清华大学2016自主招生暨领军 计划试题 解析版

清华大学、北京大学2011-2015年自主招生面试真题汇总2016年自主招生即将来临，考生和家长需要着手准备了。

除了报名申请材料之外，自主招生最重要的环节就是笔试和面试部分。

下面中国自主招生网小编汇总了清华大学、北京大学2011-2015年部分面试题，供报考2016自主招生的考生们参考。

清华大学清华大学2015年自主招生面试部分真题1.假设给你一次穿越的机会，你最希望穿越到什么时候?做什么人?干什么?2.清华大学的校训是什么?你是如何理解的?如果你被清华大学录取，你如何去践行这一校训?3.如果你是班长，如何组织一次关于雷锋精神的班级活动?活动内容，请向班里同学发表一段两分钟的“学雷锋”活动动员演讲。

4.“是休学创业，还是毕业后创业。

”5.要不要休学当老板?清华大学2014年自主招生面试部分真题一、领军计划：1、怎么看待单独二孩政策?2、谈谈对节假日安排的看法,有什么建议?3、怎么看待社会公平?二、自强计划：1、请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。

2、你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业?3、你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因有哪些?应该如何解决?4、你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的?5、谈谈“如何看待春运一票难求的现象,怎么解决这个问题?6、如何看待社会公平?7、结合考生的申请材料,提出一些与考生自身经历有关的问题,如问考生家乡的特产是什么。

清华大学2013年自主招生面试部分真题【综合面试】分上午与下午两场进行：每场考生都有三道相同的必答题目,面试时间为10分钟左右,三位考官对一位考生。

另根据面试时间的剩余情况,考官也会根据考生的特点增加其他题目。

据考生回忆,必答题有：1.“人类一思考,上帝就发笑。

请在90秒内作答?基于你的评价,你打算在当下、在未来做些什么?”2.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段 2 分钟的演讲,可准备1 分钟。

3.近期上海、南京、杭州等地接连出现H7N9型禽流感的感染病例,并且造成数名感染者死亡,世界卫生组织和中国政府都高度关注这一病情,并且采取了积极的救治措施,但是公众依然非常想要知道和这个事件相关的各种信息。

一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ）(A)b=2a (B)△ABC 的周长为△ABC 的面积为3(D)△ABC 的外接圆半径为7.设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23 (C)2(D)313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则O A A B O B B C O C C A ⋅+⋅+⋅=（ ）(A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcos α,msin α)，b =(ncos β,nsin β)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2α2α),12b 2β2β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则的（ ）(A)最小值为45 (B)最小值为25 (C)最大值为1 (D)最大值为13+ 28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z+-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )662i i ππ+-=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2≥2,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离≤1，正确。

清华大学高考自主招生领军计划历年面试真题(2015年—2018年)同样，小北也为大家准备了清华近4年的综合评价招生面试真题。

清华也是从2015年才开始在全国范围开展综合评价招生！清华大学2018年领军计划面试题学科面试：1.建筑系：7位考官面试一个学生，不仅考查学生的综合素质，还考查他们对于各省市建筑的理解和表达。

2.数学系：给出4道题目让考生现场在黑板上作答，考官根据考生的解答思路或提问或追问。

清华大学2017年领军计划面试题1.材料阅读：影响你选择大学以及专业志愿的有哪些因素？请列举出来并说明理由。

可以借鉴但不局限于所给三则材料：第一则选择大学更重要还是选择专业更重要，第二则选择专业有哪些影响因素，第三则大学排名，包括US NEWS、泰晤士、QS、软科世界大学排名、毕业生就业力排名等等。

2.对人才培养的看法3.对清华理念的理解清华大学2016年领军计划面试题1.时政题是南京一个母亲盗窃超市为给自己的女儿过儿童节，警察赶到后宽大处理并帮助筹集善款，你怎么看？反映了什么社会问题？2.如果你在清华创立社团，你会创建什么社团？怎样让它发展得更好？3.大学应该无微不至地照顾学生，宽容对待他们的小错误还是应该训练学生适应社会？4.关于考生个人，被问到为什么选择这个专业清华大学2015年领军计划面试题1.你对“中国式过马路”怎么看?2.你对“中国梦”怎么理解?3.2012年度的五大新闻是什么，如果你是新闻评论员，请对这些新闻事件作出评论。

4.你对“钓鱼岛事件”怎么看?清华大学与北大相似，题目涉及范围较广，与经济、社会的各个方面相关。

童鞋们在做好充分准备的同时也要大方主动的展示自己的想法，不要太过于谨慎，甚至羞于表达。

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题（解析版）1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a 的值 答案：注意)()(/x g e x f x =，答案C .2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,.下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ） A.Z c b a ∈==,2,1B.B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C.060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B AD.060,1,3===A b a答案：对于选项A ，由于b a c b a +<<-||，于是c 有唯一取值2，符合题意； 对于选项B ，由正弦定理，有2222b ac c a =++，可得0135,22cos =-=B B ，无解；对于选项C ，条件即0)sin(cos =-C B A ，于是)60,60,60(),60,30,90(),,(000000=C B A ，不符合题意；对于选项D ，由正弦定理，有21sin =B ，又060=A ，于是0090,30==C B ，符合题意. 答案：AD .3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A.)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B.存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C. )(),(x g x f 有且只有一个交点D. )(),(x g x f 有且只有两个交点答案：注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD .4. 过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有（ ）A.以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B. ||AB 的最小值为4 C. ||AB 的最小值为2D.以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 答案：对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B,C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4.也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值； 对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误. 答案：AB .5. 已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点.下列说法中正确的有（ ）A.b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个B. b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C.21F PF ∆的周长小于a 4D. 21F PF ∆的面积小于等于22a 答案：对于选项A,B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点； 对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；对于选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅. 答案：ABCD .6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD .7. 已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有（ ）A.P B M O ,,,四点共圆 B. N B M A ,,,四点共圆 C. N P O A ,,,四点共圆 D.以上三个说法均不对 答案：7.对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得. 答案：AC.8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案：必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π,类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ， 于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++. 不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形.答案：B.9.已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12 答案：由于xz y x 311121≤++=，故63≤≤x . 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ； 若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y . 答案：B .10.集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9答案：不妨假设n a a a >>> 21，若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于32a a +和42a a +均大于2a ，于是有14232a a a a a =+=+，从而43a a =，矛盾！所以集合A 中至多有3个正数.同理可知集合A 中最多有3个负数.取}3,2,1,0,1,2,3{---=A ，满足题意，所以n 的最大值为7.答案B .11.已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ）A.3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB.3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC.3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD.3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα答案：令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ， 所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-， 以上三式相加，即有3-=++zx yz xy . 类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ， 以上三式相加，即有3111-=++=++xyzzy x zx yz xy . 答案BD.12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A.)12,11(B.)13,12(C.)14,13(D.)15,14( 答案：设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图， 于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ， 左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得.因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈.答案B .13.已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ）A.xyz 的最大值为0B. xyz 的最大值为274- C. z 的最大值为32 D. z 的最小值为31- 答案：由1,1222=++=++z y x z y x 可得0=++zx yz xy .设c xyz =，则z y x ,,是关于t 的方程023=--c t t 的三个根.令c t t t f --=23)(，则利用导数可得⎪⎩⎪⎨⎧≤--=>-=0274)32(0)0(c f c f ，所以0274≤=≤-xyz c ，等号显然可以取到.故选项A,B 都对. 因为)1(2)(2)1()(22222z y x z y x -=+≤-=+，所以131≤≤-z ，等号显然可以取到，故选项C 错误. 答案ABD .14.数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ）A.n n n a a a 221++-为定值 B.)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC.741-+n n a a 为完全平方数D.781-+n n a a 为完全平方数答案：因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a an n n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=.所以A 选项正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++， 故选项C,D 正确.计算前几个数可判断选项B 错误. 答案：ACD .说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 221++-为定值.15. 若复数z 满足11=+zz ，则z 可以取到的值有（ ）A.21 B.21- C.215- D. 215+ 答案：因为11||1||=+≤-zz z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得.答案CD . 16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A.6552B.4536C.3528D.2016答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008. 考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++.答案C .17.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值，则=ba（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案：设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++， 故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b a b a ，答案：C .说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则kb a 1=； （2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆.18. 关于y x ,的不定方程y x 21652=+的正整数解的组数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3答案：方程两边同时模3，可得)3(mod 22y x ≡，因y 2不能被3整除，故2x 不能被3整除，所以)3(mod 12≡x ，故)3(mod 12≡y ，所以y 为偶数，可设)(2*N m m y ∈=，则有4153615)2)(2(⨯⨯==+-x x mm ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,1232,52x x mm 即⎩⎨⎧==.12,59y x 答案：B . 19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ） A.22=I B.123=I C.964=I D.1205=I答案：根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nnn n C n n C nA C I .答案：AB . 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 . 答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯.21.在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y .则=∞→y x lim .答案：当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23. 22.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 .答案：如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V . 23.=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ .答案：根据题意，有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ.24.实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 .答案：根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1. 25.z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 .答案：由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23. 根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ， 于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x . 于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-.26.若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设μλ+=，则=+μλ .答案：根据奔驰定理，有329492=+=+μλ. 27.已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z . 答案：根据题意，有i i z z z z z z 232135sin 35cos 122223-=+=-=+=+++ππ.28.已知z 为非零复数，zz 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .答案：设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ， 四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ. 29.若334tan =x ，则=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin . 答案：根据题意，有xxx x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x .30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有24C 种选择.下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为b a ,.11 情形一：若b a ,位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；情形二：若b a ,位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.所以偶数的不是位置数为90)263(24=⋅+C .因此，总的填法数为4410009048488=C C . 31.设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 .答案：一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k .不妨假设k a a a <<< 21.若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a .同理759≥-a a .又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k .另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意.综上所述，A 中元素个数的最大值为8.。

2016年清华大学领军计划机考试试题分析2016年清华大学领军计划/自主招生笔试举行，今年仍然采用了去年的机考模式，在开考前开通了机考模拟系统，让学生提前熟悉考试形式及操作方法。

2016年通过清华大学自主招生、领军计划及自强计划初审的6000余名考生在全国36个考点参加初试。

物理探究科目中涉及了人类首次探测到引力波。

清华招办主任刘震表示，该题通过介绍相关实验背景和结果，考查学生提取信息、加工信息并利用关键信息进行推理判断的能力。

在考试中其中数学40道题目、语文30道题目、物理35道题目。

阅读与表达:《红楼梦》二次入选、文言文考《左传》阅读与表达主要从语文基础知识、阅读角度进行考试，阅读与表达考查了《红楼梦》文本解读以及宋词的格律炼字等。

这也是清华连续第二年将《红楼梦》中的内容放入考题当中。

在选择题目中试题涉及到：字音、字形、词语、句子衔接、错别字、文言文等内容外，还考查了汉字书写的笔顺问题、书体知识、传统文化知识等。

文言文则是考查的《左传》的内容。

语文还有一道创新题，大意是让考生翻译民族语言。

物理探究考察内容：引力波、小船说翻就翻、台球等物理知识实际应用2016年清华大学自主招生的物理与探究对物理学科的基础知识和物理学科的应用进行了科学的地考察，既涉及到物理学科的核心知识，也考察到了物理前沿科学的知识，注重物理学科的社会实际应用：例如大家最熟悉的引力波材料分析、相对论、友谊的小船等，物理学科35道题目中其中有1/3的题目大部分学生是可以做的，剩下的部分相对灵活，涉及面广，试题与大学物理的衔接和部分竞赛内容相似，但是与竞赛不同的是自主招生试题考查学生的知识的应用性和灵活处理，部分题目可以根据知识和推理等得出答案。

例如高空粒子衰变周期考察，像友谊的小船这个题目考察了浮力问题不需要太深的物理知识就可以选择，还有物理学科基础常识向光学仪器分辨率问题、还有科学普及科学史类关于世界诺贝尔奖关于物理学科的内容及人物。

2016年清华大学领军计划测试1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：12y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN=（ ） .A .B .C 2 .D 【解析】C(田)坐标+向量，设(cos ,sin )P a b θθ，OP ON NP =+，MN ON NP =-,1l 方向向量11(1,)2e =，21(1,)2e =-，1ON ne =，2NP me =，12OP ne me ∴=+cos sin 22n m a n mb c θ-=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩ (,)(2sin ,cos )21222n m a aMN m n b b θθ-=+=⇒== （孙）设(cos ,sin )P a b θθ，则PM l ，PN l 已知，M ，N 点已知. 法3：设00(,)P x y ，可得0000111(,)242M x y x y ++，0000111(,)242N x y x y --+，||MN =为定值，所以2241614a b==2=. 注（1）若将这两条直线的方程改为y kx =±1k=； （2）两条相交直线上各取一点M ，N ，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或者椭圆. 2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12【解析】方法一、列举法.○111112666=++，○211131212++，○3 111488++，○41111055++，○51113918++ ○61113824++，○71113742++，○81114612++，○91114520++，○1011131015++方法二、x 最小，1x∴最大，36x ∴≤≤，x 以3,4,5,6分类讨论当3x =时，可得11111236y z +=-=，通分可得66y z yz +=，因式分解可得(6)(6)36y z --=，此时需要对36进行分解，则361362183124966=====，故可得37423824(,,)39183101531212x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，同理当4x =时，4520(,,)4612488x y z ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当5x =时，[](,,)5510x y z = 当6x =时，[](,,)666x y z =3．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有______种填法.【解析】我们将题目稍作变形，将本题变为①在44矩阵中染色，黑白二色，要求每行每列正好有两个黑色；②将数字填入这些色块第一步，我们在第一列涂上两个黑色，为方便起见，我们用#代表黑色，用O 代表白色第一列涂两个黑色如图所示##O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样有42⎛⎫ ⎪⎝⎭种涂法，接下来我们研究第二层，分三种情况涂色：第一种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，并且下面两行只有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这1种涂法、 第二种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有4种，下面的话有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这2种，所以第二种共有42种涂法第三种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，下面的涂法有224=种，所以第三种有14种涂法， 故共有78种涂法接下来填数，故共有887844⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种填法.方法二、首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有24C 种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填一个偶数，设为a ，b 情形一：若a ，b 位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定.情形二：若a ，b 位于不同的两行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.所以偶数的不同位置数为24(362)90C ⋅+⋅=种，因此总的填法数位为448890441000C C ⋅⋅=.4．对于复数(0)z z ≠，10z 和40z 的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为_______. 【解析】(田)z 与1z的角相等，设为θ，设||z r =，则cos sin 101010z r ri θθ=+⋅，404040cos sin i z r r θθ=+⋅，(cos ,sin )P r r θθ，令cos a r θ=，sin b r θ=，则有10a ≥，0b ≥○1，22140a a b ≥+，22140b a b ≥+222(20)20a b ⇒-+≤○2，222(20)20a b +-≤○3 即为阴影面积S ，1002(503150)3S π=+-(第一可以用积分的方法，第二可以用面积的方法)方法二：设z x yi =+，其中,x y R ∈.由于24040||z z z =，于是 22221,1101040401,1x y y x yx y ⎧≥≥⎪⎪⎨⎪≥≥++⎪⎩ 如图 弓形面积为2110020(sin )1002663πππ⋅⋅-=-，四边形ABCD 的面积为12(10310)1010031002⋅⋅-⋅=-，于是所求面积为 1002002(100)(1003100)100330033ππ-+-=+-5．下列计算正确的是（ ）.A tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=.B tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=-.C tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++= .D tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++=-【解析】BD3tan1tan13tan 61,tan12113tan113tan1+-==-+，故28tan1tan 61tan12113tan 1+=-，22tan 13tan 61tan12113tan 1-=-，由此可证6．从114的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任3个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数.【解析】(田)列举1,2,4,5,10,11,13,14（从1~14中删去公差为1时的等比数列，然后相继删去公差为2公差为3，为47．已知tan 43α=，求值sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++. 【解析】（金刚）裂项求和，sin(84)sin(42)tan8cos8cos 4cos 4cos 2ααααααααα--++=8．一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数,,a b c 可以有()ab c ，()ba c ，()c ab ，()c ba 四种不同的乘法，记n 个数的乘法为n I ，则（ ） 【解析】AB.A 22I = .B 312I = .C 496I = .D 5120I =根据卡特兰数的定义，可得11121221!(1)!nn n n n n n n I C A C n n C n-----=⋅=⋅⋅=-⋅ 9．,,a b c R ∈，22211a b c a b c ⎧++=⎨++=⎩，那么（ ）.A max 23a =.B max ()0abc = .C min 13a =- .D max 4()27abc =- 【解析】(田)数形结合2221a b c ++=，表示半径为1的球，1a b c ++=表示一个平面（孙）2222222211()(1)122a b c a b c a b c a b c ⎧⎪+=-⎪+=-⎨⎪+-⎪+≥⇒-≥⎩，所以c 范围出来.222222()()(1)(1)ab a b a b c c =+-+=---，所以ab 范围出来.（方法三）由1x y z ++=，2221x y z ++=，可知0xy yz zx ++=.设xyz c =，则x ，y ，z 是关于t的方程320t t c --=的三个实根.令32()f t t t c =--，利用导数可得(0)024()0327f c f c =-≥⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，所以4027c xyz -≤=≤，等号显然可以取到.故选项A ,B 都对，因为22222()(1)2()2(1)x y z x y z +=-≤+=-，所以113z -≤≤，等号显然取到.故选项C 错，选项D 对.10．AB 为圆O 的一条弦，P 为圆O 上一点，OC AB ⊥，PA OC M =，PB 交OC 延长线于N ，则以下结论正确的是（ ）.A OMBP 共圆 .B AMBN 共圆 .C AOPN 共圆 .D AOBN 共圆【解析】P选项A ：首先连接OP 、MB ，即让证明POM PBM ∠=∠，则延长BM 交O 于P '，延长NO 交O于点E ，则易知PBM POE ∠=∠，故四点共圆选项B ，由选项A 可看出，当P 在BPE 上从B 向E 运动时，MBA PAB ∠=∠在逐渐增大，而MBN ∠也在逐渐增大，故MBN ∠并不恒等于2π，故四点并不共圆. 选项C ，连接OA 、AN ，则我们要证AOPN 四点共圆，即要证OPB OAN ∠=∠，而,OAN OBN OPN OBP ∠=∠∠=∠，故四点共圆选项D ： OAB 三点不动，显然不共圆 11．F 为BC 中点，1114A E AA =，正方体1111ABCD ABCD -棱长为1，中心为O ，则O BEF V -=（ ）O PAMBNO PAMBNEP '.A 17144 .B 1738 .C 11144 .D 1138【解析】196. 如图111111221696O EBF G EBF E BCC B V V V ---=⋅=⋅=12．问一个正2016边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 .A 6552 .B 4536 .C 3528 .D 2016【解析】选C .找2016的约数，若/2016n ，则有n 多边形2016n个，则分解522016237=⨯⨯，2016201620162016481632∴++++，即1111111132016(1)(1)(1)201624816323972=++++++++-⨯3528=13．求不定方程26152yx +=*(,)x y N ∈解的个数（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 326152yx +=⇒2y层数为6,4，故y为偶数，设2y n=，22615(2)(2)(2)6153541n nnx x x +=⇒-+=⇒⨯⨯，252123n nx x ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩或215241nn x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩或232205n nx x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得59x =，12y = 14．O 在ABC ∆内，::4:3:2S AOB S BOC S AOC ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+，则λ=____，μ=_____. 【解析】奔驰定理得29，4915．22cos sin 33z i ππ=+，求2322z z z z +=++_______. 【解析】原式21z z +=-=1322i -，1322z i =-+ 16．在N 项有穷数列{}n a 中，满足①1i j N ≤<≤时，i j a a <；②1i j k N ≤<<≤时，i j a a +，i k a a +，j k a a +至少有一项在{}n a 中，则N 的最大值为______.【解析】假设该数列包含正数并且正数项大于3，则取12,,n n n a a a --三项，由②可知12n n n a a a --+=，而假设有第四个正数3n a -出现时，取13,,n n n a a a --，则同理可得31n n n a a a --+=矛盾，故正项至多有三项，同理负项至多有三项，而零当然可以加进来，故至多有七项17．22120()(1sin )n n x x dx ππ--+=⎰______.【解析】22122120()(1sin )(1sin )0n n n n x x dx x x dx ππππ----+=+=⎰⎰18．2|1|||z z +=，求||z 的范围和arg z 的范围. 【解析】几何意义，根据题意画出图形OZ z =,22,1OA z OB z ==+,则在OAB ∆中，2A πθ∠=-，2,OZ OB r OA r ===可得221,1r r r r ->+>r <<，再根据余弦定理求出θ的范围 19．在正三棱锥P ABC -中，ABC ∆的边长为1，设P 到平面ABC 的距离为h ，当h 趋近于正无穷时，异面直线AB 与CP 之间的距离为_____. . 当h →+∞时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC 中AB 20．,,x y z 均为非负实数，满足2221327()(1)()224x y z +++++=，则x y z ++的最大值为______，最小值为______. 【解析】32，32-.222274x y z ⇒++=，求3x y z ++-的最值. 方法二、由柯西不等式可知，当且仅当1(,,)(1,,0)2x y z =时，x y z ++取到最大值32.根据题意，有22213234x y z x y z +++++=，于是213()3()4x y z x y z ≤+++++，解得32x y z -++≥，于是x y z ++的最小值当3(,,))2x y z -=时取到，为32- 21．实数22322()4x y x y +=，则22x y +的最大值为______.【解析】.不等式22223222()44()2x y x y x y ++=≤⋅，221x y ∴+≤ 22．2()()xf x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______.【解析】2'(2)xf x a x e ++有最小值，0∴∆>，个数为223．11a =，22a =，216n n n a a a ++=-，下列叙述正确的是（ ）.A 212n n n a a a ++-为定值 .B 2(mod 9)n a lor ≡.C 147n n a a +-为完全平方数 .D 187n n a a +-为完全平方数【解析】验证，11a =，22a =，311a =，464a =，5a =因为22222231221122112211(6)6(6)n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++-=--=-+=-+ 21.2n n n a a a ++=-，所以A 正确，由于311a =，故2222121111(6)67n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=--=-+=-，对任意正整数恒成立，所以21147()n n n n a a a a ++-=-，21187()n n n n a a a a ++-=+，故C ，D 正确.24．已知抛物线E ：24y x =，(1,0)F ，过F 作弦交E 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）.A 以AB 为直径的圆与32x =-始终相离 .B ||AB 的最小值为4.C ||AM 的最小值为2 .D 以BM 为直径的圆与y 轴有且仅有一个交点【解析】ABCD25.对于函数21y x =-和ln y x =，下列说法正确的事 .A .二者在(1,0)处有公切线B .二者存在平行切线C .两者只有一个交点D .两者有两个交点 解析：BD26.p 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ,2F 为左右焦点，下列说法正确的是 .A .a =时，满足1290F PF ∠=的p 点有2个B .a >时，满足1290F PF ∠=的p 点有4个C .124PF F C a <D .1222PF F a S ≤ 【解析】焦点三角形，2tan p S C y S bc θ=⋅=≤，p 为椭圆上下顶点时，12PF F C 最大，22222b c a S bc +≤≤=，12224PF F C a c a =+<.27.随机变量ξ的分布列为()(1,2,,10)k P k a k ξ===，则下列说法正确的是 .A .若1210,,,a a a 成等差数列，则5615a a += B .若1210,,,a a a 满足1(1,2,,9)2n n a n ==，则10912a =C .若2()k P k k a ξ≤=，则11(1,2,,10)10(1)n na n n ==+D .若1(1)n n na n a +=+，则1110(1)n na n =+28.甲，乙，丙，丁四人参加比赛并有两个获奖，以下是四人对获奖人的猜测： 甲：获奖者在乙，丙，丁中 乙：我未获奖，丙获奖 丙：甲丁有一人获奖 丁：乙说的是正确的已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 . 解析，若乙对，则丁对，甲对，故乙错， 29.下列能够成唯一ABC ∆的是 .A .1a =，2b =，c Z ∈B .150A =，sin sin sin sin a A cC C b B +=C .cos sin cos cos()cos sin 0A B C B C B C ++=D .a =，1b =，60A =【解析】A .2c =，正确；B .正弦定理，余弦定理，135B =，错误；第 11 页 共 11 页 C .cos sin()0A B C -=，60C =，所以为直角或等边三角形，错误；D .显然成立，30B ∠=，正确.31.甲，乙，丙，丁四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战对战时胜率如图，求甲获胜的概率为 .【解析】0.165根据概率的乘法公式，所求概率为0.3(0.50.30.50.8)0.165⋅⋅+⋅=.32.已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=414141a b c ++++间（ ）..A (11,12) .B (12,13) .C (13,14) .D (14,15)33. sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++为ABC 为锐角形的（ ）..A 充要非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【解析】B .必要性：由于sin sin sin sin()sin cos 12B C B B B B π+>+-=+>，类似的有sin sin 1A C +>,sin sin 1A B +>，于是sin sin sin sin()sin()sin()A B C B C C A A B ++=+++++ (sin sin )cos cos cos cos cycB C A A B C =+>++∑.不充分性：当2A π=，4B C π==时，不等式成立，而ABC 并非锐角三角形.34.已知集合12{,,,}n A a a a =，任取1i j k n ≤<<≤，i j a a A +∈，j k a a A +∈，k i a a A +∈这三个式中至少有一个成立，则n 的最大值（ ）..A 6 .B 7 .C 8 .D 9【解析】B .不妨设12n a a a >>>.若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于23a a +和24a a +均大于2a ，于是有23241a a a a a +=+=，所以34a a =，矛盾.所以集合A 中至多有3个正数，同理可知集合A 至多有3个负数.取{3,2,1,0,1,2,3}A =---，满足题意，所以n 的最大值为7.。

清华大学2016年自招、领军试题选择题：本卷共40小题，共100分。

在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是正确的。

（1）若函数()y f x =具有下列两个性质：①在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；②其图像关于3x π=对称.则()f x =（ ）（A ）5sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭ （B ）cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （C ）sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）2cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】CD解析：由②可知13f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，再结合①可知13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由①还可知22T π≥，即T π≥，而选项中所有函数的周期都是π，可知此题最好的方法是代入法. 因此只需要检验四个选项中哪个符合这个条件即可. （A ）132f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（B ）13f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（C ）13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（D ）13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因此答案为CD.（2）曲线21y x =-与ln y x =（ ）ACD（A ）在点(1,0)处相交 （B ）在点(1,0)处相切 （C ）存在相互平行的切线 （D ）有两个交点 【答案】ACD解析：令2()1f x x =-，()ln g x x =，2()ln 1h x x x =--，()2f x x '=，1()g x x '=，1()2h x x x'=-. 其中()g x 和()h x 的定义域都是(0,)+∞.对于（A ）（B ），(1)(1)0f g ==，(1)2f '=，(1)1g '=，可知两条曲线在点(1,0)处相交. （A ）正确.令()()f x g x ''=，可得2x =；122f ⎛=- ⎝⎭，1ln ln 2g ==->-=-⎝⎭，所以f g ≠⎝⎭⎝⎭，因此两条曲线在2x =处存在相互平行的切线.令()0h x '=，可得x =()h x '和()h x 的变化如下表：由上述分析可知()h x 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，且02h ⎛< ⎝⎭，2110h e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，并且12e <，可知()h x 在⎛ ⎝⎭上只有有一个零点，因此两条曲线在⎛ ⎝⎭上只有一个交点.而()h x 在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，并且(1)0h =，()h x 在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上只有一个零点1，可知两条曲线在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上只有一个交点.因此答案为ACD.（3）“ABC 为锐角三角形”是“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”的（ ）（A ）充分不要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A解析：若ABC ∆为锐角三角形，则222A B A C B C πππ⎧+>⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪+>⎪⎩， 且0,,2A B C π<<，可得022022022A B C A B C ππππππ⎧>>->⎪⎪⎪>>->⎨⎪⎪>>->⎪⎩，又()sin f x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以sin cos sin cos sin cos A B C A B C >⎧⎪>⎨⎪>⎩， 因此可得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，所以“ABC 为锐角三角形”是“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”的充分条件.考虑直角ABC ∆，其中,,236A B C πππ===，则1sin sin sin 122A B C ++=++，1cos cos cos 2A B C ++=+，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，而显然ABC ∆是不是锐角三角形，因此“ABC ∆为锐角三角形”不是“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”的必要条件.（4）设函数()f x 在区间(1,1)-内有定义，则（ ）（A ）当导数(0)f '存在时，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处存在切线 （B ）当曲线()y f x =在点(0,(0))f 处存在切线时，导数(0)f '存在 （C ）当导数(0)f '存在时，函数2()f x 在0x =时的导数等于零 （D ）当函数2()f x 在0x =时的导数等于零时，导数(0)f '存在 【答案】ABC解析：（A ）显然正确；（B ）函数13()f x x =，在在点(0,(0))f 处的切线为y 轴，但是231()3f x x -'=-， (0)f '不存在；（C ）()22()2()f x xf x ''=，因为(0)f '存在，所以()20()20(0)0x f x f =''=⨯⨯=，所以(C)正确；（D ）令 ()f x x =，则222()f x x x ==，所以函数2()f x 在0x =时的导数等于零，但是()f x x =在0x =处的导数(0)f '不存在，因此（D ）错误. （5）设22cos sin 33z i ππ=+，则2322z z z z +=++（ ） （A）122-+ （B）122i -（C）122- （D）122i -+【答案】C解析：易得31z =，2z z =，210z z ++=，23211111212222z z z z i z z +=+=+=--=-++，因此答案选C.（6）甲、乙、丙、丁四人进行网球比赛，首先是甲与乙比，丙与丁比，这两场比赛的胜者再争夺冠军. 他们之间相互获胜的概率如下：则甲获得冠军的概率为（ ）（A ）0.165 （B ）0.245（C ）0.275 （D ）0.315 【答案】A解析：甲与乙比甲获胜为事件A ，则()0.3P A =， 丙与丁比，丙获胜为事件B ，则()0.5,P B =()0.5,P B = 甲与丙比甲获胜为事件C ，则()0.3,P C = 甲与丁比甲获胜为事件D ，则()0.8,P D = 甲获胜的概率为()()()P ABC ABD P ABC P ABD +=+ ()()()()()()P A P B P C P A P B P D =+0.30.50.30.30.50.80.165=⨯⨯+⨯⨯=. 因此答案选A.（7）设函数2()()x f x x a e =+在R 上存在最小值，则函数2()g x x x a =++的零点个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无法确定 【答案】C解析：2()(2)x f x x x a e '=++①当1a ≥时，220x x a ++≥在R 上恒成立，所以()0f x '≥在R 上恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，因此()f x 在R 上无最小值；②当1a <时，令()0f x '=，则11x =，21x =，且21x x <，()f x '和()f x 的变化情况如下表：x →-∞时，()0f x →，因为()f x 在2(,)x -∞上单调递增，在21(,)x x 上单调递减，在1(,)x +∞上单调递增，所以若()f x 有最小值，只需要1()0f x ≤.11()(2)0x f x e =-≤2⇔≤11a ⇔≤-0a ⇔≤. 20x x a ++=的判别式为141a ∆=-≥，所以()g x 有两个零点. 因此选C.（8）设随机变量ξ的分布列如下：则 （ ）（A ）当{}n a 为等差数列时，5615a a += （B ）数列{}n a 的通项公式可能为1110(1)n a n n =+（C ）当数列{}n a 满足12n n a =(1,2,,9)n =时，10912a =（D ）当数列{}n a 满足2()k P k k a ξ≤=(1,2,,10)k =时，1110(1)n a n n =+【答案】ABCD解析：由题目可知12101a a a +++=；（A ）若{}n a 为等差数列，1210565()1a a a a a +++=+=，所以5615a a +=； （B ）11111110(1)101n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则0n a ≥，且121011111111111111022310111011a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，符合分布列的定义，因此B 正确； （C ）129991111222a a a +++=++=-，又由分布列的定义可知12101a a a +++=，所以10912a =，C 正确； （D ）2()k P k k a ξ≤=，则10(10)1001P a ξ≤==，所以10111100101011a ==⨯⨯，满足题意， 当2k ≥时，221()(1)(1)k k k a P k P k k a k a ξξ-=≤-≤-=--，则221(1)(1)(1)(1)k k k k a k a k k a --=-=-+，因为2k ≥，所以1(1)(1)k k k a k a --=+，即111k k k a a k -+=-. 91011111119910010910a a ==⋅=⨯⨯，满足题意. 当29n ≤≤时，1110112121110111111119(1)10010(1)n n n n n n n n a a a a n n n n nn n n n-++++++⨯==⋅=⋅⋅=⋅=-----则当18n ≤≤时，1110(1)n a n n =+. 因此D 正确.（9）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，E 在11B C 上，11113B E BC =，F 在1AA 上，1114A F AA =，则四面体B EFO -的体积为（ ）（A ）11144 （B ）17144（C ）1138 （D ）1738【答案】A解析：以A 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，111(,,)222O ，(1,0,0)B ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(1,,1)3E ,3(0,0,)4F ,则111(,,)222BO =-,1(1,0,)4BF =-,1(0,,1)3BF =,四面体B EFO -的体积为111222131110641441013--=（10）设定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①(0)1g =；②对任意实数12,x x ，121212()()()()()g x x f x f x g x g x -=+；③存在大于零的常数λ，使得()1f λ=，且当(0,)x λ∈时，()0f x >，()0g x > 则（A ）()(0)0g f λ== （B ）当(0,)x λ∈时，()()1f x g x +> （C ）函数()f x ()g x 在R 上无界 （D ）任取x R ∈，()()f x g x λ-= 【答案】ABD解析：令120x x ==，代入②得22(0)(0)(0)g f g =+，因为(0)1g =，所以(0)0f =；令12x x λ==，代入②得22(0)()()g f g λλ=+，因为()1f λ=，所以()0g λ=，因此()(0)0g f λ==；A 正确对于任意实数x ，令12x x x ==代入②得22(0)()()1g f x g x =+=，可得2()1f x ≤，2()1g x ≤，进而()1f x ≤，()1g x ≤，因此C 错误；当(0,)x λ∈时，()0f x >，()0g x >，所以20()1f x <<，20()1g x <<，进而0()1f x <<，0()1g x <<，故22()(),()()f x f x g x g x <<，因此22()()()()f x g x f x g x +<+，又22()()1f x g x +=，故()()1f x g x +>，所以B 正确；令1x λ=，2x x λ=-，代入②得()()()()()g x f f x g g x λλλλ=-+-，又()(0)0g f λ==，()1f λ=，所以()()g x f x λ=-，故D 正确.（11）设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =，1()3P C =，则()P AB C = （ ） （A ）16 （B ）12（C ）13 （D ）34【答案】D解析：因为A 与C 互不相容，所以A C ⊂，则AB C ⊂，因此ABC AB =，可得1()()32()2()()43P ABC P AB P AB C P C P C ====，所以该题选D.（12）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖； 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的.成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符. 另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（ ）（A ）甲和丁 （B ）乙和丁 （C ）乙和丙 （D ）甲和丙 【答案】B解析：因为乙和丁的预测一样，则根据题干可知四人的猜测有两种情况：①乙和丁的预测与结果相符，甲和丙的预测与结果不相符，那么丙获奖，因为丙的预测与结果不相符，所以丙和乙获奖，与甲的预测相符了，矛盾；②乙和丁的预测与结果不相符，甲和丙的预测与结果相符，那么乙获奖，丙不获奖，结合甲预测可知丁获奖，与丙的预测相符，因此获奖者是乙和丁.该题选B. （13）设24πα=，则sin sin sin sin cos 4cos3cos3cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++=（A）6 （B）3 （C）2 （D ）12【答案】B 解析：sin sin((1))cos cos(1)cos cos(1)n n n n n n ααααααα--=--sin cos(1)cos sin(1)tan tan(1)cos cos(1)n n n n n n n n αααααααα---==---所以sin sin sin sin cos 4cos3cos3cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++tan 4tan3tan3tan 2tan 2tan tan ααααααα=-+-+-+tan 4tan63πα===. 因此该题选B（14）设正三棱锥P ABC -的高为h ，底面三角形的边长为1. 设异面直线AB 与PC 的距离为()d h ，则lim ()h d h →∞=（A ）1 （B ）12（C （D ）【答案】C解析：在APC ∆内，过A 向PC 做垂线，垂足为Q ，即AQ PC ⊥，连结BQ ，根据对称性，显然BQ PC ⊥，且BQ AQ =，取AB 中点D ，连结DQ ，DQ ⊂平面AQBAQ PC BQ PC ⊥⎫⇒⎬⊥⎭PC ⊥平面AQB ，又DQ ⊂平面AQB DQ PC ⇒⊥，在AQB 中，BQ AQ =，D 为AB 中点，所以DQ AB ⊥， 因此DQ 为AB 与PC 的公垂线；设点P 在平面ABC 的投影为O ，则AO BO CO ===,AP BP CP ===在APC 中，112APCS=⋅=又12APCSPC AQ AQ =⋅⋅=，所以AQ =，在等腰三角形AQB ∆中，DQ ===()d h =lim ()h h h d h →∞====（15）设,,αβγ分别为1,61,121︒︒︒，则（A ）tan tan tan 3tan tan tan αβγαβγ++=- （B ）tan tan tan tan tan tan 3αββγγα++=-（C ）tan tan tan 3tan tan tan αβγαβγ++=- （D ）tan tan tan tan tan tan 3αββγγα++=【答案】AB解析：22tan (tan 3)tan(60)tan tan(60)tan (13tan )βββββββ--︒+︒==-tan(60)tan tan(60)tan ββββ-︒+++︒=+3228tan 9tan 3tan tan tan 13tan 13tan βββββββ-=+=+=-- 223tan (3tan )13tan βββ-=- 所以tan tan tan tan(60)tan tan(60)3tan tan tan tan(60)tan tan(60)αβγβββαβγβββ++-︒+++︒==--︒+︒，A 正确.tan tan tan tan tan tan αββγγα++tan(60)tan tan tan(60)tan(60)tan(60)ββββββ=-︒++︒++︒-︒tan (tan(60)tan(60))tan(60)tan(60)βββββ=+︒+-︒++︒-︒ tan (tan(60)tan(60))tan(60)tan(60)βββββ=+︒+-︒++︒-︒22228tan tan 313tan 13tan ββββ-=+-- 229tan 313tan ββ-=- 3=-. 所以B 正确.（16）设函数7(,)6()22f x y xy x y =-++-，则[0,1][0,1]max{min{(,)}}y x f x y ∈∈=（A ）0 （B ）124（C ）124- （D ）[0,1][0,1]min{max{(,)}}y x f x y ∈∈【答案】BD解析：77(,)6222f x y x y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭求[0,1]min{(,)y f x y ∈把(,)f x y 看成y 的一次函数，[0,1]77(,0) 2 212min (,)357(,1) 2212y f x x x f x y f x x x ∈⎧⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭⎩则[0,1]min (,)y f x y ∈在[0,1]x ∈上的最大值在712x =处取得， 所以[0,1][0,1]771max{min{(,)}}221224y x f x y ∈∈=⨯-=. 选项B 正确.[0,1]357(1,) 2212max{(,)}77(0,) 2 212x f y y y f x y f y y y ∈⎧⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭⎩， 则[0,1]max{(,)}x f x y ∈在[0,1]y ∈的最小值在712y =处取得， 所以[0,1][0,1]771min{max{(,)}}221224y x f x y ∈∈=⨯-=，故[0,1][0,1][0,1][0,1]max{min{(,)}}min{max{(,)}}y y x x f x y f x y ∈∈∈∈=.所以D 正确.（17）椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为C 上的动点，则（A）当a =时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有两个 （B）当a <时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有四个（C ）12F PF 面积的最大值为22a（D ）12F PF 的周长小于4a 【答案】AD解析：求满足1290F PF ∠=︒的点的个数只需要求22222221x y a b x y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的交点的个数，将222y c x =-代入椭圆可得222221x c x a b -+=，化简得22222222221c c b a x a b b b --=-=，即222222a b x a c-=.当a =时，0x =，因此满足1290F PF ∠=︒的点P 有两个，为短轴两个端点，A 正确；当a <时，20x <，因此满足1290F PF ∠=︒的点P 不存在，B 错误； 显然，当点P 位于短轴端点时，12F PF 面积最大，此时12122F PF Sc b bc =⋅⋅=，C 错误； 12F PF 的周长为224a c a +<，D 正确.（18）设复数z 使得10z 及10z的实部和虚部都是小于1的正数. 记z 在复平面上对应的点的集合是图形C ，则C 的面积是（A ）25752π- （B ）25702π- （C ）15752π- （D ）15702π-【答案】A解析：令z x iy =+，则101010z x y i =+，22101010()x iy z x iy x y ==+-+由题意可知22220,1101010100,1x y x y x y x y ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<++⎪⎩，则22220,101010x y x y x x y y <<⎧⎪+>⎨⎪+>⎩，图中的阴影部分就是所求的图形C ，两圆相交部分的面积为252542π-，所以 C 的面积是25252510025275422S πππ⎡⎤⎛⎫=---⨯=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 选A. （19）设n 是正整数，则定积分22120()(1sin )d n n x x x ππ--+⎰的值（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于π （D ）与n 的取值有关 【答案】A解析：令x y π-=，则22122120()(1s i n )d (1s i n )d n nn nx x x y yyππππ----+=+⎰⎰，因为212(1sin )n n y y -+是奇函数，则积分的上下限关于原点对称，所以212(1sin )d 0n n y y y ππ--+=⎰.（20）过点(1,0)F 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，则（A ）以AB 为直径的圆与直线32x =-没有公共点（B ）以FB 为直径的圆与y 轴只有一个公共点（C ）AB 的最小值为4（D ）AF 的最小值为2【答案】ABC解析：AB 时抛物线的焦点弦，焦点弦与准线1x =-相切，与32x =-相离，A 项正确；由抛物线定义知B 项也正确；当AB 垂直x 轴时，其长度最短为2p=4（此时称为通径），C 正确；||||1AF AO >=，即AF 可无限接近于1，最小值不存在，D 错误。

清华自主招生试题一、数学题1. 某校有3000名学生，其中男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。

男女生中，有20%的人精通数学。

问：该校男女生中，精通数学的人数分别是多少？解析：根据题意得知男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。

所以男生总数为3000 * 60% = 1800，女生总数为3000 * 40% = 1200。

由于精通数学的人占男女生总数的20%，所以男生中精通数学的人数为1800 * 20% = 360，女生中精通数学的人数为1200 * 20% = 240。

答案：男生中精通数学的人数为360人，女生中精通数学的人数为240人。

2. 已知正方形ABCD的边长为2，点E是AD的中点，F是BC的中点。

连接AE、BF，交于点G。

问：三角形AEG的面积为多少？解析：根据题意，AE的长度为1，EG的长度为√2（正方形相邻两边长的一半），所以三角形AEG的面积为1/2 * 1 * √2 = √2/2。

答案：三角形AEG的面积为√2/2。

二、物理题1. 一辆汽车在匀速行驶时，刹车后停下需要的时间是20秒。

若汽车的质量为1000kg，刹车时产生的加速度为5m/s²，求：汽车刹车时作用在车体上的力大小为多少？解析：根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以产生的加速度。

所以汽车刹车时作用在车体上的力大小为1000kg * 5m/s² = 5000N（牛顿）。

答案：汽车刹车时作用在车体上的力大小为5000N。

2. 物体A和物体B质量相同，在水平面上相互作用力F = 20N。

已知物体A的重力为30N，物体B的摩擦力为8N。

问：物体A和物体B 的加速度分别是多少？解析：根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以产生的加速度。

所以物体A的加速度为(20N - 8N)/30kg = 12/30 = 0.4m/s²，物体B的加速度同样为0.4m/s²。

答案：物体A和物体B的加速度分别是0.4m/s²。

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x=，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4 C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=aa AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误．5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ） A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为ac a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅． 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ． 8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π，类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++． 不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ） A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B 【解析】由于xz y x 311121≤++=，故63≤≤x ． 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ； 若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ．10．集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ．3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD ．3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD 【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyzzy x zx yz xy ．答案BD ． 12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0 B ．xyz 的最大值为274- C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ）A ．n n n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数D ．781-+n n a a 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误．说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+zz ，则z 可以取到的值有（ ） A ．21B ．21-C ．215-D ．215+ 【答案】CD 【解析】因为11||1||=+≤-zz z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ．16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A ．6552 B ．4536 C ．3528 D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=ba（ ） A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b a b a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则kb a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程y x 21652=+的正整数解的组数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I 【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nn n n C n n C nA C I ．答案：AB ． 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯．21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23 【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23． 22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ． 【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322- 【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ． 27．已知复数32sin32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z ． 【答案】1322i - 【解析】根据题意，有i i z z z z z z 232135sin 35cos 122223-=+=-=+=+++ππ． 28．已知z 为非零复数，zz 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 . 【答案】20010033003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ. 29．若334tan =x ，则=+++xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin ． 【答案】3【解析】根据题意，有xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++ 38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x ．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<< 21．若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{ A ，满足题意． 综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。

1 2016年清华大学领军计划测试数学试题
1.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则
a b = （ ）
C.2
D.4
2.已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112
x y z ++=的解的组数为 ( D ) A.8 B.10 C.11 D.12
3.将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。

4.已知O 为ABC ∆内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC
S S S ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+ ， 则λ=___________，μ=_________。

5.“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ∆为锐角三角形”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中，N 的最大值为 （ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
7.已知实数,,x y z 满足22211
x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4()27xyz =-
C.min 23z =-
D.以上都不对。