基于动态规划的旅行商问题优化模型

数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。

在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。

本讲将介绍一些简单的优化模型。

一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。

其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。

线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。

通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。

二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。

非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。

对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。

这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。

三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。

整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。

整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。

针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。

四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。

动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。

五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。

模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。

组合优化中的旅行商问题组合优化问题是指在给定的集合或者结构中，寻找一个最优解或者一个近似最优解的问题。

而旅行商问题是组合优化中的一个经典问题，也是一个NP困难问题。

它的问题描述是：给定一些城市和它们之间的距离，求解一个最短路径，使得每个城市只经过一次，并且最后能够回到起始城市。

旅行商问题在实际生活中有着广泛的应用，比如物流配送、电路板布线、旅游路线规划等。

由于问题的复杂性，寻找解决该问题的最优算法一直是学术界和工业界的研究热点。

为了解决旅行商问题，已经提出了一系列的算法。

下面将介绍其中几种常见的算法。

1. 穷举法穷举法是最简单的解决旅行商问题的方法之一。

它的思想是对所有可能的路径进行穷举，计算路径的总长度，并选择其中最短的路径作为结果。

然而，由于旅行商问题的解空间巨大(复杂度是O(n!))，穷举法在问题规模较大时计算量会非常庞大，因此不适用于大规模问题。

2. 动态规划法动态规划法是另一种解决旅行商问题的常用方法。

它的思想是通过将问题分解成多个子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的解。

具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从城市i出发，经过集合j中的城市一次后，回到起始城市的最短路径长度。

通过动态规划的递推公式，可以求解出dp数组中的所有元素，从而得到整个问题的最优解。

3. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化和遗传机制的搜索算法。

它通过模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，逐步优化解的质量。

在解决旅行商问题时，可以将每个可能的路径编码成一个染色体，并用适应度函数评估每个染色体的优劣。

然后通过选择、交叉和变异等操作，使得优秀的染色体得以传递下去，最终得到一个接近最优解的路径。

4. 其他启发式算法除了上述提及的算法，还有一些启发式算法常被用于解决旅行商问题，如蚁群算法、模拟退火算法和遗传算法等。

这些算法多为基于自然现象和启发式规则的搜索算法，可以有效地在大规模数据集上求解旅行商问题。

关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。

这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。

本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。

1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。

旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。

城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。

例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。

2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。

2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。

3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。

因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。

2015年第18期信息与电脑China Computer&Communication算法语言旅行商问题（TSP 问题）是组合优化中最为著名的问题[1,2]，是一个经典的NP 完全难题。

目前有很多解决旅行商问题的算法，如神经网络、免疫算法、蚁群算法及破圈法等等[3]。

旅行商问题在日常的生产生活中，都有较为广泛的应用。

如电路布线、货物配送路线、输油管路铺设路线等等。

因此，求解出旅行商问题的高效算法具有很好的实际意义。

本文对旅行商问题进行算法研究，利用动态规划方法，对图中顶点子集采用编码的方法，实现旅行商问题的求解。

旅行商问题在旅行过程实例中可以理解为，要到n 个城市去，首先从某个城市出发，遍历所有的城市后回到出发的城市，确定出最短的路线。

１　动态规划法设图G=（V ，E ）是一个简单赋权有向图，任意两点之间有来回两个方向的有向弧，弧上带有不一定相等的权值（表示某种代价或成本），要求找到一个包含所有顶点的具有最短路径的回路。

假设现在要从城市S=0出发，最后又回到0，期间1，2，3，4都必须并且只能经过一次，使代价最小。

动态规划法求解TSP 问题的推导如下。

1.1 递归公式的推导假设d （i ，U ）表示从顶点i 出发经过U （U 是一个顶点子集，U ⊂V ，i ∉U ）中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s 的最短路径长度。

算例中的解应该是d （0，{1，2，3，4}），即表示应求从顶点s=0出发，经过顶点1，2，3，4后到达s=0的一条最短路径长。

当U 为空集，那么d （i ，U ），表示从i 不经过任何点就回到s 了，如从城市3->城市0（0为起点城市）。

此时d （i ，U ）=C is （就是城市i 到城市s 的距离）。

如果U 不为空，必须在U 这个城市集合，尝试每一个，并求出最优解，此时d （i ，U ）=min{C ik + d （k ，U-{k}）},其中C ik 表示城市i 到城市k 的距离，d （k ，U-{k}）表示从k 出发，经过U-{k}中的顶点一次且仅一次到达出发点s 的最短路径长。

#include <iostream>#include <queue>#include <stack>using namespace std;#define L 1 //³ö·¢³ÇÊÐ#define N 6 //Ä¿µÄ³ÇÊиöÊýstruct node{int a;int b;int layer;node(int m,int n,int l){a=m;b=n;layer=l;}};class Trend{private:stack<node> path;int c[N][N];int sign[N],sign2[N];public:Trend(int b[N][N]){for(int i=0;i<N;i++)for(int j=0;j<N;j++){sign[i]=0;c[i][j]=b[i][j];}sign[L-1]=1;}int optpath(int j,int n,int sign[N]) {int min=0;if(n==1){path.push(node(j,L-1,1));return c[j][L-1];}elseif(n<=0)return 1000;for(int k=0,i=0;i<N;i++){int y=0;if(!sign[i]){sign[i]=1;y=1;int sign3[N];copy(sign3,sign);int m=optpath(i,n-1,sign3);if(!k&&c[j][i]){path.push(node(j,i,n));min=c[j][i]+m;k=1;}elseif(k&&c[j][i]&&min>=c[j][i]+m){min=c[j][i]+m;path.push(node(j,i,n));}if(y)sign[i]=0;}}return min;}void prin(){cout<<"×î¶Ì·¾¶³¤¶ÈΪ£º"<<optpath(L-1,N,sign)<<endl<<endl;cout<<"×î¶ÌµÄ·¾¶Îª :"<<endl<<endl;int l=N,begin=L;cout<<L;while(!path.empty()){node k=path.top();if(k.a+1==begin&&yer==l){begin=k.b+1;cout<<"-->"<<k.b+1;l=l-1;}path.pop();}cout<<endl;}void copy(int a[N],int b[N]){for(int i=0;i<N;i++)a[i]=b[i];}};void main(){cout<<"ÂÃÐÐÉÌÎÊÌ⡪¡ª¶¯Ì¬¹æ»®·¨£º"<<endl<<endl;intA[N][N]={{1000,20,30,10,11,28},{15,1000,16,4,2,9},{3,5,1000,2,4,8} ,{19,6,18,1000,3,12},{15,4,7,16,1000,14},{20,35,16,17,30,1000}};cout<<"³ÇÊеĸöÊýΪ£º"<<N<<endl<<endl;cout<<"³ö·¢³ÇÊÐΪ£º"<<L<<endl<<endl;cout<<"³ÇÊÐÖ®¼äµÄ¾àÀëÓÃÁÚ½Ó¾ØÕó±íʾΪ£º"<<endl<<endl;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N;j++)cout<<A[i][j]<<"\t";cout<<endl<<endl;}Trend path1(A);path1.prin();while(1);}。

带旅行约束的动态旅行商问题求解算法动态旅行商问题(DTSP)是一类NP难问题，是在旅行商问题(TSP)的经典模型基础上，加入了元素的变动性和时间的限制性。

简单来说，就是指旅行商在规定时间内要完成一定的任务，并且这些任务是动态变化的，他需要在变化的任务之间合理地进行选择和排序，以最小化所需走过的路径长度。

这种问题常见于物流配送、航空调度、电子商务等领域。

对其进行优化，可以大大提高效率和节约成本，可谓是很重要的问题之一。

DTSP问题的解法相对于TSP问题更加困难，因为它要考虑到变化的因素，从而增加了计算的复杂度。

然而，对于动态问题的求解，约束规划技术可以提供一种高效的解决方案，约束规划是一个利用知识建模、知识推理和搜索的计算机系统，它具有强约束、和解、自适应的特点，不仅可以用于规划和调度等问题的求解，也可以用于对动态问题的求解。

在DTSP问题中，如果能把不同任务的时空限制作为约束，约束规划技术便可用于求解，而带旅行约束的动态旅行商问题算法正是运用了这种方法，它能够对动态问题进行求解，并且不断优化结果，逐渐收敛到最优解。

一、动态旅行商问题求解算法概述在DTSP问题中，任务和约束会发生变化，如新任务的产生，约束的变化等，因此求解DTSP问题，需要把任务和约束都考虑进去，即任务的产生、约束的变化都需要实时反映在算法中。

带旅行约束的动态旅行商问题(DTSP-TW)在解决DTSP的基础上，还需考虑时间窗口问题，即不同任务要在指定的时间内完成。

在DTSP解决方案的基础上，DTSP-TW需要把时间限制作为约束加入，同时需要通过约束规划技术，及时调整路径，以满足时间约束，同时减少行驶成本。

带旅行约束的动态旅行商问题求解算法，可以分为三个步骤：第一步，建立模型。

在该步骤中，需要对问题进行建模，明确目标函数，确定约束条件，即将TSP问题补充出时间限制，并将其转化为数学模型。

第二步，搜索算法。

约束规划技术具有很强的搜索能力，其强化搜索技术(SAT, CSP)可以应对这类问题。

动态规划解决背包问题和旅行商问题动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法思想，它通过将问题划分为多个子问题，并记录子问题的解来解决原始问题。

在背包问题和旅行商问题中，动态规划是一种常见且高效的解决方法。

1. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以用动态规划的方法解决。

给定一组物品，每个物品有自身的价值和重量，同时给定一个背包的容量，要求在不超过背包容量的前提下，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。

动态规划的思路是定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示从第1个到第i个物品，j表示背包的容量。

dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中能够放入的物品的最大价值。

通过状态转移方程可以求解dp[i][j]，其中状态转移方程为:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

通过计算dp[i][j]，最终可以得到在背包容量为j的情况下的最大价值。

可以通过回溯的方法找到具体放入背包的物品。

2. 旅行商问题旅行商问题是一个典型的组合优化问题，它要求在给定的一组城市中，寻找一条最短的路径使得旅行商经过每个城市一次后返回起始城市。

动态规划可以通过建立一个二维数组dp[S][i]来解决旅行商问题，其中S表示城市的集合，i表示当前所在的城市。

dp[S][i]表示从起始城市出发经过集合S中的城市，最后到达城市i的最短路径长度。

对于dp[S][i]，可以通过以下状态转移方程来计算：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + d[j][i])其中S-{i}表示从集合S中去除城市i，d[j][i]表示从城市j到城市i的距离。

通过计算dp[S][i]，最终可以得到从起始城市出发经过所有城市一次后返回起始城市的最短路径长度。

同样可以通过回溯的方法找到具体的最短路径。

旅行商问题的求解方法摘要旅行商问题（TSP问题）时是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。

该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。

本文主要介绍用蛮力法、动态规划法、贪心法和分支限界法求解TSP问题，其中重点讨论动态规划法和贪心法，并给出相应求解程序。

关键字：旅行商问题；动态规划法；贪心法；分支限界法1引言旅行商问题(TSP)是组合优化问题中典型的NP-完全问题，是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。

研究TSP的求解方法对解决复杂工程优化问题具有重要的参考价值。

关于TSP的完全有效的算法目前尚未找到，这促使人们长期以来不断地探索并积累了大量的算法。

归纳起来，目前主要算法可分成传统优化算法和现代优化算法。

在传统优化算法中又可分为：最优解算法和近似方法。

最优解算法虽然可以得到精确解，但计算时间无法忍受，因此就产生了各种近似方法，这些近似算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解，但其接近最优解的程度不能令人满意。

但限于所学知识和时间限制，本文重点只讨论传统优化算法中的动态规划法、贪心法和分支限界法，并对蛮力法做简单介绍，用以比较。

2正文2.1蛮力法2.1.1蛮力法的设计思想蛮力法所依赖的基本技术是扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素一次处理一次，从而找出问题的解。

一次处理所有元素的是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。

在基本的数据结构中，一次处理每个元素的方法是遍历。

2.1.2算法讨论用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。

如对于图1，我们求解过程如下：（1）路径：1->2->3->4->1；路径长度：18；（2）路径：1->2->4->3->1；路径长度：11；（3）路径：1->3->2->4->1；路径长度：23；（4）路径：1->3->4->2->1；路径长度：11；（5） 路径：1->4->2->3->1；路径长度：18；（6） 路径：1->4->3->2->1；路径长度：18；从中，我们可以知道，路径（2）和（4）路径长度最短。

探讨如何使用动态规划解决旅行商问题二、动态规划求解策略动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中，可能会有许多可行解。

每一个解都对应于一个值，希望找到具有最优解的那个解。

一个动态规划算法通常可按以下几个步骤进行：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构（2）递归定义最优值的求解公式（3）以自底向上的方式计算最优值（4）根据计算时得到的信息，构造一个最优解三、旅行商问题的动态规划实现算法用程序来模仿动态规划算法，最重要的是一个分段过程，它与传统算法的区别是“以自底向上的方式计算出最优值”，我们以这一条准则分段。

在第一次遍历所有的城市流时，每相邻的两个城市流，前三个字符相同的，我们判断一下最后两个字符决定的路径长度，删除路径较长的城市流，保存路径较短的城市流，由于删除了一个城市流，所以我们需要从当前的城市流重新比较一次（反映在一个循环中，就应该是当前的index减1）。

当然，在这个比较过程中，我们把计算出的每一个长度都保存起来，这样，我就能避免很多重复计算，这也正是使用动态规划的益处！反映到程序当中，这需要一个包含循环的迭代函数来描述：private void guihua（int temp）{if （list.size（）== 1）{this.firnalRoad = list.get（0）；this.min = this.store.get（list.get（0））+ ""；return；}for （int i = 0；i < （list.size（）- 1）；i++）{int next = （i + 1）；if （list.get（i）.substring（0，temp* this.lengthOfLength）.equals（list.get（next）.substring（0，temp * this.lengthOfLength）））{double iValue = 0；double nextValue = 0；iValue = this.dArray[temp][Integer.parseInt（list.get（i）.substring（temp，temp + this.lengthOfLength））] +store.get（list.get（i）.substring（（temp + 1）* this.lengthOfLength））；nextValue = this.dArray[temp][Integer.parseInt（list.get（next）.substring（temp，temp + this.lengthOfLength））] +store.get（list.get（next）.substring（（temp + 1）* this.lengthOfLength））；this.store.put（list.get（i）.substring（temp* this.lengthOfLength），iValue）；this.store.put（list.get（next）.substring（temp * this.lengthOfLength），nextValue）；if （iValue >= nextValue）{list.remove（i）；} else {list.remove（next）；}i--；}}this.guihua（temp - 1）；}4.测试实例（1）first为{{0，1，2，3}，{3，0，4，6}，{4，2，0，8}，{4，3，9，0}}；运行结果为：路径是：3201城市顺序：0->3->1->2->0最小值：14.0生成所有合法城市流用时：15毫秒动态规划求解过程用时：0毫秒（2）first为{{0，2，1，3，4}，{1，0，4，4，2}，{5，4，0，2，2}，{5，2，2，0，3}，{4，2，4，2，0}}；运行结果为：路径是：20413城市顺序：0->2->4->3->1->0最小值：8.0生成所有合法城市流用时：62毫秒动态规划求解过程用时：0毫秒看第2个例子，输出城市顺序是“0->2->4->3->1->0”，由于我们是从0开始计数的，所以与上面数学计算中输出的城市顺序相同，并且最小值为8.0，也是正确的。

第7章 旅行商问题
目录第7章 旅行商问题1.问题概述2.求解算法2.1.下界和上界算法2.2.分支定界法2.3.动态规划法2.5.近似算法2.5.竞赛题
2
§7-1 问题概述一 、数学模型1.标准TSP旅行商问题(简称TSP ), 也称货郎担问题或 旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其 一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到 城市2、3、 …、n 去推销货物，最后返回城市1,若 任意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选 择其最佳行走路线?
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TS 多面体研究中的一个重要问题就是寻找能导出Q” 最大面的不等式， Grotschel 等人发现了一类很重要的能导 出最大面的梳子不等式，并予以了证明。此外，还有其它 能导出最大面的不等式，如团树不等式等。可见， Q" 的最 大面极多，曾经计算过由梳子不等式所导出的最大面个数 如表7-1所示：表 7 - 1
27
对结点i的e(i)1, 边e(i)1 的一个结点为i, 另 一 个结点为j=dmi n_j(i,1), 若e(i)1 也是结点j 关联边 中最小的两条边之一，即i =dmin_j(j,1) 或 i=dmin_j(j,2 ), 则对边e(i)1 来说就不需要调整，否则 按以下方式调整：
8
从严格的数学意义而言，瓶颈TSP (简称BTSP )并没有降低问题的难度，也未能提供任何特殊的解决 办法。瓶颈TSP的数学模型与标准TSP类似，仅目标函 数不同：min Z=max{d,·xi|i,jeV}
由于目标函数为瓶颈值，故求得的最佳巡回路 线与标准TSP的往往截然不同。
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称X为路线T的关联向量，其m=n(n-2)/2 个分量中，恰好 有个为1,其余的都为0。图有许多H amilt on回路，设为T₁.T₂.…T,, 对应的关联向 量记为X₁,X₂…X 。, 在m维空间Rm中，考虑这些向量生成的 凸包( convex hull) Q":

基于优化算法的求解旅行商问题大一时我第一次学习了旅行商问题，当时我感到很惊讶：这个看起来非常简单的问题，却有着很难解决的复杂性。

只有问题规模足够小的时候，我们才能用穷举法来解决。

对于问题规模稍大一些的情况，我们便需要采用一种优化算法。

近年来，一些优秀的优化算法的出现，使得旅行商问题高效求解成为了可能。

标准的旅行商问题描述如下：给定一系列城市和每对城市间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市所需要的最短路线，即访问n个城市的所有路径的最小值。

这个问题的解法其实很直观：我们可以按照某种固定的顺序，计算每一种可能路径的长度，最后选取其中最短的。

然而，这种方法的难点在于计算出所有可能的路线很复杂，仅当问题规模很小的时候我们才可以用它来解决。

旅行商问题是一个非常重要的优化问题，它被广泛应用于物流、旅游等领域。

随着数据量的急剧增长，传统的优化算法效率越来越低。

这个时候，人们开始使用一些基于机器学习的优化算法。

其中，遗传算法和模拟退火算法备受瞩目。

遗传算法是一种基于生物学的演化理论的优化方法。

在遗传算法中，一个问题解的集合称为“种群”。

种群中的每个解称为“个体”，而且每个个体通过某种与适应度相关联的函数来评估质量。

适应度高的个体有更大的机会参与下一代种群的遗传操作。

在种群中，通过交叉、变异和选择等步骤实现演化。

选出种群中最好的个体，然后在该个体附近进行微小变化，这些变化可以是交换两个城市，也可以是插入某个城市。

这个过程类似于热力学中的模拟退火。

在这个过程中，我们允许一些不是最优的解被接受，以避免陷入局部最小值。

这个过程会逐渐降低温度，直到问题的解趋近于最优解。

在接下来的时间里，我将会解释这些算法的具体实现，并给出一些实验结果。

最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。

它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。

一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。

2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。

3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。

4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。

二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。

最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。

动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。

以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。

动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。

通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。

三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。

最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。

动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。

以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。

动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。

通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。

四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。

1.问题基本描述:求一个旅行商经过N个城市最后回到出发点的最短路径.即,在一个无向带权图的邻接矩阵中,求一个最短环包括所有顶点.2.解法:1)动态规划:假设从顶点i出发，令d(i,V’)表示从顶点i出发经过V’中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i的最短路径的长度，开始时，V’=V-{i}，于是，旅行商问题的动态规划函数为：d(i,V’) = min{c ik + d(k,V’-{k})} (k∈V’)1)d(k,{}) = c ki (k ≠ i)2)简单来说,就是用递归表达:从出发点0到1号点,假设1是第一个,则剩下的路程就是从1经过剩下的点最后回到0点的最短路径. 所以当V’为空的时候, d(k,{}) = c ki (k ≠ i), 找的是最后一个点到0点的距离.递归求解1之后,再继续求V’之中剩下的点,最后找出min.如果按照这个思想直接做,对于每一个i都要递归剩下的V中所有的点,所以这样的时间复杂度就近似于N!,其中有很多重复的工作.可以从小的集合到大的集合算,并存入一个二维数组,这样当加入一个节点时,就可以用到之前的结果,如四个点的情况:动态填表:表中元素代表第i个节点经过V集合中的点最后到0点的最短值.如果有多个值,取其中最小的一个.这样一共循环(2^(N-1)-1)*(N-1)次,就把时间复杂度缩小到O(N*2)的级别.核心伪代码如下:{for (i =1;i<n;i++) //初始化第0列d[i][0]=c[i][0];for( j=1;j<2^(N-1)-1;j++)for(i=1 ; i<n ;i++){if(子集Vj中不包含i){对Vj中的每个元素k，计算d[i][Vj] = min{c[i][k] + d[k][{Vj-k}] | 每一个k∈Vj};}}对V[2^(n-1)-1]中的每个元素k,计算:d[0][2^(n-1)-1] = min{c[0][k] + d[k][2^(n-1)-2]};输出最短路径:d[0][2^(n-1)-1];}。

旅行商问题的求解方法摘要旅行商问题（TSP问题）时是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。

该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。

本文主要介绍用蛮力法、动态规划法、贪心法和分支限界法求解TSP问题，其中重点讨论动态规划法和贪心法，并给出相应求解程序。

关键字：旅行商问题；动态规划法；贪心法；分支限界法1引言旅行商问题(TSP)是组合优化问题中典型的NP-完全问题，是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。

研究TSP的求解方法对解决复杂工程优化问题具有重要的参考价值。

关于TSP的完全有效的算法目前尚未找到，这促使人们长期以来不断地探索并积累了大量的算法。

归纳起来，目前主要算法可分成传统优化算法和现代优化算法。

在传统优化算法中又可分为：最优解算法和近似方法。

最优解算法虽然可以得到精确解，但计算时间无法忍受，因此就产生了各种近似方法，这些近似算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解，但其接近最优解的程度不能令人满意。

但限于所学知识和时间限制，本文重点只讨论传统优化算法中的动态规划法、贪心法和分支限界法，并对蛮力法做简单介绍，用以比较。

2正文2.1蛮力法2.1.1蛮力法的设计思想蛮力法所依赖的基本技术是扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素一次处理一次，从而找出问题的解。

一次处理所有元素的是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。

在基本的数据结构中，一次处理每个元素的方法是遍历。

2.1.2算法讨论用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。

如对于图1，我们求解过程如下：（1）路径：1->2->3->4->1；路径长度：18；（2）路径：1->2->4->3->1；路径长度：11；（3）路径：1->3->2->4->1；路径长度：23；（4）路径：1->3->4->2->1；路径长度：11；（5） 路径：1->4->2->3->1；路径长度：18；（6） 路径：1->4->3->2->1；路径长度：18；从中，我们可以知道，路径（2）和（4）路径长度最短。

基于动态规划算法的旅行商问题求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题。

它的任务是在给定一系列城市和每对城市之间的距离（或者称为成本），找到一条经过每个城市一次且回到起始城市的最短路径。

动态规划算法是求解旅行商问题的一种常用方法。

它基于以下思想：将大问题分解为若干个小问题，通过解决小问题的最优解来逐步得到大问题的最优解。

首先，我们需要定义旅行商问题的状态。

在本问题中，我们可以将状态定义为一个二元组 (i, S)，它表示旅行商当前所在的城市为 i，已经遍历过的城市集合为 S。

这里的状态空间是城市集合 C 的幂集除去空集：状态空间：C = {1, 2, ..., n}，其中 n 是城市的数量。

接下来，我们需要定义状态转移方程。

假设当前状态为 (i, S)，我们需要求解的是到达状态 (i, C) 的最短路径。

状态转移方程可以表示为：dp[i][S] = min{dist[i][j] + dp[j][S\{j}]}，其中 j∈S，j≠i其中，dp[i][S] 是从城市 i 出发，经过集合 S 中的城市，最后回到起始城市的最短路径长度。

dist[i][j] 表示城市 i 到城市 j 的距离。

S\{j} 表示从集合 S 中去掉元素 j 后的集合。

最后，我们需要定义问题的边界条件。

当集合 S 中只有一个城市 i 时，经过城市 i 后回到起始城市的路径长度就是从起始城市到达城市 i 的距离。

所以边界条件可以表示为：当 |S| = 1 时，dp[i][S] = dist[i][1]接下来，我们使用动态规划算法来解决旅行商问题。

1. 创建一个二维数组 dp[n][2^n]，其中 n 是城市的数量。

初始化数组 dp 的所有元素为无穷大。

2. 对于每个城市 i，将 dp[i][∅]（空集）的值设为 dist[i][1]。

3. 对于集合 S 的大小从 2 到 n-1 的每个值，依次遍历每个城市 i。

TSP问题的动态规划解法第十七组：3103038028 郑少斌3103038029 王瑞锋3103038035 江飞鸿3103038043 韩鑫3103055004 唐万强1．TSP问题简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem,简称TSP, 亦称为货单郎问题）可以描述为：对于N 个城市，它们之间的距离已知，有一旅行商要从某一城市走遍所有的城市，且每一城市只能经过一次，最后回到出发的城市，问如何选择路线可使他走过的路径最短。

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

例如使用1GFLOPs 次的计算机搜索TSP 所需的时间如下表所示 城市数7152050100200加法量 3105.2⨯ 11105.6⨯ 18102.1⨯ 64105.1⨯ 157105⨯ 37410搜索时间s 5105.2-⨯1.8h350yy 48105⨯ y 14210y 35810由上可知，对于这个问题采用穷举法进行解答是不现实的，这就要求我们采用其他的方法进行解答。

3． 其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

使用动态规划解决旅行商问题
申永康
【期刊名称】《科技与企业》
【年(卷),期】2016(000)003
【摘要】旅行商问题是指给定一组城市和道路，求一条从指定城市出发、通过所有其它城市一次、再返回出发城市的代价最小的路径。

旅行商问题是一个经典的NP完全问题，其传统的求解算法为穷举法，按所有可能的路径计算一遍，比较所有的计算结果，选择其中的最短路径。

【总页数】1页(P190-190)
【作者】申永康
【作者单位】山东省日照一中山东日照 276800
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于域规则预处理解决旅行商问题的遗传算法 [J], 刘发升;葛海明
2.基于动态规划法和模拟退火算法求解旅行商问题 [J], 王永静
3.使用遗传算法求解旅行商问题 [J], 陆添超
4.解决多目标旅行商问题的改进NSGA-Ⅱ算法 [J], 李霄玉;姚骏
5.混合天牛须算法解决旅行商问题 [J], 唐天兵;姜淇;严毅
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