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点、直线、平面之间的位置关系试题理新人教版基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1。
(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1,l2是异面直线;q：l1，l2不相交，则（)A。
p是q的充分条件，但不是q的必要条件B。
p是q的必要条件，但不是q的充分条件C。
p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线,一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件。
故选A。
答案A2.(2017·郑州联考）已知直线a和平面α,β，α∩β＝l,a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D。
相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D。
答案D3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面。
其中正确的序号是( ）A。
① B.①④ C.②③ D.③④解析显然命题①正确。
第3节空间点、直线、平面的位置关系知识点、方法题号平面的基本性质1,12,14点、线、面的位置关系2,3,4,7,10异面直线所成的角5,6,8,9,11,13基础对点练(时间:30分钟)1.设A,B,C,D是空间中四个不同的点,下列命题中,不正确的是( C )(A)若AC与BD共面,则AD与BC共面(B)若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线(C)若AB=AC,DB=DC,则AD=BC(D)若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC解析:若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC,C不正确.2.(2016黑龙江大庆高三月考)下列说法正确的是( D )(A)若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线(B)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面(C)若a,b不同在平面α内,则a与b异面(D)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面解析:由异面直线的定义可知选D.3.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( C )(A)当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件(B)当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件(C)当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件(D)当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件解析:C中,当m⊂α时,若n∥α,则直线m,n可能平行,可能异面;若m∥n,则n∥α或n⊂α,所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件.4.(2015江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( D )(A)相交或平行(B)相交或异面(C)平行或异面(D)相交、平行或异面解析:依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.5.(2016陕西质量检测)在正四棱柱ABCDA′B′C′D′中,AB=1,AA′=2,则AC′与BC所成角的余弦值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,∠AC′B′即为AC′与BC所成的角,连接AB′,在Rt△AB′C′中,AC′=,B′C′=1,故cos ∠AC′B′=.6.(2015济南一模)在正四棱椎VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成的角的大小为.解析: 如图,设AC∩BD=O,连接VO,因为四棱锥VABCD是正四棱锥,所以VO⊥平面ABCD,故BD ⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥VA,即异面直线VA 与BD所成角的大小为.答案:7. 如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为(注:把你认为正确的结论序号都填上).解析:由题图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1C ∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且此角为60°.答案:③④8. (2016揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1==a.所以,在△AB1D1中,由余弦定理得cos ∠AB1D1===,所以∠AB1D1=60°.答案:60°9.A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线.(2)解:取CD的中点G,连接EG,FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.能力提升练(时间:15分钟)10.(2016四川雅安考试)下列说法错误的是( D )(A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(C)如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直(D)如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行解析:选项A,B,C均正确,故排除.如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线不一定平行,D错误.故选D.11.(2016云南师大附中适应性考试)三棱柱ABCA1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为( D )(A)1 (B) (C)(D)解析: 如图所示,把三棱柱补成四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设AB=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=a,A1D1=a,所以sin ∠A1BD1=.12.(2015台州一模)以下四个命题中:①不共面的四点中,任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相连的四条线段必共面.正确命题的个数是( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析: ①显然是正确的,可用反证法证明.②若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面.③如图,显然b,c异面,故不正确.④空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确.13.四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,AB=PA=2,M,N分别为PA,PB的中点,则MD 与AN所成角的余弦值为.解析: 取CD的中点E,连接AE,NE,MN,易得MN DE,于是可得MD∥NE,则∠ANE为异面直线AN 与MD所成的角,在△ANE中,AE=,NE=MD=,AN=PB=,cos ∠ANE===.答案:14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,E,F四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.证明:(1) 如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面.即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.精彩5分钟1. 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断正确的是.(填所有正确结论的序号)①MN与CC1垂直;②MN与AC垂直;③MN与BD平行;④MN与A1B1平行.解题关键:连接B1C,则点M是B1C的中点,根据三角形的中位线,证明MN∥B1D1.解析: 连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,所以MN∥B1D1,因为CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,所以MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD,故①②③正确.又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行,因此④错误.答案:①②③2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD 都相交的直线有条.解题关键:构造平面将问题转化为直线和平面的交点问题.解析:法一如图所示,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.即满足条件的直线有无数条.法二在A1D1上任取一点P(图略),过点P与直线EF作一平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.答案:无数。
