初中九年级数学教案- 解直角三角形-说课一等奖

解直角三角形一、教学目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学步骤 (一)复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系a b A b aA c bA c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b aB a bB c aB c b B ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2(勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． 〔二〕教学过程1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个元素中至少有一条边？〞让全体学生的思维目标一致，在作出准确答复后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2， 6，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比拟各种方法中哪些较好，选一种板演．解 ∵tanA=a b =62=3 ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠= ∴C=2b=22例 2在Rt △ABC 中， ∠B =35，b=20，解这个三角形． 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．35B ∠-∠=-=解:A=909055tan bB a =2028.6tan tan 35b a B ∴==≈n 2035.1sin sin 35bsi B cb c b =∴==≈完成之后引导学生小结“一边一角，如何解直角三角形？〞答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比拟可靠，防止第一步错导致一错到底 注意：例1中的b 和例2中的c 都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。

28．2解直角三角形及其应用28．2.1解直角三角形教学目标：1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．直角三角形的解法．三角函数在解直角三角形中的灵活运用．一、创设情景明确目标如何用我们学过的三角函数关系式来解决引言提出的有关比萨斜塔问题呢？二、自主学习指向目标1．自主学习教材第72至74页．2．学习至此，请完成学生用书相应部分．三、合作探究达成目标探究点一解直角三角形活动一：1.直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系sin A＝；cos A＝；tan A＝；sin B＝；cos B＝；tan B＝；如果用∠α表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成．sinα＝；cosα＝；tanα＝；cotα＝(2)三边之间关系a2＋b2＝c2(勾股定理)．(3)锐角之间关系∠A＋∠B＝90°.展示点评：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．阅读教材73页例1和例2解：例1∵tanA＝＝＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°，∴c＝2b＝2例2∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°，∵tanB＝，∴a＝＝≈28.6∵sinB＝，∴c＝＝≈34.9小组讨论1：在例1和例2中，除直角外，分别已知几个元素？要求哪些元素？反思小结：根据直角三角形的已知元素(至少有一个边)，求出其它所有求知元素的过程，即解直角三角形．【针对训练】同学生用书探究点二构造直角三角形解题活动二：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6400km，结果精确到0.1km)解：在上图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形，∵cosα＝＝＝0.95，∴α≈18°，∴弧PQ的长为×6400≈3.14×640＝2009.6由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km.小组讨论2：如何运用切线的性质将此题转化成解直角三角形问题呢？反思小结：一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．【针对训练】同学生用书四、总结梳理内化目标1．知识小结——运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2．思想方法小结——转化数学思想．五、达标检测反思目标1．Rt△ABC中，∠C＝90°.若sin A＝，AB＝10，那么BC＝__8__，tan B＝____．2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，那么sin A等于( B )A. B. C. D.3．在Rt△ABC中，∠C为直角，a＝4，C＝8，解这个三角形．4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4.在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4＋4.作业布置：1．上交作业课本第77页习题28.2复习巩固第1题、第2题．2．课后作业见学生用书．教学反思：本节课的设计，力求体现新课程理念给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性．28．2.2应用举例第1课时与视角有关的实际问题教学目标：1．使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．实际问题转化成数学模型．一、创设情景明确目标平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？(三种，重叠、向上和向下)结合示意图给出仰角和俯角的概念．二、自主学习指向目标1．自主学习教材第75页．2．学习至此，请完成学生用书相应部分．三、合作探究达成目标探究点一测量物体的高度问题活动：例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)．解：如图，α＝30°β＝60°，AD＝120，∵tanα＝，tanβ＝，∴BD＝AD·tan α＝120×tan30°＝120×＝40，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120，∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1m答：这栋楼高约为277.1m.展示点评：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．小组讨论：对于双直角三角形问题，你有哪些解题思路？和同伴说一说．反思小结：利用直角三角形中的边角关系求线段的长度，如果涉及两个或是两个以上的三角形时，可以通过__设求知数__，利用线段之间的__等量关系__列出方程，从而求解．【针对训练】同学生用书四、总结梳理内化目标1．知识小结——了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．2．思想方法小结——实际问题转化成数学模型，将钝角三角形转化为解直角三角形．五、达标检测反思目标1．(中考·哈尔滨)如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＋1200m，从飞机上看地面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为( D )A．1200m B．1200mC．1200m D．2400m第1题图第2题图2．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为__9__米．3．如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M 仰角为45°；小红眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28m且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度．(参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数．)解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE＝ME＝xm，则MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝(28－x)，解得x≈10.0，∴MN＝ME＋EN≈10＋1.7≈12米．答：旗杆MN的高度约为12米．作业布置：1．上交作业课本第78页习题28.2复习巩固第3、4、7题．2．课后作业见学生用书．教学反思：备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率．第2课时与方向角、坡度有关的实际问题教学目标：1．理解坡度与方位角的概念．2．能应用坡度与方位角的概念，解决有关坡度与方位角的简单实际问题．用三角函数有关知识解决方位角问题和坡度问题．实际问题转化成数学模型．一、创设情景明确目标1．叫同学们在练习薄上画出方向图(表示东南西北四个方向的)．2．依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线．二、自主学习指向目标1．自主学习教材第76至77页．2．学习至此，请完成学生用书相应部分．三、合作探究达成目标探究点方位角问题活动：例如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos(90°－65°)＝80×cos25°≈72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sinB＝，∴PB＝＝≈130.23因此．当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)．展示点评：选取适当的顶点向对边作垂线，构造新的直角三角形，然后将实际问题转化为数学问题，找出对应的边和角是问题关键．小组讨论：利用解直角三角形知识解决方位角问题的一般步骤和方法是怎样的？反思小结：方位角是一种表示方向的角，在航海，测绘等位置确定中非常重要．解决方位角问题，首先明确概念，通过添加适当辅助线，把具体问题抽象成“__直角三角形__”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解题．【针对训练】同学生用书四、总结梳理内化目标1．知识小结——能应用坡度与方位角的概念，解决有关坡度与方位角的简单实际问题．2．思想方法小结——实际问题转化成数学模型．五、达标检测反思目标1．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( D ) A．10海里/小时B．30海里/小时C．20海里/小时 D．30海里/小时第1题图第2题图2．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．(结果保留根号)解：过点B作BD⊥AC于D.由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB·sin ∠BAD＝20×＝10(海里)，在Rt△BCD中，BC＝＝＝20(海里)．答：此时船C与船B的距离是20海里．3．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1∶2.(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？解：(1)分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED＝GH，在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8(米)，在Rt△FGE中，i＝1∶2＝，∴FG＝2EG＝16(米)，∴AF＝FG＋GH－AH＝16＋2－8＝10(米)；(2)加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长＝×(2＋10)×8×400＝19200(立方米)．答：(1)加固后坝底增加的宽度AF为10米；(2)完成这项工程需要土石19200立方米．作业布置：1．上交作业课本第78页习题28.2复习巩固第5、8、9题．2．课后作业见学生用书．教学反思：将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合它们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习．。

28.2．1 解直角三角形活动一：复习引入设计说明：通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题1、在三角形中共有几个元素？2、直角三角形ABC中，︒∴90C,那么他们的边角关系、三边关系、角角之间∠=有哪些等量关系呢？活动二探究新知1.定义：一般地，在直角三角形中,除直角外,共有5个元素，分别是三条边和两个锐角，由直角三角形中,除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程叫解直角三角形.注：已知的两元素中必有一边探究：为什么两个已知元素中至少有一条边（1）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？（2）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？追问①：在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？追问②：在直角三角形中已知一个锐角一条边能求出其余元素吗？追问③：在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？（教学说明：老师提出思考问题，积极思考，踊跃回答。

通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题。

以上三点正是解直角三角形的依据。

引出下面的问题）2.解直角三角形的依据(1)三边之间的关系：22c2+a=b(2)两锐角之间的关系:︒=∠+∠90B A(3)边角之间的关系:SinA=c a cosA ＝ c b tanA ＝b a3、解直角三角形有两种情况：(1)已知两条边，求其他边和角。

(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角活动三：例题讲解解：()()632342222=-=-=AC AB BC设计意图：本题知道一边以锐角，算其他知识点，学生很容易得出知道一角算另一角较简单，解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。

因此在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想。

其次，组织学生比较各种方法中那些较好，选一种板演解：方法1、326tan ===AC BC A60=∠∴A30609090=-=∠-=∠A B 222==AC AB 30609090=-=∠-=∠A B 3221==AB AC方法2：在Rt △ABC 中，()()22622222=+=+=BC AC ABAB AC 21= ︒=∠∴30B︒=︒-︒=∠-︒=∠60309090B A设计意图: 这道题是知道两边的情况，学生独立完成然后师生点评，此题一题多解，培养学生多角度的解决知识，活动三、课堂互动练习设计意图：学生在掌握了解直角三角形的方法之后学生讨论完成下面两道练习题，题目较简单，旨在让学生会会解直角三角形。

解直角三角形应用教案一、教案背景介绍直角三角形是初中数学中非常重要的一个概念，掌握直角三角形的性质和应用，不仅可以帮助学生更好地理解几何知识，还可以为学习高中数学和物理打下坚实的基础。

本教案旨在通过引导学生进行实际问题的解决，探索直角三角形的应用。

二、教学目标1. 了解直角三角形的定义和性质；2. 掌握直角三角形中的三边关系、三角函数和勾股定理的应用；3. 能够解决实际问题中涉及直角三角形的计算和推理。

三、教学内容1. 直角三角形的概念和性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形的另外两个角必定是锐角，其两边相互垂直。

根据勾股定理可得直角三角形中的三边关系：直角边的平方等于斜边的平方减去另外一个直角边的平方。

在本节课中，引导学生通过观察直角三角形的特点，总结直角三角形的性质和特点。

2. 三边关系和三角函数的应用直角三角形中最基本且最重要的应用就是三边关系和三角函数的应用。

根据三角函数的定义，可以得到正弦、余弦和正切的计算公式。

通过实际问题的引导，学生可以运用三边关系和三角函数的关系进行计算。

3. 勾股定理的应用勾股定理是直角三角形中最为常用的定理之一。

在实际问题中，可以利用勾股定理计算直角三角形的边长或者判断一个三角形是否为直角三角形。

通过举一些实际问题的例子，帮助学生掌握勾股定理的应用。

四、教学过程1. 导入部分：通过展示一些生活中直角三角形的应用图例，引发学生对直角三角形的认知和兴趣。

2. 知识讲解：介绍直角三角形的定义、性质和三边关系。

讲解正弦、余弦和正切的概念和计算公式，以及勾股定理的应用。

3. 案例讲解：通过选取一些实际问题，引导学生运用直角三角形的知识解决问题。

例如，计算高楼与测量角度、棱镜的使用和房子的投影等。

4. 案例训练：分组训练，每组学生根据给定的实际问题进行解题训练。

教师巡视指导，解答学生疑惑，鼓励学生讨论和思考。

5. 拓展应用：提供更加复杂的实际问题，让学生进行更深入的探究和解决。

解直角三角形章节 第四章课题课型复习课 教法 讲练结合教学目标（知识、能力、教育）1.理解直角三角形的概念及锥度、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角和方位角的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力； 2.利用锐角三角函数和直角三角形，体会数形结合、转化的重要数学思想在解题中的应用。

3.掌握综合性较强的题型融会贯通地运用数学的各部分知识，提高分析解决问题的能力。

教学重点 灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力； 教学难点 体会数形结合、转化的重要数学思想在解题中的应用。

教学媒体学案教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1. 直角三角形边角关系．（1）三边关系：勾股定理：222a b c +=（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． （3）边角关系tanA=a b，sinA=a c,cosA=b c，2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 （二）：【课前练习】1.如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为山则重叠部分的面积为（ ） 11.; .; .sin ; D.1sin cos A B C a aa2.如上图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为2：3，顶宽为3米，路基高为4米，则路基的下底宽是（ ） A ．15米 B ．12米 C ．9米 D ．7米3.我市东坡中学升国旗时，余露同学站在离旗杆底部12米行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，该同学视线的仰角为45°，若他的双眼离地面1．3米，则旗杆高度为_________米。

4.太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时，测得大树在地面上的影长为10米，则大树的高为_________米．5.如图，为测一河两岸相对两电线杆A 、B 间的距离，在距A 点15米处的C 点（AC ⊥BA ）测得∠A ＝50°，则A 、B 间的距离应为（ ）A ．15sin50°米；B.15cos50°米；C.15tan50°米；D.15tan 50米二：【经典考题剖析】1.如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC ＝45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明． 2. 雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C 处(C 与塔底B 在同一水平线上)，用高1.4米的测角仪CD 测得塔项A 的仰角α=43°(如图)，求这座“千年塔”的高度AB(结果精确到0.1米).（参考数据：tan43°≈0.9325,cot43°≈1.0724）3.在一次实践活动中，某课题学习小且用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计如下方案如图①所示；（1）在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的角∠MCE＝α； （2）量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离A N ＝m ；（3）量出测倾器的高度AC=h ，根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN ． 如果测量工具不变，请你仿照上述过程，设计一个测量某小山高度 ①在图②中，画出你测量小山高度MN 的示意图（标上适当的字母）； ②写出你的设计方案．4.已知如图，某同学站在自家的楼顶A 处估测一底部不能直接到达的宝塔的高度（楼底与宝塔底部在同一水平线上），他在A 处测得宝塔底部的俯角为30°，测得宝塔顶部的仰角为45°，测得点A 到地面的距离为 18米，请你根据所测的数据求出宝塔的高．（精确到0．01米）5.如图，一艘军舰以30海里／时的速度由南向北航行，在A 处看灯塔S 在军舰的北偏东30○方向，半小时后航行到B 处，看见灯塔S 在军 舰的东北方向，求灯塔S 和B 的距离.A BCDα三：【课后训练】1.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏东时，光线与地面成α角，房屋朝南的窗子高AB=h米，要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射人室内如图，那么挡光板AC的宽度为=__________．2.如图，河对岸有一滩AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔前进s米到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高为____米.3.初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度如图，他们离旗杆底部E点30米的D处，用测角仪测得旗杆的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1．4米，则旗杆BE的高为_______米（精确到0．1米）．4.如图，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3米，则相邻两株树的坡面距离AB 等于（）A．6米 B．3米 C．23米 D．22米5.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8．则sin∠ABD的值是（）4334A....3455B C D6.如图所示，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C 处，BC′交AD于E，下列结论不一定成立的是（）A.AD=BC′；B.∠EBD= ∠EDB；C.△ABE∽△CBD；D.sin∠ABE=AE ED7.某月松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向，如图，以航标C为圆心，120m长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？8.身高相同的甲、乙、丙三位同学星期天到野外去比赛放风筝，看谁放得高（第一名得100分，第二名得80分，第三名得60分），甲、乙、丙放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地平面的夹角分别为30 °，45°，60°，假设风筝线是拉直的）请你给三位同学打一下分数？9.某校的教室A位于工地O的正西方向、，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知：sin53°≈0．80，sin37°≈0．60，tan37°≈0．75）10.在一次暖气管道的铺设工作中，工程由A点出发沿正西方向进行，在A点的南偏西60°方向上有一所学校B，如图，占地是以 B为中心方圆 100m的圆形，当工程进行了200m后到达C处，此时B在C南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．四：【课后小结】布置作业 地纲 教后记15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷---（3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数． [师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ，D CABD CABDCA B从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°． [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3．练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D C AB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D CABEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标EDCABP明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）b a ab - （3）3 五、1.(1)22yx xy - (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

28.2．1解直角三角形活动一：复习引入设计说明：通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题1、在三角形中共有几个元素？2、直角三角形ABC中，C90,那么他们的边角关系、三边关系、角角之间有哪些等量关系呢？活动二探究新知1.定义：一般地，在直角三角形中,除直角外,共有5个元素，分别是三条边和两个锐角，由直角三角形中,除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程叫解直角三角形.注：已知的两元素中必有一边探究：为什么两个已知元素中至少有一条边（1）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？（2）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？追问①：在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？追问②：在直角三角形中已知一个锐角一条边能求出其余元素吗？追问③：在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？（教学说明：老师提出思考问题，积极思考，踊跃回答。

通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题。

以上三点正是解直角三角形的依据。

引出下面的问题）2.解直角三角形的依据(1)三边之间的关系：a b c222(2)两锐角之间的关系:A B 90a b ca b (3)边角之间的关系:SinA= cosA ＝ tanA ＝ c 3、解直角三角形有两种情况：(1)已知两条边，求其他边和角。

(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角活动三：例题讲解B 90 A 90 60 30解：1 A C AB23 2 B C AB AC4 3 2 3 2 2 62 2 设计意图：本题知道一边以锐角，算其他知识点，学生很容易得出知道一 角算另一角较简单，解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己 解决，但例题具有示范作用。

因此在处理时，首先，应让学生独立完成，培养 其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想。

其次，组织学生比 较各种方法中那些较好，选一种板演解： B C A C 6 2 tan A 3 方法 1、A 60B 90 A 90 60 30AB 2AC 2 2ABC方法2：在Rt△中，AB AC BC262222221A C AB2B30A90B903060设计意图: 这道题是知道两边的情况，学生独立完成然后师生点评，此题一题多解，培养学生多角度的解决知识，活动三、课堂互动练习设计意图：学生在掌握了解直角三角形的方法之后学生讨论完成下面两道练习题，题目较简单，旨在让学生会会解直角三角形。

解直角三角形【探究目标】1．目的与要求 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．知识与技能 能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识和能力，鼓励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物．【探究指导】 教学宫殿在直角三角形中，由元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如以下图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B ＝90°；边边关系：勾股定理，即222c b a =+；边角关系：锐角三角函数，即b a B abB c aB c bB a b A b aA c bA c aA ========cot ,tan ,cos ,sin cot ,tan ,cos ,sin解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有以下两种情形：(1)两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少一条边．用解直角三角形的知识解决实际问题的根本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保存四个有效数字，角度精确到1′．例1 在△ABC 中，∠C ＝90°，根据以下条件解直角三角形． (1)c ＝10，∠B ＝45°，求a ，b ，∠A ；(2)26,62==b a ，求c ，∠A ，∠B思路与技巧 求解直角三角形的方法多种多样，如(1)可以先求a 或b ，也可以先求∠A ，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有量的关系式，尽量防止使用中间数据．解答 (1)∠A ＝90°-45°＝45°2545sin 10sin =︒⋅=⋅=A c a 25==a b(2)64722422=+=+=b ac ,216462sin ==A 所以︒=∠30A︒=∠-︒=∠6090A B例2 如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，32=BC ，22=CD ,求AC ，AB ，∠A ，∠B(精确到1′)．思路与技巧 在Rt △ABC 中，仅一条直角边BC 的长，不能直接求解．注意到BC 和CD 在同一个Rt △BCD 中，因此可先解这个直角三角形．解答 在Rt △BCD 中281222=-=-=CD BC BD33322cos 363222sin ======BC BD B BC CD B用计算器求得 ∠B ＝54°44′于是∠A ＝90°-∠B ＝35°16′ 在Rt △ABC 中，62366sin 63332cos =⨯=⨯==⨯==B AB AC B BC AB例3 气象台测得台风中心在某港口A 的正东方向400km 处，正在向正西北方向转移，距台风中心300km 的范围内将受其影响，问港口A 是否会受到这次台风的影响?思路与技巧 如图19—48，就是要求出A 到台风移动路线BC 的距离是否大于300km ，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝45°，AB ＝400km ，是AC 可求．解答 在Rt △ABC 中，由于ABC AB AC∠=sin所以AC ＝AB ·sin ∠ABC ＝400×sin45°300283220022400<≈=⨯=所以港口A 将受到这次台风的影响．例4 如图，两幢建筑物的水平距离为56．5m ，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部的俯角是42°，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°，求这两幢建筑物的高度(精确到0．1m)．思路与技巧 如图，AB 、CD 表示两幢建筑物，AB ⊥BD ，CD ⊥B D ，BD ＝56．5m ，根据俯角、仰角的意义，∠DAE ＝42°，∠ACF ＝22°，于是Rt △ABD 、Rt △ACF 都可解．解答 在Rt △ABD 中， ∠ADB ＝∠DAE ＝42° BD ＝56.5(m)AB ＝BD ·tan ∠ADB×tan42° ≈50.9(m) 在Rt △ACF 中， AF ＝CF ·tan ∠ACF ×tan 22° ≈22.8(m) 所以CD ＝AB-AF＝28.1(m)答：两幢建筑物的高度分别为，例5 如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m ，坡度由原来的1：2改为1：2．5，坝高6m ，坝长50m 求：(1)加宽局部横断面AFEB 的面积； (2)完成这一工程需要多少土方?思路与技巧 只须求出梯形AFEB 的下底EB 的长，作AG ⊥BC ，FH ⊥EB ，垂足分别为G 、H ，根据坡度的意义，可以求出坡AB 、坡EF 的水平长度．解答 (1)作AG ⊥BC ，FH ⊥EB ，垂足分别为G 、H ，由题意得 HG ＝AF ＝2(m)．AG ＝FH ＝6(m) 在Rt △ABG 中，因为21==BG AG i所以BG ＝2×6＝12(m) 在Rt △FEH 中，因为5.21==EH FH i所以EH ＝2．5×6＝15(m)所以EB ＝EH+HG-BG ＝15+2-12＝5(m)所以()()()2216522121m AG EB AF S AFEB =⨯+=⨯+=梯形()31050502150m S V AFEB =⨯=⨯=梯形答：加宽局部横断面AFEB 的面积为221m ，完成这一工程需要1050方土．例6 海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行，问两船会不会相撞?为什么?思路与技巧 根据题意画出图形，如图19—51，可知甲、乙两船的路线可能会成为直角三角形中60°所对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比方果正好等于60°的正弦就会相撞，否那么不会．解答 如图，因为乙船的速度为每小时20海里，甲船的速度为每小时40海里，所以乙船与甲船所走路程的比为1：2．又212360sin ≠=︒所以不会发生相撞．例7 某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ．在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3m 远的D 点测得树的顶部A 点的仰角为60°，树的底部B 的仰角为30°，如图19—52，问距离B 点8m 远的保护物是否在危险区内?思路与技巧 此题的实质是要计算大树的高度，如果大于8m ，说明保护物在危险区内，否那么不在．由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过C 作CE ⊥AB ，那么可把AB 放在Rt △ACE 和Rt △BCE 中进行求解．解答 过C 作CE ⊥AB ，垂足为E. 由题意可知，CE ＝DB ＝3m 在Rt △CEB 中，()m CE BE 732.133330tan ≈⨯=︒⋅=在Rt △ACE 中，()m CE AE 196.53360tan ≈⨯=︒⋅=6+1.732＝6.928(m)＜8(m)所以距离B 点8m 远的保护物不在危险区域内．【探究活动】提出问题 运用解直角三角形的知识可以解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)吗? 探究准备 锐角△ABC(b ，a 和∠C)．钝角△ABC(∠A ，c ，∠B)(∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c)如图．探究过程 直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角三角形，转化的方法一般是作高，如图19—53甲可以作AD ⊥BC 于D ，这样构造了两个直 角三角形Rt △ABD 和Rt △ACD ，Rt △ACD 中，CD ＝b cos ∠C ，AD ＝b sin ∠C ，因为BC ＝a ，所以BD ＝a -b cos ∠C ，在Rt △ABD 中，C b a Cb BD AD B ∠-∠==cos sin tan ，得出∠B ，进而求出∠A ＝180°-∠B-∠C ，()()2222cos sin C b a C b BD AD AB ∠++∠=+=C ab a b ∠-+=cos 222()1sin cos 22=∠+∠C C 同样方法，图乙中，可以过C 作CD ⊥AB 于D ，先解Rt △ACD ．再解Rt △CDB ．探究评析 “化斜为直〞是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法，其做法是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形化为两个直角三角形，再根据条件分别在两个直角三角形中做文章．例8 如图，公路上A 、B 两处相距lkm ，测得城镇C 在A 处的北偏东35°方向，在B 处的北偏西40°方向．求城镇C 到A 处、B 处的距离分别是多少?思路与技巧 弄清楚两个方向角是解决问题的第一步，根据题意∠1＝35°，∠2＝40°,AB ＝lkm ，发现△ABC 不是直角三角形，故通过“化斜为直〞转化，作CD ⊥AB 于D ，如图19—55，那么∠ACD ＝∠l ＝35°，∠BCD ＝∠2＝40°，但是Rt △ACD 与Rt △BCD 都无法直接求解，因而可利用CD是这两个直角三角形的公共边以及AD+DB＝AB＝lkm的条件，设法列方程求解．解答作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x那么在Rt△ACD中，AD＝x·tan∠ACD＝x·tan35°在Rt△CDB中，BD＝x·tan∠BCD＝x·tan40°因为AD+BD＝AB＝1所以x(tan35°+tan40°)＝1x＝1÷(tan35°+tan40°)≈0．6496(km)于是()()kmCDBCkmCDAC848.050sin,793.055sin≈︒=≈︒=答：城镇C到A处的距离约93km，到B处的距离约是0．848km．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． 〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为D CA B,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CABDC A BD CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题．〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ．EDCABPD C A B∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

解直角三角形教学目标：理解解直角三角形的概念和条件重点：解直角三角形难点：解直角三角形的基本类型及解法28.2.1 解直角三角形理解解直角三角形的概念和条件(1)解直角三角形在直角三角形中,由元素求出元素的过程,就是解直角三角形.(2)解直角三角形的条件在直角三角形中除直角外的五个元素中,已知其中个元素(至少有一个是),就能求出其余的个未知元素,即“知二求三”.重点一:解直角三角形解直角三角形的基本类型及解法Rt△ABC中,∠C=90°已知条件解法(选择的边角关系)斜边和一直角边c,a 由sin A=,求∠A;∠B=90°-∠A; b=两直角边a,b 由tan A=,求∠A;∠B=90°-∠A; c=斜边和一锐角c,∠A ∠B=90°-∠A;a=c·sin A;b=c·cos A一直角边和一锐角a,∠A ∠B=90°-∠A;b=; c=1.(2013兰州)△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是( )(A)csin A=a (B)bcos B=c (C)atan A=b (D)ctan B=b2.(2013安顺)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,请分别根据下列条件解直角三角形.(1)a=6,b=2;(2)c=4,∠A=60°.重点二:利用特殊角解非直角三角形非直角三角形可通过作三角形的高,构造直角三角形求解.在选择关系式时要尽量利用原始数据,直接求解,防止累积误差.4.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,则AB的长是( )(A)3+(B)2+2(C)5 (D)5. (2013曲靖)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,则CD= .6.等腰三角形的三边长分别为1、1、,那么它的底角为.7.如图所示,在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,AB=8,求△ABC的面积(结果可保留根号).A层(基础)1.在下面的条件中,不能解直角三角形的是( )(A)已知两锐角(B)已知两条边(C)已知一边和一锐角(D)已知三条边2. 如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是( )(A)(B)12 (C)14 (D)213. 如图所示,正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( )(A)2 (B)2 (C)(D)34.若等腰三角形ABC的底边BC上的高为4,sin B=,则△ABC的周长为( )(A)24(B)16+4 (C)8+8 (D)16+85.在△ABC中,AB=4,AC=,∠B=60°,则BC的长为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或36.如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC= .7. 如图所示,在高为2米,∠ABC为30°的楼梯上铺地毯,地毯的长度至少应有米.8. (2013陕西)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD平分AC.若BD=8,AC=6,∠BOC=120°,则四边形ABCD的面积为.(结果保留根号)9. 如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形,若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号).教学反思：15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1．计算： (1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． [师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．D CA BD CABDC A B在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？DC AB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ． 3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．DC ABEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=CE ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标E DC A B P明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

28.2解直角三角形28.2.1解直角三角形教学目标【知识与技能】1.掌握解直角三角形的概念;2.理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系,能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】在解直角三角形的过程中,渗透转化和数形结合的数学思想,促进数学思维的发展.教学重难点【教学重点】解直角三角形的一般方法.【教学难点】选择适当的关系式解直角三角形.教学过程:一、情境导入你现在可以解决本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题吗?1972年的情形:如图,设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,因此sin A=≈0.0954,利用计算器可得∠A≈5°28'.类似地,可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角.你能求出来吗?二、合作探究探究点1已知两边解直角三角形典例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个三角形.[解析]∵tan A=,∴∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=30°,AB=2AC=2.如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,BC=2,CD=2,求AB,AC,∠A,∠B.(精确到1')[解析]在Rt△BCD中,∵BD==2,∴sin B=,cos B=.用计算器求得∠B≈54°44',于是∠A=90°-∠B=35°16'.在Rt△ABC中,AB==2=6,AC=AB·sin B=6×=2.探究点2已知一边一角解直角三角形典例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形.(结果保留小数点后一位)[解析]∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.∵tan B=,∴a=≈28.6.∵sin B=,∴c=≈34.9.如图,等腰△ABC中,AB=BC,AE⊥BC于点E,EF⊥AB于点F,若CE=2,cos ∠AEF=,求BE的长.[解析]∵AE⊥BC于点E,EF⊥AB于点F,∴∠AEB=∠AFE=90°.∴∠B+∠BAE=∠BAE+∠AEF=90°.∴∠B=∠AEF.∵cos ∠AEF=,∴cos ∠B=.∵cos ∠B=,AB=BC,CE=2,∴设BE=4a,则AB=5a,CE=a.∴a=2,∴BE=8.三、板书设计解直角三角形1.解直角三角形一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的分类(1)已知两边解直角三角形;(2)已知一边一角解直角三角形.教学反思本节课首先从比萨斜塔的倾斜程度这个实际问题入手,给学生创设问题情境,抽象出数学问题,从而引出解直角三角形的概念.接着引导学生全面梳理直角三角形中边角之间的关系,归纳出解直角三角形的一般方法,并以例题的形式对如何解直角三角形进行示范.第二课时应用举例教学目标、【知识与技能】能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题.【过程与方法】在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中,体会“数学建模”和“数形结合”的思想.【情感、态度与价值观】利用解直角三角形知识解决实际问题的过程中,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识.教学重难点【教学重点】将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系来解决.【教学难点】将实际问题转化成数学模型.教学过程：一、情境导入如图,海中有一个小岛A,它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得小岛A位于北偏东60°方向上,航行12 n mile到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?二、合作探究探究点1解直角三角形中的仰角、俯角问题典例1热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(结果取整数)?[解析]由题意可知,α=30°,β=60°,AD=120.∵tan α=,tan β=,∴BD=AD·tan α=120×tan 30°=120×=40,CD=AD·tan β=120×tan60°=120×=120.∴BC=BD+CD=40+120=160≈277(m).因此,这栋楼高约277 m.如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°.那么该塔有多高(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)?[解析]在Rt△ADC中,tan 30°=,即AC=;在Rt△BDC中,tan 60°=,即BC=.又∵AB=AC-BC=50 m,得=50.解得CD≈43(m),即塔CD的高度约为43 m.探究点2解直角三角形中的方位角问题典例2如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,B处距离灯塔有多远(结果取整数)?[解析]在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos 25°≈72.505.在Rt△BPC中,∵sin B=,∴PB=≈130.答:当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130 n mile.数学课外实践活动中,小林在南滨河路上的A,B两点处,利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=132米,求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)[解析]过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,在Rt△DEB中,tan ∠DBE=,∵∠DBC=65°,∴DE=x tan 65°.又∵∠DAC=45°,∴AE=DE.∴132+x=x tan 65°,解得x≈115.8,∴DE≈248(米).即观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米.三、板书设计应用举例1.有关角的概念(1)仰角、俯角的概念;(2)方位角的概念.2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:(1)将实际问题抽象为数学问题;(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;(3)获得数学问题的答案;(4)检验答案是否符合实际问题.教学反思通过本节课的学习,一方面,可以让学生看到解直角三角形知识在解决实际问题中所起的作用;另一方面,通过解决实际问题的过程,让学生学以致用,学会将所学知识运用到实际生活中去,使学生进一步体会数学建模思想和数学建模过程,培养应用意识,发展学生的思维能力,以及分析问题、解决问题的能力.。

解直角三角形的应用数学组——郑翔尹一. 提出问题：在正式上课前，老师想考一考大家几个关于南宁市的知识：1.南宁市作为未来的国际大都市，有许多标志性的建筑，那大家知不知道南宁市里最高的大楼是哪一栋（地王大厦）（接下来我们一起欣赏一下美丽的地王大厦（插入图片），改天我们再一起组团去参观一下如此宏伟的大楼）2 哪位同学知道地王大厦准确的楼高（276米）前段时间，老师的一个朋友到南宁玩，当我们路过地王大厦的时候，他也问了老师刚刚提出的那个问题，通过万能的百度，我们也找到了答案。

可是，他又给我提出了一个难题，作为数学老师，你能不能自己动手设计一种方法直接计算出这栋楼的高度呢为此，我设计了如下的测量方法，现在请同学们帮助老师验证一下，这种方法是否可行。

二、解决问题：方法一：1 那么在计算大厦高度之前，我们要先弄清楚一个问题，要计算大厦的高度，我们可以把大厦近似的看成一条线段AB，所以就相当于计算AB的长度即可。

那么，我的方法是从大厦底部A处沿着在大厦一边走到某一处C点，此时刚好测得从C处看大厦顶部B点的仰角是60°，并进一步测量出此时C点与大厦底部A点的距离AC，那能否计算出大厦的高度（可以）2 这个问题就相当于已知一个直角三角形的部分边角，求出另外的边，那实际上是初中数学中的哪个知识点呢（解直角三角形）3 哪位同学能列式计算大厦AB的高度（AB=AC tan60°=1603277.12≈）同学们非常棒，这么快就解决了这个问题。

第二天，我就带着需要的工具去实地操作，但是理想很丰满，现实很骨感，当我找到满足条件的点C处时，我发现在点C和大厦底部的A点之间隔着一条宽宽的车道，而且车流量很大，无法直接测量出AC的距离，所以方法一暂时无法实现。

虽然方法一失败了，但是我也不没有就此放弃。

所以我又设计出了第二种方法，我们在一起探讨一下。

方法二：1 沿着AC方向，继续前行，当到达D点时，刚好测得此时看大厦顶部B点的仰角为30°，那么能不能计算出大厦AB 的高度呢（还不行，因为没有边长，那哪一个长度最容易测量）那如果测量出CD约为米，请大家列式计算出AB 的长。

A BCEF60°°30东北（1）解直角三角形的应用教学目标：知识与技能：掌握仰角、俯角、方位角等概念，并能应用它们解决一些问题。

能够把实际问题抽象为直角三角形，利用三角函数进行有关计算。

过程与方法：经历探索实际问题的过程，进一步理解三角函数在解决实际问题中的应用，体会“数形结合”等数学思想，提高数学的应用意识和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：积极探索问题，在探索中发表见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具，提升学生学习数学，应用数学的能力。

教学重点：将实际问题转化为数学问题，并利用三角函数有关内容计算求解。

教学难点：将实际问题抽象为直角三角形问题。

教学过程：一、问in 后,渔船行驶到B 处,此时小岛C 在船北偏东30 °的方向上。

已知以小岛C 为中心，10海里为半径范围内是多暗礁的危险区，这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能学生独立思考、计算，小组互相交流教师关注学生的想法和解题思路。

点拨：对于最后一句话“已知以小岛C 为中心，10艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能”你是如何理解的呢（鼓励学生各抒己见） 结合学生所答，给出圆形模拟图形，更加形象的展示了最后一句话的含义，明确解题方向。

学生在练习本独立完成，小组交流并简单展示。

（学生可能会利用含30°角等腰三角形来解决问题）学生思考、计算，小组内交流发现刚才的等腰三角形就不存在了,而直角三角形的边没有一个是已知的。

（鼓励学生多种方法解决问题）、小组交流做法并找同学上台展示不同做法。

教师点评学生的解题方法，并进行总结板书直接利用三角函数解题的方法变式：如果上述图中∠FBC 变为45°,那么这个问题又如何解决B解这个方程即可。

三、归纳总结通过学习这节课谈谈你的收获 学生总结归纳并展示（板书）教师点拨：实际问题都放到了有公共边的两个直角三角形中去，通过这条公共边，我们可以直接计算或列出方程求得其他线段长度，所以今后再遇到这类问题，我们要多关注这条公共边。

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

解直角三角形教学目标【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【情感态度】渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程一、情景导入，初步认知1.什么是锐角三角函数？2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？【教学说明】通过复习，使学生便于应用．二、思考探究，获取新知1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边、角之间的关系：sinA=∠A的对边/斜边 cosA=∠A的邻边/斜边tanA=∠A的对边/∠A的邻边(2)三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)(3)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．3.做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？4.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？5.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.求∠B、b、c.解：∵∠B=90°-∠A=60°，又∵tanB=b/a，∴b=a·tanB=5·tan60°3.∵sinA=a/c，∴c=a/sinA=5/sin30°=10.【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．三、运用新知，深化理解1.见教材P122例2 .2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝ 83，∠A＝60°，求∠B、a、b．解：a＝csin60°＝83·3/2＝12，b＝ccos60°＝83·1/2＝43，∠B＝30°.3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝36，∠A＝30°，求∠B、b、c.解：∠B＝90°－30°＝ 60°，b＝atanB＝36·3＝92，.4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝6-2，a＝3－1 ，求∠A、∠B、 b.5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝3，求∠A、∠B、c.解：由于 tanA＝ab，所以则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，且有c＝2b＝2×23＝43.6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．解：由已知可得△BCD 是含30°的直角三角形，所以CD＝1/2BD＝1/2× 8＝4 （cm），△ADB 是等腰三角形，所以AD＝BD＝8（cm），则有 AC＝8＋4＝12（cm），BC＝ACcot60°＝ 12×33=43（cm），AB＝(43)2+122=48+144=83(cm).7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，∵AD=BD，∴AB=2BC，AE=BE，∴∠A=30°，在Rt△ABC中，∵AC=6，，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中，∵BC=23，BE=x，CE=6-x，BE2=CE2+BC2,∴x2=（6-x）2+（23）2，解得x=4．即BE=4．【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题4.3”中第1、3、4 题.教学反思解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．第1课时俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路.一、情景导入，初步认知海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.二、思考探究，获取新知1.某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m 的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．2.如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结果精确到1m)解：在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，因此tan25°=BC/AC=BC/1000∴BC=1000×tan25°≈466.3(m),∴上海东方明珠塔的高度（约）为466.3+1.7=468米.【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.三、运用新知，深化理解1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)分析：利用正弦可求.解：在Rt△ABC中sinB=AC/AB∴AB=AC/sinB=1200/0.2843≈4221(米)答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.解:如图,α=30°，β=60°,AD=120.答:这栋高楼约高277.1m.3.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．(计算结果可保留根号)分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，∴DE=AC=12米．CE=AD=1.5米．在直角△BED中，∠BDE=30°，4.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F 处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD 为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)分析：由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，故可设PA=h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．解：设AP=h米，∵∠PFB=45°，∴BF=PB=（h+1）米，∴EA=BF+CD=h+1+5=（h+6）米，在Rt△PEA中，PA=AE·tan30°，∴h=（h+6）tan30°，∴气球的高度约为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米．【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题4.4”中第2、4、5 题.教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.第2课时坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1.了解测量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.即tanA1＞tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km 内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.三、运用新知，深化理解1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．在Rt△ABC中，cosA=AC/AB,∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3≈0.3333，所以α≈18°26′.∵BE/AB=sinα，∴AB=BE/sinα=23/0.3162≈72.7（m）.答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC 看成线段，结果保留根号）解：过点A作AD⊥BC于点D，答：李强以2米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：(1) ∠D的度数；(2)线段AE的长．解：（1）∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，∴∠BFA=∠CED=90°，∵CE=BF，BF=3米，∴CE=3米，∵CD=6米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=2/3，∴BFAB=2/3，∵BF=3米，∴AB=92米，.5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P 的距离.(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC 的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.在Rt△APC中，∵tanA=PCAC，∴AC=PC/tan67.5°=5x/12在Rt△PCB中，∵tanB=PC/BC，∴BC=x/tan36.9°=4x/3∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,∴AC+BC=AB=21×5，∴5x/12+4x/3=21×5，解得x=60.∵sin∠B=PC/PB，∴PB=PC/sinB=60sin36.9°=60×5/3=100（海里）∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题4.1”中第1、6、7 题.教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

解直角三角形教学设计北京市顺义区第三中学高文丰一、对解直角三角形的知识解读1对知识本身的分析解读我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢如果已知两个锐角能否解直角三角形呢事实上，解直角三角形与直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以利用尺规作图作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，因此这样的直角三角形是可解的，从而确立了解直角三角形的概念。

由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。

所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，至少有一个是边，这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。

从直角三角形的可解性和存在性上来说，全等三角形的有关理论对理解本节课有积极的促进作用，因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容，加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。

初中主要研究锐角三角函数及解直角三角形和含特殊角的非直角三角形，这一阶段讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，即进一步研究直角三角形的性质，通过边的比值反映角的大小，而不是从函数的角度来认识。

正弦、余弦、正切都是在给定的直角三角形中定义的，因此角度只限制在0°到90°。

可以说，解直角三角形是初中这部分内容的定位。

高中主要研究任意角的三角函数（数学4基本初等函数2）、解斜三角形（数学5解三角形），是从函数的角度来研究三角函数的，因此它强调的是比值随角度的变化规律。

在欧氏几何中主要用定性的方法研究三角形，发现一般三角形中共性的结论。

例如：三角形中，大边对大角，小边对小角；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是180°，直角三角形的三边满足勾股定理等等。

第23章 解直角三角形的复习课【学导目标】1、能说出特殊角的三角函数值，并能准确的加以运用。

2、能运用锐角的三角函数解直角三角形。

【学导重点】：运用直角三角形中各元素的关系解直角三角形。

【学导难点】：运用本章所学知识解释、解决生活中的问题，进而提高数学应用意识和解决问题的能力。

【自学质疑】一、自主导航： 梳理本章主要知识点处理教材第134-135面的“知识回顾”二、探究质疑例1：如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树 的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m例2：．一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔处，上午11时到达这座灯塔的正南的N 处，求这只船航行的速度 （精确到1海里/时）【测评提升】一、基础测评1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=6，∠B=30°,求CA=2、如果a 是锐角，且54cos =a ，那么a sin 的值是（ ） （A ）259 （B ）54（C ）53 （D ）2516 3、在△ABC 中，若=0，则|tanA-1|（32- cosB ）2=0，∠C 的大小是（ ）。

A 75° B 105° C 135° D 30°4、（1） 60tan 45cos 30sin 2•- （2） 30tan 4345sin 60cos 22+-二、能力提升1、海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离．（画出图形，结果保留根号）2、如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）三、拓展空间3、如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD ，斜坡AB 的坡度为i=1：3梯形的高为7米，坝顶BC 的宽为10米。

分类解直角三角形解直角三角形是初中数学的重要内容，也是中考命题的热点，必须认真学习好，要复习好解直角三角形的内容要做出：理清类型，掌握方法，解直角三角形可分如下几种类型．一、基本型题中给出直角三角形，且知直角三角形中的边、角，可直接解此三角形例1如图1，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF ．（参考数据：sin40°≈，cos40°≈，tan40°≈结果精确到） 解：在Rt △CDF 中，CD =，∠DCF =40° ∴DF =CD ·sin40°≈×≈在Rt △ADE 中，AD =BC =，∠ADE =DCF =40° ∴DE =AD ·cos40°≈×≈ ∴EF =DFDE ≈≈（m ）即车位所占街道的宽度为 m二、创造条件型题中虽然有直角三角形，但不能直接去解，须创造条件才能解直角三角形．例2 已知△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，AB =2，CD =23，求∠B 、∠A 度数．解：由已知可推得CD 2=AD ·DB ，设AD =，则DB =2-∴（23）2=·（2-），解得=23或=21当AD =23时，tan A =AD CD =33∴∠A =30°，∠B =90°-30°=60°当AD =21时tan A =AD CD =3∴∠A =60°，∠B =30°A E D C F B）图1三、构造直角三角形有些三角形不是直角三角形，需通过作垂线构造出直角三角形，再解直角三角形． 例3如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，∠C =45°，BE ⊥CD 于点E ，AD =1，CD =22求：BE 的长解：过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ，∵AD ∥BC ，所以四边形ABFD 是平行四边形． ∴BF =AD =1由DF ∥AB ，得∠DFC =∠ABC =90°在Rt △DFC 中，∠C =45°，CD=2由cos C =CD CF，求得CF =2∴BC =BFFC =3在△BEC 中，∠BEC =90°，sin C =BC BE，求得BE =232四、应用型用解直角三角形解决应用题，其思路是：实际问题（画图）→（转化）数学模型（解直角三角形）（设元）→（转化）解方程．例4 如图4，在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60°，铁塔底部B 的仰角为45°，已知塔高AB =20m ，观测点E 到地面的距离EF =35m ，求小山BD 的高（精确到，3≈）解：如图，过点E 作E G ⊥AD 于点G ，由已知，得∠AE G=60°，∠BE G=45°， 在Rt △BE G 中，B G=E G 在Rt △AE G 中，由tan ∠AE G=EG AG，得A G=3E G=3B G ，又A G=ABB G=20B G ∴3B G=20B G ，即B G=1320=10（31）∵BD =B GG D ，G D =EF =35 ∴BD =10（31）35=35=≈（m ）答：小山的高约为．五、综合型B 图2图3这类题目跨度大，涉及面广，有些题用到代数、几何、三角函数知识，因而这类题称为解三角形的综合题型．例5如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠BCD =90°且AB =1，BC =2，tan ∠ADC =2，（1）求证：DC =BC（2）E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC =∠FBC ，DE =BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE ∶CE =1∶2，∠BEC =135°时，求sin ∠BFE 的值． （1）证明：过A 作DC 的垂线A M 交DC 于M ，则A M=BC =2又tan ADC =2，所以D M=22=1因为M C =AB =1，所以DC =D MM C =2，即DC =BC （2）等腰直角三角形证明：∵DE =BF ，∠EDC =∠FBC ，DC =BC ，所以△DEC ≌△BFC ∴CE =CF ，∠ECD =∠BCF ，所以∠ECF =∠BCF ∠BCE =∠ECD ∠BCE =∠BCD =90°，即△ECF 为等腰直角三角形（3）解：设BE =，则CE =CF =2，所以EF =22，∵∠BEC =135°，又∠CEF =45°，∴∠BEF =90° ∴BF =k k k 3)22(22=+∴sin ∠BFE =k k 3=31A B C DE F M。

《解直角三角形》一、教材分析：《解直角三角形》是沪科版九年级（上）第23章《解直角三角形》中的内容。

教学内容是能利用直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）解直角三角形。

通过学习，学生理解直角三角形的概念，学会解直角三角形，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。

它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识，它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

二、教学目标：知识与技能1、理解解直角三角形的概念。

2、理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

过程与方法综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，培养学生分析问题解决问题的能力。

情感态度与价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。

三、教学重点、难点：重点：理解解直角三角形的概念，学会解直角三角形难点：三角函数在解直角三角形中的应用。

四、教学方法与教学手段的选择根据上述的教材分析与教学目的，以及《教学大纲》的要求，本节课采用了启发讨论法，作为主要的教学方法。

也就是采取教师引导为主，参与到学生之中，以形成师生之间、学生之间广泛研讨的形式。

让学生做到完全投入，广泛交流，从而深刻认识所学知道的效果。

在教学手段的选择上，除了在黑板上板书例题的解题过程，让学生的思维随着版书展开外，还利用实物投影仪以此帮助学生思考，让学生学习这种探求知识的观点和方法。

五、教学过程的设计⑴、上节课的知识回顾首先引导学生复习上节课所讲的解直角三角形的意义及直角三角形中的边角关系。

（为下面的新课作准备）⑵、新知识的探究讲授新知识这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢激发了学生的学习热情．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

课题：28.2解直角三角形麻城市城东中学倪红兵教学目标1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.学情分析本班学生对前面学过的三角函数基本知识点掌握较好，可以继续进行新授课。

重点难点本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.教学设计思考：引例△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,且b＝3,∠A＝30°，你还能求出那些未知元素呢？设计意图：数学知识是环环相扣的，课前预习能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。

带着他们的疑问来学习解直角三角形，去探索解直角三角形的条件，激发了他们研究的兴趣和探究的激情。

引入课题28.2解直角三角形什么是解直角三角形六个元素一个直角（已知）三边两个锐角定义：由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形设计意图：让学生初步体会解直角三角形的含义、步骤及解题过程。

通过展示他们的思路让他们更好的体会已知直角三角形的两条边能解出直角三角形。

解直角三角形依据(1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2(勾股定理)(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90(3)边角之间的关系：sinA=a/c cosA =b/c tanA=a/b cotA=b/a利用以上的关系式，只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8 BC=4, 解这个直角三角形。