白球”（i＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件：

(1) 41

iiAA ， (2) A ,(3) B ， (4) 32AA ．

解：（1）至少有一次取得白球

（2）没有一次取得白球

（3）最多有2次取得白球

（4）第2次和第3次至少有一次取得白球

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３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系．

(1) ＡＢ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ

解：（1）AB (2)AB

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４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件：

(1) AB， (2) BC，(3) CB，(4)CDB)(，(5)CBA．

解：(1)450,200; (2)300,200 (3)450,0 (4)300,200 (5)200,0

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５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970

年后出版”．问：

(1) ＡＢＣ表示什么事件？

(2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？

(3) CＢ表示什么意思？

(4) 如果A＝Ｂ，说明什么问题？

解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书

（2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书

（3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书

（4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书

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６. 互斥事件和对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系．

(1) X ＜ 20 和X≥ 20 ；

(2) X ＞ 20和X＜ 18 ；

(3) X ＞ 20和X ≤ 25 ；

(4) 5 粒种子都出苗和5粒种子只有一粒不出苗；

(5) 5 粒种子都出苗和5粒种子至少有一粒不出苗．

解：（1）对立; (2)互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）对立

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(古)７. 抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率．

解：125.081213p

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（古）８. 在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有 55 个，现从•26个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率．

解：252655p0.0846

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（古）９. 把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？

解：首先将指定的三本书放在一起，共!3种放法，然后将8)1(7进行排列，共有!8种不同排列方法。故151906!10!8!3p0.067

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（古）10. 电话号码由 6 位数字组成，每个数字可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 共

10 个数字中的任何一个数字（不考虑电话局的具体规定），求：

(1) 电话号码中 6 个数字全不相同的概率；

(2) 若某一用户的电话号码为 283125 ，如果不知道电话号码，问一次能打通电话的概率是多少？

解：(1) 1512.0106610Pp，(2) 610p

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（古）11. 50 粒牧草种子中混有3粒杂草种子，从中任取4粒，求杂草种子数分别为0，1，23 粒的概律

解： 3,2,1,0,/}{4504273kCCCkXPkk

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（古）12. 袋内放有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率．

解：设A为事件“钱额总和超过一角”，则A={两个五分其余任取3个+一个五分3个两分一个一分+一个五分2个两分2个一分}，故：25231215331238225101)(CCCCCCCCCAP＝0.5

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（古）13. 10 把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率．

解：1713232101)(CCCCAP，或158301631107103)(AP＝0.53

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（古）14. 求习题 11 中至少有一粒杂草种子的概率．

解：本题和11解法有关，即为2255.0)0(1XP

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（几）15.有一码头，只能停泊一艘轮船，设有甲、乙两艘轮船在0道T小时这段时间内等可能地到达这个码头，到后都停1T小时，求两船不相遇的概率．

解：设yx,分别为甲、乙船到达码头的时刻，A为事件“两船相遇”。则

TyTxyx0,0|),(，1|),(TyxyxA。

所求概率为2121221)(11)(1)(TTTTTTAPAP

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（几）16.（蒲丰投针问题）设平面上画着一些有相等距离2a（a>0）的平行线。向此平面上投一枚质地均匀的长为2l(l

解：设x为针的中点到最近一条直线的距离),0(ax为针和直线的夹角，则

0,0|),(axx， 0,sin0|),(lxxA，于是有

aldlaLALAP2sin1)()()(0

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17. 某种动物由出生活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4，求现在20岁的这种动物能活到25岁的概率。

解：设A为该动物能活到20岁，B为能活到25岁，则AB，已知4.0)(,8.0)(BPAP，所求概率为

5.0)()()()()|(APBPAPABPABP

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18．由长期统计资料表明，某一地区6月份下雨（记为事件A）的概率为4/15，刮风（记为事件B）的概率为7/15，既下雨又刮风的概率为1/10，求)(),|(),|(BAPABPBAP

解：由条件概率公式知

1310|0.214371415PABPABPB

1310|0.3754815PABPBAPA

6333.03019101157154ABPBPAPBAP

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19．为防止意外，在矿内设有两种报警系统，单独使用时，系统Ａ有效的概率为 0.92 ，系统Ｂ有效的概率为 0.93 ，在系统Ａ失灵的条件下，系统Ｂ有效的概 率为 0.85，求：

(1) 发生意外时，这两种系统至少有一个系统有效的概率．

(2) 系统Ｂ失灵的条件下，系统Ａ有效的概率．

解：由题意85.0)|(,93.0)(,92.0)(ABPBPAP。

（1）所求概率为：,988.0068.092.0)()()()()(ABPAPABPAPBAP

其中：068.0)92.01(85.0)()|()(APABPABP

（2）所求概率为 ,82857.007.0012.01)()(1)|(1)|(BPBAPBAPBAP

其中 012.0068.008.0)()()()(BAPAPBAAPBAP

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20. 100件产品中有10件次品，用不放回的方式从中每次取1件，•连取3 次，求第三次

才取得正品的概率．

解：设第三次才取得正品的概率为A，样本空间为3100A

所以0083.09899100910903100210190AACAP

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（条件）21. 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.4 ；•若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为 0.5 ；若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为 0.6 ．求在这几个回合中

(1) 甲机被击落的概率；

(2) 乙机被击落的概率．

解：设A为甲机第一次被击落，iB为乙机第i次被击落，这里21,,BBA互不相容。依题义有

6.0)|(,5.0)|(,4.0)(1211BABPBAPBP

（1）所求概率为 3.06.05.04.00)()|()()|()(1111BPBAPBPBAPAP

（2）所求概率为 )()()(2121BPBPBBP,其中

18.06.05.06.0)()|()|()()|()(11121122BPBAPBABPBAPBABPBP

故所求概率为58.018.04.0)()()(2121BPBPBBP

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（全概）22. 一个袋子中装有6只白球，4只黑球，从中任取一只，然后放回，并同时加进2只和取出的球同色的球，再取第二只球，求第二只球是白色的概率．

解：设A为“第一次取得白球”，B为“第二次取得白球”（共4白2黑），则

6.02.04.0104126106128)()|()()|()(APABPAPABPBP