2016-2017年湖南省长沙市长郡中学高二上学期数学期中试卷带答案(文科)

【精品文档，百度专属】2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（）A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2bC．若2a≤2b，则a≤b D．若2a≤2b，则a＞b2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±2，0）D．（0，±2）4．（5分）甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln26．（5分）如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，867．（5分）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．29．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…８），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3 12．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形13．（5分）若命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0）B．（﹣8，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0）14．（5分）设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）?g （x）﹣f（x）?g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）?g（x）＞f（b）?g（b）B．f（x）?g（a）＞f（a）?g（x）C．f（x）?g（b）＞f（b）?g（x）D．f（x）?g（x）＞f（a）?g（a）15．（5分）已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）已知i是虚数单位，则=．17．（3分）对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图程序框图所示，则3?2=．18．（3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为．19．（3分）曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）=．20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极．点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2（1）将C测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．22．（8分）设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．23．（8分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．25．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（）A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2bC．若2a≤2b，则a≤b D．若2a≤2b，则a＞b【解答】解：命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是“若2a≤2b，则a≤b”，故选：C．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±2，0）D．（0，±2）【解答】解：∵双曲线方程为∴双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：C．4．（5分）甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲获胜概率是1﹣故选：C．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．6．（5分）如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，86【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选：A．7．（5分）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦MN的长度超过R的概率是P=．故选：D．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．2【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选：D．9．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…８），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，∴=，=，∴样本中心点的坐标为（，），代入回归直线方程得，=×+a，∴a=．故选：B．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）【解答】解：设P（m，n），则∵点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9，∴点P到抛物线y2=8x准线x=﹣2的距离也为9，可得m+2=9，m=7∵点P（7，n）在抛物线y2=8x上∴n2=8×7=56，可得n=±2，因此，可得点P的坐标为（7，±2），故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，∴f′（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，2）内恒成立，即在（0，2）内恒成立，∵，∴a≥3，故选：A．12．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=4又|F1F2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．13．（5分）若命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0）B．（﹣8，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0）【解答】解：命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，令f（x）=ax2﹣ax﹣2，a=0时，f（x）=﹣2＜0成立．a≠0时，?x∈R，f（x）=ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，则，解得﹣8≤a＜0．综上可得：﹣8≤a≤0．故选：C．14．（5分）设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）?g （x）﹣f（x）?g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）?g（x）＞f（b）?g（b）B．f（x）?g（a）＞f（a）?g（x）C．f（x）?g（b）＞f（b）?g（x）D．f（x）?g（x）＞f（a）?g（a）【解答】解：令F（x）=，则F′（x）=＜0，x∈R．∴函数F（x）在（a，b）上单调递减．∴F（a）＞F（b），即＞，化为：f（x）g（b）＞f（b）g（x）．故选：A．15．（5分）已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D，，整理得：x2﹣6x+1=0，由韦达定理可知：x1+x2=6，x D==3，则y D=x D﹣1=3，∴线段AB的中点坐标为D（3，2）．直线y=x﹣1与双曲线的渐近线y=x联立，可得M（，），与双曲线的渐近线y=﹣x联立，可得N（，﹣），∴线段MN的中点坐标为（，），∵线段AB与MN的中点相同，∴=3，∴a=b，则e===故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）已知i是虚数单位，则=1+2i．【解答】解：=，故答案为：1+2i．17．（3分）对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图程序框图所示，则3?2=2．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3?2==2．故答案为：2．18．（3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为48．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）==个数，∴第n行从左向右的第3个数为+3=，把n=10代入可得第10行从左向右的第3个数为48故答案为：4819．（3分）曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）=．【解答】解：m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数共6×6=36，∵事件A表示焦点在x轴上的椭圆”∴m＞n，列举可得事件A包含（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共15个∴P（A）==，故答案为：20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e﹣1）．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极．点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2（1）将C测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），即，故（x﹣4）2+（y﹣5）2=25；，（2）∵直线l的极坐标方程为ρsinθ=2∴直线l的普通方程为y=2，由，解得或，故|AB|=8．22．（8分）设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由．解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）p是q的必要不充分条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．23．（8分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=．【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计453075每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间16560225超过4小时总计21090300结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故．（6分），即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是．所以时，x1x2+y1y2=0，故．（8分）当时，，．，而（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=，所以．（12分）25．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）令分母xe x+1=g（x），可得：g′（x）=e x（1+x），可得x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）=1﹣＞0．∴函数f（x）的定义域为R．f′（x）=，可得x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=0时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（0）=1．（2）当x＞0时，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）e x﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．则h′（x）=ax（x﹣）e x．①a≥时，h′（x）=ax2e x＞0，函数h（x）在x＞0时单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，满足条件．②0＜a＜时，函数h（x）在x=处取得极小值即最小值，x∈时单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，不满足条件，舍去．综上可得：正实数a的取值范围是．Baiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiu Baiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuiBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuduBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu adiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu赠送—高中数学知识点【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及在集合B中都有唯一确定的数()A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b ，满足a x b 的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb 的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足ax b ，或a x b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b 的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b ．注意：对于集合{|}x a xb 与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan yx 中，()2xkk Z ．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x 可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y xb y xc y ，则在()0a y 时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B．a Ab B．如果元素a和元素b对应，那么②给定一个集合A到集合B的映射，且,我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．。

长郡中学2016—2017学年度高二第一学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.复数()2i i -=A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D.12i --2.设命题2:,2np x N n ∃∈>，则:p ⌝为A. 2,2n x N n ∀∈>B.2,2n x N n ∃∈≤C. 2,2n x N n ∀∈≤D.2,2n x N n ∃∈=3.设平面α的法向量为()1,2,2-，平面β的法向量为()2,,4λ，若//αβ，则λ=A. 2B. 4C. 2-D.4-4.下列双曲线中，焦点在y 轴上，且渐近线方程为2y x =±的是 A. 2214y x -= B. 2214x y -= C. 2214y x -= D. 2214x y -= 5.“6πα=”是“1sin 2α=”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 6.曲线221259x y +=与曲线()2219259x y k k k+=<--的 A. 长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等7.若A,B 为互斥事件，则A. ()()1P A P B +<B. ()()1P A P B +>C. ()()1P A P B +=D.()()1P A P B +≤ 8.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 A. 3 B. 2- C. 1 D.129.下图是2016年在长郡中学高二年级矩形的演讲比赛中，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A. 84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,410.函数()3ln f x x x =+的单调递增区间是A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. (),e +∞ C.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的虚轴为 3 D.312.已知函数()()2f x x x c =-在2x =处取得极大值，则c 的值为A. 6-B. 6C. 4D.4-13.在区间[]1,1-上随机取一个数x ，使cos2x π的值介于22到1之间的概率为 A. 13 B. 12 C. 2πD.23 14.如图所示，A,B,C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若,BF AC BF CF ⊥=，则该双曲线的离心率为 A.1021032D.315 已知函()()()12ln ,a f x a x x a R g x x x⎛⎫=--∈=- ⎪⎝⎭，若至少存在一个[]01,x e ∈，使()()00f x g x <成立，则实数a 的范围是A. [)1,+∞B. ()0,+∞C. [)0,+∞D. ()1,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共55分）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16.()22cos x x dx ππ-+=⎰ .17．某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市的家数为 .18.已知点()()1212,,,x x A x a B x a 是函数()1xy a a =>的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A,B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++>成立，运用类比的思想方法可知，若点()()1222,sin ,,sin A x x B x x 是函数()()sin 0,y x x π=∈的图象上任意不同的两点，则类似地有 成立.19.已知函数()ln cos f x x x x =++，若()()243f x f x -≤，则实数x 的取值范围为 .20.设抛物线()220y px p =>的焦点为F,已知A,B 为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点M 作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则MN AB的最大值为 . 三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.（本题满分8分）在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，()112.2n n n a a n N a *--=∈+ （1）求234,,a a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项n a ，并证明你的结论.22.（本题满分8分）已知()()0,:260,:22.m p x x q m x m >+-≤-≤≤+（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若5m =，“p q ∧”为真命题，“p q ∨”为假命题，求实数x 的取值范围.23.（本题满分8分）在如图所示的多面体中，EF ⊥平面,,//,AEB AE EB AD EF ⊥ //,EF BC 24,3,2,BC AD EF AE BE G =====是BC 的中点.（1）求证：BD EG ⊥；（2）求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.24.（本题满分8分）已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 满足12 4.PF PF +=（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值.25.（本题满分8分）已知函数()21ln ,.2f x x ax x a R =-+∈ （1）若()10f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于X 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值.。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.）1．椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为()A ．(5,0)B ．(0,5)C ．(7，0)D ．(0,7)2．命题“x R ∀∈，3210x x -+ ”的否定是()A ．不存在x R ∈，3210x x -+ B ．0x R ∃∈，32010x x -+ C ．0x R ∃∈，320010x x -+>D ．x R ∀∈，3210x x -+>3．某高级中学共有学生3000人，其中高二年级有学生800人，高三年级有学生1200人，为了调查学生的课外阅读时长，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为()A ．20B ．25C ．30D ．354．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是()A ．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B ．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C ．“都是白球”与“有一个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”5．过点(2,2)-且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程是()A ．22124y x -=B ．22142x y -=C ．22142y x -=D ．22124x y -=6．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为()A ．23B ．12C ．13D ．147．如图，某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是()A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数8．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x >，命题:(0,1)q x ∀∈，0lnx <，则下列命题中为真命题的是()A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．()p q⌝∧9．已如样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，那么样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数和标准差分别是()A ．31x +，3sB ．31x +，9sC ．31x +，31s +D ．3x ，9s10．在区间[0，]π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x ”发生的概率为()A ．34B ．23C ．12D ．1311．已知椭圆221164x y +=以及椭圆内一点(2,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线斜率为()A ．12B ．12-C ．2D ．2-12．0x ∃ ，使20x x a +- ，则实数a 的取值范围是()A ．1a >B ．1a C ．1a <D ．1a 13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点0(1,)M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan (FAM ∠=)A ．25B ．52C ．54D ．4514．下列有关命题的说法正确的是()A ．命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的充要条件C ．直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件D ．命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为真命题15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为()ABCD ．52二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．椭圆22136x y m+=短轴的长为8，则实数m =．17．某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是．18．设1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12||:||2:1PF PF =，则△12PF F 的面积等于．19．在平面区域0202x y ⎧⎨⎩ 内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b + 的概率大于18，则b 的取值范围是．20．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k 的值为．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足2760x x ++<，（1）当1a =-时，若p q ∧为真，求x 范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．22．（100分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．23．已知动圆P 过点1(0,)8F 且与直线18y =-相切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若A ，B 是曲线C 上的两个点且直线AB 过OAB ∆的外心，其中O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．24．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台4SCTV -“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日昼夜温差(C)x ︒1011131286就诊人数y （人)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：1122211()ˆ(nnii iii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =-25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为椭圆C 上位于x轴同侧的两点，△12AF F 的周长为6，12F AF ∠，的最大值为3π．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为()A ．(5,0)B ．(0,5)C ．(，0)D ．【解答】解：椭圆221916x y +=的焦点坐标在y 轴，又因为3a =，4b =，所以c =故双曲线221916x y +=的右焦点的坐标是．故选：D ．2．命题“x R ∀∈，3210x x -+ ”的否定是()A ．不存在x R ∈，3210x x -+ B ．0x R ∃∈，32010x x -+ C ．0x R ∃∈，320010x x -+>D ．x R ∀∈，3210x x -+>【解答】解：命题“x R ∀∈，3210x x -+ ”的否定是：0x R ∃∈，32010x x -+>，故选：C ．3．某高级中学共有学生3000人，其中高二年级有学生800人，高三年级有学生1200人，为了调查学生的课外阅读时长，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为()A ．20B ．25C ．30D ．35【解答】解：抽取比例为751300040=，高一年级有3000(8001200)1000-+=人，高一年级应被抽取的人数为110002540⨯=．故选：B ．4．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是()A ．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B ．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C ．“都是白球”与“有一个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”【解答】解：对于A ，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，A 满足题意；对于B ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，B 不满足题意；对于C ，“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，C 不满足题意；对于D ，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥，D 不满足题意．故选：A ．5．过点(2,2)-且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程是()A ．22124y x -=B ．22142x y -=C ．22142y x -=D ．22124x y -=【解答】解：设所求双曲线方程为222x y λ-=，把(2,2)-代入方程222x y λ-=，解得2λ=-．由此可求得所求双曲线的方程为22124y x +-=．故选：A ．6．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为()A ．23B ．12C ．13D ．14【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为246C =个，而取到红楼梦包含133C =个基本事件，所以取到《红楼梦》的概率为3162P ==，故选：B ．7．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是()A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【解答】解：甲所得分数的极差为331122-=，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C 正确；故选：D ．8．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x >，命题:(0,1)q x ∀∈，0lnx <，则下列命题中为真命题的是()A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．()p q⌝∧【解答】解：命题:p x R ∃∈，sin 1x >为假命题，当(0,1)x ∈，0lnx <恒成立，即命题q 是真命题，则()p q ⌝∧是真命题，其余为假命题，故选：D ．9．已如样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，那么样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数和标准差分别是()A ．31x +，3sB ．31x +，9sC ．31x +，31s +D ．3x ，9s【解答】解：根据题意，样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，其方差为2s ，那么样本131x +，231x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数1231(31313131)31n x x x x x x n'=++++++⋯⋯++=+，则其方差229s s '=，则样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的标准差为3s ，故选：A ．10．在区间[0，]π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x ”发生的概率为()A ．34B ．23C ．12D ．13【解答】解：0x π ，∴由12snx 得06x π 或56x ππ ，则事件“12snx ”发生的概率50166303P ππππππ-+-===-，故选：D ．11．已知椭圆221164x y +=以及椭圆内一点(2,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线斜率为()A ．12B ．12-C ．2D ．2-【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ；则22111164x y +=①，22221164x y +=②；∴①-②，得12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=；由中点坐标公式：124x x +=，122y y +=，∴12124()2()0164x x y y --+=；121212y y k x x -∴==--．故选：B．12．0x ∃ ，使20x x a +- ，则实数a 的取值范围是()A ．1a >B ．1a C ．1a <D ．1a 【解答】解：0x ∃ ，使20x x a +- ，等价于(2)x min a x + ，设()2x f x x =+，[0x ∈，)+∞，则函数()f x 在[0x ∈，)+∞上是单调增函数，所以()(0)1f x f = ，所以a 的取值范围是1a ．故选：B ．13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点0(1,)M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan (FAM ∠=)A ．25B ．52C ．54D ．45【解答】解：过M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则005||24y p MN y =+=，故02y p =．又0(1,)M y 在抛物线上，故012y p =，于是122p p=，解得12p =，055||44y MN ∴==，||4tan tan ||5AN FAM AMN MN ∴∠=∠==．故选：D ．14．下列有关命题的说法正确的是()A ．命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的充要条件C ．直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件D ．命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x ≠，则1x ≠”，所以A 不正确；“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 不正确；直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-或0a =”是“12l l ⊥”的充要条件，所以C 正确；命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为：若cos cos x y =，则x y =显然不正确是假命题；故选：C ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为()A ．52BCD ．52【解答】解：由双曲线的性质可得：||AF b =，||OA a =，tan b AOF a∠=，222222tan 2tan tan 211(bAOF ab a AOB AOF b tan AOF a b a∠∴∠=∠===-∠--，在Rt OAB ∆中，||||tan ||AB AB AOB OA a∠==，∴22||2AB aba ab =-，2222||a b AB a b ∴=-，||OB ∴=又||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，2||||||AB OA OB ∴=+，∴2224a b a a b =+-化简得：222320a ab b --=，即(2)(2)0a b a b +-=，20a b ∴-=，即2a b =，222244()a b c a ∴==-，2254a c =，22254c e a ∴==，52e ∴=．故选：A ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．椭圆22136x y m +=短轴的长为8，则实数m =16．【解答】解：椭圆22136x y m+=短轴的长为8，因为6a =，212a =，所以椭圆的焦点坐标在x 轴，4=，解得16m =．故答案为：16．17．某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是40．【解答】解：12 号、26号、54号同学在样本中，542628-=，261214-=，∴抽样间隔为14，∴样本中还有一位同学的编号应是261440+=．故答案为：40．18．设1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12||:||2:1PF PF =，则△12PF F 的面积等于12【解答】解：1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，1(3,0)F -，2(3,0)F ，12||6F F =，12||:||2:1PF PF = ，∴设2||PF x =，则1||2PF x =，由双曲线的性质知|2|x x -=x =．1||45PF ∴=，2||25PF=，1216545364cos 522545F PF ∴∠==⨯⨯，123sin 5F PF ∠=．∴△12PF F 的面积为1345251225⨯⨯⨯=．故答案为：12．19．在平面区域0202x y ⎧⎨⎩ 内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b + 的概率大于18，则b 的取值范围是(1,)+∞．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则矩形的面积224S =⨯=，当满足x y b + 的概率大于18，则满足x y b + 对应的区域为OED ∆，则(,0)E b ，(0,)D b ，(0)b >，则OED ∆的面积11482S =⨯=，即21122b =，即21b =，解得1b =，若满足x y b + 的概率大于18，则对应区域的面积OED S S ∆>，此时直线x y b +=在直线1x y +=的上方，即1b >，故b 的取值范围是(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞20．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k 的值为2-．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-．1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PB k y =+．0PAPB k k += ，∴1244022y y +=++，得124y y +=-．∴414AB k ==--．又221OP k ==，122AB OP k k ∴=-⨯=- ．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足2760x x ++<，（1）当1a =-时，若p q ∧为真，求x 范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =-时，p 真，则2320x x ++<，解得21x -<<-；q 真，则解得61x -<<-．p q ∧ 为真，则p 真且q 真，故x 范围为(2,1)--．（2）p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件，p 真，有2a x a <<，∴126a a -⎧⎨-⎩，故31a -- ．22．（100分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．【解答】解：（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =；设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5；（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3:2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种，所以所求的概率为63105P ==．23．已知动圆P 过点1(0,)8F 且与直线18y =-相切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若A ，B 是曲线C 上的两个点且直线AB 过OAB ∆的外心，其中O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．【解答】解：（1）设点(,)P x y 1||8y =+，平方整理得：212x y =，∴曲线C 的方程，212x y =．（2）证明：由题意可知直线AB 的斜率一定存在，否则不与曲线C 有两个交点．设AB 方程为y kx m =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程22y kx my x =+⎧⎨=⎩，得220x kx m --=，则得122k x x +=，122m x x =-，由212x y =得：2112y x =，2222y x =．△280k m =+>．2222212121212224()4()y y x x x x x x m ===⨯= ．△28k m=+直线AB 过AOB ∆的外心，其中O 为坐标原点，OA OB ∴⊥．∴12120OA OB x x y y =+=，∴202mm -+=．0m ≠解得12m =．∴直线AB 过定点1(0,)2．24．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台4SCTV -“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日昼夜温差(C)x ︒1011131286就诊人数y （人)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：1122211()ˆ(nnii iii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =-【解答】解：（1）由表中2月至5月份的数据，得144(1113128)1144x =+++==，196(25292616)2444y =+++==，故有52()012512(3)(8)36i i i x x y y =--=⨯+⨯+⨯+-⨯-=∑，5222222()021(3)14ii xx =-=+++-=∑，由参考公式得8ˆ7b=，由ˆˆa y bx =-得30ˆ7a =-，即y 关于x 的线性回归方程830ˆˆˆ77y bx a x =+=-．（2）由1月份数据得当10x =时，830150ˆ10777y =⨯-=．1504|22|277-=<，由6月份数据得当6x =时，83078ˆ6777y =⨯-=．786|22|277-=<，则该小组所得线性回归方程是理想的．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为椭圆C 上位于x轴同侧的两点，△12AF F 的周长为6，12F AF ∠，的最大值为3π．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ） △12AF F 的周长为6，226a c ∴+=，即3a c +=，①当A 为椭圆C 的上下顶点时，12F AF ∠的最大值为3π，此时△12AF F 为等边三角形，2a c =，②联立①②及222a b c =+，解得2a =，b =1c =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）1221AF F BF F π∠+∠= ，12//AF BF ∴，延长1AF 交椭圆C 于点A '，由（Ⅰ）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(A x '，2)y ，直线AA '的方程为1x ty =-，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty +--=．∴122634t y y t +=+，122934y y t =-+．设1AF 与2BF 的距离为d ，则四边形12AF F B 的面积：21211(|||)||22F AA S AF BF d AA d S '=+='=．12121221121||||||234S F F y y y y t ∴=-=-=+ ．令m =，1m ．212121313m S m m m∴==++．()S m 在[1，)+∞上单调递减，(0S ∴∈，3]．故四边形12AF F B 面积的取值范围为(0，3]．。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P（A）+P（B）≤13．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．74．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．5．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2=r16．双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣C． D．﹣7．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣8．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥49．“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．11．若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜212．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．13．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．14．经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab15．曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）16．抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M的横坐标是．17．给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R 使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是．18．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为．19．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，...，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002， (0020)从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为．20．椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．三、解答题（共5小题，每题8分，共40分）21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．23．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．24．如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．25．如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D 两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】利用实数的性质及不等式的基本性质，我们易判断出命题p与命题q的真假，进而根据复合命题的真值表，对题目中的四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：若x2+y2=0，根据实数的性质得，a=b=0，即x、y全为0，则命题p为真命题；若a＞0＞b，则，即命题q：若a＞b，则．为假命题；故：①p且q为假命题，②p或q为真命题，③¬p为假命题，④¬q为真命题，故选B【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据实数的性质及不等式的基本性质，判断出命题p与命题q的真假，是解答本题的关键．2．若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P（A）+P（B）≤1【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】阅读型．【分析】由已知中，A，B为互斥事件，则A∪B为随机事件，当A，B为对立事件时，A∪B为必然事件，根据随机事件及对立事件的概率我们易得到结论．【解答】解：由已知中A，B为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）≤1当A，B为对立事件时，P（A）+P（B）=1故选D【点评】本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，其中当A，B为对立事件时，A∪B为必然事件，概率为1，易被忽略而错选A．3．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．4．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次，共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率，这样使得运算简单．5．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2=r1【考点】相关系数．【专题】计算题．【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．6．双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣C． D．﹣【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线kx2+5y2=5化为，可得a2，b2，利用c2=a2+b2即可得出．【解答】解：双曲线kx2+5y2=5化为，∴a2=1，b2=﹣．又∵双曲线的一个焦点坐标是（0，2），∴c=2．∵c2=a2+b2．∴4=1﹣，解得k=﹣．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．7．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将抛物线化简为标准形式，进而可确定p的值，即可得到准线方程．【解答】解：由x2=y，∴p=．准线方程为y=﹣．故选D【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．8．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】常规题型．【分析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．【点评】本题考查了原命题与逆否命题之间的关系，是基础题．9．“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．10．点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0），B（5，0）所以k AM=（x≠﹣5），k BM=（x≠5）由已知， =化简，得4x2﹣9y2=100（x≠±5）即：．故选：C．【点评】本题重点考查轨迹方程的求解，解题的关键是正确表示出直线AM、BM的斜率，利用条件建立方程．11．若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先设出双曲线右支任意一点坐标，根据到右焦点的距离和到中心的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得x，进而利用x的范围确定a和c的不等式关系，进而求得e的范围，同时根据双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2，最后综合求得答案．【解答】解：设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，由两点间距离公式：x2+y2=（x﹣c）2+y2得x=，∵x≥a，∴≥a，得e≥2，又∵双曲线的离心率等于2时，c=2a，此时右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是求得a和c的不等式关系，考查了学生转化和化归的思想．12．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．13．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．14．经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设出点M的坐标，根据点M在双曲线上，得到；再根据条件求出P，Q 两点的坐标，代入|MP|•|MQ|整理即可求出结论．【解答】解：经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，设M（x，y），则有：⇒①且P（﹣y，y），Q（y，y），∴=（﹣y﹣x，0），=（y﹣x，0）∴|MP|•|MQ|==（﹣y﹣x）•（y﹣x）+0=x2﹣y2=﹣y2=a2．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的基本性质以及向量的数量积，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．15．曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，分别令x=c，x=，求得弦长，得到a，b，c的方程，再由离心率公式解方程即可得到．【解答】解：曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（﹣1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=±p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2﹣a2，即有e2﹣2e﹣1=0，解得，e=1+．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）16．抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M的横坐标是a﹣p ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，利用抛物线的定义结合已知得答案．【解答】解：如图，由题意知|MF|=a（a＞p），∵抛物线y2=4px的准线方程为x=﹣p，由抛物线定义得x M+p=a，则x M=a﹣p．故答案为：a﹣p．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了抛物线的定义，是基础题．17．给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R 使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】命题的真假判断，逐一击破，全称命题为假，列举反例，存在性命题为真，列举一例即可．【解答】解：当x=1时，x4=x2，故①错误；当α=0时，sin3α=3sinα，故②正确；对于③由于抛物线开口向上，一定有函数值大于0，故③错误【点评】判断命题的真假，直接利用相关定义、定理、公理判断．有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．18．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.3 ．【考点】频率分布直方图．【专题】压轴题；图表型．【分析】观察频率分布直方图在（2700，3000）上的高，根据小长方形的面积=组距×，建立等式关系，解之即可．【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，∴新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.001×300=0.3故答案为：0.3【点评】频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，是解决频率分布直方图常用的结论，值得大家重视，属于基础题．19．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，...，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002， (0020)从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为0795 ．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】因为系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个，所以只需找到k的值，就可计算第40个号码为多少．【解答】解：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795故答案为0795【点评】本题考查了抽样方法中的系统抽样，掌握系统抽样的规律．20．椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），则，可得y2=4．由于∠F1PF2为钝角，可得＜0，解出即可．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a2=13，b=2，∴=3．F1（﹣3，0），F2（3，0）．设P（x，y），则，∴y2=4．∵∠F1PF2为钝角，∴=（x+3，y）•（x﹣3，y）=x2﹣9+y2＜0，∴x2﹣9+4＜0．化为x2，解得＜x＜．∴点P的横坐标的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量夹角公式与数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，每题8分，共40分）21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10， ===8， ===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．【点评】本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】思路一：“按题索骥”﹣﹣解不等式，求否命题，再根据充要条件的集合表示进行求解；思路二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换，然后再根据充要条件的集合表示进行求解．【解答】解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．【点评】本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法，又考了命题间的关系的理解；两个知识点的简单结合构成了一道难度不太大但是要么得分不高，要么因为这道题导致整张卷子答不完，所以对于此类问题要平时加强计算能力的培养．23．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数对应的事件数，利用古典概型概率的计算公式，即可得到结论；（2）以面积为测度，计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件A构成的区域的面积，利用公式可得结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴…（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积…事件A构成的区域：由，得交点坐标为，…∴，∴事件A发生的概率为…【点评】本题考查概率的计算，明确概率的类型，正确运用公式是关键．24．如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥O B，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案；（2）设出A，B的坐标，由OA⊥OB得到A，B横纵坐标的关系，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的方程后利用根与系数的关系求解．【解答】解：（1）∵点D的坐标为（2，1），∴，又AB⊥OD，且AB过D（2，1），∴AB：y﹣1=﹣2（x﹣2），整理得：2x+y﹣5=0；（2）设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，由（1）知AB的直线方程为y=﹣2x+5∴y1y2﹣（y1+y2）+5=0，①联立y=﹣2x+5与y2=2px，消去x得：y2+py﹣5p=0，y1+y2=﹣p，y1y2=﹣5p，②把②代入解得，经检验满足△＞0．∴p=．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．是中档题．25．如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D 两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出椭圆的方程，利用椭圆E经过点A（3，1），离心率，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆E的方程；（2）确定B，C，D的坐标，求出过这三点的圆，验证A满足方程即可．【解答】（1）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…所以椭圆方程为，又因为经过点A（3，1），则，…所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（2）证明：直线AC的方程为y=x﹣2，与椭圆方程联立，可得x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，﹣2）直线BD的方程为y=﹣x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有∴D=﹣1，E=﹣1，F=﹣6，∴圆的方程为x2+y2﹣x﹣y﹣6=0，∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，∴A、B、C、D四点在同一个圆上．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。

湖南省长沙市长郡中学2016—2017学年高二上学期第一次模块检测数学（文）试题第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭,从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（)A．（1）用系统抽样法，(2）用简单随机抽样法B．(1)用分层抽样法,（2)用系统袖样法C．（1）用分层抽样法，(2）用简单随机抽样法D．（1)（2）都用分层抽样法2. 某校共有1200名学生,现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（)A．700名B．600名C．630名D．610名3.利用系统抽样从含有45个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的可能性是( ）A．145B．29C．14D．与第几次被抽取有关4. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数利中位数分别( )A．23与26 B．31与26 C。

24与30 D．26与305。

从编号为001，002,…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C.482 D．4836。

某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[]100,128内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[)[)[)[)[)[)[]100,104,104,108,108,112,112,116,116,120,120,124,124,128，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112 分的有18人，则分数不低于120分的人数为（)A．10 B．12 C.20 D．407。

一、选择题1．(0分)[ID ：13005]设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1936B ．1136C ．712D ．122．(0分)[ID ：13004]在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )A ．11347250C C C B ．20347250C C C C ．1233250C C C +D ．1120347347250C C C C C + 3．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．(0分)[ID ：12996]一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为an D．这组新数据的标准差为5．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 6．(0分)[ID ：12987]已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.87．(0分)[ID ：12983]AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1008．(0分)[ID ：12975]有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．159．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.3110．(0分)[ID ：12953]三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．1411．(0分)[ID：12936]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．1112．(0分)[ID：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（）A．16B．112C．536D．51813．(0分)[ID：13021]抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A．23B．13C．12D．5614．(0分)[ID：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．78B．58C．38D．1815．(0分)[ID：13015]某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题16．(0分)[ID ：13110]在区间[-3，5]上随机取一个实数x ，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．17．(0分)[ID ：13095]在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．18．(0分)[ID ：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________. 19．(0分)[ID ：13079]下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为na mb m n+； ④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交． 其中真命题的序号是__________．20．(0分)[ID ：13077]以下四个命题错误的序号为_______ (1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.21．(0分)[ID ：13066]以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.22．(0分)[ID ：13041]如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.23．(0分)[ID ：13037]在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y x =上的概率为________． 24．(0分)[ID ：13104]在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．25．(0分)[ID ：13062]某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13194]己知集合()[][]{},0,2,1,1M x y x y =∈∈-.（1）若, x y M ∈，且, x y 为整数，求0x y +≥的概率； （2）若,x y M ∈，求0x y +≥的概率.27．(0分)[ID ：13193]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：∑y i 7i=1=9.32，∑t i y i 7i=1=40.17，√∑(y i −y ̅)27i=1=0.55，√7≈2.646.参考公式：相关系数r =∑(t −t )(y −y ̅)ni=1√∑(t i −t )2∑(y i −¯)2ni=1i=1回归方程y ̂=a ̂+b ̂ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)ni=1∑(t i −t )2ni=1，a ̂=y ̅−b̂ t . 28．(0分)[ID ：13181]随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份x 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）56789（1）求y 关于t 的回归方程y bt a =+；（2）试预测该地区在建国一百周年时的的储蓄存款，并求y 关于x 的回归方程.附：()()()1122211n ni i i ii in ni ii it t y y t y nt ybt t t nt====---==--∑∑∑∑，a y bt=-.29．(0分)[ID：13178]每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S 镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量超过350mm的概率；（2）在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量[100，200）[200，300）[300，400）[400，500）亩产量50070060040030．(0分)[ID：13152]2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台4SCTV-“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日昼夜温差()x℃1011131286就诊人数(y人222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．()1若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；()2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b()1122211()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxyx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-)【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．C4．D5．B6．D7．C8．C9．C10．C11．C12．C13．A14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的17．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d面积为由解得满足的区域为图形中的红色直18．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种19．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事20．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关21．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不22．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可23．【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点共有种结果满足条件的事件是点正好在直线上可以列举出结果数得到概率【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率∵试验发生包含的事件是横纵坐标都24．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：25．【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，当m=2，n=1m=3，n=1，2m=4，n=1，2，3，4m=5，n=1，2，3，4，5，6，m=6，n=1，2，3，4，5，6综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是19 36；本题选择A选项.2．D解析：D【解析】【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C种不同的取法，即可求解．【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C种不同的取法，恰好两件都是次品，共有20347C C种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C CC+，故选D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C【解析】【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果.【详解】总的可选答案有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11个，而正确的答案只有1个，即得5分的概率为111 p=.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题. 4．D解析：D【解析】【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.5．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.6．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 故选 C ．8．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.10．C解析：C 【解析】模拟执行程序，可得：6n =，3sin 60S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =. 故选C ．11．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.12．C解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝．13．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．14．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题16．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的解析：38【解析】 【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率． 【详解】设事件A 表示11|422xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭得2111222x -⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x -≤≤， 即构成事件A 的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+， 所以事件A 的概率3()8P A =. 故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．17．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d 面积为由解得满足的区域为图形中的红色直解析：58【解析】 【分析】画出可行域，求出面积，满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=，由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；【详解】约束条件1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域如图：由103x y x y --=⎧+=⎨⎩解得()2,1A ， 可行域d 面积为12442⨯⨯=， 由32x y y x +=⎧=⎨⎩，解得()1.2B ． 满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=， 由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；故答案为58．【点睛】本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用.考查数形结合以及计算能力．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．18．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16 【解析】 【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33554466616A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为 16． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．19．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事解析：①④. 【解析】分析：根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假. 详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对 因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 不为互斥事件，所以②错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为ma nbm n++，所以③错； 因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以④对. 因此真命题的序号是①④.点睛：对命题真假的判断，主要要明确概念或公式.20．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，， 又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..21．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④ 【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．22．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．（3分）已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（）A．B．C．D．02．（3分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．3．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要5．（3分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样6．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？ D．n≤11？7．（3分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．（3分）已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．（3分）采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的机率为（）A．B．C．D．10．（3分）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则爆炸点所在曲线为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一支C．.线段D．圆11．（3分）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（）A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠12．（3分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生13．（3分）设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5 14．（3分）今年是我校成立111周年的一年，那么十进制的111化为二进制是（）A．1 101 101 B．11 011 011 C．1 101 111 D．1 011 10015．（3分）已知向量=（﹣2，1），=（x，y），x∈[1，6]，y∈[1，6]则满足•＜0的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）16．（3分）若关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则实数a的取值范围．17．（3分）抛物线y2=4x的弦AB垂直x轴，若，则焦点到AB的距离为．18．（3分）在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a﹣b|=．19．（3分）在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是．20．（3分）已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分）21．（8分）已知命题p：﹣2≤x≤10，命题q：（x+m﹣1）（x﹣m﹣1）≤0（其中m＞0），且￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．22．（8分）已知抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线﹣=1的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），求此两曲线的方程．23．（8分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．24．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M在线段A1B1上．（1）若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．25．（8分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．（3分）已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（）A．B．C．D．0【解答】解：∵又点M在平面ABC内，∴解得x=故选：A．2．（3分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．故选：B．3．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接AC，底面是正方形，则AC⊥BD，几何体是正方体，可知∴BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面CC1AA1，∵CE⊂平面CC1AA1，∴BD⊥CE，∴异面直线BD、CE所成角是90°．故选：D．4．（3分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a=﹣1，不满足a＞1，所以a＞1是的充分不必要条件故选：A．5．（3分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样【解答】解：由于总体由具有明显不同特征的三部分构成，故不能采用简单随机抽样，也不能用系统抽样，若直接采用分层抽样，则运算出的结果不是整数，先从老年人中剔除一人，然后分层抽样，此时，每个个体被抽到的概率等于==，从各层中抽取的人数分别为27×=6，54×=12，81×=18．故选：D．6．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？ D．n≤11？【解答】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选：B．7．（3分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．8．（3分）已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵•=0，∴即MF1⊥MF2，∴．则=40﹣2×2=36．∴|MF1|﹣|MF2|=6=2a．即a=3．∵c=，∴b2=c2﹣a2=1．则该双曲线的方程是：．故选：A．9．（3分）采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的机率为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：前两次是从去掉a以外的9个个体中依次任意抽取的两个个体有种方法，第三次抽取个体a只有一种方法，第四次从剩下的7个个体中任意抽取一个可有种方法；而从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本，可有种方法．∴要求的概率P==．方法二：可以只考虑第三次抽取的情况：个体a第三次被抽到只有一种方法，而第三次从含10个个体的总体中抽取一个个体可有10种方法，因此所求的概率P=．故选：A．10．（3分）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则爆炸点所在曲线为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一支C．.线段D．圆【解答】解：∵声速为340 m/s，以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立直角坐标系；设炮弹爆炸点的轨迹上的点P（x，y），由题意可得|PA|﹣|PB|=680＜|AB|，∴点P（x，y）所在的轨迹为双曲线的一支．故选：B．11．（3分）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（）A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠【解答】解：由题意，∴2﹣m2＞m＞0，解得：0＜m＜1，∴实数m的取值范围是0＜m＜1．故选：B．12．（3分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生【解答】解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求．故选：A．13．（3分）设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5【解答】解：∁U B={（x，y）|x+y﹣n＞0}∵P（2，3）∈A∩（∁U B）∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0∴m＞﹣1，n＜5故选：A．14．（3分）今年是我校成立111周年的一年，那么十进制的111化为二进制是（）A．1 101 101 B．11 011 011 C．1 101 111 D．1 011 100【解答】解：111÷2=55 (1)55÷2=27 (1)27÷2=13...1 13÷2=6...1 6÷2=3...0 3÷2=1...1 1÷2=0 (1)故111（10）=1101111（2） 故选：C ．15．（3分）已知向量=（﹣2，1），=（x ，y ），x ∈[1，6]，y ∈[1，6]则满足•＜0的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：用A 表示事件“”；试验的全部结果所构成的区域为{（x ，y ）|1≤x ≤6，1≤y ≤6}； 构成事件A 的区域为{（x ，y ）|1≤x ≤6，1≤y ≤6，且﹣2x +y ＜0}； 画出图形如下图：图中矩形及矩形内部表示试验的全部结果所表示的区域，阴影部分表示事件A 表示的区域； ∴P （A ）=．故选：A ．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）16．（3分）若关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则实数a的取值范围a＜﹣3．【解答】解：令f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6∵关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根∴f（0）=2a+6＜0解得a＜﹣3故答案为：a＜﹣317．（3分）抛物线y2=4x的弦AB垂直x轴，若，则焦点到AB的距离为2．【解答】解：不妨设A点在x轴上方，依题意可知y A=2，则x A==3而抛物线焦点坐标为（1，0）∴AB到焦点的距离是3﹣1=2，故答案为218．（3分）在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a﹣b|=．【解答】解：小矩形的面积等于这一组的频率，小矩形的高等于每一组的，则组距等于频率除以高，故答案为．19．（3分）在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是．【解答】解：在所有的两位数（10﹣99）共有90个，其中被2整除的有10，12，14，…，98，共计45个．被3整除的有12，15，18，…，99，共计30个，被6整除的有12，18，24，…，96，共计15个，故能被2或3整除的数有45+30﹣15=60个．故任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为P==故答案为：20．（3分）已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1．圆柱的底面中心为O，则∠OAB=60°，可得a=O1A=8，b==4，∴=．∴这个椭圆的离心率===．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分）21．（8分）已知命题p：﹣2≤x≤10，命题q：（x+m﹣1）（x﹣m﹣1）≤0（其中m＞0），且￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：∵¬p是¬q的必要条件∴¬p⇒¬q即p⇒q由p：﹣2≤x≤10q：1﹣m≤x≤m+1得解得m≥922．（8分）已知抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线﹣=1的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），求此两曲线的方程．【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px，p＞0，将，y=代入得p=2，所求抛物线的方程为y2=4x，…（4分）其准线方程为x=﹣1，即双曲线的半焦距c=1，∴a2+b2=1，①，又，②，由①②可得，b2=，所求双曲线的方程为4x2﹣=1．…（8分）23．（8分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X ﹣39000，当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．24．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M在线段A1B1上．（1）若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．【解答】解：（1）分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则C（0，0，0），A（4，0，0），A1（4，0，2），B1（0，4，2）∵A1M=3MB1，∴M（1，3，2），可得=（﹣4，0，﹣2），=（﹣3，3，2），∴cos＜，＞===所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）由（1）得B（0，4，0），B1（0，4，2）∴=（﹣4，4，0），=（﹣4，0，2）设=（a，b，c）是平面ABC1的一个法向量，可得，取a=1，得b=1，c=∴=（1，1，），而直线AM与平面ABC1所成角为30°，可得与所成角为60°或120°∴|cos＜、＞|=，设点M的横坐标为x，则=（x﹣4，4﹣x，2）即===解之得x=2或6，由于M在A1B1上可得x＜6，故x=2即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．25．（8分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k 2=﹣=﹣1﹣（10分）因为，所以，12≤a 2＜18．（11分）所以，即．（13分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。