9.1.1正弦定理同步作业2020-2021学年高一下学期数学人教版B版(2019)必修

2020-2021学年高一下学期数学同步强化练习2 余弦定理、正弦定理的综合应用一、选择题1.若钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC= ( ) A.5 B.√5 C.2 D.12.若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积S=a 2+b 2-c 24=a 23sinA,则sin B= ( )A.√63B.√22C.√32D.2√233.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且BC 边上的高为√36a,则b c +cb的最大值为 ( )A.8B.6C.3√2D.44.在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的面积为S,若sin(A+C)=2S b 2-c 2,则tan C+12tan(B -C)的最小值为 ( ) A.√2 B.2 C.1 D.2√2二、填空题5.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cosA a+cosB b=sinC c,b 2+c 2-a 2=65bc,则tan B= .6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b=4,给出下列说法: ①若c=√3,则角C 有两个解;②若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,则AC 边上的高为3√3; ③a+c 不可能等于9.其中正确说法的序号是 .7.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,则△ABC 面积的最大值为 .8.在锐角△ABC 中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,则中线AD 的取值范围是 .三、解答题9.几千年的沧桑沉淀,凝练了黄山的美,清幽秀丽的自然风光,文化底蕴厚重的旅游环境.自明清以来,文人雅士,群贤毕至,旅人游子,纷至沓来,使黄山成为江南的旅游热点.如图,游客从黄山风景区的景点A 处下山至C 处有两处路径,一种是从A 沿直线步行到C,另一种是先从A 乘景区观光车到B,然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50米/分钟,在甲出发2分钟后,乙从A 乘观光车到B,在B 处停留20分钟后,再从B 匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟,山路AC 长为2 340米,经测量,cos A=2425,cos C=35.(1)求观光车路线AB 的长;(2)乙出发多少分钟后,乙在观光车上与甲的距离最短?10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C.(1)求A;(2)从下列条件:①a=√3;②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件,求△ABC周长的取值范围.答案全解全析一、选择题1.B 由题意得,12AB·BC·sin B=12×1×√2sin B=12,∴sin B=√22,∴B=π4或B=3π4.当B=3π4时,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC=√5(负值舍去),此时△ABC 为钝角三角形,符合题意;当B=π4时,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1(负值舍去),此时AB 2+AC 2=BC 2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故AC=√5. 2.D ∵S=a 2+b 2-c 24,∴12absin C=2abcosC4,即sin C=cos C,∴C=π4.∵S=a 23sinA,∴12bcsin A=a 23sinA,由正弦定理得12sin Bsin Csin A=sin 2A3sinA,即sin Bsin C=23,∴sin B=2√23.故选D.3.D ∵BC 边上的高为√36a, ∴S △ABC =12a×√36a=12bcsin A,∴a 2=2√3bcsin A,由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 可得2√3bcsin A=b 2+c 2-2bccos A,整理得,b 2+c 2bc=2√3sin A+2cos A,即b c +cb=4sin (A +π6). ∵A ∈(0,π),∴A+π6∈(π6,76π), ∴当A+π6=π2,即A=π3时,4sin (A +π6)有最大值,为4. ∴b c +cb的最大值为4.4.A 因为sin(A+C)=2Sb 2-c 2,即sin B=2Sb 2-c 2, 所以sin B=acsinBb 2-c 2,因为sin B≠0, 所以b 2=c 2+ac,由余弦定理得, c 2+ac=a 2+c 2-2accos B,即a -2ccos B=c,再由正弦定理得sin A -2sin Ccos B=sin C,因为sin A -2sin Ccos B=sin(B+C)-2sin C·cos B=sin(B -C),所以sin(B -C)=sin C, 所以B -C=C 或B -C+C=π,所以B=2C 或B=π(舍去). 因为△ABC 是锐角三角形, 所以{0<C <π2,0<2C <π2,0<π−3C <π2,得π6<C<π4,所以tan C ∈(√33,1), 所以tan C+12tan(B -C)=tan C+12tanC≥√2,当且仅当tan C=√22时取等号.故选A. 二、填空题 5.答案 4解析 ∵b 2+c 2-a 2=65bc,∴由余弦定理得b 2+c 2-a 2=2bccos A=65bc,∴cos A=35,sin A=√1−cos 2A =45.∵cosA a+cosB b=sinC c,∴由正弦定理得cosA sinA +cosB sinB =sinC sinC,∴34+1tanB =1,∴tan B=4. 6.答案 ②③解析 对于①,当c=√3时,c<b,∴C<B,角C 只有1个解,①错误. 对于②,∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,∴ac·cos B=ac·cos 60°=12ac=12,∴ac=24.∴12ac·sin B=12×24×√32=6√3. 设AC 边上的高为h,则12bh=12×4h=6√3,解得h=3√3,②正确. 对于③,b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-2ac·cos 60°=a 2+c 2-ac=16,∴a 2+c 2=16+ac, ∵a 2+c 2≥2ac(当且仅当a=c 时取等号), ∴16+ac≥2ac,∴ac≤16,∴(a+c)2=a 2+c 2+2ac=3ac+16≤3×16+16=64, ∴a+c≤8<9,即a+c 不可能等于9,③正确. 综上,正确说法的序号是②③.7.答案3√334解析 ∵|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,即c=3. ∵CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴abcos C=6,∴cos C=6ab. 由余弦定理得9=a 2+b 2-2abcos C=a 2+b 2-12≥2ab -12,∴ab≤212(当且仅当a=b 时取等号). ∴S △ABC =12absin C=12ab √1−cos 2C =12ab √1−36a 2b 2=12√a 2b 2(1−36a 2b 2) =12√a 2b 2-36≤12√(212)2-36 =3√334.故△ABC 面积的最大值为3√334. 8.答案 [√3,√132) 解析 设AB=c,AC=b,BC=a=2,根据正弦定理及sin B+sin C=2sin A,得b+c=2a=4, ∴c=4-b.∵△ABC 为锐角三角形,∴{b 2+c 2=b 2+(4−b)2>4,c 2+4=(4−b)2+4>b 2,b 2+4>c 2=(4−b)2,解得32<b<52.故bc=b(4-b)=-b 2+4b (32<b <52),结合二次函数的性质,得154<bc≤4.∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·cos∠BAC =12√b 2+c 2+2bc ·b 2+c 2-42bc=12√2b 2+2c 2-4=12√28−4bc , ∵154<bc≤4,∴√3≤12√28−4bc <√132,即AD 的取值范围为[√3,√132). 三、解答题9.解析 (1)在△ABC 中,因为cos A=2425,cos C=35,所以sin A=725,sin C=45, 从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=117125. 由正弦定理得ABsinC =ACsinB,所以AB=ACsinB ×sin C=2 340117125×45=2 000(m),所以观光车路线AB 的长为2 000 m.(2)假设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客的距离为d m,此时甲行走了(100+50t)m,乙距离A 处250t m, 由余弦定理得d 2=(100+50t)2+(250t)2-2×250t×(100+50t)×2425=1 000(41t 2-38t+10)=1 000[41(t -1941)2+4941]. 因为0≤t≤2 000250,即0≤t≤8,所以当t=1941 min 时,甲、乙两游客的距离最短. 10.解析 (1)因为(b -a)(sin B+sin A)=(b -c)sin C,所以由正弦定理得(b -a)(b+a)=(b -c)c, 即b 2+c 2-a 2=bc,由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,又A ∈(0,π), 所以A=π3. (2)选择①a=√3.由正弦定理得b sinB =c sinC =asinA =2,所以△ABC 的周长l=2sin B+2sin C+√3=2sin B+2sin (2π3-B)+√3=3sin B+√3cos B+√3=2√3sin (B +π6)+√3,因为B ∈(0,2π3),所以π6<B+π6<5π6,12<sin (B +π6)≤1, 所以2√3<2√3sin (B +π6)+√3≤3√3, 即△ABC 周长的取值范围为(2√3,3√3]. 选择②S △ABC =√3.由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√3,得bc=4.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12, 所以△ABC 的周长l=a+b+c=√(b +c)2-12+b+c, 因为b+c≥2√bc =4,当且仅当b=c=2时,等号成立, 所以l=a+b+c≥√42-12+4=6, 即△ABC 周长的取值范围为[6,+∞).。

9．1.1 正弦定理1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A ．15 B ．59C ．53D ．1 2．已知△ABC 中，a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝60°，那么A 等于( )A ．45°B ．60°C ．120°或60°D ．135°或45°3．已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，AC ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3 ，A ＝30°，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝12，A ＝120°，且b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．3D ．436．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求角A ；(2)求AC 边上的高．7．(多选)在△ABC 中，下列式子可能成立的是A ．a >b sin A B ．a <b sin AC ．a ＝b sin AD ．b <a sin B8．在△ABC 中，若AB → ·AC → ＝2且∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．33D ．233 9．(多选)下列关于正弦定理或其变形的叙述正确的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C10．(逻辑推理)在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形11．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6 ，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定12．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论成立的是( )A ．若A >B ，则sin A >sin BB ．若A >B ，则cos A <cos BC ．若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则a ＝b ＝c D ．若a cos A ＝b cos B ，则A ＝B13．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试判断△ABC 的形状．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．15.已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32 c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3 ，求c 的值．9．1.1 正弦定理必备知识基础练1．答案：B解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝5×133 ＝59，故选B.2．答案：A解析：在△ABC 中，∵a ＝2 ，b ＝3 ，∴a <b ，∴A <B .又∵B ＝60°，∴A <60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b＝2×323 ＝22 ，则A ＝45°或135°(舍)，故选A. 3．答案：D解析：S ＝12 BC ·AC ·sin C ＝12 ×4×3×sin C ＝3，∴sin C ＝12，∵三角形为锐角三角形，∴C ＝30°.4．答案：C 解析：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.∵a <b ，∴B >A ＝30°.∴B 为60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c ＝a 2＋b 2 ＝1＋3 ＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°.此时，c ＝a ＝1.故选C.5．答案：A解析：∵△ABC 中，sin B ＝12，A ＝120°，∴B ＝30°，∴C ＝30°，又∵b ＝2，∴c ＝b ＝2.∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×2×2×32＝3 . 6．解析：(1)∵B 是△ABC 的内角，且cos B ＝－17， ∴B 为钝角，sin B ＝437. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得7sin A ＝8437 ， 即sin A ＝32 ，∴A ＝π3.(2)由sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32 ×⎝⎛⎭⎫－17 ＋12 ×437 ＝3314， 则AC 边上的高＝a ·sin C ＝7×3314 ＝332. 关键能力综合练7．答案：AC解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A，∵sin B ≤1，sin A ≤1，∴a ≥b sin A ，b ≥a sin B ，故选AC.8．答案：C解析：由AB → ·AC → ＝2得AB ·AC ·cos 30°＝2，即AB ·AC ＝43，所以由三角形面积公式得S ＝12 AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12 ×43×12 ＝33 . 9．答案：ACD解析：由正弦定理易知A 、C 、D 正确，对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误，故选ACD. 10．答案：B解析：由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B＝k ，由a ＝b sin A 得k sin A ＝k sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2，故选B. 11．答案：C 解析：由正弦定理得6sin 60° ＝4sin B.∴sin B ＝2 ＞1，∴角B 不存在． 12．答案：ABC解析：对于A ：因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理可得2R sin A >2R sin B (R 是△ABC 外接圆的半径)，所以sin A >sin B ，故正确；对于B ：因为y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，A ，B ∈(0，π)且A >B ，所以cos A <cos B ，故正确；对于C ：因为a cos A ＝b cos B ＝c cos C，由正弦定理化边为角可得tan A ＝tan B ＝tan C ，又因为A ，B ，C ∈(0，π)，所以A ＝B ＝C ，所以a ＝b ＝c ，故正确；对于D ：利用正弦定理化边为角可得sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故错误．故选ABC. 13．解析：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A.又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 14．解析：(1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2A ＝33， 又B ＝A ＋π2 ，所以sin B ＝sin (A ＋π2 )＝cos A ＝63. 由正弦定理可得b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝32 . (2)由B ＝A ＋π2， 得cos B ＝cos (A ＋π2 )＝－sin A ＝－33， 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33 ×(－33)＋63 ×63 ＝13. 所以△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×3×32 ×13 ＝322 . 核心素养升级练 15．解析：(1)由a cos C ＋32 c ＝b ，得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . 因为sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝32 . 因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝32 ， 所以B ＝π3 或2π3. ①当B ＝π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π2 ，所以c ＝2； ②当B ＝2π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π6，所以c ＝a ＝1.综上可得c＝1或2.。

2021年高中数学 1.1.1 正弦定理（1）同步练习理（普通班）新人教A
版必修5
一、选择题
1．在△ABC中，已知，则∠B等于（）
A． B． C． D．
2．一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（）．
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
4．在△ABC中，，则△ABC一定是（）
Ａ．等腰三角形Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形
5、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）
A. ，有两解
B. ,有一解
C. ，有两解
D. ，无解
6．中，的对边分别为若且，则( )
A.2 B．4＋ C．4— D．
二、填空题
7．在△ABC中，若,求= ．
8．在△ABC中，已知，则这样的三角形有_______个．
三、解答题
9．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．10．在△ABC中，求证：
1.1.1正弦定理（一）
一、选择题
1.D
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
二、填空题
7．8. 1
三、解答题
9.解∵Ｂ＝Ａ＋∴
又∴
∴
∴又∵∴
10. 解：.
I33569 8321 茡25979 657B 敻E 38927 980F 頏37950 943E 鐾27850 6CCA 泊27403 6B0B 欋Q%25532 63BC 掼31699 7BD3 篓28743 7047 灇^。

一正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,则C等于( )A.30°B.45°C.150°D.30°或150°【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据大边对大角,即可得解.【解析】选A.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,则由正弦定理可得=,所以sin C==,因为c<b,所以C=30°.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=,则b= ( )A.1B.C.D.2【解析】选A.因为在△ABC中,A=105°,C=45°,所以B=180°-A-C=180°-105°-45°=30°.再由正弦定理=,即=,解得b=1.3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asinA,则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【解析】选B.由正弦定理可以得到sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,故sin(B+C)=sin2 A,即sinA=sin2 A.因为A∈(0,π),故sin A≠0,所以sin A=1.因为A∈(0,π),故A=,所以△ABC为直角三角形.4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccos A,sin A=1,则sin C的值为( ) A. B. C. D.【解析】选B.因为sin A=1,即sin A=.又a=2ccos A,cos A=>0,所以cos A=.由条件及正弦定理得sin A=2sin Ccos A,即=2×sin C,所以sin C=.5.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形( )A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定【解析】选B.如图,因为bsin A<a<b,所以B有两解.6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足sin B=2sinAcos C+cos Asin C,则下列结论可能正确的是( )A.a=2bB.b=2aC.C=D.C<【解析】选AC.由sin B=2sin Acos C+cos Asin C,得sin B+2sin Bcos C=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,C=或2b=a.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csin A,则角C=________. 【解析】由a=2csin A及正弦定理得==,因为sin A≠0,所以sin C=,又因为△ABC是锐角三角形,所以C=.答案:8.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为________.【解析】如图所示,由正弦定理得sin C==.且AB>AC,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以S△ABC=AC·AB·sin A=或.答案:或三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知△ABC中,a=,b=,B=45°,求A,C和边c.【解析】由正弦定理=,得sin A=.因为a>b,所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==. 【补偿训练】若在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得==,故BC===,AB====.10.在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,△ADC是△ABD面积的倍.(1)求的值.(2)若A=30°,AB=1,求AD的值.【解题指南】(1)根据△ADC是△ABD面积的倍列式,由此求得的值.(2)用B表示C,利用正弦定理和两角差的正弦公式,化简(1)所得的表达式,求得tan B的值,进而求得∠ADB的值,利用正弦定理求得AD的值.【解析】(1)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.所以===.(2)因为A=30°,所以C=150°-B,由(1)得====,所以sin B=cos B+sin B,即sin B=-cos B,得tan B=-.易得B=120°,因为AD平分∠BAC,所以∠ADB=30°+15°=45°.因为AB=1,由正弦定理知=,即==,得AD=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于( )A.150°B.90°C.60°D.30°【解析】选D.由正弦定理,得=,得sin A=.又a<b,所以A<B=45°.所以A=30°.2.在△ABC中,若内角满足A>B,则下列结论一定正确的是( )A.sin A>sin BB.sin A<sin BC.sin A>cos BD.cos A>cos B【解题指南】先由三角形大角对大边,再由正弦定理变形公式判断.【解析】选A.设A,B对应的边分别为a,b,因为A>B,所以a>b,由正弦定理得,2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B.3.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A,B的大小不能确定【解题指南】先由正弦定理说明a>b,然后再根据△ABC中大角对大边的原理去判断.【解析】选A.由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B.因为sin A>sin B.所以a>b,所以A>B.4.在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选D.由已知===,所以=或=0,即C=90°或=.由正弦定理,得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=bsin A,则sin B=________.【解析】由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以sin A=sin B·sin A,故sin B=.答案:6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=________. 【解析】方法一:由正弦定理bcos C+ccos B=2b,即sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin(B+C)=2sin B,sin(π-A)=2sin B,有sin A=2sin B,再由正弦定理得a=2b,=2.方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccos B+bcos C=2b,即=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且A-C=90°,则cos B=________.【解析】因为2b=a+c.所以由正弦定理,得2sin B=sin A+sin C.因为A-C=90°,所以2sin B=sin(90°+C)+sin C.所以2sin B=cos C+sin C.所以2sin B=sin(C+45°).①因为A+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-,代入①式中,2sin B=sin.所以2sin B=cos.所以4sin cos=cos.所以sin=.所以cos B=1-2sin2=1-=.答案:8.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________. 【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.【解析】设A=θ⇒B=2θ.由正弦定理得=,所以=1⇒=2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°,又0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°,故30°<θ<45°⇒<cos θ<,所以AC=2cos θ∈(,).答案:2 (,)三、解答题(共38分)9.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=6,a=2,A=30°,试求ac的值.【解析】由正弦定理=得sin B===.由条件b=6,a=2,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,c=4,所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,所以A=C,则有a=c=2.所以ac=2×2=12.10.(12分)已知在△ABC中,D为BC中点,cos∠BAD=,cos∠CAD=,(1)求∠BAC的值.(2)求的值.【解析】(1)因为cos∠BAD=,cos∠CAD=,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,所以sin∠BAD=,sin∠CAD=,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=×-×=,因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.(2)在△ABC中,=,在△ABD中,=,=,又因为BC=2BD,所以=.11.(14分)如图所示,扇形AOB,圆心角∠AOB为60°,半径为2,在弧AB上有一动点P.过P引平行于OB的直线交OA于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.【解析】因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理,得=,所以CP===.又=,所以OC=sin(60°-θ),所以S△POC=CP·OCsin 120°=×sin θ·sin(60°-θ)×=cos(2θ-60°)-. 又0°<θ<60°,所以当θ=30°时,S△POC取得最大值. 【补偿训练】在△ABC中,已知sin A-cos A=1,cos B=,AB=4+.(1)求内角A的大小.(2)求边BC的长.【解析】(1)因为sin A-cos A=1,所以2sin=1,即sin=,因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,所以A=.(2)因为sin2B+cos2B=1,cos B=,B∈,所以sin B==,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,得BC=5.。

2020-2021学年下学期高一年级数学学科同步练习（四）内容 ：必修4 三角函数一、选择题1. 【a 】已知角终边上一点，则角的最小正值为 （ ） A． B ． C ． D ．2. 【a 】函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（ ）（A ）2π （B ）4π （C ）4π （D ）2π3. 【a 】3cos π12－sin π12的值是( )A ．0B ．2C ．－ 2D ．24. 【a 】函数()sin cos()6f x x x π=-+的最小值为（ ）（A ）2- （B （C ）1 （D ）5．【b 】已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈ZB ．⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C ．⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 6．【b 】 已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )A.43B.34C.53D.127．【b 】2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于( )A ．tan αB ．tan2αC ．1D ．128. 【b 】要想得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( )． A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度α)32cos ,32(sinππP απ65π611π32π35C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度9. 【b 】函数的图象如下图，则( ) A ．B ．C ．D ． 10．【b 】将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( )A ．12，－12B ．14，－14C ．12，－14D ．14，－1211．【b 】已知sin2α＝35(π2<2α<π)，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝( )A ．－2B ．－1C ．－211D ．21112. 【c 】已知函数）（）（3-x sin 32-x f π=，若x 1·x 2>0，且f(x 1)+f(x 2)=0，则|x 1+x 2|的最小值为( ) A.32πB.3π C.2π D.6π 二、 填空题13. 【a 】已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，）（2f π＝－23， 则f(0)＝14．【a 】若sin(π4－α)＝－12，sin(π4＋β)＝32，其中π4<α<π2，π4<β<π2，则角α＋β的值为__ _____．15.【b 】化简：21sin 422cos 4+++的结果是16．【c 】给出下列四个命题：①函数x y tan =的图象关于点)(0,2Z k k ∈+）（ππ对称；②函数x x f sin )(=是最小正周期为π的周期函数； ③设θ为第二象限的角，则2cos 2sin ,2cos 2tanθθθθ>>且；⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y 6,21,21πϕω===k 3,21,21πϕω===k 6,2,21πϕω==-=k 3,2,2πϕω==-=k④函数x x y sin cos 2+=的最小值为-1. 其中正确的命题是 . 三．解答题17. 【a 】已知函数f (x )＝)64cos(π+x A ，x ∈R ，且)3(πf ＝ 2.(1)求A 的值； (2)设α，β∈]⎢⎣⎡20π，，)34(πα+f ＝－3017，)32-4(πβf ＝85，求cos(α＋β)的值．18. 【a 】已知函数21()3sin cos cos ()2f x x x x x R =-+∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得()g x 的图象，求函数()y g x =在[]0,x π∈上的最大值及最小值．19. 【b 】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移个单位后得到函数的图象． （1）求函数在上的值域； （2）求使的的取值范围的集合．)2,0,0()cos()(πϕωϕω<>>++=A B x A x g )(x g 3π)(x f )(x f ]3,6[ππ-∈x 2)(≥x f x20. 【b 】已知函数()()2cossin)0222xxxf x ωωωω=->的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式； （2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且6()5f θ=+，求cos θ的值．21. 【c 】若将的图象先向左平移所得的函数为奇函数。

1.1.1 正弦定理(二)自主学习 学问梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________； (3)a ＝__________，b ＝__________，c ＝____________； (4)sin A ＝________，sin B ＝________，sin C ＝________.2．三角形面积公式：S ＝______________＝______________＝____________. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则△ABC 的外接圆半径R ＝________，内切圆半径r ＝____________. 自主探究在△ABC 中，(1)若A >B ，求证：sin A >sin B ；(2)若sin A >sin B ，求证：A >B .对点讲练学问点一 三角形面积公式的运用例1 已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．总结 留意正弦定理的机敏运用，例如本题中推出S △ABC ＝2R 2sin A sin B sin C ．借助该公式顺当解出外接圆半径R .变式训练1 已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4学问点二 利用正弦定理证明恒等式例2 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.总结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加机敏．变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .学问点三 利用正弦定理推断三角形外形例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并推断△ABC 的外形．变式训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的外形．。

高一数学正弦定理试题答案及解析1. .若DABC中，，那么=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理得，设【考点】正弦定理，余弦定理2.在中，角对的边分别为，且．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知，根据正弦定理和合比定理求的值；（2）由余弦定理得出的值，再根据三角形的面积公式可求出的面积．试题解析：（1）因为，由正弦定理，得，∴；（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以.【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形面积公式.3.在△ABC中，AB=A=45°，C=60°,则BC= .【答案】.【解析】如图，根据正弦定理，，解得.【考点】正弦定理，特殊角的三角函数.4.中，已知，则三角形的形状为 .【答案】等腰或直角三角形【解析】中，，利用余弦定理把用边表示出来，带入原式得整理得，分组分解因式提取公因式，得，三角形的形状为等腰或直角三角形【考点】正余弦定理，三角形形状的判定5.已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧的中点，点D，E分别在半径OA，OB上．若，则的最大值是 .【答案】【解析】在△COD中，由余弦定理得CD2＝1＋OD2－OD，同理在△EOC、△DOE中，由余弦定理分别得CE2＝1＋OE2－OE，DE2＝OE2＋OD2＋OD·OE，代入整理得，由基本不等式得，所以，解得，即OD＋OE的最大值是.【考点】正余弦定理，基本不等式.6.在△中，角，，所对的边分别为，，．（1）若，求角；（2）若，，且△的面积为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）将已知应用正弦定理转化为纯角的关系，并用将角Ｃ用角Ａ，Ｂ表示，再注意到，从而可求得角Ａ的三角函数值，从而得到角Ａ的大小；（2）由于和△的面积为，可将用含量a的代数式表示出来，再由应用余弦定理就可将用含a的代数式表示，最后注意到，从而就可得到关于a的一个一元方程，解此方程就可得到a的值．试题解析：（1），由正弦定理可得．即．即，．注：利用直接得同样给分（2），的面积为，．，①由余弦定理，②由①，②得：，化简得，，（2）或解：由得①由得②由①，②得：，即，，．．【考点】１．正弦定理和余弦定理；２．三角形的面积．7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为，∠A、∠B、∠C的大小成等差数列，且（1）若，求∠A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先由A,B,C成等差数列得，再利用正弦定理得，最后根据范围求出∠A的大小；（2）先由正弦定理得到，设周长为y，则y=,然后通过定义域，求出函数的值域,最后写出周长的取值范围.试题解析：（1）∵A,B,C成等差数列，∴解得又∵，，∴∴又∵∴（2）∵∴设周长为y，则∵∴∴∴∴周长的取值范围是【考点】等差数列的定义和性质;三角函数的恒等变换及化简求值;正弦定理的应用.8.在中,角、、所对的边分别为、、，满足.（1）求角；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）要求角,只能从入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.（2）从入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将（1）的结论利用起来,代入,同时将代入,使得中只含有,进而根据,讨论的范围.试题解析：（1）根据正弦定理有:,化简得,根据余弦定理有, 所以.（2）根据正弦定理将化简,同时将（1）代入,化简为因为,,所以.故,的取值范围是【考点】正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，，且．（1）求角的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先可将条件中变形为，再利用正弦定理进行边角互化可得，再由中，可将等式继续化简为，从而；（2）由（1）及条件可得是等腰三角形，从而，再由边上的中线=，若设，则，可考虑在中采用余弦定理，即有，从而可进一步求得的面积：.试题解析：（1）∵，∴，由正弦定理得， 2分即， 4分∵，∴，∴，又∵，∴，∴； 7分（2）由（1）知，∴，， 8分设，则，又∵在中，由余弦定理：得即， 12分故. 14分【考点】1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形.10.△ABC中，若，，则等于（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】由正弦定理得，a="2R" sin A,b=2RsinB,c=2RsinC,所以, ．【考点】正弦定理的应用．11.若的三角，则A、B、C分别所对边=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由及得，再由正弦定理得。

课时作业2 余弦定理时间：45分钟一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C ＝120°.则c 为( B ) A.41 B.61 C.41或61 D.21解析：c ＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝61.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( D )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：∵a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，∴由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋4－52×b ×2＝23，整理可得3b 2－8b －3＝0，∴b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( D )A ．3 B.932 C ．3 3D.332解析：∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2－2ab ＋b 2＋6，即a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.∵C ＝π3，∴cos π3＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，解得ab ＝6，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选D.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( B )A.14B.34C.24D.23解析：由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ·2a 2a ·2a＝34. 5．(多选)在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 等于( AB ) A. 3B ．2 3C ．3 3D ．4 3解析：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以3＝a 2＋9－2×a ×3×cos30°，a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.故选AB.6．在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( C )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：由于a 为最大边，所以∠A 为最大角，即∠A >∠B ，∠A >∠C ，故2∠A >∠B ＋∠C .又由于∠B ＋∠C ＝π－∠A ，所以2∠A >π－∠A ，即∠A >π3.由于a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，所以0<∠A <π2.综上，π3<∠A <π2.7．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( B )A.1＋32 B ．1＋3 C.2＋32 D ．2＋3 解析：∵∠B ＝30°，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin30°＝32，解得ac ＝6， ∵2b ＝a ＋c ，由余弦定理可得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos30°＝4b 2－12－63，即b 2＝4＋23，由b >0解得b ＝1＋ 3.8．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则这个三角形肯定是( B ) A ．锐角三角形或钝角三角形 B ．以a 或b 为斜边的直角三角形 C ．以c 为斜边的直角三角形 D ．等边三角形解析：由余弦定理可将a cos A ＋b cos B ＝c cos C 变为 a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab ， 整理得2a 2b 2－a 4－b 4＋c 4＝0， 即(c 2－a 2＋b 2)(c 2＋a 2－b 2)＝0， ∴c 2＋b 2＝a 2或a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 是以a 或b 为斜边的直角三角形． 二、填空题(每小题6分，共18分)9．在△ABC 中，a ＝1，b ＝1，∠C ＝120°，则c ＝ 3.解析：由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1＋1＝3.∴c ＝ 3.10．已知△ABC 中，三边a ，b ，c 满足1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，则B ＝60°.解析：由1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c 得(a ＋2b ＋c )(a ＋b ＋c )＝3(a ＋b )(b ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，故B ＝60°. 11．已知等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长为62a . 解析：如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，BD 为腰AC 的中线，过A 作AE ⊥BC 于E ，在△AEC 中，cos C ＝EC AC ＝14，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos C ，即BD 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×14＝32a 2，∴BD ＝62a .三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分)12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求边AB 的长； (2)求△ABC 的面积．解：(1)a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. ∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 可得：64＝49＋c 2－2×7×c ×(－17)，可得：c 2＋2c －15＝0，∴解得：c ＝3或－5(舍去)，可得：AB 的长为3. (2)∵cos B ＝－17，B ∈(0，π)．∴sin B ＝1－cos 2B ＝437，又a ＝7，c ＝3， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×7×3×437＝6 3.13．在△ABC 中，已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试推断三角形的外形． 解：将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理可得：b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac .即b 2＋c 2＝[a 2＋b 2－c 2＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2， 也即b 2＋c 2＝a 2，故△ABC 为直角三角形． ——素养提升——14．已知等腰三角形ABC 的底边长为6，腰长为12，则它的内切圆的面积为27π5.解析：在△ABC 中，不妨设a ＝6，b ＝c ＝12，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.设△ABC 内切圆的半径为r ，由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A ，得r ＝3155，∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos Cc .(1)求角C 的大小；(2)假如a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值． 解：(1)∵a sin A ＝c sin C ，sin A a ＝3cos Cc ， ∴sin C ＝3cos C .∴tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)， ∴C ＝π3.(2)∵CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12ab ， 又CA →·CB→＝4，∴ab ＝8. 又∵a ＋b ＝6，由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12，∴c ＝2 3.。

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【选题明细表】1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,b=1,则a为( D )(A)3 (B)2解析:由∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,得∠A=120°,∠B=∠C=30°,根据正弦定理,即解得a=.2.(2017·四川雅安高一期中)已知△ABC中,a=4,b=4,∠A=30°,则∠B等于( A )(A)30°(B)30°或150°(C)60°(D)60°或120°解析:法一因为a=4,b=4,∠A=30°,所以根据正弦定理又B为锐角,则∠B=30°.法二因为a=b=4,∠A=30°,所以∠A=∠B=30°.故选A.3.(2017·福建福州高一期末)在△ABC中,利用正弦定理解三角形时,其中有两解的选项是( D )(A)a=3,b=6,∠A=30°(B)a=6,b=5,∠A=150°∠A=60°∠A=30°解析:对于A,由正弦定理可得sin B=可得∠B=90°, ∠C=60°,只有一解;对于B,由正弦定理可得sin B=可得B为锐角,三角形只有一解;对于C,由正弦定理可得可得这样的三角形无解;对于D,由正弦定理可得sin 由b>a,可得B∈(30°,150°),有两解.故选D.4.在△ABC中,若B,cos A=cos C,则△ABC形状为( C )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,则3b=2·sin B可化为·sin B,因为0°<∠B<180°,所以sin B≠0.所以所以∠A=60°或∠A=120°,又cos A=cos C,所以∠A=∠C,所以∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.5.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是.解析:设三个内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,所以x=30°.由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,所以a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°1=1∶ 2.答案:1∶ 26.在△ABC中,已知∠B=45°,∠C=60°,则△ABC的面积是.解析:由正弦定理得又∠A=75°,所以S△ABC·×答案7.(2017·内蒙古包头铁路一中高一期末)下列叙述中错误的是( B )(A)在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(B)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B(C)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则 sin A>sin B(D)在△ABC中解析:A,在△ABC中,由正弦定理可得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,故有a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,故A成立;B,若sin 2A=sin 2B,等价于2A=2B,或2A+2B=π,可得A=B,或故B不成立;C中,由sin A>sin B可知2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆半径),即a>b,则A>B,反之,若A>B,则a>b,即sin A>sin B,因此C正确;D再根据比例式的性质可得D成立.故选B.8.在△ABC中,若∠B=30°则△ABC的面积为( C )(A)2( (D)3解析:得sin C=因为AB>AC,所以∠C=60°或120°.当∠C=60°时,∠A=90°,则S△ABC2×sin 90°当∠C=120°时,∠A=30°,则S△ABC2×sin 30°故选C.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b·cos C=3a·cos B-c·cos B,则cos B= .解析:由正弦定理得:a=2R·sin A,b=2R·sin B,c=2R·sin C,则等式可化为:2R·sin B·cos C=6R·sin A·cos B-2R·sin C·cos B,即:sin B·cos C=3sin A·cos B-sin C·cos B,可得:sin B·cos C+sin C·cos B=3sin A·cos B,sin(B+C)=3sin A·cos B.又sin(B+C)=sin A,且sin A≠0,所以答案10.在锐角△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且4sin(1)求∠A的大小;(2)若BC边上高为1,求△ABC面积的最小值.解:(1)因为∠A+∠B+∠C=π,所以sin所以由已知得4cos-cos 2A=变形得2(1+cos A)-(2cos2整理得(2cos A-1)2=0,解得因为A是三角形的内角,所以(2)因为BC边上高为1,所以bsin C=1,csin B=1,所以△ABC的面积设y=4sin Bsin C,则y=4sin Bsin(=2sin Bcos B+2sin2Bsin 2B+1-cos 2B因为0<∠∠所以∠从而∠故当2∠即∠,S的最小值为11.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,若m=(b,3a),n=(c,b),且m∥n,∠C-∠求∠B.解:由m∥n,得b2=3ac.由正弦定理可得4R2·sin2B=3×2Rsin A×2Rsin C 即sin2B=3sin A·sin C因为∠C-∠所以sin C=cos A,即:sin2sin 2A,又∠A+∠B+∠C=π,所以2∠A+∠即sin 2A=cos B,得:sin2所以2cos2B+3cos B-2=0.得cos B=所以∠。

9.1.2 余弦定理1、在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B =,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A.222 D.42、在锐角三角形ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A +⋅的最小值为( )733533D.323、在ABC ∆中，若2224a b c bc bc +＝﹣,＝，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12B ．1C 3D ．24、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sin sin 3sin B C A =,ABC △的面积为33,33a b +=则c =( ) 21321321 35、ABC ∆中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知 22,2(1)b c a b sinA ==-,则A = ( ) A.34π B.3π C.4π D.6π 6、在ABC △中,若13AB =3BC =,120C ∠=︒,则AC = （ ） A. 1B. 2C. 3D. 47、在ABC △中, ,4πB =BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ( )A.310B.10 C. 10 D. 3108、在ABC ∆中, 4B π=,BC 边上的高等于13BC ,则sin A = ( ) A.310B.1010 C.55D.310109、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin sin B A C =,a c <,且61cos 72B =,则ca=( )A.169B.32 C.85D.9410、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若1,45a b C ===︒,则A =( ) A.150︒B.60︒C.45︒D.30︒11、在ABC △中，内角A B C ,,的对边分别是,a b c ,，且满足b =，a c +=cos cos 2cos a C c A b B +=，则ac 的值为 .12、在ABC ∆中，4,5,6a b c ===，则cos A =__________，ABC ∆的面积为__________. 13、在ABC ∆中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，且满足()274cos cos222A B C -+=，若2a =，则ABC ∆的面积的最大值是__________.14、在ABC △中，角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,满足2230a c b -+=，ABC S =△，且60A =︒，则ABC △的周长为 .15、在ABC △中,角,,A B C 的对边是,,a b c ,且2cos 2a cC b-= (1)求角B 的大小(2)若sin 8,A c c a =>,求ABC △的面积答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：ABC ∆中,由sin cos 0b A B ⋅=,利用正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，∴tan B =故π3B =.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-⋅=+-,即22)3(b a c ac =+-， 又2b ac =,所以22)4(b a c =+,求得2a cb +=2答案及解析： 答案：B解析：由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得，222223a a b c b ++-=， 即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+. 2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=，整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B-=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立故选B.3答案及解析：答案：C解析：∵ABC ∆中, 222a b c bc =+-,即222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==， ∴60A =︒，∵4bc =，∴1sin 2ABC S bc A ∆=4答案及解析： 答案：D解析：因为sin sin ,sin 0B C A B =≠,所以sin C =又ABC △,所以21sin 2ab C =得a =又a b +=所以b C ==,所以1cos 2C =±,所以根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-得c 3c =,故选D5答案及解析： 答案：C解析：因为 b c =,所以由余弦定理得: ()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-,又因为()2221sin a b A =-,所以cos sin A A =, 因为cos 0A ≠, 所以tan 1A =,因 为(0,)A π∈, 所以4A π=,故选C.6答案及解析： 答案：A解析：设ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,则3a =,c =,120C ∠=︒,由余弦定理得21393b b =++,解得1b =,即1AC =.7答案及解析： 答案：C解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC=3AD ，所以AC =，AB =.由余弦定理，知222222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅8答案及解析：答案：D解析：设3BC a=,则高AD a=在Rt ABD∆中, sin2ADABB===在ABC∆中,由余弦定理得AC==由正弦定理得3sinsinsin10aBC BAACπ⨯⋅===故选D9答案及解析：答案：D解析：∵在ABC△中,2sin sin sinB A C=,∴2b ac=,∴22222161cos122272a cb ac ac a cBac ac c a+-+-⎛⎫===+-=⎪⎝⎭,∴9736a cc a+=,解得94ca=或49ca=.∵a c<,∴94ca=.10答案及解析：答案：C解析：由余弦定理得21221321c=+-⨯︒=-=,所以1c a==,因为45C=︒,所以45A=︒.11答案及解析： 答案：3解析：由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，即()sin 2sin cos A C B B +=. 又因为πA C B +=-，所以()sin π2sin cos B B B -=，即sin 2sin cos B B B =，所以1cos 2B =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得()22223b a c ac a c ac =+-=+-. 又3b =，所以()233a c ac +-=.又23a c +=，所以3ac =.12答案及解析：答案：3157,4 解析：（1）ABC 中，456a b c ===,,， 由余弦定理得，2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯.（2）如图，作CD AB ⊥于点D,设BD x =,∵4,5,6BC a AC b AB c ======, ∴6AD AB BD x =-=-，∵222222,BC BD CD AC AD CD -=-=,∴2222BC BD AC AD -=-,∴()2222456x x -=--,解得94x =， ∴94BD =,∴CD =,.∴12ABC S AB CD ∆=⋅=13答案及解析：解析：∵πA B C ++=， ∴222()()74cos cos 21cos cos22cos 2cos 322A B C A A A A -+=+-=-++=， ∴212cos 2cos 02A A -+=. ∴1cos 2A =.∵0πA <<,∴π3A =︒.∵2a =,由余弦定理可得：2242b c bc bc bc bc =+--=,(当且仅当2b c ==,不等式等号成立). ∴4bc .∴11sin 422ABC S bc A ∆=⨯⨯=14答案及解析：答案：7+解析：60A =︒，∴由余弦定理得222a b c bc =+-.又2230a c b -+=，230b bc b ∴-+=，3b c ∴=-(b 为边长，故0b ≠).1sin 2ABC S bc A =△12bc =⨯，10bc ∴=，23100c c ∴--=，解得5c =或2c =-(舍去)，2b ∴=，a ==，ABC ∴△的周长为7+15答案及解析：答案：(1)由题及余弦定理得,2222cos 22a b c a cC ab b +--==整理得222a c b ac +-=2221cos 22a cb B ac +-∴==π(0,π),3B B ∈∴=(2)由c a >知,a 不是最大边,A 是锐角11cos 14A ∴=1sin sin()sin 2C A B A A ∴=+=由sin sin c a C A =得sin 5sin c A a C== 1sin 2ABC S ac B ∴==△解析：。