2019高考数学一轮复习课时规范练26数系的扩充与复数的引入文

第 27 讲数系的扩大与复数的引入考试说明 1 .理解复数的基本观点, 理解复数相等的充要条件.2.认识复数的代数表示法及其几何意义; 能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示, 并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.能进行复数代数形式的四则运算, 认识两个详细复数相加、相减的几何意义.考情剖析考点考察方向考例考察热度复数的概观点的应用2017 全国卷Ⅰ3,★★☆念2013 全国卷Ⅰ22017 全国卷Ⅲ2,复数的几求复数对应的点的坐2016 全国卷Ⅱ1,★★☆何意义标、模等2015 全国卷Ⅰ1,2014 全国卷Ⅱ22017 全国卷Ⅱ1,2016 全国卷Ⅰ2,复数的代求复数值、解复数方程2016 全国卷Ⅲ2,★★☆数运算等2015 全国卷Ⅱ2,2014 全国卷Ⅰ2,2013 全国卷Ⅱ2真题再现■[2017 - 2013] 课标全国真题再现1. [ 2017 ·全国卷Ⅰ]设有下边四个命题p1:若复数 z 知足∈R,则 z∈R;p2:若复数 z 知足 z2∈R,则 z∈R;p 3 : 若复数 z 1, z 2 知足 z 1z 2∈ R, 则 z 1= ;p 4 : 若复数 z ∈ R, 则 ∈ R .此中的真命题为 ( )A. p , p3B. p , p11 4C. p 2, p 3D. p 2, p 4[分析]B 设 z=a+b i( a , b ∈ R) . =, 若 ∈ R, 则 b=0, 此时 z ∈R, 故命题 p 为真命题 ; 若 z ∈ R, 则 b=0, 此时1=a-b i ∈ R,命题 4 为真命题 ;2222i,2∈R 时, 0 或 0, 此时z 为实数或纯虚数 , 命题 p 2 为假命题.pz =a -b + ab za= b=设1i, 24i, 则1 2∈R,但z 1≠ , 命题p 3为假命题 . 应选 Bz = z = z z.2. [ 2017 ·全国卷 Ⅱ] = ( )A . 1+2iB . 1- 2iC . 2+iD . 2- i[ 分析 ] D = = =2-i .3. [ 2017 ·全国卷 Ⅲ] 设复数 z 知足 (1 +i) z=2i, 则|z|= ()A .B .C .D .2[分析]C 由题知 z= = = =i +1, 则 |z|= = .4. [ 2016 ·全国卷 Ⅰ] 设 (1 +i) x=1+y i, 此中 x , y 是实数 , 则 |x+y i |=()A 1 B..C .D .2[分析]B 由已知得 x+x i =1+y i, 依据两复数相等的条件可得x=y=1,因此 |x+y i |=| 1+i |= .5 [ 2016 ·全国卷Ⅱ] 已知( 3) ( 1)i 在复平面内对应的点在第四象限, 则实数的取值范围是. z= m+ + m- m ( )A. ( - 3,1)B. ( - 1,3)C. (1, +∞)D. (-∞, -3)[分析]A 由题易知 m+3>0, m-1<0,解得 - 3<m<1.6. [ 2016 ·全国卷Ⅲ]若z=1+2i,则=()A.1B.- 1C. i D .- i[ 分析 ] C==i .7. [ 2015 ·全国卷Ⅰ]设复数z知足=i,则 |z|=()A.1B.C.D.2[ 分析] A 由=i, 得 z= =i, 因此=1.8. [ 2015 ·全国卷Ⅱ] 若 a 为实数,且(2 +a i)( a- 2i) =- 4i, 则 a= ( )A.- 1B. 0C. 1D.2[ 分析 ] B由于(2+a i)(a- 2i) =4a+( a2- 4)i =- 4i,因此4a=0,且 a2- 4=- 4,解得 a=0,应选B.9. [ 2014 ·全国卷Ⅰ]=()A. 1+iB. 1- iC.- 1+iD.- 1- i[分析]D ===- 1- i .10. [ 2014·全国卷 Ⅱ] 设复数 z 1, z 2 在复平面内的对应点对于虚轴对称 , z 1=2+i, 则 z 1z 2= ()A .- 5B . 5C .- 4+iD .- 4- i[分析]A由题知 z 2=-2+i, 因此 z 1z 2=(2 +i)( - 2+i) =i 2- 4=- 5.11 . [ 2013·全国卷 Ⅰ ] 若复数 z 知足 (3 - 4i) z=| 4 3i | , 则 z 的虚部为 ()+A 4B.- .-C .4D .[ 分析 ] D z= = = = + i, 故 z 的虚部是.12. [ 2013·全国卷 Ⅱ] 设复数 z 知足 (1 - i) z=2i, 则 z= ( )A .- 1+iB .- 1- iC . 1+iD . 1- i[ 分析 ] A (1 - i) z=2i, 则 z= =i(1 +i) =- 1+i . 应选 A .■ [2017 - 2016] 其余省份近似高考真题1. [ 2017 ·北京卷 ] 若复数 (1 - i)( a+i) 在复平面内对应的点在第二象限 , 则实数 a 的取值范围是 ( )A . (-∞,1)B . (-∞, -1)C . (1, +∞)D . ( - 1, +∞)[ 分析 ] B(1 - i)( a+i) =a+i -a i - i 2=a+1+(1 -a )i, 其对应的点为 ( a+1,1 -a ), 由于复数对应的点在第二象限 ,因此解得 a<- 1, 应选 B .2. [ 2017 ·山东卷 ] 已知 a ∈ R,i 是虚数单位 . 若 z=a+ i, z · =4, 则 a= ( )A . 1 或-1B . 或-C .-D .[ 分析 ] A 由 z · =a 2+( ) 2=a 2+3=4, 得 a 2=1, 因此 a=±1, 应选 A .3. [ 2016 ·山东卷 ] 若复数 z 知足 2z+ =3- 2i, 此中 i 为虚数单位 , 则 z= ( )A . 1+2iB . 1- 2iC .- 1+2iD .- 1- 2i[分析]B 设 z=a+b i( a , b ∈R). 由题意得 2a+2b i +a-b i =3- 2i, 得∴z=1- 2i .4. [ 2016 ·四川卷 ] 设 i 为虚数单位 , 则 ( x+i) 6的睁开式中含 x 4 的项为()A .- 15x 4B . 15x 4C .- 20i x 4D . 20i x 4[分析]A由题可知 , 含 x 4 的项为 x 4i 2=- 15 x 4.5 [ 2017 ·天津卷 ] 已知 a ∈ R,i 为虚数单位 , 若为实数 ,则a 的值为..[答案]-2[分析]∵ = =, 为实数, 2 0,即 2∴ +a= a=- .6. [ 2016 ·天津卷 ] 已知 a , b ∈ R,i 是虚数单位 . 若(1 +i)(1 -b i) =a , 则 的值为.[答案]2[ 分析 ] (1 +i)(1 -b i) =a , 即 1+b+i -b i =a , ∴解得∴ =2.7. [ 2016 ·北京卷 ] 设 a ∈ R, 若复数 (1 +i)( a+i) 在复平面内对应的点位于实轴上 , 则 a=.[答案] - 1[分析]复数 (1 +i)( a+i) =a-1+( a+1)i, 由于其对应的点位于实轴上 , 因此 a+1=0, 解得 a=- 1.8. [ 2016 ·江苏卷 ] 复数 z=(1 +2i)(3 - i), 此中 i 为虚数单位 , 则 z 的实部是 .[答案]5[ 分析 ] 由于 z=(1 +2i)(3 - i) =3+5i - 2i 2 =5+5i, 因此其实部为 5. 【课前双基稳固】知识聚焦1. (1) 实部 虚部 b=0 b ≠0 a=0 且 b ≠ 0 (2) a=c 且 b=d (3) a=c 且 b=-d (4) |z| |a+b i |2.3. (1) ①( a+c ) +( b+d )i ②( a-c ) +( b-d )i ③( ac-bd ) +( ad+bc )i ④ + i (2) z 2+z 1 z 1+( z 2+z 3)对点操练1. 2 [ 分析 ] ∵z=a 2-a- 2+( a+1)i 为纯虚数 , ∴解得 a=2.2 ( - 1,2) [ 分析 ]由题意可得∴- 1 2.<x< .3. 2- i [ 分析 ] = = =2- i .4. 1 [ 分析 ] 由于 z= =- =- 1- i, 因此 =- 1+i, 则 的虚部为 1.5. ± 2 i [ 分析 ] 由题可设 z=a i( a ≠ 0, a ∈ R), ∵|z - 1|= =3, ∴a=±2 , 故 z=± 2 i .6.- 1- 3i [ 分析 ] 由于 =i 2018+i 2019=-i - 1, 因此 z=(2 +i)( - 1- i) =- 1- 3i .【讲堂考点研究】例 1 [ 思路点拨 ] (1) 利用复数的运算法例、虚部的定义即可得出 ;(2) 第一利用复数的乘法法例将复数化为代数形式 , 而后利用实部与虚部互为相反数的条件成立对于 a 的等式求解 .(1)A (2) - [ 分析 ] (1) 复数 z= = = = = - i, 则 z 的虚部是 - 1. 应选 A .(2) 由于= = ,因此22 4 0,解得b=- .- b-b- = 变式题 (1)B (2)A [ 分析 ] (1) 由题意得 a+ =a+ =a- 1+i, 则 a- 1=0, 解得 a=1, 应选 B .(2) z= = . ∵ 复数 z= 是纯虚数 , ∴ 解得 a=3, ∴z=i, ∴z 的虚部为 1, 应选 A . 例 2 [ 思路点拨 ] (1) 第一经过复数运算将复数化为代数形式 , 而后确立复数在复平面内对应点的坐标 , 进而确立其所在象限 ;(2) 作出表示图 , 经过向量相等关系求得点C 的坐标 , 从而确立其对应的复数 .(1)B(2)A [ 分析 ] (1) 由题意得 = =- + i, 该复数在复平面内所对应的点位于第二象限 . 应选 B .(2)如下图 ,设 ( ,) (0,0), (2, 1), (0,3), ∴(0,3), ( 2, 1) 由题意可得 = , 则C x y . ∵O A -B= = x- y+ .解得 x=y=2, ∴点 C 所对应的复数为2+2i, 应选 A .变式题(1)A (2)A [ 分析 ] (1) 复数z 知足 (1 - i) 2· 1 2i, 则 z== == =-1 + i, 因此 =- 1 - i,z= +即复数 在复平面内对应的点为- 1, -, 应选 A .(2) 由题意可得 = - i, 则 >0, - >0, 由此可得 a 的取值范围为 a<0, 应选 A .例 3 [ 思路点拨 ] (1) 直接利用复数的乘法进行计算即可 ;(2) 第一依据复数是纯虚数求得 m 的值 , 而后再对第二个复数进行化简求解 .(1)B(2)C [ 分析 ] (1)(1 +i)(2 +i) =2+i+2i+i2=1+3i .(2) 由于 (1 +m i)(3 +i) =(3 -m ) +(3 m+1)i 是纯虚数 , 因此 m=3, 则 = = =3i, 因此 =3, 应选 C .变式题 (1)D (2)C [ 分析](1) = = = , 应选 D .(2) 由题知z= =i 1, 则|z|= = . = = +【备选原因】例 1 考察复数的观点与复数的运算 ; 例 2 考察复数的几何意义 ; 例 3 考察复数的运算、复数相等的条件、模的运算的综合 .1 [ 配合例 1 使用 ] [ 2017·河南夏邑第一中学模拟] 若复数( 此中 i 为虚数单位 , a∈ R)为纯虚数 , 则a= ( )A.- 2B. 0C.1D.2[ 分析 ] D=== -i, 由题意得解得a=2,应选D.2 [ 配合例 2 使用 ] [ 2017·武汉调研 ]已知i是虚数单位,若复数z=在复平面内对应的点在直线2x-y= 0 上 , 则实数a=()A.1B.- 1C.4D.- 4[ 分析 ] C复数z====--i, 因此复数z 在复平面内对应的点为-, -, 因此-+ =0,解得 a=4,应选C.3 [ 配合例 3 使用 ] [ 2017·重庆一中期中]已知=a+b i( a, b∈R,i是虚数单位),则 |a-b i |= ()A.1B.C.D.[分析]D 由题得 i (1 i)( i) () ()i, 则解得因此- i= =,= + a+b = a-b + a+b 应选 D.。

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第27讲数系的扩充与复数的引入［解密考纲］复数的计算以选择题或填空题的形式出现，主要考查复数的概念和复数代数形式的四则运算．一、选择题1．(2017·全国卷Ⅱ）错误!＝( D)A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i解析错误!＝错误!＝错误!＝2－i，故选D．2．（2017·全国卷Ⅲ）设复数z满足（1＋i）z＝2i,则｜z|＝（C) A．错误!B．错误!C．错误!D．2解析z＝错误!＝错误!＝i(1－i)＝1＋i，所以|z｜＝错误!.3．i是虚数单位，若错误!＝a＋b i(a,b∈R)，则lg(a＋b）的值是( C) A．－2 B．－1C．0 D．错误!解析∵2＋i1－i1＋i1－i＝错误!＝错误!－错误!i＝a＋b i，∴错误!∴lg(a＋b）＝lg 1＝0，故选C．4．(2018·甘肃兰州模拟)已知复数z＝（a2－1)＋(a－1）i（a∈R）是纯虚数，则a＝( C)A．0 B．1C．－1 D．±1解析由题意得错误!解得a＝－1。

5．满足z＋iz＝i（i为虚数单位)的复数z＝（B）A．错误!＋错误!i B．错误!－错误!i C．－错误!＋错误!i D．－错误!－错误!i 解析去掉分母，得z＋i＝z i,所以（1－i)z＝－i，解得z＝－i1－i＝错误!－错误!i，故选B．6．已知复数z＝1＋a i（a∈R)(i是虚数单位），zz＝－35＋错误!i，则a＝( B）A．2 B．－2C．±2D．－错误!解析由题意可得错误!＝－错误!＋错误!i，即错误!＝错误!＝－错误!＋45i,∴错误!＝－错误!，错误!＝错误!，∴a＝－2，故选B．二、填空题7．（2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋b i)2＝3＋4i(i是虚数单位），则a2＋b2＝__5__，ab＝__2__。

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.3．已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(2x ＋i)(1－i)＝y ，则y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D (2x ＋i)(1－i)＝(2x ＋1)＋(1－2x )i ＝y ，所以1－2x ＝0，解得x ＝12，所以y＝2x ＋1＝2.4．若复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点在直线y ＝x ＋2上，则a 的值等于( )A ．1B ．2C ．5D ．6解析：选B 因为复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点为(a －1,3)，由题意得点在直线y ＝x ＋2上，所以3＝a －1＋2，解得a ＝2.5．若复数z 满足z i ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是________． 解析：由z i ＝1＋i 可得z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，所以z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i6．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 解析：依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数，因此4－a ＝0，a＝4.答案：4考点一 复数的有关概念 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．(2018·云南一检)已知i 为虚数单位，则1－i 的共轭复数为( )A ．－12＋32iB.12＋32i C ．－12－32iD.12－32i 解析：选C 因为1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋32i ，所以其共轭复数为－12－32i.2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ， 所以|z |＝ 2.3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a5＝0，所以a ＝－2.答案：－24．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， ∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2[怎样快解·准解]紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．考点二 复数的几何意义 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.2．(2018·福州质检)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43i解析：选B 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，故选B.3．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)， OB ―→＝(1，－1)，根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：1[怎样快解·准解]1．对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2．与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a ＋b i 与复平面上的点(a ，b )一一对应．考点三 复数的四则运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2 解析：选A ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i＋1＝1－i. ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.2．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( ) A.55B.55i C ．1D ．i解析：选A 由题意可知z ＝|1＋2i|2－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝255＋55i ，故其虚部为55.3．(2018·昆明质检)设复数z 满足(1＋i )2z ＝1－i ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选C 由题意得z ＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.4．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．答案：(0,1)[怎样快解·准解]1．复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．(2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ； (3)1－i1＋i＝－i; (4)a ＋b i i＝b －a i ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A 级——基础小题练熟练快1．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3解析：选A 法一：由题意可知z ＝a －3i ，∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.2．若复数z ＝(a ＋i)2(a ∈R )在复平面内对应的点在y 轴上，则|z |＝( ) A ．1 B ．3 C ．2D ．4解析：选C 由z ＝(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i 在复平面内对应的点在y 轴上，知a 2－1＝0，即a ＝±1，所以z ＝±2i ，故|z |＝2.3．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45解析：选D 因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z ＝53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以z 的虚部为45.4．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－iD ．4＋i解析：选A 由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋(3)2＋i ＝2＋i ，则z ＝2－i.5．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．6．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 7．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________． 解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：28．(2018·福建质检)已知复数z ＝1＋3i2＋i，则|z |＝________. 解析：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.答案： 29．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，所以z 1＝a －b i ，z 2＝z 1－i z 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝a ＋b i －a i －b ＝a －b ＋(b －a )i ，因为z 2的实部是－1，所以a －b ＝－1，所以z 2的虚部为b －a ＝1. 答案：110．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i.答案：iB 级——中档题目练通抓牢 1．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i(a ∈R )的虚部为－3，则|z |＝( ) A.10 B ．2 3 C.13D ．5解析：选C 因为z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2＝1－a 2－a ＋12i ，所以－a ＋12＝－3，解得a ＝5，所以z ＝－2－3i ，所以|z |＝(－2)2＋(－3)2＝13.2．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，即a 2＋4<5， ∴a 2<1，即－1<a <1.3．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ， ∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题． 4．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2.答案：2 5．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14.答案：146．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.7．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0， ∴a ≠－5，故a ＝3. C 级——重难题目自主选做 若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 理由如下：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足条件．。

第十四章 数系的扩充与复数的引入考纲展示 命题探究1 复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是a ，虚部是b . 2 复数的分类 3 复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点表示纯虚数．5 复数的几何意义6 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，则|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )，即复数a ＋b i 的模表示点Z (a ，b )与原点O 的距离．特别地，b ＝0时，z ＝a ＋b i 是实数a ，则|z |＝|a |. 注意点 复数概念的理解的注意事项 (1)两个不全是实数的复数不能比较大小． (2)复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是i.(3)复数与向量的关系：复数是数的集合，而向量是有大小和方向的量，二者是不同的概念．为了令复数更好地发挥解决实际问题的作用，所以用向量来表示复数.1．思维辨析(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ，∈R )中，虚部为b i.( )(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．( )(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．( ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．3．在复平面内，已知6＋5i 对应的向量为OA →，AB →＝(4,5)则OB →对应的复数为________．答案 10＋10i解析 由AB →＝OB →－OA →得：OB →＝OA →＋AB →又∵AB →＝(4,5) ∴AB →对应的复数为4＋5i. ∴OB →对应的复数为：4＋5i ＋6＋5i ＝10＋10i.[考法综述] 复数的分类、实部、虚部、复数相等的条件、共轭复数、复数的模都会结合复数的运算一起考查．难度一般不大．命题法1 复数的概念与分类典例1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12 [解析] 解法一：设1＋a i2－i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2b ＝2.解法二：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋1＋2a 5i ，令2－a 5＝0且1＋2a5≠0，得a ＝2.[答案] A【解题法】 与复数概念及分类题型的解题步骤第一步，先把题目中的复数z 的代数形式设出，即设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．第二步，把非标准代数形式的复数通过复数的运算法则化为代数形式的标准形式，即化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．第三步，紧扣复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )根据分类列出相应的方程，如：若题目要求该复数是实数，则根据虚部b ＝0列出相关方程(组)．第四步，解方程(组)，求得结果． 命题法2 复数相等典例2 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i[解析] 解法一：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ＝11＋7i ，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解得a ＝3，b ＝5，故选A.解法二：z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )5 ＝22－7＋(14＋11)i 5＝3＋5i. [答案] A【解题法】 复数相等问题的解题策略两复数相等的充要条件，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d ，(a ，b ，c ，d ∈R )．解决此类问题的本质就是分离出实部与虚部，使之分别相等，得到方程组，从而解决问题．命题法3 复数的模及几何意义典例3 (1)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)(2)a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B ． 3 C. 2D ．1[解析] (1)由i z ＝2＋4i ，得z ＝2＋4ii ＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.故选B.[答案] (1)C (2)B【解题法】 与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与向量OZ →对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质． 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i答案 A解析 因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i.2.设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i答案 A解析由题意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A.4．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为() A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 答案 D解析z＝10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝30i＋1032＋12＝1＋3i，z＝1－3i，选D.5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i答案 D解析由a－i与2＋b i互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.6. i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．答案－2解析由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.7．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 答案5解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.8．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 答案 21解析 由题意，得z ＝(5＋2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，其实部为21.1 复数的加法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.(2)运算律：交换律、结合律．(3)几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，其中OZ 1→，OZ 2→分别为z 1，z 2所对应的向量．2 复数的减法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)几何意义：复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数．3 复数的乘法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)运算律：交换律、结合律、分配律． 4 共轭复数(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．用z 表示z 的共轭复数，若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.特别地，实数的共轭复数还是它本身．(2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．(3)性质：z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2(a ，b ∈R )． 5 复数的除法运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算．注意点 虚数单位i 的周期性计算得i 0＝1，i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，继续计算可知i 具有周期性，且最小正周期为4，故有如下性质(n ∈N )：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ； (2)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0. 1．思维辨析(1)若a ∈C ，则a 2≥0.( ) (2)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( ) (4)z ＝z ⇔z ∈R .( )(5)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．复数z 满足(z ＋2)(1＋i 3)＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i答案 D解析 由题意得：(z ＋2)(1＋i 3)＝2，(z ＋2)(1－i)＝2，z ＝21－i－2＝1＋i －2＝－1＋i ，故选D.3．已知实数m 是方程x 2＋(2＋i)x ＋n ＋2i ＝0，n ∈R 的一个根，则m ＋n ＝________.答案 －2解析 由题意知：m 2＋(2＋i)m ＋n ＋2i ＝0， 即m 2＋2m ＋n ＋(m ＋2)i ＝0，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋n ＝0m ＋2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝0，即m ＋n ＝－2[考法综述] 复数的四则运算法则及其加减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则)，尤其除法运算及i 的运算规律为命题热点．命题法 复数的四则运算典例 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1， 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________. [解析] (1)z ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，故|z |＝2，p 1错误；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2正确；z 的共轭复数为－1＋i ，p 3错误；p 4正确．(2)∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.故填14.[答案] (1)C (2)14【解题法】 复数四则运算中常用技巧 (1)巧用“分母实数化”，求解复数除法运算．复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．其原理是(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a 、b ∈R )．(2)巧用“结论”，求解复数的乘方运算．记忆结论(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，在化简复数的过程中构造出结论的形式，便可直接代入进行计算．1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2 C. 3 D ．2答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.2．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B. 3.若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i答案 A解析 由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 4.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i答案 C解析 i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.5.已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 D解析 z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.6.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 D解析 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.7．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 原式＝1＋ii ＋i(1－i)＝－(i ＋i 2)＋i(1－i)＝1－i ＋i ＋1＝2. 8．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 答案 3解析 复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3.9．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 答案 6解析 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 10．复数2－2i 1＋i ＝________.答案 －2i解析 2－2i 1＋i ＝(2－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2－4i 2＝－2i. 已知复数z 满足z ＝2i 1＋3i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部是( )A.32 B ．－32 C ．－12 D ．－12i [错解][错因分析] 对虚部的概念理解不清，将复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部错误地认为是b i.[正解] z ＝2i 1＋3i ＝2i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝23＋2i 4＝32＋12iz 的共轭复数为32－12i ，∴z 的共轭复数的虚部为－12，故选C. [答案] C [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＝( ) A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0答案 C解析 因为2z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，故选C.2．[2016·衡水中学周测]i 为虚数单位，若a1－i ＝1＋i i ，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2i 答案 C解析 由已知a 1－i ＝1＋i i 得，a i ＝(1－i)(1＋i)，a i ＝2，a ＝2i ＝－2i ，故选C.3．[2016·冀州中学月考]设复数z ＝2－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则在复平面内i z 对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)答案 C解析 ∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．4．[2016·武邑中学周测]在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45i B ．25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i答案 A解析 由2i 2－i ＝－25＋45i 可知该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，故复数z ＝25＋45i ，故选A.5．[2016·衡水中学月考]已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A.12－12i B ．72－12i C.12＋12i D ．72＋12i答案 C解析 2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.6．[2016·枣强中学猜题]若复数z ＝(2－i)i(其中i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．2－iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i答案 D解析 z ＝(2－i)i ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，选D.7．[2016·衡水中学期中]已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则|zi |＝( )A. 5 B ．5 C. 6 D ．6答案 B解析 由z ＝3＋4i ，得z ＝3－4i ，所以|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－4i i ＝|(3－4i)(－i)|＝|－4－3i|＝(－4)2＋(－3)2＝5.8. [2016·武邑中学期中]复数z ＝2i 20141－2i (i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵i 2014＝(i 2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z ＝2i 20141－2i ＝－21－2i ＝－2(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋2i 3，∴z 在复平面内的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－23，－23，故选C.9．[2016·衡水中学期末]若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )A.12＋i B ． 5 C.52 D ．54答案 C解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b＝－1，所以|a ＋b i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－i ＝52，选C.10．[2016·衡水二中期中]复数z ＝1－i ，则1z ＋z ＝( ) A.12＋32i B ．12－32i C.32－32i D ．32－12i答案 D解析 ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝11－i ＋1－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i 2＋1－i ＝32－12i ，故选D.11. [2016·枣强中学模拟]设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1 答案 A解析 解法一：|(1－z )·z |＝|1－z ||z |＝|2＋i||－1＋i|＝22＋12·(－1)2＋(1)2＝10.解法二：|(1－z )·z |＝|z －z ·z |＝|－1＋i －2|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.12．[2016·衡水二中期末]若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i 1＋2i ＝－2i ，则a 等于________．答案 － 2解析 由已知2＋a i1＋2i ＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)，即2＋a i ＝－2i ＋2，∴a ＝－ 2.能力组13.[2016·武邑中学猜题]复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.14. [2016·冀州中学仿真]已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C解析 z ＝1＋2i1－i＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2014＝1×(1－z 2015)1－z ＝1－i 20151－i ＝1－i4×503＋31－i＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i. 15．[2016·武邑中学预测]已知x 1＝1－i(i 是虚数单位)是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则实数a ＝________，b ＝________.答案 －2 2解析 由题意，知x 2＝1＋i 是方程的另一根，因此－a ＝x 1＋x 2＝2，a ＝－2，b ＝x 1x 2＝(1－i)(1＋i)＝2.16．[2016·衡水二中模拟]已知复数 z ＝4＋2i(1＋i )2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________.答案 －5解析 z ＝4＋2i (1＋i )2＝4＋2i 2i ＝(4＋2i )i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.。

第十四章数系的扩充与复数的引入命题探究解答过程答案:B解析:解法一:对于命题p1,设z=a+bi(a,b∈R),由==∈R,得b=0,则z∈R成立,故命题p1正确;对于命题p2,设z=a+bi(a,b∈R),由z2=(a2-b2)+2abi∈R,得a·b=0,则a=0或b=0,复数z可能为实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),由z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R,得ad+bc=0,不一定有z1=,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,b∈R),则由z∈R,得b=0,所以=a∈R成立,故命题p4正确.故选B.解法二:p1:复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题;p2:复数z=i满足z2=-1∈R,但z∉R,故命题p2为假命题;p3:复数z1=i,z2=2i满足z1z2=-2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题;p4:若复数z∈R,则=z,∴∈R,故命题p4为真命题.∴其中的真命题为p1,p4,故选B考纲解读2017年高考“最后三十天”专题透析分析解读 1.掌握复数、纯虚数、实部、虚部、共轭复数、复数相等等相关概念,会进行复数代数形式的四则运算.考查学生运算求解能力.2.复数的概念及运算是高考必考点.本章在高考中以选择题为主,分值约为5分,属容易题.五年高考考点一复数的概念及几何意义1.(2017课标全国Ⅲ,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )A. B. C. D.2答案 C2.(2016课标全国Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.C.D.2答案 B3.(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)答案 A4.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的为( )A.iB.-iC.1D.-1答案 A5.(2017浙江,12,5分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .答案5;2教师用书专用(6—14)6.(2014重庆,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A7.(2014大纲全国,1,5分)设z=,则z的共轭复数为( )A.-1+3iB.-1-3iC.1+3iD.1-3i答案 D8.(2013四川,2,5分)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D答案 B9.(2013山东,1,5分)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i答案 D10.(2013湖北,1,5分)在复平面内,复数z=(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D2好教育云平台——教育因你我而变11.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案12.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案 513.(2016北京,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .答案-114.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案-2考点二复数的四则运算1.(2017课标全国Ⅱ,1,5分)=( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案 D2.(2017山东,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a=( )A.1或-1B.或-C.-D.答案 A3.(2016课标全国Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则=( )A.1B.-1C.iD.-i答案 C4.(2015课标Ⅰ,1,5分)设复数z满足=i,则|z|=( )A.1B.C.D.2答案 A5.(2015课标Ⅱ,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )A.-1B.0C.1D.2答案 B6.(2014课标Ⅱ,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案 A教师用书专用(7—22)7.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案 B8.(2015湖南,1,5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案 D9.(2015北京,1,5分)复数i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案 A10.(2015山东,2,5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=( )A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案 A11.(2015广东,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则= ( )32017年高考“最后三十天”专题透析A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i答案 A12.(2014天津,1,5分)i是虚数单位,复数=( )A.1-iB.-1+iC.+iD.-+i答案 A13.(2014湖南,1,5分)满足=i(i为虚数单位)的复数z=( )A.+iB.-iC.-+iD.--i答案 B14.(2014广东,2,5分)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=( )A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i答案 D15.(2014安徽,1,5分)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·=()A.-2B.-2iC.2D.2i答案 C16.(2014江西,1,5分)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=( )A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案 D17.(2013课标全国Ⅱ,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答案 A18.(2013陕西,6,5分)设z1,z2是复数,则下列命题中的假．命题是( )A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·D.若|z1|=|z2|,则=答案 D19.(2016天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为.答案 220.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .答案 321.(2013重庆,11,5分)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|= .答案22.(2013天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= .答案1+2i三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一复数的概念及几何意义1.(2018湖北沙市中学1月月考,2)若复数z=(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值是( )A.-3B.-3或1C.3或-1D.1答案 D好教育云平台——教育因你我而变42.(2017安徽黄山二模,2)复数z=(a+1)+(a2-3)i(i为虚数单位),若z<0,则实数a的值是( )A. B.1 C.-1 D.-答案 D3.(2017湖北重点高中联合协作体期中,2)复数z=(i是虚数单位),则z的虚部是( )A.1B.-1C.iD.-i答案 B4.(2017江西南昌摸底,2)已知复数z=(i是虚数单位),那么z的共轭复数是( )A.1-2iB.1+2iC.-1-2iD.-1+2i答案 A考点二复数的四则运算5.(2018广东茂名化州高考数学二模,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则z2+=( )A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i答案 C6.(2018四省名校第一次大联考,2)已知i是虚数单位,是z的共轭复数,z(1+i)=,则的虚部为( )A. B.- C.i D.-i答案 A7.(2017广东汕头第三次质检,1)已知i为虚数单位,则=( )A.-1B.1C.-iD.i答案 AB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:30分钟)选择题(每小题5分,共35分)1.(2018安徽皖南八校第二次联考,2)已知i是虚数单位,若z=是纯虚数,则实数a=( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A2.(2018安徽淮南第二中学、宿城第一中学第四次考试,1)已知复数z=,则下列命题中错误的是( )A.|z|=B.=1-iC.z的虚部为iD.z在复平面上的对应点在第一象限答案 C3.(2018湖南师大附中月考,1)设i是虚数单位,则-1+i-i2+i3-i4+…-i100=( )A.1B.0C.-1D.i答案 C4.(2017江西红色七校第一次联考,2)复数z=|(-i)i|-i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为( )A.2-iB.2+iC.4-iD.4+i答案 B5.(2017湖北华中师大附中期中,2)已知i是虚数单位,复数z=(a∈R)在复平面内对应的点在直线x+2y=0上,则a=( )A.2B.C.-2D.-答案 C6.(2017广东韶关1月调研,2)已知复数z=(t-1)+(t+1)i(i为虚数单位),t∈R,则|z|的最小值是( )A.1B.2C.D.3答案 C52017年高考“最后三十天”专题透析7.(2016安徽江南十校3月联考,2)若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为( )A. B.-1 C.1 D.答案 AC组2016—2018年模拟·方法题组方法1 复数的概念及几何意义1.(2018四川德阳三校联考,2)若(x+2i)i=y-(x,y∈R),则x+y=( )A.-1B.1C.3D.-3答案 A2.(2017河南百校联考,2)设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=( )A.4B.3C.2D.1答案 C3.(2016山东日照模拟,3)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案 C方法2 复数的四则运算解题方法4.(2018四川南充一诊,2)已知复数z满足=+,则复数z的虚部是( )A. B.i C.- D.-i答案 C5.(2017河南百校联盟4月模拟,2)已知复数z的共轭复数为,若(1-2i)=5-i(i为虚数单位),则在复平面内,复数z所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A6.(2017湖北黄石调研,3)若复数z满足z(2+i)=(i为虚数单位),则z的共轭复数=( )A.1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i答案 A好教育云平台——教育因你我而变6。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．理解复数的基本概念．2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．4.会进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． (3)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→所对应的复数．高频考点一 复数的概念例1、(1)设i 是虚数单位．若复数z ＝a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( ) A ．1 B ．i C.25D ．0(3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 (1)D (2)A (3)A解析 (1)z ＝a －103－i ＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且z ＝a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)由z 1z 2＝2＋a i1－2i＝＋a＋5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． 【感悟提升】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． 【变式探究】(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1(2)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A高频考点二 复数的运算例2、(1) i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 (2)复数i(2－i)等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i答案 (1)A (2)A 解析 (1)方法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.(2)i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 【变式探究】(1)已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i (2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i ＝________.答案 (1)D (2)－1＋i【方法技巧】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．【举一反三】(1)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________.答案 (1)A (2)1 (3)1＋i高频考点三 复数的几何意义例3、(1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心 答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心． (2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．【感悟提升】因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．【变式探究】(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D答案 B解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B. (2)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1. （2018年全国Ⅲ卷理数） A.B.C.D.【答案】D 【解析】，故选D.2. （2018年浙江卷）复数(i 为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B 【解析】，∴共轭复数为，选B. 3. （2018年全国I 卷理数）设，则A. B. C. D. 【答案】C4.（2018年全国Ⅱ卷理数）A. B. C. D.【答案】D【解析】选D.5. （2018年北京卷）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选D.6. （2018年江苏卷）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.7. （2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.【答案】8. （2018年天津卷）i 是虚数单位，复数___________.【答案】4–i【解析】由复数的运算法则得：.1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【解析】令()i ,z a b a b R =+∈，则由2211ii a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B. 2.【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。

课时分层训练(二十六) 数系的扩充与复数的引入组基础达标(建议用时：分钟)一、选择题．(·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )．(＋) ．(－)．(＋) ．(＋)[项，(＋)＝(＋＋)＝×＝－，不是纯虚数．项，(－)＝－(－)＝－＋，不是纯虚数．项，(＋)＝＋＋＝，是纯虚数．项，(＋)＝＋＝－＋，不是纯虚数．故选．]．(·全国卷Ⅰ)设(＋)(＋)的实部与虚部相等，其中为实数，则＝( )．－．－．．[(＋)(＋)＝－＋(＋)，由题意知－＝＋，解得＝－，故选．]．(·山东高考)若复数＝，其中为虚数单位，则＝( )．＋．－．－＋．－－[∵＝＝＝＝＋，∴＝－.]．(·全国卷Ⅰ)设(＋)＝＋，其中，是实数，则＋＝( )．．．．[∵(＋)＝＋，∴＋＝＋.又∵，∈，∴＝，＝＝.∴＋＝＋＝，故选．]．(·山东高考)已知是虚数单位，若复数满足＝＋，则＝( )．－．．－．[法一：＝＝＝－，＝(－)＝－.法二：()＝(＋)，－＝，＝－.故选．]．若为虚数单位，图­­中复平面内点表示复数，则表示复数的点是( )图­­．．．．[由题图知复数＝＋，∴＝＝＝＝－.∴表示复数的点为.]．设，是复数，则下列命题中的假命题是 ( )【导学号：】．若－＝，则＝．若＝，则＝．若＝，则·＝·．若＝，则＝[对于，－＝⇒＝⇒＝，是真命题；对于，易判断是真命题；对于，若＝，＝＋，则＝，但＝，＝－＋，是假命题．]二、填空题．(·江苏高考)复数＝(＋)(－)，其中为虚数单位，则的实部是．[因为＝(＋)(－)＝－＋－＝＋，所以的实部是.]．已知∈，若为实数，则＝.－[＝＝＝＋.∵为实数，∴＝，∴＝－.]．(·南昌模拟)设复数＝－－(为虚数单位)，的共轭复数为，则(－)·＝.【导学号：】[＝－＋－＝－(－－)＝＋，所以(－)·＝(＋)(－＋)＝＋·－＋＝×＝.]组能力提升(建议用时：分钟)．已知复数＝－＋，＝－－，则下列命题中错误的是 ( )．＝．＝．－＝。