广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD版)

广东省茂名市2013届高三第二次高考模拟理综试题13．下列说法正确的是A．牛顿首先测出万有引力恒量GB．布朗运动是指液体分子的无规则运动C．气体自发的扩散运动总是向着更为无序的方向进行D．扩散现象不能在固体中发生14．下列四幅图的有关说法，错误的是r时，分子间不存在引力和斥力A．分子间距为B．水面上的单分子油膜，在测量油膜直径d大小时可把他们当做球形处理C．食盐晶体中的钠，氯离子按一定规律分布，具有空间上的周期性D．猛推木质推杆，密闭的气体温度升高，压强变大，外界对气体做正功15．如图小车向右做加速直线运动，物块贴在小车左壁相对静止。

当小车的加速度增大时，下列说法正确的是A．物块受到的弹力不变B．物块受到的摩擦力不变C．物块受到四个力的作用D．物块受到的合外力为零16．如图电子枪射出的电子束进入示波管，在示波管正下方有竖直放置的通顺时针电流的环形导线，则示波管中的电子束将A．向上偏转B．向下偏转C．向纸外偏转D ．向纸里偏转17．下列说法正确的是A ．铀核裂变的核反应是：He Th U 422349023892+→B ．He 42核由两个中子和两个质子组成C ．n P Al He 103015271342+→+是α衰变方程D ．氢原子吸收一个光子从低能级跃迁到高能级，氢原子的电势能增加了18．如图所示，带电粒子从A 开始沿虚线穿过竖直放置的平行板电容器，则粒子A ．带负电B ．做加速运动C ．机械能增加D ．电势能增大19．“天宫一号”绕地球的运动可看做匀速圆周运动，转一周所用的时间约90分钟。

下列说法正确的是A ．“天宫一号”离地面的高度比地球同步卫星离地面的高度小B ．“天宫一号”的线速度比地球同步卫星的线速度小C ．“天宫一号” 的向心加速度比地球同步卫星向心加速度大D ．当宇航员刘洋站立于“天宫一号”内不动时，她受力平衡20．如图所示为理想变压器，原、副线圈匝数比为2:1，原线圈接交流电压tV u π100sin 220=，图中电压表和电流表为理想电表，1R 为负温度系数的热敏电阻（当温度升高时阻值减小），则正确的是A ．交流电的频率为Hz 50B ．电压表示数是V 110C ．当1R 处温度降低时，电压表示数不变D ．当1R 处温度降低时，电压表示数变大21．我国“蛟龙号”在某次试验时，深潜器内的显示屏上显示出了从水面开始下潜到最后返回水面的10min 内全过程的深度曲线（a ）和速度图像（b ），则正确的有A ．（a ）图中3h 代表本次下潜最大深度为m 360B ．全过程中最大加速度是2/025.0s mC ．潜水员感到失重体验发生在0-1min 和8-10min 内D ．整个潜水器在8-10min 时间段内机械能守恒34．（18分）（1）验证“力的平行四边形法则”实验如图所示，A 为固定橡皮的图钉，O 为橡皮筋与细绳的结点，OB 、OC 为细绳子，图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。

茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题一、填空题（40分）1、已知集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{2，3，4，5，6}，则A ∪B ＝ A 、{1，2， 3，4} C 、{1，2，3，4，5，6} C 、{2，3，4，5，6} D 、{3，4}2、复数z 满足z ＋1＝2＋i （i 为虚数单位），则z （1－i ）＝ A 、2 B 、0 C 、1＋i D 、i3、若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a ＝A 、1B 、32C 、－1D 、－324、在△ABC 中，∠A ＝3π，AB ＝2，且△ABC，则边AC 的长为 A 、1 BC 、2D 、1 5、在等比数列{n a }中，已知23a a +＝1，45a a +＝2，则89a a +等于A 、B 、4C 、8D 、166、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有f （x ＋4）＝f （x ）， 若f （－1）＝2，则f （2013）等于A 、2012B 、2C 、2013D 、－2 7、已知函数2()lg()n n f x x a x b =-+，其中,n n a b 的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R 的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、设命题p ：“若对任意x R ∈，｜x ＋1｜＋｜x －2｜＞a ，则a ＜3”；命题q ：“设M 为平面内任意一点，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在角α，使 22sin cos MB MA MC αα=+⋅”，则 A 、p q ∧为真命题 B 、p q ∨为假命题 C 、p q ⌝∧为假命题 D 、p q ⌝∨为真命题二、填空题（30分）（一）必做题9、点P 是圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上任意一点，则点P 在第一象限的概率为＿＿＿＿ 10、某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：由最小二乘法求得回归方程为y＝0.67x ＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为＿＿＿＿11、设变量x ，y 满足约束条件4200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则其目标函数z ＝mx ＋y仅在点（3,1）处取得最大值，则m 的取值范围是＿＿＿12、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x ＝＿＿＿＿ 13、已知点A 是抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）与双曲线C 2：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线的离心率等于＿＿＿＿ （二）选做题14、在极坐标系中，直线sin ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为＿＿＿＿15、如图圆上的劣弧CBD 所对的弦长CDAB 是线段CD 的垂直平分线，AB ＝2，则线段AC 的长度为＿＿＿＿ 三、解答题（80分） 16、（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x my +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合,则椭圆的方程为（ ）A ．13822=+y xB ．14922=+y xC ．18922=+y xD ．191622=+y x【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）A D ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B ．2C ．2D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D二、填空题 8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -=9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =±11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______.【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4± 18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题 21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x => (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB A A x y x y(1)—(2)得k y y B A 4=+,即ky M 2=, 代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M .所以点M 的坐标为222(1,)k k+同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=,方程为 )12(1222---=+k x kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y , 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A 、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考 【答案】(1)依题意,有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22143x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------ (2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩,两式相减,得443004342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1m k=),则 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即18k≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⋅为定值;(2)设M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.【答案】(1)设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . ------------------------- 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x kx --=,∴12116x x =- ------------------------ ∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值---------------------------- (2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028k y x == ---------------------------- 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭由228412k k y m x x y⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m mk k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816m mk k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = -------------------------------∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =,直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅,求||QS 的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切,b =,即b =由e =,得222213b e a =-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132x y C +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅,得()()222121121016y y y y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立 又||y QS ⎛== ,∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C - ∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b ====∴椭圆的方程为2212x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当22k -<<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为221222884242k k x x k k ==++ ,则212024221x x k x k +==+ ∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭ 要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-∴222212114021kk k kk --+⋅=--+,即2102k k -+=②∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102k k -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,. (1)求椭圆C 的方程 (2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l求AOB △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且BD 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切. 【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b ----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224a x x b a +=-,22212224a a b x x b a +⋅=- ①由(1,3)M 为BD 的中点知:1212x x +=,故2221412a b a ⋅=-,即223b a = ②所以2223c a a -=,即224c a = 故2ce a==所以双曲线C 的离心率为2e = (注:本题也可用点差法解决)(2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x y a -=(,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302a x x +⋅=-<1|||2|BF x a =-同理2|||2|DF x a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|BF DF x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17DF BF ⋅= 且25480a a ++> 所以254817a a ++= 解得:1a =,95a =-(舍去)12|||6BD x x -==连结MA ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3MA =,从而||||||MA MB MD ==,且MA x ⊥轴,因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线033=+-y x 经过椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标. 【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标准方程为1422=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m ,所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P . 29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214x y +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--= 由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =. 则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-= 设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =,F 为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .(I)求椭圆的标准方程; (II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F - 1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF1222==-∴b c a又23=e 43122222=-==∴aa a c e ,解得42=a 1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y)28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N 42222420000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 202044y x -=-200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴ ∴直线 QN 的方程:)(22000x x y x y y --=- 化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y ='y =1222(22)x x ---切线的斜率为,所以,直线l 1的方程为:000)y y x x -=-,与y 轴交点纵坐标为因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,200222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:02y ≤≤,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:22y -≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)由(1)得点P 的坐标(220000222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22221x y a b+= (0a b >>),连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为(1)求椭圆1C 的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由3e =,得223a c =,再由222c a b =-,解得2a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132x y +=(2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线, 所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=, 当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立 圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,min OS =, 所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x P F +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为1222=+y x(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,ll 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;---------------------------------------------------------②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =和x =,定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-+=;定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==, 222a b c =+,∴2,1,a b c ===,故椭圆C 的方程为2214x y += ⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0 ∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2+ 1= 1 ⇒ k =±1. ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y 2a2 = 1 .易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0.令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m 1－m <0－21－m 2>0解得1<m <2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),zxxk∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T－ 2 2 y =y T2,即 ⎩⎨⎧ x T=2x + 2y T= 2y .代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12 | F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++= zxxk 即()200pk x += 得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=, ∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =- zxxk01020102y y y y x x x x --∴=--- 将222012012,,222x x x y y y p p p ===分别代入上式得:2222001201022222x x x x p p p p x x x x --=---, 整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P y x :=,直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点,OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uu u r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形AOBC 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ② ∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =- ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =- (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形AOBC 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=. 解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,- ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =- ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-(2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =,∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612x y +=(2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x BC --=, )413,2(211x x --=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y .若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+= ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =- 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N , ∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =-由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143x y +=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离d ==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d ==.由于55<,故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q . ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小 41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知抛物线C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2 ,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T(1) 求x1x2的值;(2) 求T的坐标;(3) 当点A在C上运动时,动点R满足:FRFBFA=+,求点R的轨迹方程.【答案】F的43．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M到点(0,1) y=的距离之和为5.距离与到直线4(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;=+与轨迹E有两个不同的公共点,A B,求m的取值范围;(2)若直线:l y x mAB的最大值.(3)在(2)的条件下,求弦长||【答案】44．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１　>=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N()22,x y ,点M在x 轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.【答案】解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝ 所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴=　∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理,。

2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学（理工农医类）注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

[来第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、已知集合2=-+=∈{|210,}P x x x x R，则集合P的子集个数是二、 A．1 B．2 C．4 D．82、已知函数，下面结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数三、3、已知函数f x()的定义域为[0，1?，则函数-f x(1)的定义域为A．[0,1)B．(0,1]C．-[1,1]D．-[1,0)(0,1]4、函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）5、在ΔABC中，、、a b c分别是三内角、、A B C所对边的长，若b a Csin A sin,则ΔABC的形状A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6、将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）（B）w_w_w.k*s 5*u.c o*m（C）（D）7、如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A.B.C.D.8、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.9、设定义在上的函数满足，若，则( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）10、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）11、过双曲线22221(0)y x b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为 E ,延长FE交抛物线24y cs =于点 P ⋅若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为A ．33+B ．15+C ．5D ．13+12、设，则的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）2 （B）4 （C）（D）5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．展开式中的系数为_____________。

绝密★启用前试卷类型：A茂名市2013年第二次高考模拟考试理科综合试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共12页，满分300分。

考试时间150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

5．相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Fe-56第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共16小题，每小题4分。

共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分）。

1．有关细胞结构和功能的叙述，正确的是A．细胞衰老时，核体积增大，染色质加深，细胞膜上糖蛋白减少，通透性随之改变B．叶绿体基质中含有核酸和参与光合作用的酶C．ATP为CO2分子通过细胞膜提供能量D．核糖体、内质网、高尔基体膜都参与抗体的合成及运输2．下面是以洋葱为材料的实验，合理的是A．洋葱鳞片叶经吡罗红甲基绿染色，可观察到红色的细胞质B．紫色洋葱鳞片叶细胞在发生质壁分离时，可观察到紫色中央液泡逐渐增大C．根尖细胞分裂旺盛，可用于观察细胞减数分裂实验理科综合试卷第1页（共12页）D．洋葱根尖成熟区细胞，可做低温诱导染色体加倍的实验3．下列关于植物组织培养和胚胎工程技术的叙述，错误的是A．胡萝卜根韧皮部细胞经组织培养发育成新植株体现了体细胞全能性B．早期胚胎培养与动物细胞培养的培养液通常都需加入血清C．一次给受体母羊植入多个胚胎，可增加双胞胎和多胞胎的比例D．可用植物的叶肉细胞作外植体通过组织培养大量繁殖无病毒的植株4．下列有关现代生物技术的叙述中，正确的是A．限制性内切酶、DNA连接酶只存在于微生物中B．培养禽流感病毒时应选用无菌的牛肉汤C．基因工程、细胞工程都能克服远源杂交不亲和的障碍D．体细胞杂交技术可用于克隆动物和制备单克隆抗体5．下列关于科学实验及方法的叙述，不正确的是A．林德曼推断出能量传递呈递减的特点，运用了调查和系统分析法B．施旺和施莱登建立细胞学说，运用了观察法C．格里菲思利用肺炎（双）球菌研究遗传物质时，运用了放射性同位素标记法D．沃森和克里克研究DNA分子结构时，运用了建构物理模型的方法6．现代生物进化理论认为A．自然界中种群的基因频率会发生变化B．同一群落中的种群相互影响，因此进化的基本单位是群落C．生殖隔离一定是地理隔离的结果D．生物的变异为生物进化提供了原材料，也决定生物进化的方向7．化学知识在生活中有重要意义，下列说法不正确的是A．草木灰（含有K2CO3）水溶液可以用于洗涤油污B．乙醇、乙酸和甲醛广泛应用于食品加工C．捕获工业排放的CO2能降低地球的温室效应D．在海轮外壳上镶入锌块，可减缓船体的腐蚀速率8．在水溶液中能大量共存的一组离子是A．HCO3－、H＋、NO3－、Na+B．Na＋、Cu2＋、OH－、SO42-C．Mg2＋、H＋、AlO2－、SO D．NH、K+、Br－、NO2－4+4－39．下列实验能达到目的的是A．用乙醇和浓硫酸除去乙酸乙酯中的少量乙酸B．用NaOH溶液与FeCl3溶液制备Fe(OH)3胶体C．用品红和盐酸检验Na2SO3和Na2CO3D．将混有乙烯的SO2通入酸性KMnO4溶液中除去乙烯10．某小组利用下列装置进行电化学实验，下列实验操作及预期现象正确的是A．X和Y与电流表连接，电子由Cu极流向Zn极B．X和Y与电流表连接，将Zn换成Fe测得电流更大C．X和Y分别与电源“－”、“+”极相连，Cu极质量减轻D．X和Y分别与电源“－”、“+”极相连，Zn极质量减轻11．已知：2Fe+3Cl2点燃2FeCl3，下列说法正确的是（设n A为阿伏加德罗常数的数值）A．氯气是氧化剂，FeCl3是还原剂B．常温下，每56g Fe反应有1.5 n A个Cl－Cl键断裂C．1 L 0.1 mol·L-1 FeCl3溶液中含有0.1 n A个Fe3+理科综合试卷第2页（共12页）第3页（共12页）D ．常温常压下，22.4 L 的Cl 2和足量Fe 反应转移3 n A 个电子12．类比推理是重要的学科思想，下列根据已知进行推理，正确的是选 项已 知类 比 推 理ANa 与O 2共热生成Na 2O 2H 2与O 2共热生成H 2O 2B S 、Se 属于VIA 族元素Se 的氧化物类似S 有SeO 2、SeO 3C 常温下，浓硝酸使铁钝化浓硝酸与铜不反应D NaOH 溶液能溶解Al(OH)3过量NH 3·H 2O 缓慢溶解Al(OH)313．下列说法正确的是A ．牛顿首先测出万有引力恒量GB ．布朗运动是指液体分子的无规则运动C ．气体自发的扩散运动总是向着更为无序的方向进行的D ．扩散现象不能在固体中发生14．下列四幅图的有关说法，错误的是．如图小车向右做加速直线运动，物块贴在小车左壁相对静止。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x m y +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by ax 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y542=的焦点重合,则椭圆的方程为 （ ）A ．13822=+yxB ．14922=+yxC ．18922=+yxD ．191622=+yx【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的离心率为,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184xy+= .B 221126xy+= .C221168xy+= .D 221205xy+=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y p x =的焦点与双曲线22122xy-=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122xy-=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y p x =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）AD ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y ab-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A ．12B．2C ．2D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D二、填空题8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a ab-=＞，＞和椭圆22xy=1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143xy-=9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】210．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432xy-=y =±11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___313．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x k y -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________. 【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m ymx的焦距为8,则=m _______.【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916xy-=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916xy-=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题 21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段P F 与y 轴的交点,,R Q F P P Q l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段F P 的中点,且R Q ⊥F P ,∴R Q 是线段F P 的垂直平分线∴P Q 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段F P 的垂直平分线,∴P Q Q F =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x =>(Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB AA x y x y(1)—(2)得ky y B A 4=+,即ky M 2=,代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M . 所以点M 的坐标为222(1,)kk+ 同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kk x x y y k NM N M MN -=--=,方程为)12(1222---=+kx kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y ,显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A 、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线P A 、P B 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段E F 的中点为M ,求直线M A 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有3224P A P B y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x≠±), -----------------------------化简得:22143xy+= (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------(2)依题意,可设(,)Mx y 、(,)E x m y n ++、(,)F xm y n --,则有2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩,两式相减,得4430014342E F m x n n x y k m yx -+=⇒==-=-,由此得点M 的轨迹方程为:226830x yx +-=(0x≠).------------------------------设直线M A :2xm y =+(其中1mk=),则22222(68)211806830x m y m y m y x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------故由22(21)72(68)0||8m mm ∆=-+≥⇒≥,即18k≥,解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点.(1)求证:O A O B ⋅为定值;(2)设M 是线段A B 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与A B 平行.【答案】(1)设直线l的方程为:18y k x =+,()11,A x y ,()22,B x y .-------------------------由21218x y y k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x k x --=,∴12116x x =------------------------- ∴()2121212123464O A O B x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值----------------------------(2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k ----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028ky x ==----------------------------设抛物线C 在点N 处的切线为284kk y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 由228412k k y m x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m m k k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816mm k k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = ------------------------------- ∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为e =,直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切.(1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅RS QR ,求||QS的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切,b =,即b =由e =得222213b e a=-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132xyC +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ,得()()222121121016y yy y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥+=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立又||QS == ∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =, 故||QS的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x yx C x y+-=++=的圆心分别为12,C C ,P为一个动点,且12||||P C P C +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C-∵1212||||||2P C P C C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b =====∴椭圆的方程为2212xy+=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212xy+=(2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当22k -<<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为12224242x x kk==++ ,则212024221x x k x k+==+∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11CNk k ⋅=-∴222212114021kk k kk--+⋅=--+,即2102k k -+=②∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102kk -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>3,.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l的距离为2,求A O B △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y Cab-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且B D 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17D FB F ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224ax x b a+=-,22212224aa bx x b a +⋅=- ①由(1,3)M为B D 的中点知:1212x x +=,故2221412ab a⋅=-,即223b a= ②所以2223ca a-=,即224c a= 故2c ea==所以双曲线C 的离心率为2e = (注:本题也可用点差法解决) (2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x ya-= (,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302ax x +⋅=-<1|||2|B F x a ====-同理2|||2|D Fx a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|B F D F x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17D F B F ⋅= 且25480a a ++>所以254817a a ++= 解得:1a=,95a =-(舍去)12|||6B D x x =-===连结M A ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3M A =,从而||||||M A M B M D ==,且M A x⊥轴,因此以M 为圆心,M A 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线33=+-y x 经过椭圆C :12222=+by ax (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标.【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=cba ,所以椭圆的标准方程为1422=+yx5分.⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ .设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m ,所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P .29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214xy +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--=由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =则21||y y -=因为1212AOBS OE y y ∆=⋅-==设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=.所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)xy a b ab+=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =为椭圆的左焦点且11AF F B=1 .(I)求椭圆的标准方程;(II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a B F AF1222==-∴bca又23=e 43122222=-==∴aa ac e ,解得42=a1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y)28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N4222242000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 2244y x -=-0200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴∴直线 QN 的方程:)(220000x x y x y y --=-化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b ab+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =.(1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx+=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y=,'y=1222(22)x x---切线的斜率为2x-,所以,直线l1的方程为:00)2y y x xx-=-, 与y轴交点纵坐标为22因为11x-≤≤,所以,201x≤≤,20222x≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:02y≤≤则对称性可知l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:22y-≤≤.(2)依题意,可得∠PTM0=90°,设存在T(0,t),M0(x0,y0)由(1)得点P的坐标(22000222y y xx-+,2),由P T M T=可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C:22221x ya b+= (0a b>>)的离心率为3,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为(1)求椭圆1C的方程;(2)设椭圆1C的左焦点为1F,右焦点为2F,直线1l过点1F且垂直于椭圆的长轴,动直线2l垂直1l于点P ,线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由3e =得223a c =,再由222c a b =-,解得2a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅=解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132xy+=(2)因为2M P M F =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线, 所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以O S 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0O R S R ⋅=设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),S R =(2x -1x ,2y -1y ),O R=(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y O R S R x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=,当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,m inO S=,所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a yax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x P F +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa cy x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ,∴椭圆C 的方程为1222=+yx(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,l l 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;--------------------------------------------------------- ②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =x =,定点(1,0)-到直线12,l l的距离之积为1)1-+=; 定点(1,0)到直线12,l l的距离之积为1)1+-=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F .⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>, 椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a==,222a b c =+,∴2,1,a b c ===故椭圆C 的方程为2214xy +=⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1)又 点P (00,x y )在椭圆2214xy +=上,∴22014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=,故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2 + 1= 1 ⇒ k =±1.∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y2a 2= 1 . 易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0. 令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m1－m 2 <0－21－m2 >0 解得1<m < 2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T － 22y =yT2,即 ⎩⎨⎧ x T =2x + 2 y T = 2y.代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12| F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点. (1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭QR =2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++=即()200pk x +=得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=,∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MN x x y y x x ppk x x x x p--+===--0022x x pp-==-∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =-01020102y y y y x x x x --∴=---将22212012,,222x x x y y y ppp===分别代入上式得:22221201022222x x x x pp ppx x x x --=---,整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MN x x y y x x ppk x x x x p--+===--0022x x pp-==-∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P yx:=,直线A B 与抛物线P 交于A B ,两点,O A O B ^,O A O B O C uur uuu r uuu r+=,O C 与A B 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形A O B C 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设()()()221122Mx y A yy Byy ,,,,,,∵O A O B O C +=,∴M 是线段A B 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ②∵O A O B ⊥, ∴0O A O B ⋅=.∴2212120y y y y += 依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422yx +=,即()2112yx =-∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-(2)解:依题意得四边形A O B C 是矩形,∴四边形A O B C 的面积为S O A O B ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y=时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形A O B C 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线O A O B ,的斜率存在,设直线O A 的斜率为k , 由于O A O B ⊥,则直线O B 的斜率为1k-故直线O A 的方程为y k x =,直线O B 的方程为1y x k=-.由2y k x yx ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k xx -=.解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,-∵O A O B O C +=,∴M 是线段A B 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x kky ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =-∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-(2)解:依题意得四边形A O B C 是矩形, ∴四边形A O B C 的面积为S O A O B ==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k=时,等号成立∴四边形A O B C 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212P F P F A F A F +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a A F A F =+=,即4a =, ∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612xy+=(2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x BC --=,)413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:)∴B C B A //∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ①由24xy=,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ②同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -,而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =,则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212P F P F A F A F +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24xy=,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -=. ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ②综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的,∴直线L 的方程为y x x y -=002,∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212P F P F A F A F +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P 有两个 解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y kx =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x k x k -+-=设()()1122B x y Cxy ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-由24xy=,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-∵1212P F P F A F A F +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上∴()()2222311612k k -+=.化简得271230kk --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||M N M P N P =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N ,∴(4,)M P x y =-,(3,0)M N =-,(1,)N P x y =-由6||M N M P N P =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143xy+=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分.(2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x m x m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l的距离|412|15d +==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l的距离5d ==.55<,故曲线C 上的点Q 到直线l5当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q .∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b ba+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b=,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143xy+= (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立:221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x yy ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: 1,1,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯+-,从而112x y +-=±,与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =点(,)M x y 到直线:1y x =-于是有11122MPF S y ∆==⨯--,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M 共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知抛物线C:y 2=4x, F是抛物线的焦点,设A(x 1,y 1),B (x 2 ,y 2)是C 上异于 原点O 的两个不重合点,OA 丄OB ,且AB 与x 轴交于点T (1) 求x 1x 2的值;(2) 求T 的坐标;(3) 当点A 在C 上运动时,动点R 满足:FR FB FA =+,求点R 的轨迹方程.。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知,,O A B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB += ,则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【答案】A2 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知向量a =(x ,1),b=(3,6),a ⊥b ,则实数x 的值为 （ ）A ．12B ．2-C ．2D ．21-【答案】B3 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(3,4)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转23π后得向量OB ,则点B 的坐标是3.(22A -+--3.(22B ---+3.(22C -+-+ .(4,3)D -【答案】B4 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）OAB ∆,点P 在边AB 上,3AB AP = ,设,OA a OB b ==,则OP =12.33A a b + 21.33B a b + .C 1233a b - .D 2133a b -PBA【答案】B5 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中,①⊗=⊗a b b a ,②()()λλ⊗=⊗a b a b ,③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c , ④若1122(,),(,)x y x y ==a b ,则1221x y x y ⊗=-a b . 恒成立的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 解析: ①恒成立; ② ()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,当0<λ时,()()λλ⊗=⊗a b a b 不成立;③当,,a b c 不共面时,()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c 不成立,例如取,,a b c 为两两垂直的单位向量,易得()+⊗=a b c ()()2⊗+⊗=a c b c ;④由sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,cos ,=⋅<>a b a b a b ,可知2222()()⊗+=⋅ a b a b a b,2()⊗=a b 222222222112212121221()()()()()x y x y x x y y x y x y ⋅-=++-+=- a b a b ,故1221x y x y ⊗=-a b 恒成立.6 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ,则cos 2θ等于（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．2【答案】B 解析:212cos 0cos 20θθ⊥⇔-+=⇔=a b .7 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））在平行四边形ABCD 中,AE →=13AB →,AF →=14AD →,CE 与BF 相交于G 点.若AB →=a ,AD →=b ,则 AG →=（ ）A ．27a +17bB ．27a +37bC ．37a +17bD ．47a +27b【答案】C8 ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知平面向量a ,b 的夹角为60°,=a ,||1=b ,则|2|+=a b（ ）A ．2B C ．D ．【答案】C9 ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）若向量)1,1(),0,2(==b a ,则下列结论正确的是（ ）A ．1=⋅B ．||||b a =C ．⊥-)(D ．//【答案】C10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）如图2,一条河的两岸平行,河的宽度600d =m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1km,水流速度为2km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中 的速度大小为（ ）A ．8 km/hB ．C ．km/hD．10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. 【答案】B11．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）平面四边形ABCD 中0AB CD += ,()0AB AD AC -=⋅,则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形【答案】B 由0AB CD += ,得AB CD DC =-=,故平面四边形ABCD 是平行四边形,又()0AB AD AC -=⋅ ,故0DB AC =⋅,所以DB AC ⊥,即对角线互相垂直.12．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知(1,2)=a ,(0,1)=b ,(,2)k =-c ,若(2)+⊥a b c ,则k =（ ）A ．2B ．8C ．2-D ．8-【答案】B13．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（ ）A ．2B ．2-C ．D ．-【答案】B 解析:1cos 22232AB BC AB BC ππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））向量(2,0),(,)a b x y == ,若b 与b a - 的夹角等于6π,则|b |的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2 D【答案】A15．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知点A (1,5)-和向量a =(2,3),若3AB a =,则点B 的坐标为（ ）A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14) 【答案】设(,)B x y ,由3AB a = 得1659x y +=⎧⎨-=⎩,所以选D ．16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,//()a a b +,则m =（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．3【答案】【解析】向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,()(2,1)a b m +=+,因为//()a a b +∴(1)2m -+=,3m =-故选C .17．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是 （ ）A ．=a b a b B ．+=+a b a b C．()()= a b c a b cD ．2= a a a【答案】D18．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设向量12(,)a a a = ,12(,)b b b = ,定义一运算:12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m = ,11(,sin )n x x = .点Q 在()y f x =的图像上运动,且满足OQ m n =⊗(其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值及最小正周期分别是 （ ）A ．1,2π B ．1,42π C ．2,π D ．2,4π(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 【答案】C二、填空题19．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）已知向量,的夹角为60,12==,_________=+;向量与向量2+的夹角的大小为_________.【答案】632π20．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）如图,在边长为2的菱形ABCD 中,60BAD ∠=,E 为CD 的中点,则___________.AE BD ⋅=BAEDC【答案】121．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）在ABC ∆中90C ∠=o ,BC =2 则=⋅BC AB ________ .【答案】-422．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）若向量a 、b 满足2||||==,与b 的夹角为︒60,则=+||_______【答案】32;23．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知在三角形ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=θ,若D 为BC 的三等分点〔靠近点B 一侧).则的取值范围为____.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-37,3524．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知e 1、e 2、e 3为不共面向量,若a =e 1+e 2+e 3,b =e 1-e 2+e 3,c =e 1+e 2-e 3,d =e 1+2e 2+3e 3,且d =xa +yb +zc ,则x 、y 、z 分别为_*****_.【答案】答案:52 ,-12,-1解:由d =xa +yb +zc 得e 1+2e 2+3e 3=(x +y +z )e 1+(x -y +z )e 2+ (x +y -z )e 3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x ＋y －z ＝3，解得:⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.故x 、y 、z 分别为52,-12,-1.25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知平面向量a2,)(b a a -⊥;则><b a ,cos 的值是_______.【答案】21; 26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的点,则DE CB ⋅的值为____________.【答案】127．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知向量,a b, ()-⊥a b a , 向量a 与b 的夹角为________.【答案】4π三、解答题28．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知(s i n ,c o sa θθ= 、b =(1)若//a b,求tan θ的值;(2)若()f a b θ=+, ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ,且(0)a f =,()6b f π=-,()3c f π=,求AB AC ⋅.【答案】解:(1)//,sin 0a b θθ∴=sin tan θθθ∴⇒(2)(sin 1)a b θθ+=+a b ∴+===(0)a f ∴===()6b f π∴=-==()33c f π∴===由余弦定理可知:222cos 230b c a A bc +-==7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅=== (其它方法酌情给分)。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x my +=的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合,则椭圆的方程为（ ）A ．13822=+y xB ．14922=+y xC ．18922=+y xD ．191622=+y x【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）A D ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D二、填空题8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -= 9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =± 11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___【答案】13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____【答案】14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______. 【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.【答案】19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x => (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB A A x y x y(1)—(2)得k y y B A 4=+,即ky M 2=, 代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M .所以点M 的坐标为222(1,)k k+同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=,方程为 )12(1222---=+k x kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y , 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22143x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------(2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有 2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩, 两式相减,得4430014342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1m k=),则 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即18k≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⋅为定值;(2)设M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.【答案】(1)设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . ------------------------- 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x kx --=,∴12116x x =- ------------------------∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值---------------------------- (2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028k y x ==---------------------------- 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 由228412k k y m x x y⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m mk k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816m mk k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = ------------------------------- ∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅,求||QS 的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222xy b +=相切,b =,即b =由e =,得222213b e a =-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132x y C +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ,得()()222121121016y y y y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立 又||y QS ⎛== ,∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C -∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b ====∴椭圆的方程为2212x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当k <<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为12x x == ,则212024221x x k x k +==+ ∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-∴222212114021kk k k k --+⋅=--+,即2102k k -+=② ∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102k k -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的,. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l 求AOB △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且BD 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b ----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224a x x b a +=-,22212224a a b x x b a+⋅=- ①由(1,3)M 为BD 的中点知:1212x x +=,故2221412a b a ⋅=-,即223b a = ② 所以2223c a a -=,即224c a = 故2c e a==所以双曲线C 的离心率为2e =(注:本题也可用点差法解决)(2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x y a -=(,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302a x x +⋅=-<1|||2|BF x a =-同理2|||2|DF x a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|BF DF x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17DF BF ⋅= 且25480a a ++> 所以254817a a ++= 解得:1a =,95a =-(舍去)12|||6BD x x -连结MA ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3MA =,从而||||||MA MB MD ==,且MA x ⊥轴, 因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线033=+-y x 经过椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标.【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标准方程为1422=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m , 所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P . 29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214x y +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--= 由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =. 则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-= 设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =,F 为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .(I)求椭圆的标准方程; (II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF1222==-∴b c a又23=e 43122222=-==∴aa a c e ,解得42=a1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y )28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N 42222420000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 202044y x -=-200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴ ∴直线 QN 的方程:)(22000x x y x y y --=- 化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y =,'y =1222(22)x x ---切线的斜率为所以,直线l 1的方程为:000)y y x x -=-,与y 轴交点纵坐标为因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,200222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:0y ≤≤,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:22y -≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)由(1)得点P 的坐标(220000222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22221x y a b+= (0a b >>)的离心率为3,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由e =得223a c =,再由222c a b =-,解得a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅=解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132x y += (2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线,所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=, 当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立 圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,min OS =, 所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x PF +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为1222=+y x(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,ll 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;---------------------------------------------------------②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =和x =,定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-+=;定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==, 222a b c =+,∴2,1,a b c ===,故椭圆C 的方程为2214x y += ⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2+ 1= 1 ⇒ k =±1. ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y 2a2 = 1 .易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0.令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m 1－m 2 <0－21－m 2>0解得1<m <2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T－ 2 2 y =y T2,即 ⎩⎨⎧ x T=2x + 2y T= 2y .代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12| F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭QR =2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++= 即()200pk x += 得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=, ∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =-01020102y y y y x x x x --∴=--- 将222012012,,222x x x y y y p p p ===分别代入上式得:2222001201022222x x x x p p p p x x x x --=---, 整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P yx :=,直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点,OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uuu r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形AOBC 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ② ∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=. ∴2212120y y y y += 依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =- ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =- (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形AOBC 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,- ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =- ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-(2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =,∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612x y += (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+= ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =- 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N ,∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =- 由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143x y +=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离5d ==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d ==<,故曲线C 上的点Q 到直线l 当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q . ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小 41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知抛物线C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2 ,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T(1) 求x1x2的值;(2) 求T的坐标;(3) 当点A在C上运动时,动点R满足:FRFBFA=+,求点R的轨迹方程.【答案】F的距43．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M到点(0,1) y=的距离之和为5.离与到直线4(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;=+与轨迹E有两个不同的公共点,A B,求m的取值范围;(2)若直线:l y x mAB的最大值.(3)在(2)的条件下,求弦长||【答案】44．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１　>=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N ()22,x y ,点M 在x轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.【答案】解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴=　∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理,。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分（2）一、选择题1 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是（ ）A ．1B ．4πC ．3D ．2【答案】D2 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图所示,图中曲线方程为21y x =-,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是【答案】C3 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=x-1C ．y=x+1【答案】C4 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动,某时刻P 与坐标原点重合(如图),设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =,关于函数()y f x =的有下列说法:①()f x 的值域为[0,2];②()f x 是周期函数;③( 1.9)()(2013)f f f π-<<;④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为: （ ）A ．0B ．C ．2D ．3【答案】C5 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））已知函数()yf x =的图象如图1所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是【答案】A二、填空题6 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）计算________.【答案】2e ;7 ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy中,直线a y =(0>a )与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328,则=a _______. 【答案】28 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）不等式211x -<的解集为(),a b ,计算定积分)2b ax dx -=⎰_______.【答案】139．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）若直线2y x m =+是曲线ln y x x=图1A ．B ．C ．D ．O x P A 第8题图的切线,则实数m 的值为_________.【答案】e -分析:设切点为000(,ln )x x x ,由1(ln )ln ln 1y x x x x x x''==+=+ 得0ln 1k x =+, 故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-,整理得00(ln 1)y x x x =+-, 与2y x m =+比较得00ln 12x x m+=⎧⎨-=⎩,解得0e x =,故e m =-10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）10x cos ⎰d x =______________.【答案】1sin11．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）20(3sin )x x dx π+=⎰________________.【答案】2318π+解析:22220033(3sin )(cos )|128x x dx x x πππ+=-=+⎰.12．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））曲线y= x 3-x + 3在点(1,3)处的切线方程为_______【答案】21x y -+13．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））若直线y kx =与曲线ln y x =相切,则k =__________________.【答案】1e14．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）计算= ________.【答案】2e .三、解答题15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知函数()ln f x x =,2()()g x f x ax bx =++,函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系;(2)试讨论函数()g x 的单调性; (3)证明:对任意*n N ∈,都有()211ln 1ni i n i=-+>∑成立.【答案】解:(1)依题意得2()ln g x x axbx =++,则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得:'(1)120g a b =++= ∴21b a =--(2)由(1)得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时,210ax -<在(0,)+∞上恒成立, 由'()0g x >得01x <<,由'()0g x <得1x >, 即函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当0a >时,令'()0g x =得1x =或12x a=, 若112a <,即12a >时,由'()0g x >得1x >或102x a <<,由'()0g x <得112x a<<,即函数()g x 在1(0,)2a ,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)2a单调递减;若112a >,即102a <<时,由'()0g x >得12x a>或01x <<,由'()0g x <得112x a<<, 即函数()g x 在(0,1),1(,)2a +∞上单调递增,在1(1,)2a单调递减;若112a =,即12a =时,在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥, 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,综上得:当0a ≤时,函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当102a <<时,函数()g x 在(0,1)单调递增,在1(1,)2a 单调递减;在1(,)2a+∞上单调递增;当12a =时,函数()g x 在(0,)+∞上单调递增, 当12a >时,函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增,在1(,1)2a单调递减;在(1,)+∞上单调递增.(3)证法一:由(2)知当1a =时,函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增,2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-,即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---,令*11,x n N n =+∈,则2111ln(1)n n n+>-, 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑ 【证法二:构造数列{}n a ,使其前n 项和ln(1)n T n =+, 则当2n ≥时,111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+, 显然1ln 2a =也满足该式, 故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=- 令1x n=,即证2ln(1)0x x x +-+>,记2()ln(1)h x x x x =+-+,0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x +=-+=-+=>+++,()h x 在(0,)+∞上单调递增,故()(0)0h x h >=,∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立,2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 【证法三:令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑,则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++ 令11,1x n =++则(1,2]x ∈,*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增, 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->, ∴数列()n ϕ单调递增,又(1)ln 20ϕ=>,∴()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知x a a x a x x f ln )()12(21)(22+++-=(0>x ,a 是常数),若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =,)()(x g x f ≥恒成立,求a 的取值范围.江门市2013年高考模拟考【答案】解:依题意,xaa a x x f +++-=2/)12()()(00x f y =,曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为))((00/0x x x f y y -=- ,即))((00/0x x x f y y -+=,所以))(()(00/0x x x f y x g -+= 直接计算得)1)(ln ()12(21)(002200-++++--=x x x a a x a x x x x g , 直接计算得)()(x g x f ≥等价于0)1)(ln ()(2100220≥+-++-x xx x a a x x 记)1)(ln ()(21)(00220+-++-=x xx x a a x x x h ,则 )1)(()11)(()()(020020/xx aa x x x x a a x x x h +--=-++-=若02≤+a a ,则由0)(/=x h ,得0x x = ,且当00x x <<时,0)(/<x h ,当0x x >时,0)(/>x h ,所以)(x h 在0x x =处取得极小值,从而也是最小值,即0)()(0=≥x h x h ,从而)()(x g x f ≥恒成立 .若02>+a a ,取a a x +=20,则0)1)(()(020/≥+--=xx aa x x x h 且当01x x ≠时0)(/>x h ,)(x h 单调递增 ,所以当00x x <<时,0)()(0=<x h x h ,与)()(x g x f ≥恒成立矛盾,所以02≤+a a ,从而a 的取值范围为01≤≤-a17．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+ 都成立. 【答案】(本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识,考查化归转化、分类讨论、数形结和的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力) 解:(1)()'121,f x x x a=--+ 0x = 时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴=故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意 (2)由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+--由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增; 当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+(3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+,令()'0fx =得,0x =或32x =-(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当0x >时, ()'0fx <,()f x 单调递减.()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. ()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)对任意正整数n ,取10x n=> 得,2111ln 1,n n n⎛⎫+<+⎪⎝⎭ 211ln n n n n++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭.故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n++++++>++++=+ . 18．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知二次函数()21fx x a x m =+++,关于x的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+,其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.(1)求a 的值;(2)k k (∈R )如何取值时,函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点,并求出极值点;(3)若1m =,且x 0>,求证:()()1122nn ng x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *). 【答案】(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+. ∴2a =-(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为11x ,=<21x ,=>则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-,则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点若k >时,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**)方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-.∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++令T 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++ , 则T 122412n nn n n n n n C xC x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x 0>, ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅ ()1212n n n n C C C -=+++()012102n n n n n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n =-∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立;② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22k ≥⋅-+122k +=-也就是说,当1n k =+时,不等式也成立.由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立19．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==,且最小值是14-.(1)求()f x 的解析式; (2)设常数1(0,)2t ∈,求直线l :2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ;(3)已知0m ≥,0n ≥,求证:211()()24m n m n +++≥【答案】解:(1)由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==.设()(1)(0)f x ax x a =-≠,则221()()24af x ax ax a x =-=--又()f x 的最小值是14-,故144a -=-.解得1a =.∴2()f x x x =-;(2)依题意,由22x x t t -=-,得x t =,或1x t =-.(1t - ｔ) 由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232ttx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰(3)∵()f x 的最小值为14-,故14m -,14n -∴12m n +-≥-,故12m n ++≥∵1()02m n +,102m n ++, ∴11()()22m n m n +++=∴211()()24m n m n +++≥20．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）设()x g x e =,()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ,其中,a λ是常数,且01λ<<.(1)求函数()f x 的极值;(2)证明:对任意正数a ,存在正数x ,使不等式11x e a x--<成立; (3)设12,λλ∈+R ,且121λλ+=,证明:对任意正数21,a a 都有:12121122a a a a λλ≤λ+λ.【答案】解析:(1)∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--,由()0f x '>得,[(1)]()g x a g x λλ''+->,∴(1)x a x λλ+->,即(1)()0x a λ--<,解得x a <, 故当x a <时,()0f x '>;当x a >时,()0f x '<; ∴当x a =时,()f x 取极大值,但()f x 没有极小值(2)∵111x x e e x x x----=, 又当0x >时,令()1xh x e x =--,则()10xh x e '=->, 故()(0)0h x h >=,因此原不等式化为1x e x a x--<,即(1)10x e a x -+-<, 令()(1)1x g x e a x =-+-,则()(1)xg x e a '=-+, 由()0g x '=得:1xe a =+,解得ln(1)x a =+,当0ln(1)x a <<+时,()0g x '<;当ln(1)x a >+时,()0g x '>. 故当ln(1)x a =+时,()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++,令()ln(1),01a s a a a a =-+>+,则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++. 故()(0)0s a s <=,即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<.因此,存在正数ln(1)x a =+,使原不等式成立(3)对任意正数12,a a ,存在实数12,x x 使11x a e =,22x a e =, 则121122112212xx x x a a e ee λλλλλλ+=⋅=,12112212x x a a e e λλλλ+=+,原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+,11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+由(1)()(1)()f x g a λ≤-恒成立,故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-, 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=, 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+, 即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+,故所证不等式成立21．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知函数321,(1)()(1),(1)x x ax bx x f x c e x -⎧-++<⎪=⎨-≥⎪⎩在32,0==x x 处存在极值. (1)求实数b a ,的值;(2)函数)(x f y =的图像上存在两点B A ,使得AOB ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形,且斜边AB 的中点在y 轴上,求实数c 的取值范围; (3)当e c =时,讨论关于x 的方程()f x kx =()k R ∈的实根的个数.【答案】解(1)当1x <时,2()32f x x ax b '=-++.因为函数f(x)在20,3x x ==处存在极值,所以(0)0,2()0,3f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得1,0a b ==. (2) 由(1)得321,(1),()(1),(1),x x x x f x c e x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩根据条件知A,B 的横坐标互为相反数,不妨设32(,),(,()),(0)A t t t B t f t t -+>.若1t <,则32()f t t t =-+,由AOB ∠是直角得,0OA OB ⋅= ,即23232()()0t t t t t -++-+=,即4210t t -+=.此时无解;若1t ≥,则1()(1)t f t c e -=-. 由于AB 的中点在y 轴上,且AOB ∠是直角,所以B 点不可能在x 轴上,即1t ≠. 由0OA OB ⋅= ,即2321()(1)t t t t c e --++⋅-=0,即()11(1)1t c t e -=+-..因为函数()1(1)1t y t e -=+-在1t >上的值域是(0,)+∞,所以实数c 的取值范围是(0,)+∞.(3)由方程()f x kx =,知32,(1),(1)x x x x kx e e x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩,可知0一定是方程的根,所以仅就0x ≠时进行研究:方程等价于2,(10),,(1).x x x x x k e e x x ⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且构造函数2,(10),(),(1),x x x x x g x e e x x⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且对于10x x <≠且部分,函数2()g x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当12x =时取得最大值14,其值域是1(,0)(0,]4-∞ ; 对于1x ≥部分,函数()x e e g x x -=,由2(1)()0x e x e g x x-+'=>,知函数()g x 在()1,+∞上单调递增.所以,①当14k >或0k ≤时,方程()f x kx =有两个实根; ②当14k =时,方程()f x kx =有三个实根; ③当104k <<时,方程()f x kx =有四个实根.22．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知a <2,(1) 求f(x)的单调区间; (2)若存在x 1∈[e,e2],使得对任意的x 2∈[—2,0],f (x 1)<g(x 2)恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】23．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））定义(,)|||ln |x x y e y y x y ρ=---,其中,x R y R +∈∈.(1)设0a >,函数()(,)f x x a ρ=,试判断()f x 的定义域内零点的个数; (2)设0a b <<,函数()(,)(,)F x x a x b ρρ=-,求()F x 的最小值; (3)记(2)中最小值为(,)T a b ,若{}n a 是各项均为正数的单调递增数列,证明:1111(,)()ln 2nii n i T a aa a ++=<-∑.【答案】24．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间;(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M .【答案】设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M . 解:(1)由1()3f '=0,得a =b .当0a =时,则0b =,()f x c =不具备单调性 故f (x )= ax 3-2ax 2+ax +c .由()f x '=a (3x 2-4x +1)=0,得x 1=13,x 2=1列表:由表可得,函数f (x )的单调增区间是(-∞,13)及(1,+∞) .单调减区间是1[,1]3(2)当0a =时,()f x '=2bx b -+ 若0b = ()0f x '=,若0b >,或0b <,()f x '在[0,1]是单调函数,'(0)(1)f f '-=≤()f x '≤(0)f ',或'(1)f -=(0)f '≤()f x '≤(1)f '所以,()f x '≤M当0a >时,()f x '=3ax 2-2(a +b )x +b =3222()33a b a b aba x a a++---. ①当1,033a b a b a a++≥或≤时,则()f x '在[0,1]上是单调函数,所以(1)f '≤()f x '≤(0)f ',或(0)f '≤()f x '≤(1)f ',且(0)f '+(1)f '=a >0.所以M -()f x '<≤M②当013a ba +＜＜,即-a <b <2a ,则223a b ab a +--≤()f x '≤M . (i) 当-a <b ≤2a 时,则0<a +b ≤32a. 所以 (1)f '223a b ab a +--=22223a b ab a --=223()3a a b a -+≥214a >0.所以 M -()f x '<≤M (ii) 当2a <b <2a 时,则()(2)2a b b a --<0,即a 2+b 2-52ab <0. 所以223a b ab b a +--=2243ab a b a -->22523ab a b a-->0,即(0)f '>223a b ab a +-.所以 M -()f x '<≤M综上所述:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M25．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=.(1)若()()f x g x ≥对于定义域内的任意x 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ,且11(0,)2x ∈,证明:123()()ln 24h x h x ->-; (3)设1()()()2ax r x f x g +=+对于任意的(1,2)a ∈,总存在01[,1]2x ∈,使不等式2()(1)r x k a >- 成立,求实数k 的取值范围.【答案】解析:(Ⅰ)由题意:)()(x g x f ≥⇔≥-ax x 2x ln ,)0(>x分离参数a 可得:)0(ln >-≤x xx x a设x x x x ln )(-=φ,则22/1ln )(x x x x -+=φ由于函数2x y =,x y ln =在区间),0(+∞上都是增函数,所以函数1ln 2-+=x x y 在区间),0(+∞上也是增函数,显然1=x 时,该函数值为0 所以当)1,0(∈x 时,0)(/<x ϕ,当),1(+∞∈x 时,0)(/>x ϕ所以函数)(x φ在)1,0(∈x 上是减函数,在),1(+∞∈x 上是增函数 所以1)1()(min ==φφx ,所以1)(min =≤x a φ即]1,(-∞∈a(Ⅱ)由题意知道:x ax x x h ln )(2+-=,且)0(,12)(2|>+-=x x ax x x h所以方程)0(0122>=+-x ax x 有两个不相等的实数根21,x x ,且)21,0(1∈x , 又因为,2121=x x 所以),1(2112+∞∈=x x ,且)2,1(,122=+=i x ax i i而)ln ()()(112121x ax x x h x h +-=-)ln (2222x ax x +--]ln )12([12121x x x ++-=]ln )12([22222x x x ++--212122lnx x x x +-=22222221ln )21(x x x x +-=2222222ln 41x x x --=,)1(2>x设)1(,2ln 41)(222≥--=x x x x x u ,则02)12()(322/≥-=x x x u所以2ln 43)1()(-=>u x u ,即2ln 43)()(21->-x h x h(Ⅲ))21()()(ax g x f x r ++=21ln2++-=ax ax x 所以12)(|++-=ax a a x x r 12222++-=ax x x a ax 1)22(22+--=ax a a x ax 因为(1,2)a ∈,所以21212212222=-≤-=-a a a a 所以当),21(+∞∈x 时,)(x r 是增函数,所以当01[,1]2x ∈时, 21ln1)1()(max 0++-==a a r x r ,(1,2)a ∈所以,要满足题意就需要满足下面的条件:)1(21ln12a k a a ->++-,令)1(21ln 1)(2a k a a a --++-=ϕ,(1,2)a ∈即对任意(1,2)a ∈,)1(21ln1)(2a k a a a --++-=ϕ0>恒成立 因为)122(11222111)(2/-++=+-+=+++-=k ka a aa a ka ka ka a a ϕ分类讨论如下:(1)若0=k ,则1)(/+-=a aa ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意(2)若0<k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.(3)若0>k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,那么当1121>-k 时,假设t 为2与121-k中较小的一个数,即}121,2min{-=k t ,则)(a ϕ在区间})121,2min{,1(-k 上递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.综上可得⎪⎩⎪⎨⎧≤->11210k k 解得41≥k ,即实数k 的取值范围为),41[+∞26．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知函数32(),()ln ,(0)f x x x bx g x a x a =-++=>.(1)若()f x 存在极值点,求实数b 的取值范围;(3)当b=0时,令(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩.P(11,()x F x ),Q(22,()x F x )为曲线y=()F x 上的两动点,O 为坐标原点,请完成下面两个问题:①能否使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y 轴上?请说明理由. ②当1<12x x <时,若存在012(,)x x x ∈,使得曲线y=F(x)在x=x 0处的切线l ∥PQ, 求证:1202x x x +<【答案】27．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a (1,2,n = ).(1)求12,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立.【答案】解:(1)解法1:∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---当1n =时,1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴1111()28a f ==, 当2n =时,2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴2211()216a f ==【解法2:当1n =时,21()(1)f x x x =-,则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=-- 当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减,∴1111()28a f ==, 当2n =时,222()(1)f x x x =-,则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减,∴2211()216a f ==】 (2)令'()0n f x =得1x =或2n x n =+,∵当3n ≥时,1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >,当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <, 故()n f x 在2nx n =+处取得最大值,即当3n ≥时,22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)nn n n +=+,------(*) 当2n =时(*)仍然成立,综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩(3)当2n ≥时,要证2241(2)(2)n n n n n +≤++,只需证明2(1)4n n +≥∵01222(1)()()n nnn n n C C C nnn+=+++ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=∴对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立 28．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =,1(),n n a f a n N *+=∈, 求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分.惠州市2013届高三第一次模拟考【答案】解: (1) f'(x)=2ax+b ,依题设,有`(3)5(3)7f f =⎧⎨=⎩,即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩2()=1f x x x ∴-+(2)方程()=k x f x e ∴,即21k xx x e -+=,得2k (1)xx x e -=-+, 记2F(x)(1)xx x e -=-+,则22F'(x)=(21)(1)(32)(1)(2)x x x x x e x x e x x e x x e -------+=--+=---令F'(x)=0,得121,2x x ==当x 变化时,F'(x)、F(x)的变化情况如下表:∴当1x =时,F(x)取极小值1e ;当2x =时,F(x)取极大值23e作出直线y x =和函数2F(x)(1)xx x e -=-+的大致图象,可知当1k e =或23k e =时,它们有两个不同的交点,因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,(3) 12(2)3a f ==,得1312a >>,又21()1n n n n a f a a a +==-+.22121(1)0n n n n n a a a a a +∴-=-+=->,11n n a a +∴>>由211n n n a a a +=-+,得11=(1)n n n a a a +--,111111(1)1n nnnnaa a a a+∴==----,即111111nnn aa a+=---122013122320132014111111111()()()111111S a aaa aaaaa∴=+++=-+-++-------12014201411111122a aa=-=-<---又1211242637211S a a>++==>即12S <<,故S 的整数部分为. l4分。

茂名市2013年第二次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题。

（本大题共10小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集U ∈R ，则正确表示集合M ＝{0，1，2}和N ＝{2|20x x x +=}关系的韦恩（Venn ）是（ ）2．函数1()3f x x =-的定义域是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[2,3) C ．(,3)(3,)-∞⋃+∞ D ．()[2,3)3,⋃+∞3、曲线f （x ）＝xlnx 在点x ＝1处的切线方程为（ ）A 、y ＝2x ＋2B 、y ＝2x －2C 、y ＝x －1 C 、y ＝x ＋1 4、如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ） A 、1 B 、32 C 、2 D 、525、“｜x －1｜＜2成立”是“x （x －3）＜0成立”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A 、5B 、4C 、3D 、27、向量(2,0),(,)a b x y == ，若b 与b a - 的夹角等于6π，则｜b ｜的最大值为（ ）A 、4B 、C 、2D 8、方程||||169x x y y +＝－1的曲线即为函数y ＝f （x ）的图象，对于函数y ＝f （x ），有如下结论：①f （x ）在R 上单调递减；②函数F （x ）＝4f （x ）＋3x 不存在零点；③函数y ＝f （x ）的值域是R ；④f （x ）的图象不经过第一象限，其中正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个二、填空题。

（每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9、已知复数z 满足（1＋i ）z ＝1－i ，则复数z 的共轭复数为＿＿＿＿10、某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0,1）内取值的概率为0.4，则ξ学科网在（0,2）内取值的概率为＿＿＿＿ 11、若则（数字作答）12、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为＿＿＿13、若对任意,,(,)(,),(,)x A y B A B f x y f x y ∈∈⊆⊆R R 有唯一确定的与之对应则称为关于x 、y 的二元函数。