2015-2016学年山西省太原五中高一(上)期末数学试卷(解析版)

1 已知集合}0,B ()RB.{/1x x <<21}x =-,A C =∅ B. B C =∅C.D. A B C =A ＝{x ∈R|ax 1＝0}中只有一个元素，则 ).C ．或，非空集合5}，则能使D ．(6,9]N = .已知集合，，则11. 已知A={1,2,3,4,5,6}，B={1,2,7,8}，定义A 与B 的差集如下：}{B x A x x B A ∉∈=-,则=--)(B A A12.若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．13.设集合U={}0,1,2,3,4,5，A 是U 的子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么U 的子集中无“孤立元素”且含有四个元素的集合的个数是 。

14. 设集合{1,2,3,,}A n =，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值= ．15. 设非空集合|||S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈。

给出如下三个命题：①若1m =，则|1|S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤。

其中正确命题的序号是：一．选择题（每题5分共30分）：二．填空题（每题5分共45分）：7. ； 8. ； 9. ；10. ； 11. ； 12. ；13. ； 14. ； 15. ； 三．解答题：（16,17每题10分，18题5分共25分）16. 已知集合A={}{}{}2222190,560,280,x x mx m B y y y C z z z -+-==-+==+-= 是否存在实数m 同时满足,.AB AC φφ≠=17. 已知集合P={}{}45,,121,x x x R Q X k x k x R ≤<∈=+≤<-∈,求P Q Q ⋂≠ 时，实数k 的取值范围。

太原五中2015-2016学年度第一学期阶段性检测高 一 数 学一、选择题(每小题4分,共40分)1.设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是（ ）A ．M N R =B ．R NC M R = C ．R M C N R =D ．M N M =2.函数1252)1()(20++-+=x x x x f 的定义域是( ) A.)23,1()1,4(--- B.),4()1,23()23,(+∞----∞ C.)4,1()1,23(--- D ．)4,1()1,23()23,(-----∞ 3．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数4.若函数)(x f 满足89)23(+=+x x f ，则)(x f 的解析式是( )A ．89)(+=x x fB ．23)(+=x x fC ．43)(--=x x fD ．23)(+=x x f 或43)(--=x x f5．关于x 的方程0124)3(2=-+-+m mx x m 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么m 的取值范围是( )A ．)0,3(-B ．)3,0(C ．），（），（∞+-∞-03D ．），（），（∞+∞-306. 已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 37.若函数)(x f 为偶函数，且在),0(+∞上是减函数，又0)3(=f ，则0)()(<-+xx f x f 的解集为( )A ． )3,3(-B ．),3()3,(+∞--∞C ．),3()0,3(+∞-D ．)3,0()3,( --∞8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立,则实数a 的取值范围为 （ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞C ．]2,(-∞D ．)2,813[ 9.定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++= ( )A.336B.355C.335D.33710.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若任取 R x ∈，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ） A.]61,61[- B.]66,66[- C. ]31,31[- D. ]33,33[- 二、填空题(每小题4分，共20分)11.设函数,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____12．偶函数)(x f 的定义域为R ，当),0[+∞∈x 时，)(x f 是增函数，则不等式)1()(f x f >的解集是________． 13.213125.01041])833(81[])87(3[)8110000(----+⨯⨯-= ________ 14.设2,,(),.x x a f x x x a <⎧=⎨≥⎩对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则a 的取值范围是 .15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 三、解答题(每小题10分，共40分)16.已知集合}73|{≤≤=x x A ，}102|{<<=x x B ，}|{a x x C <=．(1)求B A ；(2)求B A C R )(；(3)若A C A = ，求a 的取值范围．17．已知定义域为R 的函数1()21x f x a =++为奇函数。

太原五中2014-2015学年度第一学期期末高一数理能力测试（数学）一．选择题（每题5分）1.若关于x 的方程24||kx x x =+有四个不同的实根，则k 的取值范围是( )A.(0,1)B. )1,41(C. ),41(+∞ D. ),1(+∞2.使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是( )A.36-B.3C.36+D.63.已知()|1||2||2015||1||2||2015|f x x x x x x x =+++++++-+-++-L L )(R x ∈,且)1()23(2-=+-a f a a f ，则a 的值有( )A.2个B. 3个C. 4个D.无数个二．填空题（每题5分）4.已知0,0>>b a ，)2(log log log 16129b a b a +==，则a b=5.(,)x y R =∈，则（x ，y ）=6.函数)1)((≠x x f 满足x x x f x f -=-++2017)12014(2)(，则=)2016(f 三．解答题(20分)7.将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈L 从小到大排列构成一个数123n L ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率. 求(100)p ；当2014n ≤时，求()F n 的表达式；（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.数理测试答案选择题CDD填空题 2,)21,23(，1343解：（1）当100n =时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为11(100);192p = （2）,1929,1099()3108,10099941107,10002014n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩（3）当*(19,),()0;n b b b N g n =≤≤∈=当。

太原市2O15-2O16学年第一学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题3分，共36分1、在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是A 、(1)B 、（2）C 、（3）D 、（4）2、与二进制数110⑵ 相等的十进制数是A 、6B 、7C 、10D 、113、甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲乙下成和棋的概率为A 、70%B 、30%C 、20%D 、50%4、现用系统抽样方法从已编号(1-60)的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取 的6枚导弹的编号可能是A 、5，10，15，20，25，30B 、2，4，8，16，32，48C 、5，15，25，35，45，55D 、1，12，34，47，51，605、若A 与B 是互斥事件，则下列结论正确的是A 、P(A)+P(B)＜1B 、P(A)+P(B)＞1C 、P(A)+P(B)＝1D 、P(A)+P(B)≤16、下面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x ，y 的值分别为A 、18，6B 、8，16C 、8，6D 、18，167、执行如图所示的程序框图，若输入的x ＝4.5，则输出的i ＝A 、3B 、4C 、5D 、68、已知样本数据1210,,,x x x gg g 的平均数和方差分别为1和4， 若i i y x a =+(a 为非零常数，i =1，2，…，10)，则数据y 1，y 2，…，y 10的平均数和方差分别为A 、1+a ，4B 、1＋a ，4＋aC 、1，4D 、1，4＋a9、执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝945，则判断框中应填入A 、i ＜6?B 、i ＜7?C 、i ＜9?D 、i ＜10?10、已知函数()2xf x =，若从区间［－2，2］上任取一个实数x ，则使不等式()f x ＞2成立的概率为 A 、14 B 、13C 、12D 、23 11、已知关于某设各的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料，由上表可得线性回归方程$0.08y bx =+$，若规定当维修费用y ＞12时该设各必须报废，据 此模型预报该设各使用年限的最大值为A 、7B 、8C 、9D 、1012.已知实数,a b 满足23,32a b ==，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是A 、（－2，－1）B 、（－1,0）C 、（0,1）D 、（1,2）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2015-2016学年山西省太原五中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题有且只有一个正确答案）1. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个红球”与“都是黑球” C.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” D.“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”2. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则56是（ ）A.乙不输的概率B.乙胜的概率C.甲不输的概率D.甲胜的概率3. 下列判断正确的是（ ）A.系统抽样在第一段抽样时一般采用简单随机抽样B.一般茎叶图左侧的叶按从小到大的顺序写，右侧的数据按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次C.分层抽样每个个体入样可能性不同D.两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件4. 下列问题中，应采用哪种抽样方法（ ）①有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样； ②有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样； ③有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样； ④有甲厂生产的300 个篮球，抽取50个入样． A.分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样 B.分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样 C.抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法 D.抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样5. 下列问题中是古典概型的是（ ）A.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率B.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率C.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率D.在区间[1, 4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率6. 已知函数f(x)=6x−log 2x ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A.(1, 2)B.(0, 1)C.(4, +∞)D.(2, 4)7. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20, 45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）A.32.6岁B.31.6岁C.33.6岁D.36.6岁8. 根据如图所示程序框图，当输入x 为6时，输出的y =( )A.2B.1C.10D.59. 现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ） A.0.8192 B.0.852C.0.8D.0.7510. 已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程为y =2.1x +0.85，则m 的值为（ ） A.0.85B.1C.0.5D.0.7二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）函数f(x)=log 3(x 2−2x −3)的单调增区间为( ) A.(1,+∞) B.(−∞,−1) C.(−∞,1) D.(3,+∞)在区间(0, 1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率为________．程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S =132，那么判断框中应填入________；已知函数f(x)={−x −1(−1≤x <0)−x +1(0<x ≤1)，则f(x)−f(−x)>−1的解集为________．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 都有f(x +2)=−f(x)，当x ∈[0, 2]时，f(x)=2x −x 2，则f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2015)=________．三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表，如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90, 95)的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80, 85)和[95, 100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80, 85)的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量之差的绝对值大于5的概率．2015年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：（I ）若该演员的粉丝数量y 与上春晚次数x 满足线性回归方程，试求回归方程y ̂=b ̂+a ̂，并就此分析：该演员上春晚12次时的粉丝数量；（II ）若用yi x i(i =1,2,3,4,5)表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）：（1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；（2）从“即时均值”中任选3组，求这三组数据之和不超过20的概率． （参考公式：y ̂=∑n ∑x i2n i=1−nx ¯2）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n 的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0, 1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．．已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2, 3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x)x(1)求a，b的值；(2)若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]上恒成立，求实数k的取值范围；(3)若f(|2x−1|)+k⋅2−3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．|2x−1|参考答案与试题解析2015-2016学年山西省太原五中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题有且只有一个正确答案）1.【答案】此题暂无答案【考点】互斥事都右对立事件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】等可能表件型概率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】简单体机板样【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】简单体机板样【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】众数、中正数、平均测【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】模拟方射估计概纳【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求线性目于函数虫最值几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数水因期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】此题暂无答案【考点】列举法体算土本母件数及骨件发生的概率分层使求方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】程正然图古典因顿二其比率计算公式几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题二次于数在落营间上周最值一元二水都程的根证分布钱系数的关系函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

一、单选题1．已知集合,,若,则( ) {}1,21A a =-{},B a b ={}3A B ⋂=a b +=A ．7 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】3在A 中，也在B 中，从而先确定，再确定 a b 【详解】因为,所以,即,从而 {3}A B ⋂=213-=a 2a =3b =所以 5a b +=故选：C2．已知，则（ ）tan 5α=2sin 3cos 3sin 2cos αααα+=-A ．B ．1C ．D ．171335713【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果． 【详解】，2sin 3cos 2tan 325313sin 2cos 3tan 2352αααααα++⨯+===--⨯-故选：B ．3．设x ，y 都是实数，则“且”是“且”的（ ） 1x >>5y 6x y +>5xy >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案. 【详解】由且，必有且； 1x >>5y 6x y +>5xy >当且时，如，不满足，故不一定有且． 6x y +>5xy >12x =12y =1x >1x >>5y 所以“且”是“且”的充分不必要条件． 1x >>5y 6x y +>5xy >故选：A ．4．已知函数，则函数的值域为（ ）()()22log log 88x f x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()f x A ． B ． C ． D ．[]9,0-[)9,-+∞(],9-∞-[]12,0-【答案】B【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域． ()()22log 9f x x =-【详解】．故的值域为．()()()()2222log 3log 3log 9f x x x x =-+=-()f x [)9,-+∞故选：B ．5．已知函数，则的解集为（ ）||2()32x f x x =++(21)(3)f x f x ->-A ．B ．4(,3-∞4(,)3+∞C ．D ．4(2,)3-4(,2)(,)3-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可()f x [0,)+∞结合奇偶性与单调性解不等式得解集. 【详解】解：因为，则||2()32x f x x =++x ∈R 所以，则为偶函数，||2||2()3()232()x x f x x x f x --=+-+=++=()f x 当时，，又，在上均为增函数，所以在上0x …2()32x f x x =++3x y =22y x =+[0,)+∞()f x [0,)+∞为增函数，所以，即，解得或， (21)(3)f x f x ->-|21||3|x x ->-<2x -43x >所以的解集为(21)(3)f x f x ->-4(,2)(,).3-∞-⋃+∞故选：D.6．已知，则（ ）3cos 5αα=πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ．47504750-4150-4150【答案】D【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可.3sin 610πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】，则，3cos 2sin π65ααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭3sin 610πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭则，241cos 2cos 212sin 36650πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.7．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是()68,0lg ,0 x m x f x x m x ++≤⎧=⎨+>⎩()f x 123,,x x x 123x x x （ ）A ．B ．C ．D ．4,03⎛⎤- ⎥⎝⎦(],0-∞(),0∞-4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同()f x 123,,x x x ()68,0lg ,0 x x g x x x +≤⎧=⎨>⎩y m =-的交点，借助的图象求解即可.()g x 【详解】设，()68,0lg ,0 x x g x x x +≤⎧=⎨>⎩则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点.()f x 123,,x x x ()68,0lg ,0 x x g x x x +≤⎧=⎨>⎩y m =-的图象如图所示.()68,0lg ,0 x x g x x x +≤⎧=⎨>⎩不妨设，所以，123x x x <<()()1234,0,0,1,1,3x x x ∞⎛⎤∈-∈∈+ ⎥⎝⎦所以，即，即，所以，23lg lg x x =23lg lg x x -=23lg lg 0x x +=231x x =所以，12314,03x x x x ⎛⎤=∈- ⎥⎝⎦故选：A.8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得()f x D ()f x D [],()a b D a b ⊆<在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实()f x [],a b [],a b ()y f x =()f x k =数的取值范围是（ ）k A ．B ．C ．D ．11,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,34⎛⎤ ⎥⎝⎦11,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭111,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，可知是方程在()f x ,a b k x +=上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令[)3,x ∈+∞t =230t t k -+-=[)0,t ∈+∞，建立关于的不等式组，解之即可．2()3g t t t k =-+-k【详解】上单调递增，则 ()f x k =[)3,x ∈+∞()()f a k af b k b ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩所以是方程在上的两个不等实根，,a b k x =[)3,x ∈+∞令，则，t =()230x t t =+≥所以在上有两个不等实根， 230t t k -+-=[)0,t ∈+∞令，对称轴， 2()3g t t t k =-+-12t =则，即，解得．(0)0Δ14(3)0g k ≥⎧⎨=-⨯->⎩304110k k -≥⎧⎨->⎩11,34k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：B ．二、多选题9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）()f x x α=18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．是奇函数23α=-()f x C ．是偶函数 D ．在上单调递增()f x ()f x (),0∞-【答案】ACD【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一()23f x x -==求解.【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以()f x x α=18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭184α=232223αα-=⇒-=23α=-，故A 正确：，关于原点对称，所以()23f x x-==()()0,,0+∞⋃-∞()()f x f x -==，所以是偶函数，故B 错误，C 正确：()f x 又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，0α<()f x ()0,∞+()f x ()f x (),0∞-故D 正确． 故选：ACD ．10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法()f x R ()0,x ∈+∞()()22log 211f x x =+-正确的是（ ） A ．752f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．当时， (),0x ∈-∞()()212log 21f x x =--+C ．在上单调递增()f x R D ．不等式的解集为()1f x ≥1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】BD【分析】由奇函数的定义可求解A 、B ；用特值法可判断C ；分段求解不等式可判断D.【详解】，故A 错误；27772log 2115222f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，，所以，故(),0x ∈-∞()0,x -∈+∞()()()()222log 21112log 21f x f x x x ⎡⎤=--=--+-=--+⎣⎦B 正确；因为，，又，故C 错()00f =11442212112log 211222f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪=⨯+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()114421210,022f f ⎛⎫-- ⎪<> ⎪ ⎪⎝⎭误；当时，，解得； ()0,x ∈+∞()()22log 2111f x x =+-<12x ≥当时，，无解；(),0x ∈-∞()()212log 211f x x =--+<当时，，所以不等式的解集为，故D 正确.0x =()00f =()1f x ≥1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：BD.11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．π3ϕ=-B ．的单调减区间为 ()f x 5π2π11π2π,,183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图象的一条对称轴方程为()f x 29π18x =D ．点是图象的一个对称中心 11π,09⎛⎫⎪⎝⎭()f x 【答案】ABC【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合3π3,2T A ==3ω=5π,318⎛⎫⎪⎝⎭()()3sin 3f x x ϕ=+得，得，即可判断A ；根据三角函数的性质可判断B 、C 、D.π2ϕ<π3ϕ=-()33π3sin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】由题可知，所以，解得， π5π3,218183πT A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭223ππT ω==3ω=所以，又在的图象上，所以，()()3sin 3f x x ϕ=+5π,318⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5π33sin 6ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，所以，又，所以，5π2π,62πk k ϕ+=+∈Z π2π,3k k ϕ=-+∈Z π2ϕ<π3ϕ=-所以，故A 正确；()33π3sin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，解得， ππ3π2π32π,232k x k k +≤-≤+∈Z 5π2π11π2π,183183k k x k +≤≤+∈Z 所以的单调减区间为，故B 正确； ()f x 5π2π11π2π,,183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 令，解得，当时，，故C 正确；ππ3π,32x k k -=+∈Z 5ππ,183k x k =+∈Z 4k =29π18x =令，解得，令，则，故D 错误.3π,π3x k k -=∈Z ππ,93k x k =+∈Z π1π,9391πk k +=∈Z 103k =∉Z 故选：ABC.12．已知函数，则（ ） ()sin cos2f x a x x =-A ．的最小正周期为()f x πB ．函数的图象关于点对称()f x ()π,0C ．当时，函数在上单调递增2a =-()f x ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭D ．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭a ()1,-+∞【答案】CD【分析】利用周期的定义可判断A ；利用对称性的概念可判断B ；利用复合函数的单调性可判断C ；设，可得在上有解，结合函数的单调性即可判断D.sin t x =12a t t=-+()0,1【详解】因为，所以当时，()()()πsin πcos2πsin cos 2f x a x x a x x +=+-+=--0a ≠，故A 错误；()()πf x f x +≠因为，所以函数的图象不关()()()()2πsin 2πcos 22πsin cos 2f x a x x a x x f x ⎡⎤-=---=--≠-⎣⎦()f x 于点对称，故B 错误；()π,0当时，，设，当2a =-()()222132sin 12sin 2sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=---=--=-- ⎪⎝⎭sin t x =时，单调递增且，又函数在上单调递增，由复合ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin t x =1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭213222y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭函数的单调性可知，函数在上单调递增，故C 正确；()f x ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭由，设，则当时，，又在上有解，()22sin sin 1f x x a x =+-sin t x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1t ∈()0f x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故方程在上有解，得在上有解，易知在上单调递2210t at +-=()0,112a t t =-+()0,112y t t =-+()0,1减，所以，故D 正确. ()1,a ∈-+∞故选：CD.三、填空题13．__________. sin2025=【答案】 【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值计算即可.【详解】. ()()sin2025sin 5360225sin225sin 18045sin45=⨯+==+=-=故答案为：. 14．已知函数，则__________. ()312133x f x ax bx +=++++()()20222022f f +-=【答案】##83223【分析】根据指数幂的运算性质直接化简计算即可求解. ()()20222022f f +-【详解】()()20222022f f +-33202212022122202220221(2022)202213333a b a b +-+=+⋅++++⋅--+++332022120221222022202212022202213333a b a b +-+=+⋅+++-⋅-+++20221202212223333+-+=++++ 2022202320212022223233(33)3-⋅=++++⋅. 22022202282331331++=⋅+=故答案为：.8315．__________.cos12cos18sin60sin18-=【答案】##0.512【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解即可得答案．【详解】 cos12cos18sin60sin78cos18sin60sin18sin18--=sin78cos18sin60sin18-= ()sin 1860cos18sin60sin18+-=sin18cos60cos18sin60cos18sin60sin18+-=， sin18cos601cos60sin182===故答案为：.12四、双空题16．已知函数若关于x 的方程有4个解，分别为，，()()2ln 1,1,21,1,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨++≤⎪⎩()()1f x m m =≠1x 2x ，，其中，则______，的取值范围是______．3x 4x 1234x x x x <<<3411x x +=12341111x x x x +++【答案】 1()5,1,3⎡⎫∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图()f x ()()1f x m m =≠()y f x =(1)y m m =≠象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结12,x x 34,x x 合图象，可得m 的范围，综合分析，即可得答案.【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象()f x ()()1f x m m =≠()y f x =(1)y m m =≠有4个交点，且，如图所示：1234x x x x <<<由图象可知：且 04m <≤1m ≠因为， 1234()()()()f x f x f x f x ===所以，1234112x x x x <-<<<<<由，可得， 34()()f x f x m ==()()34ln 1ln 1x x -=-因为，所以 342x x <<()()34ln 1ln 1x x -=--所以，整理得； ()()34111x x --=34111xx +=当时， 令，可得， 1x ≤221x x m ++=2210x x m ++-=由韦达定理可得 12122,1x x x x m +=-=-所以， 121212112211x x x x x x m m +-+===--因为且，04m <≤1m ≠所以或，则或， 111m <--1113m ≥-2111m +<--25113m +≥-所以 ()12341111251,1,13x x x x m ∞∞⎡⎫+++=+∈--⋃+⎪⎢-⎣⎭故答案为：1，．()5,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再()y f x =(1)y m m =≠结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.五、解答题17．已知集合，非空集合.()(){}=+21<0A x x x -(){}2=2<2+B x x m x m -(1)当时，求；=1m ()R A B ⋃ð(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. x B ∈x A ∈m 【答案】(1)或{|2x x ≤-1}x ≥(2) 24m -<≤【分析】（1）由可得，则，再求补集即可； =1m =B 1{|1}2x x -<<{}=2<<1A B x x ⋃-（2）“”是“”的充分条件可知且，分情况讨论即可.x B ∈x A ∈B A ⊆B ≠∅【详解】（1）当时， =1m {}221B x x x =<+=1{|1}2x x -<<， ()(){}{}21021A x x x x x =+-<=-<<则，{}=2<<1A B x x ⋃-所以.(){}R 21A B x x x ⋃=≤-≥或ð（2），(){}()(){}222210B x x m x m x x m x =<-+=+-<因为“”是“”的充分条件， x B ∈x A ∈所以且，故， B A ⊆B ≠∅2m ≠-当，即时，，12m->2m <-=1<<2m B x x -⎧⎫⎨⎬⎩⎭因为，{}=2<<1A x x -所以不成立，即不符合题意； B A ⊆2m <-当，即时，，12m-<2m >-=<<12m B x x -⎧⎫⎨⎬⎩⎭则有解得.2,2,2m m >-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩24m -<≤综上，的取值范围为.m 24m -<≤18．设函数.()2cos (sin cos )1π2f x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭(1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； ()f x (2)求在上的最值.()f x π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)；；ππ,Z 122k x k =-+∈ππ,Z 26k k ⎛+∈ ⎝(2)min ()2f x =-+max ()f x =【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案；()f x（2）利用函数的单调性求出最值．【详解】（1）因为， ()22sin cos sin22cos 2π6f x x x x x x x ⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭令，解得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以的对称轴方程为， ()f x ππ,Z 122k x k =-+∈令，得， ππ2π,Z 62x k k +=+∈ππ,Z k x k =+∈26可得函数图象的对称中心的坐标为； ()f x π,Z 2π6k k ⎛+∈ ⎝（2）因为，所以， π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎣⎦11π266π,3πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，解得， π2π6x +=5π12x =所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x 5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π5π,126⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，，故min 5π()212f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π11π2cos 1,2cos 3π1266πf f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max ()f x =19．已知. ()()()22224,f x m x m x m =---+∈R (1)当时，求不等式的解集；3m =()70f x ->(2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围.()()2log g x f x =R m 【答案】(1)()(),13,-∞-⋃+∞(2) {26}mm <∣…【分析】(1)根据不含参的一元二次不等式的解法即可求解；(2)当时不等式成立；当时，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式组，解之即可.2m =2m ≠【详解】（1）当时，，3m =22470x x -+->或，()()2230,310,3x x x x x -->-+>>1x <-则的解集为；()70f x ->()(),13,-∞-⋃+∞（2）由题意可知恒成立.()()222240m x m x ---+>①当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意；20m -=2m =40>x ∈R 2m ∴=②当，即时，对于任意恒成立，20m -≠2m ≠()()222240m x m x ---+>x ∈R只需， ()()220224240m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤----⨯<⎪⎣⎦⎩解得，所以. 226m m >⎧⎨<<⎩26m <<综合①②可得实数的取值范围是. m {26}mm ≤<∣20．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇MON 2π240,,3ON MON MON ∠∠==P A 形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平PM A OP B ,A B OP 行线，交于点.,OM ON ,D C(1)若，求； π3AOB ∠=AD (2)求四边形的面积的最大值.ABCD【答案】(1)(2)【分析】（1）记与的交点分别为，，求得,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=，进而得cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===可得结果； AD EF OE OF ==-（2）设，仿照（1）的思路，求得，，AOP x ∠=240cos ,240sin OE x AE x ==2480sin AB AE x ==，从而得的表达式，利用三角恒等变换化简，利用三角函数240cos AD x x =-=⋅S AB AD 的性质求得最大值.【详解】（1）连接，记与的交点分别为，， ,OA OB ,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=故，cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===AD EF OE OF ==-==（2）连接，记与的交点分别为，,OA OB ,AB DC OP ,E F 设， ,0,π3AOP x x ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则，，cos 240cos ,sin 240sin OE OA AOP x AE OA AOP x =∠==∠=2480sin AB AE x ==， tan t π33πan DF AE OF x ===，240cos AD EF OE OF x x ==-=-所以四边形的面积 ABCD ()480sin 240cos S AB AD x x x =⋅=-)211cos sin 2cos 222x x x x x ⎫=-=+-⎪⎪⎭1sin 262πx ⎤⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎦因为，， π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭526πππ,66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当，即时，π22π=6x +π6x =max S =21．已知，且，. 22m n +=1m >-0n >(1)求的最小值； 121m n++(2)求的最小值. 224221m n n m +++【答案】(1)3；(2). 45【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基()1213m n ++=121m n ++()1412123m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭本不等式，即可求得的最小值； 121m n ++（2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将9169122m n +-++()()12215m n +++=变形为，展开用基本不等式，即可求得9169122m n +-++()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭-的最小值. 224221m n n m +++【详解】（1）因为，， 123m n ++=()1213m n ++=所以 ()14121214121123m n m n m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭+=+=++，24(1)141233n m m n +++++=≥=当且仅当，且，即，时等号成立， ()41212m n m n+=+22m n +=0m =1n =则的最小值为3. 121m n ++（2） ()()()()222222222212422122111n m n m m n n m n m n m ----+=+=+++++++ ()()()()2221818161911n n m m n m +-+++-++=+++ ()892181611n m n m =++-+++-++ 98911m n =+-++， 9169122m n =+-++因为，所以， 1225m n +++=()()12215m n +++=所以原式 ()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭=-，()()92216191612295n m m n +++++++=- 9≥494955=-=当且仅当，且，即，时等号成立， ()()922161122n m m n ++=++22m n +=87m =37n =则的最小值为. 224221m n n m +++4522．已知函数，其中，若将的图象向左平移个()()cos π2πf x x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭06ω<<()f x π6单位长度，得到的图象，且函数为奇函数.()y g x =()y g x =(1)求函数的解析式；()f x (2)若关于的方程在区间上有三个不相等的实数根，求实数的取值x ()()2[]20f x mf x --=π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭m 范围.【答案】(1) ()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)1m -<< 【分析】（1）化简，利用图象平移规律得，由()in 3π2s f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()2sin π6π3g x x ωω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭结合求得，即可得解；()00g =06ω<<ω（2）令，方程可化为，令，，问题转化πsin 43t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2210t mt +-=()221h t t mt =+-1t <≤为关于的方程在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另t ()0h t =⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝一实根在区间上，分类讨论求解即可.⎫⎪⎪⎭【详解】（1）， ()sin 2sin 3πf x x x x ωωω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭. ()2sin 2sin π63π6π3πg x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦又是奇函数，所以，有，()g x ()()g x g x -=-()00g =可得， ()02sin 0π3π6g ω⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭整理得， ππ,63πk k ω∴+=∈Z 26,k k ω=-+∈Z 由，有，得， 06ω<<0626k <-<1433k <<由，可得，，经检验符合题意，k ∈Z 1k =4ω∴=. ()π2sin 43f x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭（2）由（1）知方程()()2[]20f x mf x --=可化为，可得 24sin 42sin 420ππ33x m x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 4sin 410π3π3x m x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，方程可化为，令， πsin 43t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2210t mt +-=()221h t t mt =+-由，可得，可得， π04x <<3ππ4π433x <+<1t <≤若关于的方程在区间上有三个不相等的实根，可知关于的方程x ()()2[]20f x mf x --=π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭t 在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另一实根在区间()0h t =⎫⎪⎪⎭⎛⎝上，⎫⎪⎪⎭①关于的方程在和上分别有一个实根时，t ()0h t =⎫⎪⎪⎭⎛⎝，解得()310231021210 h h h m ⎧⎛=->⎪⎪⎝⎪⎪=-<⎨⎪⎪=+->⎪⎪⎩1m -<<②关于的方程，可得t ()0h t =102h ==m =此时可化为，所得 ()0h t=2210t -=t =t =-③关于的方程的一个根为1时，，可得，此时有t ()0h t =()1210h m =+-=1m =-()0h t =，解得或，由，不合题意， 2210t t --=1t =12t =-12⎫-∉⎪⎪⎭由上知1m -<<。

太原五中2015-2016学年度第一学期阶段性练习高 一 数 学命题、校对：李廷秀、王文杰（2015.9. 16）一、选择题(每小题6分)1.不等式0432<++-x x 的解集为 （ ） A ．{}41<<-x x B ．{}14-<>x x x 或 C ．{}41-<>x x x 或 D ．{}14<<-x x2．不等式 224-≤-x x 的解集是 ( ) A ．{}420≤<≤x x x 或 B ．{}420≥<≤x x x 或 C ．{}42<≤x x D ．{}42>≤x x x 或3. 不等式2)1(52≥-+x x 的解集是 ( ) A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-213x x B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-321x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤31121x x x 或 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-31121x x x 或 4. 不等式052>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2131x x ，则a 、c 的值为 （ ） A ．1,6==c a B. 1,6-=-=c a C. 1,1==c a D.6,1-=-=c a5. 不等式组223x x 20,4x 15x 90⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩的解集是 ( ) A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤4332x x B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥132x x x 或 C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>433x x x 或 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-≤>433213x x x x 或或 6．已知不等式03>+-bax x 的解集为}31|{<<-x x ，那么=-a b b a 23332 （ ）A ．3B ．31-C ．-1D ．1 7. 关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围( ) A ．{}54<<a a B ．{}5423<<-<<-a a a 或 C ．{}54≤<a a D ．{}5423≤<-<≤-a a a 或8．已知,0>a 则不等式01)2(2>++++a x a x 的解集是( )A ．{})1(1+-<<-a x x B.{})1(1+-<->a x x x 或 C. {})1(1+->-<a x x x 或 D.{}1)1(-<<+-x a x二、填空题(每小题6分)9. 不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集是空集，则实数a 的取值范围是______．10. 若关于x 的不等式 0622<+-t x tx 的解集是{}1><x a x x 或，则a 的值为_______.11．不等式01)3()32(22<-----x m x m m 对一切R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ．12. 若关于x 的不等式021212≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+nx x 对任意*N n ∈在{}λ≤∈x x x 上恒成立，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题13.（8分）解不等式15202<-≤x x .14.（10分）解关于x 的不等式)(1222R a a ax x ∈>-.15. （10分） 解关于x 的不等式：ax x ax -≥-222．太原五中2015-2016学年度第一学期阶段性练习高一数学答题纸（2015.9.16）一、选择题(每小题6分)二、填空题(每小题6分)9. ______．10. _______.11．．12. ．三、解答题13.（8分）14.（10分）15. （10分）。

2015-2016学年山西省太原五中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题有且只有一个正确答案）1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则是（）A．乙胜的概率B．乙不输的概率 C．甲胜的概率D．甲不输的概率3．下列判断正确的是（）A．一般茎叶图左侧的叶按从小到大的顺序写，右侧的数据按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次B．系统抽样在第一段抽样时一般采用简单随机抽样C．两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件D．分层抽样每个个体入样可能性不同4．下列问题中，应采用哪种抽样方法（）①有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；②有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；③有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；④有甲厂生产的300 个篮球，抽取50个入样．A．分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样B．分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样C．抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样D．抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法5．下列问题中是古典概型的是（）A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率6．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（）A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁8．根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A．1 B．2 C．5 D．109．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.7510．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）11．函数f（x）=log3（x2﹣2x﹣3）的单调增区间为．12．在区间（0，1）内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率为．13．程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入；14．已知函数f（x）=，则f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集为．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）= ．三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表，如下：分组（重量）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）频数（个）x 10 20 15（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量之差的绝对值大于5的概率．17．2015年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：上春晚次数x（单位：次）2 4 6 8 10粉丝数量y（单位：万人）10 20 40 80 100（Ⅰ）若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程=+，并就此分析：该演员上春晚12次时的粉丝数量；（Ⅱ）若用表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）：（1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；（2）从“即时均值”中任选3组，求这三组数据之和不超过20的概率．（参考公式： =）18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．19．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2015-2016学年山西省太原五中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题有且只有一个正确答案）1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【考点】互斥事件与对立事件．【专题】概率与统计．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D【点评】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则是（）A．乙胜的概率B．乙不输的概率 C．甲胜的概率D．甲不输的概率【考点】等可能事件的概率．【专题】概率与统计．【分析】求得甲获胜的概率为，可得表示甲没有获胜的概率，即乙不输的概率．【解答】解：由题意可得，甲获胜的概率为1﹣﹣=，而1﹣=，故表示甲没有获胜的概率，即乙不输的概率，故选B．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，事件和它的对立事件概率间的关系，属于中档题．3．下列判断正确的是（）A．一般茎叶图左侧的叶按从小到大的顺序写，右侧的数据按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次B．系统抽样在第一段抽样时一般采用简单随机抽样C．两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件D．分层抽样每个个体入样可能性不同【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】分别根据相应的定义判断即可．【解答】解：对于A，相同数据需要重复记录；故错误，对于B．系统抽样在第一段抽样时一般采用简单随机抽样，故正确，对于C，事件A与事件B的和事件是指该事件发生当且仅当事件A或事件B发生，故错误，对于D，分层抽样是一种等可能抽样，故错误故选B．【点评】本题考查了茎叶图和系统抽样分层抽样以及互斥事件的概率的问题，属于基础题．4．下列问题中，应采用哪种抽样方法（）①有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；②有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；③有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；④有甲厂生产的300 个篮球，抽取50个入样．A．分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样B．分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样C．抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样D．抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样．【解答】解：总体容量较小，用抽签法；总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样；总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法；总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样，故选C．【点评】本题考查收集数据的方法，考查系统抽样，分层抽样，简单随机抽样的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．下列问题中是古典概型的是（）A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】应用题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据古典概型的特征：有限性和等可能性进行排除即可．【解答】解：A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．故选：D．【点评】本题考查古典概型的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型的两个特征：有限性和等可能性的合理运用．6．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．7．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（）A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁【考点】用样本的频率分布估计总体分布；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】由于在频率分布直方图中，中位数使得直方图左右两侧频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．由残缺的频率分布直方图可求[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50，可知中位数在区间[30，35）内，再根据频率即可求出中位数．【解答】解：由图知，抽到的司机年龄都在[30，35）岁之间频率是0.35；抽到的司机年龄都在[35，40）岁之间频率是0.30；抽到的司机年龄都在[40，45）岁之间频率是0.10．由于在频率分布直方图中，中位数使得左右频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．而[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50；故中位数在区间[30，35）内，还要使其右侧且在[30，35）岁之间频率是0.10，所以中位数是35﹣≈33.6．故答案选C．【点评】本题考查了由频率分布直方图得出中位数的内容，要掌握在频率分布直方图中，中位数使得直方图左右两侧频率相等，即使得直方图左右两侧面积相等．8．根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A．1 B．2 C．5 D．10【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=6x=3满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣3不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．9．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为0.75．故选：D．【点评】本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．10．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．【解答】解：∵==， =，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）11．函数f（x）=log3（x2﹣2x﹣3）的单调增区间为（3，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log3（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间【解答】解：函数y=log3（x2﹣2x﹣3）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）令t=x2﹣2x﹣3，则y=log3t∵y=log3t为增函数t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）上为减函数；在（3，+∞）为增函数∴函数y=log3（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（3，+∞）故答案为：（3，+∞）【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于为，而错答为（1，+∞）12．在区间（0，1）内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率为．【考点】简单线性规划的应用；几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】设取出的两个数分别为x、y，可得满足“x、y∈（0，1）”的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，而事件“两数之和小于”对应的区域为正方形的内部且在直线x+y=下方的部分，根据题中数据分别计算两部分的面积，由几何概型的计算公式可得答案．【解答】解：设取出的两个数分别为x、y，可得0＜x＜1且0＜y＜1，满足条件的点（x，y）所在的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，即如图的正方形OABC的内部，其面积为S=1×1=1，若两数之和小于，即x+y＜，对应的区域为直线x+y=下方，且在正方形OABC内部，即如图的阴影部分．∵直线x+y=分别交BC、AB于点D（，1）、E（1，），∴S△BDE=××=．因此，阴影部分面积为S'=S ABCD﹣S△BDE=1﹣=．由此可得：两数之和小于的概率为P==．故答案为：．【点评】本题给出在区间（0，1）内随机地取出两个数，求两数之和小于的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、正方形和三角形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于中档题．13．程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入k≤10（或k ＜11）；【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．【解答】解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…，∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10，∴判断框的条件是k≤10（或k＜11），故答案是k≤10（或k＜11），【点评】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值．14．已知函数f（x）=，则f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集为[﹣1，﹣）∪﹙0，1] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的解析式为分段函数，故可分当﹣1≤x＜0时和0＜x≤1时两种情况，结合函数的解析式，将不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1具体化，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当﹣1≤x＜0时，则：0＜﹣x≤1f（x）=﹣x﹣1，f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1，即：﹣2x﹣2＞﹣1，得：x＜﹣又因为：﹣1≤x＜0所以：﹣1≤x＜﹣当0＜x≤1时，则：﹣1≤﹣x＜0此时：f（x）=﹣x+1，f（﹣x）=﹣（﹣x）﹣1=x﹣1f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1，即：﹣2x+2＞﹣1，得：x＜3/2又因为：0＜x≤1所以：0＜x≤1综上，原不等式的解集为：[﹣1，﹣）∪（0，1]故答案为：[﹣1，﹣）∪（0，1]【点评】本题考查的知识点是分段函数，不等式的解法，其中利用分类讨论思想根据函数解析式将抽象不等式具体化是解答的关键．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）= 0 ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2，∴f（0）=0，f（1）=2﹣1=1，f（2）=0，f（3）=﹣1，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×（0+1+1﹣1）=0．故答案为：0【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表，如下：分组（重量）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）频数（个）x 10 20 15（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量之差的绝对值大于5的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）重量在[90，95）的频率为；（2）由x+10+20+15=50得x=5，所以重量在[80，85）的个数为：；（3）由（2）知，重量在[80，85）的个数为1，记为x重量在[95，100）的个数为3，记为a，b，c．从抽取的4个苹果中任取2个，基本事件有：（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），（b，c）6种，其中满足“重量之差的绝对值大于5”即：抽取的两个苹果重量在[80，85）和[95，100）中各一个，包含（x，a），（x，b），（x，c）3种情况，所以概率为：．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．17．2015年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：上春晚次数x（单位：次）2 4 6 8 10粉丝数量y（单位：万人）10 20 40 80 100（Ⅰ）若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程=+，并就此分析：该演员上春晚12次时的粉丝数量；（Ⅱ）若用表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）：（1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；（2）从“即时均值”中任选3组，求这三组数据之和不超过20的概率．（参考公式： =）【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得到回归方程，并用回归方程进行数值估计；（II）（1）求出5组即时均值，根据方差公式计算方差；（2）利用古典概型的概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）经计算可得：，，，，所以： ==12， =﹣=﹣22，从而得回归直线方程=12x﹣22．当x=10时， =12x﹣22=12×12﹣22=122．该演员上春晚12次时的粉丝数量122万人．（Ⅱ）经计算可知，这五组数据对应的“即时均值”分别为：5，5，7，10，10，（1）这五组“即时均值”的平均数为：7.4，则方差为；（2）这五组“即时均值”可以记为A1，A2，B，C1，C2，从“即时均值”中任选3组，选法共有=10种情况，其中不超过20的情况有（A1，A2，B），（A1，C1，C2），（A2，C1，C2）共3种情况，故所求概率为：．【点评】本题考查了利用最小二乘法求回归直线方程，结合回归直线方程进行预测，平均数、方差的计算，古典概型的计算．属于基础题．18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．【点评】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．19．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f （x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为 2x+﹣2≥k•2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，从而求得k的取值范围．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0⇒|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为 2x+﹣2≥k•2x，可化为 1+（）2﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为 t∈[，2]，故 h（t）min=h（1）=0，所以k的取值范围是（﹣∞，0]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或∴k＞0．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。

2015-2016学年山西省太原市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分1．在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（）A． B．C．D．【考点】散点图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】观察两个变量的散点图，样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，若带状从左向右上升，是正相关，下降是负相关，由此得出正确的选项．【解答】解：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，对照图形：B中样本点成直线形带状分布，且从左到右是上升的，∴是正相关关系；C中样本点成直线形带状分布，且从左到右是下降的，∴是负相关关系；D中样本点不成直线形带状分布，相关关系不明显．故选：B．【点评】本题考查了变量间的相关关系、散点图及从散点图上判断两个变量有没有线性相关关系的应用问题，是基础题．2．与二进制数110（2）相等的十进制数是（）A．6 B．7 C．10 D．11【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．【解答】解：110（2）=0+1×2+1×22=2+4=6（10）故选：A．【点评】二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重，属于基础题．3．甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲乙下成和棋的概率为（）A．70% B．30% C．20% D．50%【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用对立事件概率计算公式求解．【解答】解：∵甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，∴甲乙下成和棋的概率为：p=80%﹣30%=50%．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．4．现用系统抽样方法从已编号（1﹣60）的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30 B．2，4，8，16，32，48C．5，15，25，35，45，55 D．1，12，34，47，51，60【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：C．【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．5．若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P（A）+P（B）≤1【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】阅读型．【分析】由已知中，A，B为互斥事件，则A∪B为随机事件，当A，B为对立事件时，A∪B 为必然事件，根据随机事件及对立事件的概率我们易得到结论．【解答】解：由已知中A，B为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）≤1当A，B为对立事件时，P（A）+P（B）=1故选D【点评】本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，其中当A，B为对立事件时，A∪B 为必然事件，概率为1，易被忽略而错选A．6．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（）A．18，6 B．8，16 C．8，6 D．18，16【考点】茎叶图．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】利用中位数、平均数计算公式求解．【解答】解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+x，24，27，∵甲组数据的平均数为18，∴5（9+12+10+x+24+27）=90，解得y=8．∵甲组数据为：9，15，10+y，18，24，乙组数据的中位数为16∴10+y=16，解得y=6．故选：C．【点评】本题考查中位数和平均数的求法及应用，是基础题，解题时要注意茎叶图的合理运用．7．执行如图所示的程序框图，若输入的x=4.5，则输出的i=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=4.5，i=1，x=4.5﹣1=3.5；x≥1，i=2，x=3.5﹣1=2.5；x≥1，i=3，x=2.5﹣1=1.5；x≥1，i=4，x=1.5﹣1=0.5；x＜1，终止循环，输出i=4．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．8．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S=945，则判断框中应填入（）A．i＜6？B．i＜7？C．i＜9？D．i＜10？【考点】程序框图．【专题】计算题；对应思想；综合法；算法和程序框图．【分析】由框图得，循环体中的运算是每执行一次S就变成了S×i，i的值变为i+2，故S的值是从1开始的若干个连续奇数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，即可得出正确答案．【解答】解：由题意，S是从1开始的连续多个奇数的乘积，由于1×3×5×7×9=945，故此循环体需要执行5次，所以每次执行后i的值依次为3，5，7，9，11；由于i的值为11时，就应该退出循环，再考察四个选项，D符合题意故选：D．【点评】本题考查了循环结构的应用问题，解题时应根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件，是基础题．10．已知函数f（x）=2x，若从区间[﹣2，2]上任取一个实数x，则使不等式f（x）＞2成立的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；概率与统计．【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．【解答】解：已知区间[﹣2，2]长度为4，满足f（x）＞2，f（x）=2x＞2，解得1＜x≤2，对应区间长度为1，由几何概型公式可得，使不等式f（x）＞2成立的概率P=．故选：A．【点评】本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表示，然后利用公式解答11．已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】线性回归方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】求出，代入回归方程求出，令≤12解出x，【解答】解：=（2+3+4+5+6）=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7）=5．∴5=4+0.08，解得=1.23，∴=1.23x+0.08，令1.23x+0.08≤12解得x≤≈9.7．∴该设备的使用年限最大为9年．故选C．【点评】本题考查了线性回归方程的求解及数值估计，属于基础题．12．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=a x+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．【点评】本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．某研究性学习小组要进行城市空气质量调查，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组的城市数分别为8和24，若用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，则丙组中应抽取的城市数为4．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：由题意，丙组城市数为16，则：用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，丙组中应抽取的城市数为：=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是507．（如表是随机数表第7行至第9行）【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数567合题意，这样依次读出结果，即可得出结论．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数567合题意，这样依次读出结果，选出的第3颗种子的编号是199，第4粒种子的编号是507，故答案为：507．【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．15．执行如图的程序，若输入的m=98，n=63，则输的m=7．【考点】伪代码；程序框图．【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析如图所示的程序，得出程序运行后是用辗转相除法求输入的m、n的最大公约数的问题，从而求出输出的m值．【解答】解：执行如图所示的程序，是用辗转相除法求输入的m、n的最大公约数的应用问题，当m=98，n=63时，输的m=7．故答案为：7．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，是基础题．16．已知甲、乙、丙三位男生和两位女生站成两排照相，女生站前排，男生站后排，则甲乙相邻且甲站在乙右边照相的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】甲、乙、丙三位男生和两位女生站成两排照相，女生站前排，男生站后排，求出基本事件总数和甲乙相邻且甲站在乙右边照相包含的基本事件个数，由此能求出甲乙相邻且甲站在乙右边照相的概率．【解答】解：甲、乙、丙三位男生和两位女生站成两排照相，女生站前排，男生站后排，基本事件总数n==12，甲乙相邻且甲站在乙右边照相包含的基本事件个数m==4，∴甲乙相邻且甲站在乙右边照相的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．三、解答题：本大题共3小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．为了鼓励市民节约用水，太原市对已实施“一户一表、水表出户”的居民生活用水的收费标准规定如下：一级水量每户每月9立方米及以下，每立方米销售价格为2.30元；二级水量每户每月9立方米以上至13.5立方米，每立方米销售价格为4.60元；三级水量每户每月13.5立方米及以上，每立方米销售价格为6.90元，（1）写出太原市居民每户每月生活用水费用y（单位：元）与其用水量J（单位：立方米）之间的关系式；（2）如图是按上述规定计算太原市居民每户每月生活用水费用的程序框图，但步骤没有全部给出，请将其补充完整（将答案写在下列横线上）．①x≤9②y=6.9x③y=2.3x．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；数学模型法；算法和程序框图．【分析】（1）由题意可知所求函数应为分段函数，根据题意即可列出函数关系式；（2）程序框图为条件结构，根据①的条件选择“是““否“两个分支进行执行，结合分段函数的解析式即可得解．【解答】（本题满分为8分）解：（1）由题意可知所求函数应为分段函数，根据题意可得：y=…4分（2）①x≤9，②y=6.9x，③y=2.3x．故答案为：x≤9，y=6.9x，y=2.3x…8分【点评】本题考查的重点是分段函数，考查了选择结构，考查的是函数与生活实际结合的问题，解题的关键是列出分段函数表达式，属于基础题．18．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量J在1，2，3，…，30这30个整数中等可能随机产生．（1）分别求出（按程序框图正确编程运行时）输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，下面是甲、乙所作频数统计表的部分数据：当n=2000时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断甲、乙中谁所编写的程序符合算法要求的可能性较大．【考点】设计程序框图解决实际问题；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；图表型；概率与统计；算法和程序框图．【分析】（1）由题意可得，变量x是从1，2，3，…30这30个整数中可能随机产生的一个数，共有30中结果，当变量x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29这15个整数中产生时，输出y的值为1，所以P1=，当变量x从2，4，6，8，12，14，16，18，22，24，26，28这12个整数中产生时，输出原点值为2，所以P2=，当变量x从10，20，30这3个整数中产生时，输出y的值为3，所以P3=．…（2）当n=2000时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，即可得解．【解答】（本题满分10分）解：（1）由题意可得，变量x是从1，2，3，…30这30个整数中可能随机产生的一个数，共有30中结果，当变量x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29这15个整数中产生时，输出y的值为1，所以P1=，当变量x从2，4，6，8，12，14，16，18，22，24，26，28这12个整数中产生时，输出原点值为2，所以P2=，当变量x从10，20，30这3个整数中产生时，输出y的值为3，所以P3=．…6分【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．已知某海港的货运码头只能停泊一艘货轮，甲、乙两艘货轮都要在此码头停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘货轮中有一艘货轮停泊在此码头，另一艘货轮等待的概率．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；概率与统计．【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率．【解答】解：设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y则所有的基本事件构成的区域Ω=，其面积SΩ=242，如图所示这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A=，即图中阴影部分，其面积为S A=242﹣182，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P（A）==．【点评】本题主要考查建模、解模能力；解答关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率．四.（本小题满分10分）说明：请考生在20、21两个小题中任选-题作答，20．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40，50），[50，60），…，[90，100]），（1）求成绩在[70，80）的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）利用频率分布直方图的意义可得：第四小组的频率=1﹣（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10．（2）利用频率分布直方图的意义可得：平均数=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10．（3）[40，50）与[90.100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1，A2，A3，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，可得基本事件构成集合Ω共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为6个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）第四小组的频率=1﹣（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10=0.25．（2）依题意可得：平均数=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10=72.5，（3）[40，50）与[90，100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1，A2，A3，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω={（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}共有15个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共6个，故概率P==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用、列举法求古典概率及其计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40，50），[50，60），…，[90，100]），已知成绩在[50，60 ）的学生有9人，（1）求成绩在[70，80）的学生人数，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）利用频率分布直方图的意义可得：第二小组的频率，第四小组的频率=1﹣（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10．（2）利用频率分布直方图的意义可得：平均数=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10．（3）[40，50）与[90.100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1，A2，A3，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，可得基本事件构成集合Ω共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为6个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）第二小组的频率为=0.15，第四小组的频率=1﹣（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10=0.25．（2）依题意可得：平均数=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10=72.5，（3）[40，50）与[90，100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1，A2，A3，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω={（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}共有15个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共6个，故概率P==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用、列举法求古典概率及其计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、（本小题满分10分）说明：请考生在22、23两个小题中任选-题作答，22．某公司是一家专做某产品国内外销售的企业，第一批产品在上市40天内全部售完，该公司对第一批产品的销售情况进行了跟踪调查，其调查结果如下：图①中的折线是国内市场的销售情况；图②中的抛物线是国外市场的销售情况；图③中的折线是销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同），（1）求该公司第一批产品在国内市场的日销售量f（t）（单位：万件），国外市场的日销售量g（t）（单位：万件）与上市时间t（单位：天）的关系式；（2）求该公司第一批产品日销售利润Q（t）（单位：万元）与上市时间t（单位：天）的关系式．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据图象写出分段函数，可得国外市场的日销售量g（t）（单位：万件）与上市时间t（单位：天）的关系式；（2）写出这家公司的日销售利润Q（t）的解析式Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]即可．【解答】解：（1）依题意，f（t）=，g（t）=at（t﹣40），∴60=20a（20﹣40），∴a=﹣∴g（t）=﹣t2+6t，0≤t≤40，（2）q（t）=∴这家公司的日销售利润Q（t）的解析式：Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]=．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．23．某公司是一家专做某产品国内外销售的企业，第一批产品在上市40天内全部售完，该公司对第一批产品的销售情况进行了跟踪调查，其调查结果如下：图①中的折线是国内市场的销售情况；图②中的抛物线是国外市场的销售情况；图③中的折线是销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．（1）求该公司第一批产品日销售利润Q（t）（单位：万元）与上市时间t（单位：天）的关系式，（2）求该公司第一批新产品上市后，从哪一天开始国内市场日销售利润不小于国外市场？【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）运用一次函数的解析式可得f（t），再设g（t）=at（t﹣40），代入（20，60），即可得到g（t）；设每件产品A的销售利润为q（t），求得q（t），可得Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]；（2）由题意可得国内外销售利润q（t）与上市时间t相同，要使国内市场日销售利润不小于国外市场，只需国内市场销售量f（t）不小于国外市场日销售量g（t）．讨论t的范围：①当0≤t≤30时，②当30＜t≤40时，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）由图①得函数的解析式为：f（t）=，设国外市场的日销售量g（t）=at（t﹣40），g（20）=20a•（﹣20）=60，解得a=﹣，则g（t）=﹣t2+6t（0≤t≤40）．设每件产品A的销售利润为q（t），则q（t）=，从而这家公司的日销售利润Q（t）的解析式为：Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]=；（2）由题意可得国内外销售利润q（t）与上市时间t相同，要使国内市场日销售利润不小于国外市场，只需国内市场销售量f（t）不小于国外市场日销售量g（t）．①当0≤t≤30时，令f（t）≥g（t），则2t≥﹣t2+6t，解得≤t≤30；②当30＜t≤40时，令h（t）=f（t）﹣g（t）=t2﹣12t+240，由h（t）≥h（40）=0，可得30＜t≤40．由①②可得该公司第一批新产品上市后，从27开始国内市场日销售利润不小于国外市场．【点评】本题考查分段函数的应用题的解法，考查不等式的解法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．2016年2月29日。