平面图形直观图的画法

【考点梳理】一、考试内容1.平面。

平面的基本性质。

平面图形直观图的画法。

2.两条直线的位置关系。

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

对应边分别平行的角。

异面直线所成的角。

两条异面直线互相垂直的概念。

异面直线的公垂线及距离。

3.直线和平面的位置关系。

直线和平面平行的判定与性质。

直线和平面垂直的判定与性质。

点到平面的距离。

斜线在平面上的射影。

直线和平面所成的角。

三垂线定理及其逆定理。

4.两个平面的位置关系。

平面平行的判定与性质。

平行平面间的距离。

二面角及其平面角。

两个平面垂直的判定与性质。

二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。

对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。

2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。

对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。

3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。

能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。

4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。

（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。

1．1.4 直观图画法1.了解斜二测画法的基本特征．2.理解斜二测画法的规则．3.掌握斜二测画法的基本步骤．1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴与y ′轴，两轴交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z ′轴．(2)平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相等的角，在直观图中仍相等．( )(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．( )★★答案★★：(1)× (2)×2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( )A ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B ．平行四边形的直观图仍是平行四边形C ．两条相交直线的直观图可能是平行直线D ．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直解析：选B.因斜二测画法保持平行性不变，A 错，B 正确；因斜二测画法中相交性不变，故C 错；两条垂直直线的直观图应为夹角为45°的两条相交直线，故D 错．3．关于斜二测画法，下列说法不正确的是( )A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，且长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，且长度变为原来的12C．画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同★★答案★★：C4．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连结B′C′，则△A′B′C′就是原图形．画水平放置的平面图形的直观图画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．解：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连结B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.(1)在已知图中建立直角坐标系时尽量利用原有图形的对称性和垂直关系．(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．1.用斜二测画法画如图所示的水平放置的正三角形的直观图．解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高AO所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上取O′B′＝O′C′＝OB＝OC，在y′轴上取O′A′＝12OA，连结A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．画几何体的直观图已知一个正四棱台的上底面边长为2 cm，下底面边长为6 cm，高为4 cm，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6 cm，在y轴上取线段GH，使得GH＝3 cm，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连结AD、BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4 cm，过O1作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．使得A1B1＝2 cm，B1C1＝1 cm.(4)连结AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．(2)画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．2.用斜二测画法画长、宽、高分别是 4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的直观图．解：(1)画轴．如图所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．关于直观图的计算问题如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′，则原四边形ABCD 的面积是( )A ．14B ．102C ．28D ．14 2解析：因为A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′≠C ′D ′，所以原图形是一个直角梯形，如图所示．又A ′D ′＝4，所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S ＝12×(2＋5)×8＝28.★★答案★★：C求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高．在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段， 以此为依据来求出直观图中的高线即可．直观图的面积是原图形面积的24倍． 3.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 解析：选D.如图①②所示为实际图形和直观图．由②可知，B ′C ′＝BC ＝a ，O ′A ′＝12OA ＝34a ，在图②中作A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′，则A ′D ′＝22O ′A ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.1．斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．2．直观图中的“变”与“不变”平面图形用其直观图表示时，(1)平行关系不变；(2)点的共线性不变；(3)线的共点性不变；(4)角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；(5)有些线段的度量关系也发生变化．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA ′B ′C ′的面积为2，求原梯形的面积．【解】 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的22倍，又梯形OA′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.由于直观图中的等腰梯形只知道面积，不知道高和上下底边的长，所以要求原梯形的面积，关键是根据斜二测画法的规则将图形还原，确定原梯形与直观图中的梯形在高和上下底边长两方面的关系．在解答本题过程中易得原直角梯形的高为h的错误，导致该种错误的原因是忽视了在直观图中平行于y轴的线段长是原图中线段长的一半．1．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是________．解析：根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用，知①正确．★★答案★★：①2．若正方形的边长为2，以正方形相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴，则用斜二测画法画出的直观图是边长分别为________的四边形．解析：如图(1)为原图形OABC，则用斜二测画法画出的直观图为如图(2)所示的O′A′B′C′，其边长分别为O′A′＝C′B′＝2，O′C′＝A′B′＝1.★★答案★★：2，2，1，13．若用斜二测画法画出的直观图是△A′B′C′，且∠A′B′C′＝45°，A′B′＝1，B′C′＝2，则原图形为________．解析：按斜二测画法规则，原图形△ABC满足∠ABC＝90°，AB＝2A′B′＝2，BC＝B′C′＝2，故原图形为两直角边都为2的等腰直角三角形．★★答案★★：两直角边都为2的等腰直角三角形[A基础达标]1．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是() A．任意三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：选C.因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．第1题图第2题图2．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm解析：选B.如图，OA＝1 cm，在Rt△OAB中，OB＝2 2 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝3 cm.所以四边形OABC的周长为8 cm.3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cmC．2.5 cm D．5 cm解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.4.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( ) A.12＋22 B ．1＋22 C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D.因为A ′D ′∥B ′C ′，所以AD ∥BC .因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以∠ABC ＝90°.所以AB ⊥BC .所以四边形ABCD 是直角梯形，如图所示．其中，AD ＝A ′D ′＝1，BC ＝B ′C ′＝1＋2，AB ＝2，即S 梯形ABCD ＝2＋ 2.5．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD 的形状为________．解析：因为∠D ′A ′B ′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB ＝90°，又因四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形，且A ′B ′＝2B ′C ′，所以AB ＝BC ，所以原四边形ABCD 为正方形．★★答案★★：正方形6．如图所示，一个水平放置的正方形ABCD ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A ′B ′C ′D ′中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：正方形的直观图A ′B ′C ′D ′如图所示．因为O ′A ′＝B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，所以顶点B ′到x ′轴的距离为1×sin 45°＝22. ★★答案★★：22 7.如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．解析：由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.★★答案★★：108.如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________．解析：过C ′作C ′M ′∥y ′轴，且交x ′轴于M ′.过C ′作C ′D ′⊥x ′轴，且交x ′轴于D ′，则C ′D ′＝32a .因为∠C ′M ′D ′＝45°，所以C ′M ′＝62a .所以原三角形的高CM ＝6a ，底边长为a ，其面积为S ＝12×a ×6a ＝62a 2(或S 直观＝24S 原，所以S 原＝42·34a 2＝62a 2)． ★★答案★★：62a 2 9．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(不写画法，保留作图痕迹)．解：(1)如图所示，四边形O ′A ′B ′C ′是四边形OABC 的直观图．(2)如图所示，△O ′A ′B ′是△OAB 的直观图．10.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原平面图形的面积．解：过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又因为DC ⊥BC 且AD ∥BC ，所以四边形ADCE 是矩形，所以EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，所以原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2，所以原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. [B 能力提升] 1．如图所示的是水平放置的三角形ABC 的直观图△A ′B ′C ′，其中D 是A ′C ′的中点，在原三角形ABC 中，∠ACB ≠60°，则原图形中与线段B ′D 的长相等的线段有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C.先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段B ′D 长度相等的线段．把三角形A ′B ′C ′还原后为直角三角形，则D 为斜边AC 的中点，所以AD ＝DC ＝BD .故选C.2.如图，Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，直角边O ′B ′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O ′B ′＝1，所以O ′A ′＝2，所以在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝22，所以S △AOB ＝12×1×22＝ 2. ★★答案★★： 23．如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，求这个平面图形的面积．解：与y 轴平行的那条边和在x 轴上的边垂直，且与y 轴平行的那条边长应是原长的2倍，故其面积应为12×|－2|×⎝⎛⎭⎪⎫2×|－2|2＝2 2. 4．(选做题)如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．。

《水平放置的平面图形直观图的画法》说课稿一、教材分析：《水平放置的平面图形直观图的画法》是立体几何第二节第一课时内容。

立体几何是学生学习的一个难点。

之所以难，关键就是不能很好的识图和画图。

而这节课就是解决这个问题的基础。

所以，这节课在整个立体几何教学中有着不可替代的作用。

鉴于对学生已有知识和认知能力的分析，依据《教学大纲》的要求，我确定可本节课的教学目标和重难点如下：知识与技能：理解斜二测画法。

掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。

过程与方法：通过分析，掌握两种不同位置顶点的对应点的确定方法。

情感态度价值观：培养学生动手实践能力和想象能力，激发学生的学习兴趣。

重点：水平放置的平面图形直观图画法。

难点：不同位置顶点的对应点的确定。

二、教学方法：本节课我采用了我校所倡导的“导引自学，探究体验，反思提高”的教学模式。

在教学过程中，我尽量留给学生一定的思考时间，让学生说出自己的想法，然后再做适当的引导。

三、学法指导。

1、让学生观察正方体模型，然后通过解释“斜”和“二测”的含义，同时用自己的语言总结规则，从而达到理解和记忆的目的。

2、画直观图的实质是确定原图形各顶点的对应点，所以在教学中，主要引导学生掌握两种不同位置顶点的对应点的确定方法。

即点所在的边与坐标轴平行和点所在的边不与坐标轴平行的确定方法。

3、通过观察对比原图形和直观图，使学生明白，在立体几何学习中，不能只看图，而要结合定义，然后经过合理想象，得到原图形的性质。

四、教学过程设计说明。

1、斜二测画法规则的教学。

对斜二测画法规则的教学，我首先是让学生通过观察正方体的两个表面，即与视线垂直的表面和水平位置的表面，找到平面图形水平放置时的变与不变。

然后自学规则，最后解释“斜”和“二测”的含义，加深对规则的理解。

在理解的基础之上用自己的语言总结，即平行性不变，长度是横不变，纵减半。

理解规则以后，引导学生思考发现画直观图的实质就是确定顶点的位置。

2、例题和练习题的选用及处理。

高中数学第九章-立体几何考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质。