24.2.1点和圆的位置关系(5)

24.2.1点与圆的位置关系导学案学习目标1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.2.理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念4.了解反证法的证明思想解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.新知探究下图中点和圆的位置关系有哪几种？设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量点和圆三种不同位置关系时，d 与r有怎样的数量关系.反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？问题1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？问题2：如何过两点A，B作一个圆？过两点可以作多少个圆？问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？归纳：定理：_______________的______个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的_________________，叫做这个三角形的______.画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．警示误区假设否定的是命题的结论，而不是已知条件.在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.典例精析1.平面内，已知⊙O的直径为20cm，PO＝12cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．不能确定2.下列说法中，正确的是()A．三点确定一个圆B．圆有且只有一个内接三角形C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．三角形有且只有一个外接圆3. 如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠C=45°，AB=4，求⊙ O 的半径..课堂小结谈谈本节课的收获和感想作业布置见精准作业单。

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。

24.2.1 点和圆的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．难点：讲授反证法的证明思路．关键：由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．老师点评：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．（3）都等于半径．（4）经过画图知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知1、由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d则有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d<r这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．2、研究确定圆的条件：（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示．（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．AlBACDOGF(1) (2) (3)（3）作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C•三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．即：也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．3、经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆l1P的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线L 1，又在线段BC 的垂直平分线L 2，•即点P 为L 1与L 2点，而L 1⊥L ，L 2⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．4、总结反证法的定义步骤在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例如：92页我们要证明AB ∥CD ，那么∠1=∠2.5、例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：三、巩固练习教材P93 练习1、2、3、4．四、归纳总结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握：1、点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念． 4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用． 五、布置作业1．教材P101 复习巩固 1、2、3．课题检测一、选择题．1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（• ）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cmB ACACDO3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（）A．522 B．52C2 D．3二、填空题．1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________•个圆，•圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，•圆心是________的交点．2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．三、综合提高题．1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，•若AB=AC，∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．B CO2．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．。

２4．2点和圆、直线和圆的位置关系24．２．1 点和圆的位置关系1.如图,⊙O的半径为r.(1)点Ａ在⊙O外,则OＡ__＞_＿_r；点Ｂ在⊙Ｏ上,则OB_＿＝___r;点Ｃ在⊙Ｏ内,则ＯC＿_＜___ｒ.（２)若OA＞r,则点A在⊙Ｏ＿＿外_＿_;若OB＝r,则点Ｂ在⊙O__上___；若OC<r,则点Ｃ在⊙O＿_内＿_＿．２．在同一平面内，经过一个点能作_＿无数_＿_个圆；经过两个点可作＿_无数___个圆;经过__不在同一直线上＿__的三个点只能作一个圆.３.三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是_＿三边垂直平分线的交点_＿＿．４.反证法首先假设命题的__结论__＿不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设＿_错误___，从而得到原命题成立．知识点1：点与圆的位置关系1．已知点Ａ在直径为8 ｃm的⊙O内,则OA的长可能是( D)A.８cｍＢ.6 cｍC．4 ｃｍD．2 cm２.已知圆的半径为6 cm，点Ｐ在圆外,则线段OP的长度的取值范围是__OP＞６_cｍ___．3.已知⊙Ｏ的半径为７cｍ，点A为线段OP的中点,当OP满足下列条件时,分别指出点A与⊙Ｏ的位置关系:(1)OP=8cm;（２)OＰ＝1４cｍ;（3)ＯP=16cm.解：(1）在圆内（２)在圆上(3)在圆外知识点２:三角形的外接圆４.如图,点O是△ABC的外心,∠ＢＡＣ＝5５°，则∠BOC=__1１0°_＿_．5.直角三角形外接圆的圆心在_＿斜边的中点__＿上.若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__２5π＿_＿.6．一个三角形的外心在其内部,则这个三角形是( C)A．任意三角形B.直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．如图,一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B,C，这三个洞口不在同一条直线上,请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置.解：图略.连接AB,ＢC，分别作线段AＢ,BＣ的垂直平分线,且相交于点Ｏ，点O 即为所求知识点3:反证法8．用反证法证明:“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D)A.相交Ｂ.两条直线不垂直C．两条直线不垂直于同一条直线D.垂直于同一条直线的两条直线相交9.用反证法证明:“△ABC中至少有两个锐角”，第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___．10．用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l２被l3所截,∠１＋∠2=1８0°，求证：l1＿＿∥___ｌ2.证明：假设l1__不平行＿_＿l２，即l1与l2相交于一点P,则∠1+∠2+∠Ｐ__=___180°（__三角形内角和定理__＿),所以∠1+∠２__<___18０°，这与＿_已知___矛盾,故__假设＿＿_不成立，所以__ｌ1∥l２___．11.在数轴上，点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中,不正确的是(A)A.当a＜５时,点B在⊙A内Ｂ.当１＜a＜5时,点B在⊙A内Ｃ．当a<1时,点B在⊙A外D．当a>5时,点B在⊙A外12.如图,△AＢＣ的外接圆圆心的坐标是_＿(－2，-1)___．1３.在平面直角坐标系中,⊙A的半径是４，圆心Ａ的坐标是(2，0)，则点P(-2,1)与⊙A 的位置关系是_＿点P在⊙A外___.1４.若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°,则∠ＢAＣ=__30°或150°_＿＿.15.如图，△AＢＣ中,AC=３，ＢC=4,∠C=90°，以点C为圆心作⊙C,半径为r.(1)当ｒ在什么范围时，点A,B在⊙C外?(２)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外？解:(1)0<r＜3 (2)3＜r<416．如图,⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为（１，1)，试判断点P(-1,1),Ｑ（１,0),R(2，2)与⊙O′的位置关系.解：点P在⊙O′外，点Q在⊙O′内，点R在⊙O′上1７.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A,B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来;（尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）(2）若在△ＡBC中，AB＝8米,AC=6米,∠BAC=9０°，试求小明家圆形花坛的面积．解:（1）用尺规作出两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O,⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)(2）２５π平方米18．如图①，在△ABC中,BＡ＝BＣ，Ｄ是平面内不与点A，B,Ｃ重合的任意一点，∠ABＣ＝∠DBE，ＢD=BE.(1)求证:△ＡBD≌△CBE;（2）如图②，当点D是△AＢＣ的外接圆圆心时,请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．解:(1)由SAS可证（２)四边形ＢECＤ是菱形.证明:∵△ＡBD≌△ＣBE,∴CE＝ＡD.∵点D是△ＡBC的外接圆圆心，∴DA=ＤB=ＤC.又∵BD=BE,∴BD=BE=EＣ=ＣＤ，∴四边形BECD是菱形ﻬ２4．2.２直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系１.直线和圆有＿_相交___、＿_相切___、__相离＿__三种位置关系.2.直线a与⊙O＿_有唯一_＿＿公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O__有两个___公共点,则直线b与⊙Ｏ相交；直线c与⊙O__没有___公共点,则直线c与⊙Ｏ相离．3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为ｄ，则:（1）直线ｌ1与⊙O__相离___,则d__＞__＿ｒ； (2)直线l 2与⊙O__相切_＿_，则d__=＿__r; (３）直线ｌ3与⊙O__相交___,则d_＿＜___ｒ.知识点１:直线与圆的位置关系的判定 1.(2０14·白银)已知⊙Ｏ的半径是６ ｃｍ,点O 到同一平面内直线ｌ的距离为５ cm ,则直线ｌ与⊙O 的位置关系是( A )A .相交B ．相切C ．相离 Ｄ.无法判断2.已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( D ) Ａ．相离 Ｂ．相切 C .相交 Ｄ．相切或相交3．在平面直角坐标系xO ｙ中,以点(－3，4)为圆心,4为半径的圆( C ) A ．与x 轴相交,与y 轴相切 B .与x 轴相离,与ｙ轴相交 Ｃ.与x 轴相切,与ｙ轴相交 D ．与x 轴相切,与y 轴相离4.在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝４ c ｍ,ＢC ＝2 cm ，以C 为圆心,r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程.(1)r ＝1.5 ｃm ；(2)r ＝错误! ｃm ;（3)r=2 cm .解:过点C 作CD ⊥AB,垂足为D,可求CD ＝＼r （3).(１)r ＝1.5 cm 时，相离;(2）r ＝错误! c ｍ时，相切；(3)r=2 ｃｍ时，相交知识点２:直线与圆的位置关系的性质5.直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5,则半径r 的取值范围是( Ａ )Ａ．r>5 B ．ｒ＝5 C .0＜r<5 D ．0＜r ≤56．如图,⊙O 的半径ＯC=5 cm ,直线l ⊥ＯC,垂足为H ，且l 交⊙O 于Ａ,B 两点,AB=8 cm ，则l 沿O Ｃ所在的直线向下平移,当l 与⊙Ｏ相切时,平移的距离为（ Ｂ )Ａ.1 cm B ．2 cm Ｃ．3 cm D ．4 cm７.已知⊙O 的圆心O 到直线ｌ的距离为d ，⊙O 的半径为r,若d ，ｒ是方程x 2-4x ＋ｍ=0的两个根,且直线l 与⊙O 相切，则m 的值为＿_４_＿_.8．在Ｒｔ△ABC 中,∠Ａ＝90°，∠C ＝６0°,ＢO ＝ｘ，⊙O 的半径为2，求当x 在什么范围内取值时,A Ｂ所在的直线与⊙O 相交、相切、相离?解:过点O 作OD ⊥AB 于D,可得OD ＝12ＯB ＝错误!x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时,OＤ=r=2，∴B Ｏ=4,∴0<ｘ<4时,相交；x=4时,相切；x ＞4时,相离9．已知⊙O的面积为9πcm2，若点Ｏ到直线l的距离为πcm,则直线l与⊙O的位置关系是( C）A.相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ.无法确定1０.已知⊙O的半径为３,直线ｌ上有一点Ｐ满足PＯ=３，则直线ｌ与⊙O的位置关系是（D)A.相切B．相离Ｃ.相离或相切D.相切或相交11.已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为ｄ．若直线l与⊙O相切，则以d,r 为根的一元二次方程可能为( B）A．x2－3ｘ＝０Ｂ．x2－6x＋9＝0C．x2－5ｘ＋4＝0Ｄ.ｘ2＋4ｘ+4=012．如图,在矩形ABＣＤ中,AＢ=6，ＢC＝３，⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是__相切___.13．已知⊙O的半径是５，圆心O到直线ＡB的距离为２，则⊙O上有且只有＿＿3__＿个点到直线AＢ的距离为３．１４．如图，⊙Ｐ的圆心P（-３,2)，半径为3，直线MＮ过点Ｍ(５,0)且平行于y轴，点N在点M的上方.(1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MＮ的位置关系；（2)若点N在(1)中的⊙Ｐ′上,求PN的长.解:(1)图略,⊙P′与直线ＭＮ相交（2）连接PＰ′并延长交ＭN于点Q，连接PN,Ｐ′N.由题意可知:在Rｔ△P′QN中，P′Q=2,P′N=3，由勾股定理可求出QN＝＼r(5）；在R ｔ△PＱN中，PQ＝3+5=8,ＱN＝错误!,由勾股定理可求出PN＝错误!＝错误!１5．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y=2ｘ－1上运动.(1)当⊙Ｐ和ｘ轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时y轴与⊙Ｐ的位置关系;(2）当⊙P和ｙ轴相切时,写出点P的坐标，并判断此时x轴与⊙P的位置关系;(３)⊙Ｐ是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标;若不能,说明理由．解：∵⊙Ｐ的圆心在直线y=2x－1上,∴圆心坐标可设为(x，2x－１)．(１)当⊙P和ｘ轴相切时，2x-1=2或２ｘ-１=－2，解得x＝1.5或x＝-0.５,∴P1（１.5,2），P2(-０.5,-2).∵1.5<２，|－0．5|<2，∴y轴与⊙Ｐ相交(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2,得2x-１=3或２ｘ－1=-5,∴P1（2,３),P2(-2,-5)．∵|－5|>2，且｜3|>2，∴x轴与⊙P相离(3)不能．∵当x＝2时,y=３,当x＝－2时,ｙ=－5，|－5｜≠2，３≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切16.已知∠MＡN＝30°,Ｏ为边ＡN上一点，以Ｏ为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D,E 两点，设AD＝x．(1）如图①,当x取何值时,⊙O与AM相切？(2)如图②,当x取何值时，⊙O与AM相交于B,C两点，且∠BOＣ＝90°？解：（1)过O点作OＦ⊥ＡM于F,当OＦ＝r＝２时,⊙O与AM相切，此时OA＝4，故x＝ＡＤ=２(2)过O点作ＯG⊥AM于G,∵OB=OC=２，∠BＯＣ＝90°，∴BC=2＼r(２)，∴ＢG=CG ＝＼ｒ(２),∴OG＝错误!．∵∠A=３０°，∴ＯA=2错误!,∴ｘ=AＤ=2错误!－２第2课时切线的判定与性质1．经过半径的__外端___，并且＿_垂直＿__于这条半径的直线是圆的切线．2．圆的切线必＿_垂直_＿＿于过＿_切点___的半径.知识点1:切线的判定1.下列说法中，正确的是( D)Ａ.AB垂直于⊙O的半径,则AB是⊙O的切线Ｂ.经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线２．如图,△ＡＢＣ的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为＿_∠AＢＣ=90°＿__.3.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上，点Ｃ在⊙O上,AＣ＝ＣD,∠D=30°．求证:CD 是⊙O的切线．解：连接OC.∵AC=CＤ,∠Ｄ=30°,∴∠Ａ＝∠D＝3０°.∵OＡ＝OC,∴∠ＯCA＝∠A=30°，∴∠COD＝60°，∴∠ＯCD＝90°,∴OC⊥CＤ,∴CD是⊙Ｏ的切线4．(2014·孝感)如图,在Rt△ABC中，∠ACＢ=90°.(1）先作∠ＡＢC的平分线交AC边于点Ｏ,再以点O为圆心，OC为半径作⊙O；(要求:尺规作图,保留作图痕迹，不写作法)(2）请你判断（1)中AB与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解:(1)如图（２）ＡB与⊙Ｏ相切．证明:作OＤ⊥AB于点D,∵BO平分∠AＢC，∠ACB=９0°，OD⊥ＡＢ，∴OD＝OC,∴ＡＢ与⊙Ｏ相切知识点2:切线的性质5.(2014·邵阳）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O，边ＡB与⊙O相切,切点为Ｂ.已知∠A＝30°,则∠C的大小是(A）Ａ.３0°B．45°C．60°Ｄ．40°，第5题图),第6题图),第7题图)6.如图,⊙O的半径为3，Ｐ是CB延长线上一点,ＰO＝５，PA切⊙O于Ａ点,则PA＝__4__＿.7.如图，已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切于点A.若∠ＭAＢ＝30°，则∠Ｂ＝_＿60°＿__.8.如图,等腰△OＡB中,OA＝OB,以点O为圆心作圆与底边ＡB相切于点Ｃ.求证:AC=BC.解:∵ＡB切⊙O于点Ｃ，∴OＣ⊥ＡB.∵OA=ＯＢ，∴AC＝BＣ9.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CＯ＝CD，则∠PCA=(D）Ａ．30°B．４5°C.60°D.67．5°,第９题图）,第1０题图),第１1题图)１０．如图,已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AＢ，点Ｐ是⊙O上的一个动点，那么∠ＯAP的最大值是(A)A．３0°B.45°C.60°D．90°11．如图,已知AB是⊙O的直径,ＡＤ切⊙O于点A,点Ｃ是错误!的中点，则下列结论不成立的是(D)A．OC∥ＡE B．EC＝ＢCC．∠DAE＝∠ABE D．ＡC⊥OE12．(20１4·自贡)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙Ｏ与ＢC相切于点Ｃ,与AC相交于点E，则CE的长为＿＿３___cm.,第1２题图) ,第13题图) 1３.如图,直线ＰA过半圆的圆心O，交半圆于Ａ，B两点,ＰC切半圆于点C,已知PＣ＝3，PB＝1,则该半圆的半径为__4＿＿_.14.(2０1４·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠AＣB=９0°，以AC为直径作⊙Ｏ交AB于点D，连接CD．（1)求证:∠A=∠ＢCＤ.(2)若M为线段BC上一点，试问当点Ｍ在什么位置时,直线ＤＭ与⊙O相切?并说明理由．解:(1)∵ＡC为直径，∴∠ＡDC＝９0°，∴∠A＋∠ACＤ＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠BCD+∠ACD＝90°,∴∠A=∠BＣD（２)当点M是BC的中点时,直线DＭ与⊙O相切．理由：如图，连接DO．∵DＯ＝ＣO,∴∠1＝∠2.∵∠BDＣ＝90°，点M是BC的中点，∴DM=ＣＭ,∴∠4=∠３.∵∠２+∠4=９0°，∴∠1＋∠3=90°,∴直线DM与⊙Ｏ相切１5.如图,已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线,切点为C,∠ＡPC的平分线交AＣ于点D，求∠CＤP的度数．解:∵PC是⊙O的切线,∴OC⊥OＰ,即∠OCP＝9０°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ＡCB＝９0°,∴∠AＣB-∠ＯCB＝∠OＣP－∠OCB,即∠ACO=∠BCP.又ＯA＝OC,∴∠A=∠ACO，∴∠BCP＝∠BＡC．∵PD是∠APＣ的平分线,∴∠ＣPD=∠APD.∵∠AＢC=∠CPＤ+∠AＰＤ+∠BＣP,∠BAC＋∠ＡＢC=９０°,∴∠BＡＣ+∠ＣＰD+∠APD+∠BCＰ＝９0°,∴∠CDP＝∠APD+∠BAC＝45°16.(2０14·德州)如图,⊙O的直径AB为10 cm,弦BC为６cm,D,E分别是∠ＡＣB的平分线与⊙O,AＢ的交点，P为AB延长线上一点,且PＣ=PE.（1）求AC,AD的长;(2)试判断直线PC与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由.解：（1)连接BD．∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ＡBC中,AC=错误!＝＼r（102-62)=8(cm)．∵CD平分∠AＣB，∴错误!＝错误!，∴AD＝BD．在Rｔ△ABD中,A Ｄ2+BＤ２=AB２,∴AD＝＼ｆ(＼ｒ(２),2)ＡB=错误!×１０＝5错误!(cｍ）（2)直线ＰＣ与⊙O相切．理由：连接OC.∵OC＝OA，∴∠CAＯ＝∠OCA.∵PC＝PE,∴∠ＰCＥ＝∠ＰＥC.∵∠ＰEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PＣB+∠ECＢ＝∠ＣAE+∠AＣE.∵CＤ平分∠ACB，∴∠AＣＥ=∠ECB,∴∠PＣB=∠CAE,∴∠ＰCＢ=∠AＣO.∵∠ＡCＢ=90°,∴∠OCP=∠OCB+∠PCB＝∠ACＯ＋∠ＯCB=∠ACB＝9０°,∴ＯC⊥ＰＣ，∴直线PＣ与⊙Ｏ相切ﻬ第3课时切线长定理1．经过__圆外_＿＿一点作圆的切线，这点与切点之间_＿线段___的长,叫做这点到圆的切线长.2．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的＿＿两__＿条切线,它们的切线长__相等＿__，这一点和圆心的连线__平分＿__两条切线的夹角.3．与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的__内＿＿_心,它是三角形__三条角平分线＿_＿的交点.知识点1：切线长定理1．如图,从⊙Ｏ外一点P引⊙O的两条切线PA，ＰB，切点分别为A,Ｂ.如果∠APＢ＝6０°，PA=8，那么弦AB的长是（B)A．4 B．8C.４＼r(３）D．８错误!，第１题图) ,第２题图) ２．如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D,E两点,直径FG在AB上，若BG＝＼r（２）－1,则△ABC的周长为(A)A.4+2＼r（2)B.6C.2＋2 2 D．43.(2014·天水)如图,PA，PB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上，且∠ACB=50°,则∠P=__80°__＿.４.如图,PA，PＢ是⊙Ｏ的两条切线,Ａ,B为切点,∠ＯAB＝３0°.(1)求∠APB的度数；(2)当OA=3时，求AP的长.解：(1)∠AＰB＝6０°(2）AP=3错误!知识点2：三角形的内切圆5．如图，点O是△ＡＢC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=(A)Ａ．130°B．1２0°Ｃ．100°D．90°6.已知△ＡBＣ的周长为24，若△ABC的内切圆半径为2,则△ABＣ的面积为__2４___.7．在Rt△ＡBC中,∠C=9０°,AC＝6，BC＝８，则△ABC的内切圆的半径为__2_＿_.8.如图，△AＢＣ的内切圆⊙O与ＢＣ，CA，AB分别相切于点D，E,Ｆ,且AB=18 cm,ＢC=２8 cｍ,CＡ=26 cm，求AF,BＤ，CE的长.解：根据切线长定理得ＡE=AF，ＢF=ＢD,ＣＥ＝CD.设ＡＥ＝AF＝x cm,则CＥ＝CD=(26－x) ｃm,BF=BD=(１8－x) cｍ.∵BC＝２8 cｍ，∴(1８-x)＋(２6－ｘ）=２8,解得x=８，∴ＡF=8 ｃｍ,BD＝１0 cm,CE＝１8 cmﻬ９.正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( B)A.2 Ｂ．2＼r(3）Ｃ.错误!D.310.如图,AB，AC与⊙O相切于点B，Ｃ,∠A=5０°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠ＢPC的度数是(C)A．65°B．11５°C.６5°或115°D.130°或5０°,第1０题图) ,第11题图)11.(2０14·泰安)如图,Ｐ为⊙O的直径ＢＡ延长线上的一点，PC与⊙O相切,切点为C,点D是⊙O上一点,连接ＰＤ．已知PC＝PＤ=ＢC．下列结论：(1）PＤ与⊙O相切；(2)四边形PＣＢD是菱形;（3)PO＝AＢ;(４)∠PDB=１20°．其中正确的个数为（A）Ａ．4 Ｂ.3C．2 Ｄ.112.如图，已知PA,ＰB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上,∠BCＡ=65°，则∠P＝＿_５0°＿_＿.，第1２题图) ,第1３题图)13.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点Ａ,Ｂ，⊙Ｏ的切线EF分别交PA,PＢ于点Ｅ,F，切点C在错误!上,若PＡ长为2，则△PEF的周长是＿＿4__＿．１4．如图,点I为△ABC的内心,点O为△ＡBC的外心,若∠ＢOC＝140°，求∠BＩＣ的度数．解：∵点Ｏ为△ABC 的外心,∠BOC ＝1４0°，∴∠Ａ＝70°.又∵点I 为△AB Ｃ的内心，∴∠ＢIC=180°－错误!(1８0°－∠Ａ)=9０°+错误!∠Ａ＝125°15.如图，ＰA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,AC 是⊙O 的直径，ＡＣ,PB 的延长线相交于点D ．(1）若∠1=２０°，求∠AP Ｂ的度数；(2)当∠1为多少度时，ＯＰ＝O Ｄ？并说明理由.解:（1）∵ＰＡ是⊙O 的切线，∴∠BAP=90°-∠1=７0°.又∵PA ，ＰB 是⊙O 的切线，∴PA=PB,∴∠B ＡＰ＝∠ABP=70°，∴∠AP Ｂ=1８０°-７0°×２=40° (2）当∠1＝30°时，OP ＝ＯD.理由:当∠1＝30°时，由(1）知∠BA Ｐ＝∠ABP=60°，∴∠ＡP Ｂ＝1８0°-6０°×２＝60°.∵P Ａ,ＰＢ是⊙Ｏ的切线,∴∠OPB ＝＼f(1,2）∠APB ＝30°.又∵∠D ＝∠A ＢP －∠１=６０°-3０°=3０°，∴∠OPB=∠D,∴OP=OD１６.如图，A Ｂ是⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,ＤＥ切⊙Ｏ于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF.(1)求证:ＯD ∥BE ；(2)猜想:OF 与ＣD 有何数量关系？并说明理由．解：（１)连接OE ，∵AM ，DE 是⊙O 的切线，ＯA ，O Ｅ是⊙O 的半径，∴∠AD Ｏ＝∠ED Ｏ，∠DA Ｏ=∠DEO ＝90°，∴∠AOD=∠ＥOD ＝错误!∠ＡOE.∵∠ＡＢE ＝∠ＯEＢ,∠AB Ｅ＋∠O ＥＢ＝∠AOE,∴∠A ＢE=12∠A ＯE ，∴∠AOD ＝∠ＡBE ，∴ＯD ∥ＢE（2)O Ｆ=＼ｆ（1,2）C Ｄ，理由:连接ＯC,∵BC,C Ｅ是⊙O 的切线,∴∠O ＣB ＝∠O ＣＥ.同理：∠ADO=∠EDO.∵AM ∥BN ，∴∠A ＤO+∠E ＤＯ+∠OCB+∠OCE=180°，∴∠EDO＋∠ＯCE＝９0°，∴∠ＤＯC=９０°.在Rt△DOC中,∵F是ＤC的中点，∴OＦ＝错误!CD ﻬ专题训练(七) 切线证明的方法一、有交点,连半径，证垂直(一)利用角度转换证垂直１.如图,AB是⊙O的弦，OD⊥ＯB，交AＢ于E，且ＡD=ED.求证：AＤ是⊙O的切线．解:连接OA.∵OA=ＯB,∴∠B=∠ＯAＢ.又∵AD=ＤＥ，∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEＡ＝∠ＢEO,∠Ｂ+∠ＢEO＝90°，∴∠DＡE+∠ＯAＢ=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O的切线2．如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CＤ是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AＰ=AＣ.求证:ＰＡ是⊙Ｏ的切线.解:连接ＯA．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°,∴∠AＯP=60°,∵OＡ=OＣ,∴∠OAＣ＝∠ACP=＼f(1,2)∠ＡOP＝３0°,又∵AP=AＣ,∴∠P=∠ＡCP＝30°,∴∠PAＯ=90°，∴O Ａ⊥AP，∴PA是⊙O的切线(二)利用全等证垂直3．如图,AB是⊙O的直径,BC⊥ＡB于点B，连接ＯＣ,弦AD∥OC.求证：CD是⊙Ｏ的切线.解:连接ＯD．由SAS证△CBO≌△CDＯ，得∠CDＯ＝∠CBO=90°,∴CD⊥OＤ，∴CD是⊙Ｏ的切线(三）利用勾股定理逆定理证垂直4．如图，AB为⊙O的直径，点Ｐ为AＢ延长线上一点，点Ｃ为⊙O上一点，ＰＣ=8,ＰB=4，AＢ＝1２.求证:PC是⊙O的切线．解:连接OC.根据题意，可得OC＝6，PO=10,PC＝8，∴OC２+ＰC2=PO2，∴△POC为直角三角形且∠PCO＝９0°,∴ＯＣ⊥CＰ，∴PＣ是⊙O的切线二、无交点,作垂直，证半径5.如图，在△ＡBC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点Ｅ.求证:AC与⊙D相切.解:连接DE,过D作ＤF⊥ＡC于F，易证△BDE≌△CＤＦ，∴DF=DE,∴AC与⊙O相切6.如图，同心圆O,大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证:CD是小圆的切线.解:连接OE，过Ｏ作ＯF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E,∴OＥ⊥AB，∵AB＝ＣD,∴ＯＥ=OF,∴ＣD与小⊙O相切７.如图，AB是⊙Ｏ的直径，AM，BN分别切⊙O于点A,Ｂ，CＤ交AM,BN于点D,C,ＤＯ平分∠AＤC.(1）求证:CＤ是⊙O的切线；(２）若AD=4,ＢC=9，求⊙O的半径R．解:(１)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OＡ⊥ＡＤ,又∵DO平分∠ＡDC,∴ＯE＝OA,∴CD是⊙O的切线（2)过D点作ＤＦ⊥BC于点F，易证四边形ＡBFD是矩形,∴ＡＤ=BF，AB＝ＤF，又∵AＤ＝4,BＣ＝9，∴FC=9-4=5.又∵ＡM，BN,CD分别切⊙O于点A，B，Ｅ,∴ＤA＝DE，CB＝ＣE，∴DC=AＤ+BＣ＝４＋9＝13.在Ｒt△DＦC中,ＤC２＝DF２＋FC2，∴DF＝12,∴AB=1２，∴⊙O的半径R是6三、与切线证明方法有关的综合问题8．(20１4·江西）如图①,ＡB是⊙Ｏ的直径，点Ｃ在ＡB的延长线上,AB=4,BC＝2,P是⊙Ｏ上半部分的一个动点,连接OP,CＰ．（1)求△OＰC的最大面积;(２)求∠OCＰ的最大度数;(3)如图②,延长PO交⊙O于点Ｄ,连接DB，当ＣＰ＝DB 时,求证：CP是⊙Ｏ的切线.解:(1)△OPC的边长OC是定值,∴当OP⊥OＣ时，ＯC边上的高为最大值,此时△OPC 的面积最大．∵ＡB＝4，BＣ＝２,∴ＯＰ=OB=2，OC＝ＯB＋BC=4，∴S△OPC＝错误!·OC·ＯP=错误!×4×2=４,即△ＯＰC的最大面积为4(2）当ＰＣ与⊙O相切,即ＯP⊥PC时，∠OCP的度数最大，可求∠OＣP=30°(3)连接AP，BP．∵∠ＡＯP＝∠DOB,∴AＰ=ＤB.∵ＣP=ＤB，∴AＰ=PC,∴∠A=∠Ｃ.∵∠A=∠Ｄ，∴∠C=∠D.∵ＯC=PD＝４，PC=DB，∴△OPC≌△ＰBＤ,∴∠OPＣ=∠PBD．∵PD是⊙O的直径,∴∠ＰＢD＝90°，∴∠OＰＣ＝9０°,∴OP⊥PＣ．又∵OP是⊙Ｏ的半径,∴ＣP是⊙O的切线。