(全国通用版)2019高考数学二轮复习-专题二 数列 第2讲 数列的求和问题课件

⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）

备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品 第⼆篇

数列与不等式【解析版】

专题03 数列求和问题

【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】

等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n n

c c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 【思路引导】

(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.

解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，

所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4

b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为1112

1212n n n n n

c c c c a a a a +--++++= ① 当2n ≥时,

112

1212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n n

c a =，即12n n c n +=?，

⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,1

2,2

n n n c n n +=?∴=?

≥ .

数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?

第2讲 数列通项与求和

[全国卷3年考情分析]

年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ

2019 等比数列的求和·T14 递推公式的应用·T19 等差数列的前n项和·T14

2018 an与Sn关系的应用·T14 等差数列前n项和的最值问题·T17

2017 等差数列的基本运算、数列求和·T17 等比数列的通项公式、an与Sn的关系·T17

等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点．若以解答题的形式考查，常与解三角形问题交替考查且多出现在第17(或18)题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大．

考点一 an与Sn关系的应用

[例1] (1)(2019·成都第一次诊断性检测)设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，则a5＝________．

(2)(2019·武汉市调研测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________．

[解析] (1)法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，则Sn＋1＝2Sn.又S1＝a1＝4，所以数列{Sn}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＝4·2n－1＝2n＋1，则a5＝S5－S4＝26－25＝32.

法二：当n≥2时，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，两式相减，得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，所以数列{an}是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32.

(2)法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，即a2＝2a1＋1＝－1.根据Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，①

知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3，②

②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)．

第1讲　等差数列与等比数列

高考定位　1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、

填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，

难度中档以下.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a

n}的首项为1，公差不为0.若a

2，a

3，a

6成等比数

列，则{a

n}前6项的和为( )

A.－24 B.－3 C.3 D.8

解析　根据题意得a＝a

2·a

6，即(a

1＋2d)2＝(a

1＋d)(a

1＋5d)，由a

1＝1及d≠0解23

得d＝－2，所以S

6＝6a

1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.6×526×52

答案　A

2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计

算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音

程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频122

率为( )

A.f B.f32322

C.f D.f12251227

解析　从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

，第一个单音的频率为f.由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个122

首项为f，公比为的等比数列，记为{a

n}.则第八个单音频率为a

8＝f·()8－1＝122122

f.1227

答案　D

3.(2018·全国Ⅰ卷)记S

n为数列{a

n}的前n项和.若S

n＝2a

n＋1，则S

6＝________.

解析　因为S

n＝2a

n＋1，所以当n＝1时，a

1＝2a

1＋1，解得a

1＝－1，

当n≥2时，a

n＝S

n－S

n－1＝2a

n＋1－(2a

n－1＋1)，所以a

n＝2a

n－1，所以数列{a

n}

是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a

n＝－2n－1，所以S

6＝＝－1×（1－26）

1－2

－63.

答案　－63

4.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a

n}中，a

第2讲数列求和及其综合应用

错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法

错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：cn＝anbn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，则qcn＝qanbn＝anbn＋1，此时cn＋1－qcn＝(an＋1－an)·bn＋1＝dbn＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．

(2016·高考山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)令cn＝（an＋1）n＋1（bn＋2）n.求数列{cn}的前n项和Tn.

【解】(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，

当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．所以an＝6n＋5.

设数列{bn}的公差为d，

由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，得11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，

可解得b1＝4，d＝3.

所以bn＝3n＋1.

(2)由(1)知cn＝（6n＋6）n＋1（3n＋3）n＝3(n＋1)·2n＋1.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

所以Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，

2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，

两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋4（1－2n）1－2－（n＋1）×2n＋2＝－3n·2n＋2，

所以Tn＝3n·2n＋2.

应用错位相减法求和需注意的问题

(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．

(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．