六年级秋季班-第10讲：比和比例(1)

六年级比和比例知识点讲解比和比例是数学中重要的概念之一，对于六年级的学生来说，理解和掌握比和比例的概念非常重要。

本文将详细介绍比和比例的定义、性质以及应用，帮助学生更好地理解和运用比和比例知识。

一、比的概念及性质比是指两个量之间的大小关系，可以用分数或比例的形式表示。

比的一般形式为a:b，读作“a比b”。

其中，a称为比的前项，b称为比的后项。

比的两个项必须是同类的量，即具有相同的单位。

比的性质如下：1. 相等性：如果两个比的前项与后项互相相等，那么这两个比相等。

例如，4:6和2:3是相等的比。

2. 反比：两个比的前项与后项互为倒数时，这两个比称为反比。

例如，3:4和4:3是反比。

3. 异比：两个比的前项与后项既不相等，也不互为倒数时，这两个比称为异比。

例如，5:6和3:4是异比。

二、比例的概念及性质1. 比例的概念：当两个或多个比相等时，它们之间称为比例。

比例通常用冒号(:)或“=”符号表示。

2. 比例的性质：比例有以下几个重要的性质：a. 交换性：比例中的前、后项可以互换位置而保持比例不变。

例如，如果a:b=c:d，那么b:a=d:c。

b. 归结性：如果在一个比例中，两个比都是由同一个数相除而得到的，那么这两个比互为倒数。

例如，如果a:b=4:6，那么b:a=6:4=3:2。

c. 增量乘性：比例中的前、后项同时乘以同一个数，得到的新比例与原比例相等。

例如，如果a:b=4:6，那么2a:2b=8:12。

d. 变量比例：比例中的前项与后项都含有一个变量时，可以通过代入不同的值来求解这个变量的取值。

例如，如果a:b=3:5，且a=12，那么可以利用已知比例求解b的值。

三、比和比例的应用比和比例在日常生活和实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 真实比例：在地图上，使用比例尺可以将真实世界的地理距离映射到纸面上，帮助我们进行测量和导航。

2. 长度比例：在实际测量中，我们可以使用比例来计算物体的长度、宽度等尺寸。

比和比例（一）比和比例学习要点一、比和比例的区别：1.两个数相除，叫做两个数的比。

（比是由两个数组成的，分别是前项、后项。

）例：2∶32.两个相等的比，可以组成比例。

（比例是由四个数组成的，分别是两个外项、两个内项。

）例：2∶3=4∶6二、有关性质：1.分数的基本性质：分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变。

2.商不变性质：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。

3.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

4.小数性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，，小数的大小不变。

5.比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。

三比和分数、除法：四、求比值和化简比：1.求比值：用前项除以后项求商。

结果是一个数，可以是整数、小数、分数。

2.化简比：结果是一个比。

有前项和后项，而且前项和后项必须是整数，且不能再约分。

小数比（同时扩大10、100、1000……）化简比的方法整数比（约分）最简比（商后项是互质数）分数比（变符号）五、正比例和反比例：1.判断：（1）一找：找出“两种变量”和“一个定量”。

（2）二写：写出关系式。

（3）判断：商正积反。

×（反）÷（正）速度时间路程÷（正）×（反）÷（正）单价数量总价÷（正）×（反）÷（正）一天工作量间天数总工作量÷（正）×（反）÷（正）每组人数组数总人数÷（正）×（反）÷（正）方砖面积块数房间面积÷（正）×（反）÷（正）底面积高体积÷（正）×（反）÷（正）长宽长方形的面积÷（正）正方形的周长÷边长=4（一定）正圆的周长÷直径=π（一定）正图上距离÷实际距离=比例尺（一定）正正方形的面积÷边长=边长（不一定）不成圆的面积÷半径=πr（不一定）不成盐的质量÷海水的质量=出盐率（一定）正讨论（1）比与分数、除法的关系（2）求比值与化简比的区别。

六年级下第10课时比和比例在六年级的数学学习中，比和比例是一个非常重要的知识点。

它不仅在数学中有着广泛的应用，在我们的日常生活中也随处可见。

今天，咱们就一起来深入了解一下比和比例。

首先，咱们来聊聊什么是比。

比，表示两个数相除的关系。

比如说，咱们班男生有 20 人，女生有 30 人，那男生和女生人数的比就是 20:30，化简后就是 2:3。

在比中，前项除以后项所得的商，叫做比值。

就像刚刚说的 2:3，比值就是 2÷3 ＝ 2/3 。

比有很多有趣的性质。

比如，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。

这就像我们做分数约分一样，是为了让比变得更简洁。

那什么是比例呢？比例是表示两个比相等的式子。

比如2:3 ＝4:6 ，这就是一个比例。

在比例中，组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

比例也有自己的性质，那就是在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

比如在 2:3 ＝ 4:6 这个比例中，2×6 ＝ 3×4 。

这个性质在我们解决比例问题的时候非常有用。

咱们在生活中经常会用到比和比例。

比如说，在调配饮料的时候，需要按照一定的比例来混合不同的成分；在地图上，会用比例尺来表示实际距离和地图上距离的关系；在建筑设计中，设计师会根据比例来绘制图纸。

再举个例子，假如我们要按照 1:2 的比例来配制一种清洁剂，需要用 1 份的清洁剂原液和 2 份的水。

如果我们有 5 升的清洁剂原液，那需要加多少升的水呢？因为原液和水的比例是 1:2 ，原液是 5 升，所以水的量就是 5×2 ＝ 10 升。

在解决比和比例的问题时，我们通常会用到设未知数的方法。

比如有一道题：某工厂有三个车间，第一车间和第二车间的人数比是 3:4 ，第二车间和第三车间的人数比是 6:7 ，三个车间一共有 340 人，求每个车间的人数。

我们可以先把两个比例中的第二车间的份数统一，3:4 ＝9:12 ，6:7 ＝ 12:14 ，这样三个车间的人数比就是 9:12:14 。

比和比例是六年级数学上学期第三章第一节的内容，基础概念方面，同学们需要理解比、比值以及比例的相关概念、并能理清比和比值、比和比例的区别，同时也要清楚比与除法、分数等概念之间的联系和区别；性质理解方面，需掌握比的基本性质和比例的基本性质；计算方面，需熟练比和比值求法，熟练运用比的基本性质进行最简整数比的化简和连比的求解，以及根据比例的基本性质正确地进行比例的有关运算，为之后学习利用比例的基本性质解决相关的实际问题做好准备．比和比例内容分析知识结构1、 比和比值a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b的比．记作a : b ，或写成ab，其中0b ≠；读作a 比b ，或a 与b 的比．a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 前项a 除以后项b 所得的商叫做比值． 2、 比、分数和除法的关系比：前项：后项 = 比值；分数：分子分母= 分数值；除法：被除数÷除数 = 商． 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数； 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比值相当于分数的分数值和除式的商． 3、 比、分数和除法的区别比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算．【例1】 （1）把除法69÷写成比是______；（2）求比值：12:43=______；（3）已知：12:35x =，则x =______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 一个比的前项是最小的素数，后项是最小的合数，这个比的比值是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】模块一：比的意义知识精讲例题解析ABCD【例3】 判断题：（1）3与2的比值是32；（ ） （2）除法中被除数相当于比的前项、分数中的分子（ ）； （3）因为4:747=÷，所以比就是除法；（ ）（4）5米 : 20厘米的比值是14．（ ）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例4】 一个比的前项是15，比值是114，则这个比的后项是______．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例5】 求比值：（1）13:24；（2）21:0.55；（3）40分钟 : 1.5小时；（4）20 cm : 0.6 cm ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 如右图，点M 是正方形ABCD 的边BC 的中点，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比是______．【难度】★★★ 【答案】 【解析】1、比的基本性质比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变．2、最简整数比比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比．注：题目中比的结果都必须化成最简整数比．3、三连比的性质1、如果::a b m n=，::b c n k=，那么::::a b c m n k=；2、如果0k≠，那么::::a b c ak bk ck=．【例7】比的前项扩大3倍，比的后项缩小3倍，这个比的比值（）A．扩大9倍B．缩小9倍C．不变D．以上说法都不对【难度】★【答案】【解析】【例8】某班春游时，有2人请病假，1人请事假，实际参加45人，缺勤人数与全班人数的比是（）A．1 : 15 B．3 : 45 C．1 : 16 D．3 : 48【难度】★【答案】【解析】【例9】213=______3÷=______ : 15．【难度】★【答案】【解析】模块二：比的基本性质知识精讲例题解析【例10】下列说法正确的个数是（）○17与3的比是123；○2如果a : b = 13 : 5，那么有a = 13，b = 5；○33 : 9的比值是1 : 3；○4比的前项是0.55，比值是122，则比的后项是0.22；○5比的前项和后项同时乘以一个相同的自然数，比值不变．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】【解析】【例11】一根绳子长132厘米，若按3 : 4分成两段，其中长的一段的长度是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例12】某班有学生40人，其中男女人数比是2 : 3，则女生比男生多______人．【难度】★★【答案】【解析】【例13】化成最简整数比：136.8:8:1224_____________．【难度】★★【答案】【解析】【例14】（1）若a : b = 2 : 3，b : c = 3 : 5，求a : b : c；（2）若a : b = 2 : 3，b : c = 2 : 5，求a : b : c；【难度】★★【答案】【解析】【例15】 如果a + b + c = 108，且a : b : c = 3 : 4 : 5，则a + c 的值是（ ）A ．72B ．36C ．18D ．9【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】 已知13:4:2.52a b =，111::345b c =，则a : b : c =_____________．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例17】 若: 4.5:7.5a b =，1:0.5:3b c =，则a 比c 少几分之几？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例18】 ()()()::2:3:4ab bc ca =，则()()()::b c a c a b +++=__________________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】1、 比例a 、b 、c 、d 四个量中，如果a : b = c : d ，那么就说a 、b 、c 、d 成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例．比例a : b = c : d 也可以表示为a cb d=． 其中a 、b 、c 、d 分别叫做第一、二、三、四比例项． 2、 比例外项和比例内项如果a : b = c : d ，那么第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项． 3、 比例中项对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即a : b = b : c ，那么把b 叫做a 和c 的比例中项． 4、 比例的基本性质如果::a b c d =或a cb d=，那么ad bc =． 反之，如果a 、b 、c 、d 都不为零，且ad bc =，那么::a b c d =或a c b d=． 两个外项的积等于两个内项的积．【例19】 下列各比中，能与6 : 3组成比例的是（ ）A ．2 : 4B ．0.8 : 0.4C ．0.2 : 0.04D ．0.1 : 0.5【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析模块三：比例及其性质知识精讲【例20】下列各组数，不能成比例的是（）A．2、3、4、5 B．1、2、3、6C．0.02、0.6、4、120 D．12、13、14、16【难度】★【答案】【解析】【例21】若b是a、c的比例中项，且b : c = 3 : 2，那么a : b =______．【难度】★【答案】【解析】【例22】如果x、y都不为零，且2x = 3y，那么下列各比例式中正确的是（）A．x : y = 4 : 3 B．x : 3 = y : 2 C．x : 2 = 3 : y D．x : 3 = 2 : y【难度】★【答案】【解析】【例23】（1）在比例a : b = c : d中，如果35b=，47c=，那么ad = ______；（2）5是4和______的比例中项．【难度】★【答案】【解析】【例24】把4.5，7.5，12，310这四个数组成比例，其外项的积是（）A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 【难度】★★【答案】【解析】【例25】如果a的13等于b的14（a、b都不等于0），则a、b的比值是______．【难度】★★【答案】【解析】【例26】2，5，7的第四比例项是______．【难度】★★【答案】【解析】【例27】已知():1:2x y x-=，则x : y =__________．【难度】★★【答案】【解析】【例28】已知3a = 4b = 5c，求a : b : c．【难度】★★★【答案】【解析】【例29】将a添加入2，4，5后，这四个数可以组成比例，那么a =______．【难度】★★★【答案】【解析】【例30】在一个比例式中，若两个外项都是质数，且这两个外项的和是21，一个内项是385，则另一个内项是______．【难度】★★★【答案】【解析】【习题1】下列说法正确的是（）A．3比4的比值是4 3B．两个比组成的式子叫做比例C．若a : b = 7 : 9，则a = 7，b = 9D．一个正方形的周长与边长一定成比例【难度】★【答案】【解析】【习题2】某班有男生26人，女生22人，女生人数与全班人数的比是______．【难度】★【答案】【解析】【习题3】甲数是乙数的8倍，乙数是丙数的12倍，甲数与丙数的比值是______．【难度】★★【答案】【解析】【习题4】已知45mn=，则m nm+=______．【难度】★★【答案】【解析】【习题5】如果a : b = 2 : 3，b : c = 4 : 5，那么a : b : c为（）A．8 : 12 : 15 B．4 : 6 : 15 C．8 : 10 : 15 D．6 : 8 : 18 【难度】★★【答案】【解析】随堂检测【习题6】已知：11:16:254x=，求x的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】两个数的比值是35，比的前项和后项同时扩大3倍，那么比值的倒数是______．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】a比b小12，b比c大13，用最简整数比表示a : b : c = ____________．【难度】★★★【答案】【解析】【习题9】若x与12、13、18这三个数可以组成比例式，则x可能是______．【难度】★★★【答案】【解析】【习题10】若正整数x、y满足111182x y-=，且x : y = 7 : 13，则x + y =______．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】求比值：1.4小时：40分钟=__________；71:584=__________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】已知62:473x=，则x =______．【难度】★【答案】【解析】【作业3】如果x、y都不为零，且2x = 3y，那么下列正确的是（）A．23xy=B．32x y=C．32xy=D．23xy=【难度】★【答案】【解析】【作业4】下列各组数中，能组成比例的是（）A．2，3，4，5 B．12，13，16，15C．0.5，0.25，0.2，0.1 D．3，5，12，10 【难度】★★【答案】【解析】课后作业【作业5】某班男生人数比女生多14，男生和全班人数的比是___________．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】若2:5a b=，且2b ac=，则b : c =__________．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】化最简整数比：52656::3272211=________________．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】（1）若12::53a b=，:0.2:0.7b c=，求::a b c．（2）已知22::34a b=，:2:3a c=，求::a b c．【难度】★★【答案】【解析】【作业9】 任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n s t =⨯（s ，t 是正整数，且s t ≤），如果p q ⨯（p q ≤）在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()p F n q =．例如18可以分解成118⨯，29⨯，36⨯这三种，这时就有()311862F ==．给出下列关于()F n 的说法：（1）()122F =；（2）()3248F =；（3）()273F =；（4）若n 是一个完全平方数，则()1F n =．其中正确说法的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】 若x 、y 、z 满足x : y : z = 3 : 4 : 5，且222x y z xyz ++=，则x + y + z =______．【难度】★★★【答案】【解析】。

六年级数学比和比例
（实用版）
目录
1.比和比例的定义
2.比和比例的性质
3.比和比例的应用
4.提高比和比例的解题技巧
正文
1.比和比例的定义
比和比例是数学中常见的概念，比是指两个数相除的结果，比例则是指两个比相等的式子。

比如，如果我们说一个长度为 10 厘米的线段是另一个长度为 5 厘米的线段的两倍，我们就可以说这两个线段的比是 2:1，也可以说这两个线段的比例是 2/1。

2.比和比例的性质
比和比例有一些基本的性质。

比如，如果两个比的比值相等，那么这两个比就是相等的，也就是说，如果 a:b=c:d，那么 a/b=c/d。

另外，比例也有一个基本性质，那就是如果两个比例相等，那么它们的乘积也相等，也就是说，如果 a:b=c:d，那么 a*d=b*c。

3.比和比例的应用
比和比例在实际生活中应用广泛，比如在商业中，我们常常需要通过比例来计算成本和利润；在科学研究中，我们常常需要通过比来描述两个量的关系。

此外，比和比例也是解决许多数学问题的基础，比如在解方程时，我们常常需要通过比例来找到未知数的值。

4.提高比和比例的解题技巧
要提高比和比例的解题技巧，首先我们需要理解比和比例的概念，熟悉它们的基本性质。

其次，我们需要多做一些有关比和比例的练习题，这样可以帮助我们加深对比和比例的理解，提高我们的解题能力。

最后，我们需要学会灵活运用比和比例的知识，比如在解题时，我们可以通过比例来简化方程，这样更容易找到未知数的值。

总的来说，比和比例是数学中非常重要的概念，它们在实际生活中的应用也非常广泛。