高中数学直线与圆的解题方法

4.2.1直线与圆的位置关系导学案

一、学习目标

1、理解直线与圆的位置关系；会利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离

2、会判断直线和圆的位置关系

3、通过例题的分析讨论，提高学生的综合运用知识的能力

二、学习重点、难点：

重点：根据给定直线和园的方程，判断直线与圆的位置关系

难点：判断方法的选择

三、学习过程

（一）知识链接：

1、 直线方程的一般式为:__ _________________

2、 圆的标准方程为：______ ________圆心为：___ ____半径为:__ _____

3、 圆的一般方程为:_____ _________圆心为：_____ ___半径为：_________

4、 点),(00yxP到直线0CByAx的距离为：_______ _________

（二）自学引导：

1、直线与圆的位置关系有几种？在初中如何定义？

2、判断直线与圆的位置关系的方法

（1）、解方程组04206322yyxyx

由此方程组的解的个数你能确定直线与圆的位置关系吗？你能在未解出方程组的情况下确定解的个数吗？该如何确定？

（2）、你能由圆心到直线距离d与圆的半径r之间的大小比较判断直线和圆的位置关系吗？该如何确定？如何计算圆心到直线的距离d？

3、归纳结论

直线与圆的位置关系的判断方法主要步骤：

几何方法：（1）把直线方程化为__________式，利用圆的方程求出圆的_____ _和_______

(2)利用______________公式求出圆心到直线的距离

（3）作判断：当__________时，直线与圆相离；当_________时,直线与圆相切;

当__________时,直线与圆相交

代数方法：（1）把____方程和_____方程联立成方程组

(2)利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程

（3）求出其__________的值

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高中数学解题中圆的妙用

作者：方长荣

来源：《高中生·高考指导》2013年第08期

一、距离问题中的圆

所以，满足题目条件的直线l有2条.

小结 这道题用了两种解法进行对比，以此来体现运用圆的相关知识解题的妙处.解法1为代数法，计算量大，求解困难.解法2为几何法，通过画图和分析，把问题转化为确定两个圆的公切线的数量，极大地简化了运算量和解题过程.

为了充分挖掘此题的功能，更好地复习相关知识，可以考虑将此题进行如下变形.

二、方程根问题中的圆

小结 根据方程特征，构造简单熟悉的方程组，逐层分解，转化为两个图像的交点问题，即先由数想形，再由形想数，使求复杂方程的根的个数这个过程清晰.

三、不等式问题中的圆

高中数学解题方法

数学解题的思维过程

数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问

题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回

顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、

转换、实施、反思。

第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。

第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途

径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。

第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础

知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的

重要组成部分。

第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的

一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过

程的开始。

数学解题的技巧

为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提

高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。

一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为

一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。

基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、

特殊化、一般化、整体化、间接化等。

一、 熟悉化策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没

有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题

目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。

一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和

理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问

题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条

件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。

常用的途径有：

（一）、充分联想回忆基本知识和题型：

按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原

有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法

和结论，从而解决现有的问题。

直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系

知识讲解

1．直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法

直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2

+（y﹣b）2

＝r2

（r＞0）的位置关系的判断方法：

（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．

圆心到直线的距离d

＝

①相交：d＜r

②相切：d＝r

③相离：d＞r

（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．

由消元，得到一元二次方程的判别式△

①相交：△＞0

②相切：△＝0

③相离：△＜0．例题精讲

不含有参数的直线与圆位置关系

例1.

已知点P在单位圆x2

+y2

=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d

1、

d

2，则d

1+d

2的最小值是．

例2.

点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2

+y2

=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．

例3.

经过圆x2

+y2

﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）

A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0

C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0

含有参数类型直线与圆的位置关系

知识讲解

1．直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法

直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2

+（y﹣b）2

＝r2

（r＞0）的位置关系的判断方法：

（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．

圆心到直线的距离d

＝

①相交：d＜r

②相切：d＝r

③相离：d＞r

（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．

由消元，得到一元二次方程的判别式△

①相交：△＞0

②相切：△＝0

③相离：△＜0．例题精讲

含有参数类型直线与圆的位置关系

例1.

已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2

+y2

=4相离，则△ABC是（）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．以上情况都有可能

例2.

直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2