例说“双A型”相似基本图形及应用

相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它在解决各个数学问题中起到了关键的作用。

本文将介绍相似三角形的性质以及在实际应用中的运用。

一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

根据这个定义，我们可以得到相似三角形的一些重要性质。

1. AA相似定理：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。

这个定理可以用来判断两个三角形是否相似，从而简化了计算。

2. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。

这个定理说明了对应角相等是相似三角形的充分条件。

3. 相似三角形的对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即对应边的比值相等。

这个性质可以用来求解相似三角形的边长。

二、相似三角形的应用相似三角形的应用非常广泛，涉及到几何、数学和物理等多个领域。

下面列举了一些常见的应用场景。

1. 测量高度：当我们无法直接测量一个高大物体（如树或大楼）的高度时，可以利用相似三角形的性质来计算。

具体的步骤包括：在地面上选取一个适当的距离和角度，测量该距离所对应的高度与距离的比值；然后测量眼睛与地面的高度与测量距离的比值；最后利用相似三角形的对应边成比例的性质，可以计算出物体的实际高度。

2. 相似图形的绘制：在绘制图形时，我们可以利用相似三角形的性质进行比例放大或缩小。

例如，当要将一个城市的地图缩小到一张纸上时，可以通过选取一些关键点的坐标，然后利用相似三角形的对应边成比例的性质，将实际尺寸转换为纸上的尺寸，从而绘制出相似的地图。

3. 解决几何问题：相似三角形的性质在解决几何问题中起到了重要的作用。

例如，当我们需要计算一个不规则图形的面积时，可以利用相似三角形的面积比来简化计算。

此外，在解决直角三角形的问题时，相似三角形的性质也常常被使用。

4. 推导物体的相似性：在物理学中，我们经常需要推导物体的相似性。

比如，在计算机图形学中，我们可以通过计算两个物体的相似三角形，从而得出它们的相似性，并进行进一步的分析和计算。

八下13讲相似基本模型1——A型，X型及变式写在前面图形的相似是初中几何的重要内容，其综合性强，证明难度高，常出现在中考压轴题中，因此，从本讲开始，计划以一个系列的内容，介绍其中的一些基本模型与解题方法．一、模型建立12二、模型讲解A型和X型，来源于一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．这是平行线分线段成比例定理．如图，已知AD∥BE∥CF，值得注意的是，平行线分线段成比例定理强调的是对应线段成比例．与AD，BE，CF无关．但A型，X型是三角形，强调的是对应边成比例．反A型和反X型，则不再有边平行的条件，而是通过公共角与一对角等，或对顶角与一对角等，得出的相似．三、实战分析(1)看清对应边分析：这都是简单题，但却很容易错，切记A型是三角形，相似比是对应边之比．解答：例1： 2：3变式1： 12，2：5变式2： C(2)注意有多解例2：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D在AC上，且AD＝2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE＝______变式1：如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是______．分析：两道题目中并未出现∽符号，则说明字母间并未确定对应关系，因此有多种可能，这里由于∠A是公共角，显然是A型或者反A型．解答：变式2：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6)，连接DE，当△BDE是直角三角形时，求t的值．分析：本题也是一个动点问题，但要看清整个运动路径，是从点A出发，向B运动，是一个往返运动，另外，由∠A＝60°，BC＝2cm，AB＝4cm，6s运动停止，则从A到B返回运动到AB中点结束．解答：由题意得，∠A＝30°，AB＝2BC＝4cm，(3)会二次相似例3：如图，已知△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．分析：本题若直接求证△AEF∽△ACB，十分困难，因为只有∠A作为公共角一个条件，那该如何分析呢？由于BF，CE是△ABC的两高，所以可先△ABF∽△ACE，得到边对应成比例，注意，∠A必然为夹角．同时，再证△AEF∽△ACB时，边之比要作转化．解答：变式：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°．(1)写出图中所有的相似三角形．(注意：不得添加字母和线)；(2)求证：△DCF∽△BEF．分析：本题属于四边形对角互补模型，由邻补角互补，可转化为反A型证相似，再利用对应边成比例作转化，可证二次相似．解答：例4：如图，已知∠C＝90°，四边形CDEF是正方形，AC＝15，BC＝10，AF与ED交于点G．则EG的长为______分析：本题中，正方形内嵌于直角三角形，必然有基本模型A型，再根据AF与ED相交，必然产生了X型，利用对应边成比例建立方程即可．解答：END本讲思考题。

几何中的相似形相似形是几何中一个重要的概念，指的是形状相似但尺寸不同的图形。

在几何学中，相似形是指两个或多个形状相同但尺寸不同的图形。

在本文中，我们将探讨相似形的定义、性质和应用。

一、定义相似形是指两个或多个图形形状相同但尺寸不同的情况。

如果两个图形每条边的比例都相等，那么它们就是相似形。

例如，两个矩形，一个边长是另一个边长的两倍，它们就是相似形。

二、性质1. 相似形的对应边比例相等：如果两个图形是相似形，那么它们的对应边的比例相等。

比如说，若两个三角形的边分别为a、b和c，另一个三角形的边分别为ka、kb和kc，其中k是一个常数，那么这两个三角形就是相似形。

2. 相似形的对应角度相等：相似形的对应角度是相等的。

这是因为相似形是形状相同的，所以它们的对应角度必然相等。

3. 相似形的面积比例平方等于边长比例平方：如果两个图形是相似形，那么它们的面积比例等于边长比例的平方。

这个性质可以通过比较相似三角形的面积来证明。

三、应用1. 尺寸缩放：相似形的应用之一是尺寸缩放。

通过改变相似形的尺寸比例，我们可以按照需要调整图形的大小。

这在建筑设计、模型制作等领域非常常见。

2. 测量不可达物体的高度：当我们无法直接测量物体的高度时，我们可以利用相似形的性质来推导。

例如，我们可以通过测量阴影的长度和角度来计算高楼的高度。

3. 几何推理：相似形的性质经常用于解决几何题目。

通过观察和分析相似形的特点，我们可以推导出一些几何关系，解决一些难题。

总结：相似形在几何学中扮演着重要的角色。

它们是指形状相同但尺寸不同的图形，具有对应边比例相等、对应角度相等和面积比例平方等于边长比例平方等性质。

相似形的应用广泛，包括尺寸缩放、测量不可达物体的高度和几何推理等。

通过研究和理解相似形的概念和性质，我们可以更好地理解几何学中的形状关系，解决实际问题。

A 型、X 型相似模型资料编号:202208091432关键词 平行相似 相似三角形的判定定理1平行相似平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的判定定理1两角分别相等的两个三角形相似.A 型相似模型介绍如图1、图2所示,已知,则有△ADE ∽△ABC .21∠=∠图 1图 2图1所示情形为A 型平行相似,图2所示情形为A 型非平行相似,统称为A 型相似. 模型证明A 型平行相似模型的证明（如图1）: 证明一: ∵ A A ∠=∠∠=∠,21 ∴△ADE ∽△ABC . 证明二: ∵ 21∠=∠ ∴ BC DE // ∴△ADE ∽△ABC .A 型非平行相似模型的证明（如图2）: 证明: ∵A A ∠=∠∠=∠,21∴△ADE∽△ABC.模型说明（1）对于A型平行相似,我们可以直接由平行的条件得到两个三角形相似的结论;（2）必要时我们可以作平行线来构造A型平行相似模型;（3）面对比较复杂的几何图形,从中找到A型平行相似模型往往是解决问题的关键.X型相似模型介绍如图1、图2所示,已知,则有△ADE∽△ABC.DB∠=∠图 1图 2E图1所示情形为X型平行相似,图2所示情形为X型非平行相似,统称为X 型相似.模型证明X型平行相似模型的证明（如图1）:证明一:∵,BD∠=∠12∠=∠∴△ADE∽△ABC.证明二:∵DB∠=∠∴BCDE//∴△ADE∽△ABC.X型非平行相似模型的证明（如图2）:证明: ∵,BD∠=∠12∠=∠∴△ADE∽△ABC.（1）对于A型、X型平行相似,我们可以直接由平行的条件得到两个三角形相似的结论;（2）必要时我们可以作平行线来构造A型或X型平行相似模型;（3）面对比较复杂的几何图形,从中找到A型或X型平行相似模型往往是解决问题的关键.模型举例例1.如图,AD是△ABC的角平分线,延长AD到点E,使.CE=AC（1）求证: △ABD∽△ECD;=BDAC=AB（2）若,求BC的长.,2=1,4分析:（1）由条件可知,图中存在X型平行相似.在证明AB//CE后,可以直接说明△ABD∽△ECD;（2）先利用相似三角形的性质求出边CD的长,再求出BC的长.（1）证明:∵AD平分BAC∠∠=1∠∴2∵ACCE==∠2∠∴E=∠1∠∴E∴CEAB//∴△ABD∽△ECD;（2）解: ∵ACCE=由（1）可知:△ABD ∽△ECD∴CD BDEC AB =∴ CD142=∴2=CD ∴.321=+=+=CD BD BC 例2.如图所示,在△ABC 中,D 为边AC 上一点,P 为边AB 上一点,,当AP 的长度为__________时,△ADP 与△ABC 相似.3,4,6===AD ACAB分析:本题为易错题,学生多为考虑问题不全面导致出错:只考虑了A 型平行相似的情形,而忽视了A 型非平行相似. 解: 分为两种情况:①如图所示,当时,△APD ∽△ABC .BC DP //∴436,==AP AC AD AB AP ∴;29=AP ②如图所示,当时,△APD ∽△ACB .C APD ∠=∠∴634,==AP AB AD AC AP ∴.2=AP 综上所述,当AP 的长度为或2时,29△ADP 与△ABC 相似.例3. 如图所示,已知O 是△ABC 中BC 边的中点,且,求的值. 32=AD AB DEDO分析:不难想到,本题问题的解决要么用到平行线分线段成比例定理及其推论,要么用到相似三角形的知识,且都需要平行线的条件.结合题目条件可知,我们需要添加辅助线——平行线. 解: 作,交DE 于点F . AC BF //∴,△BDF ∽△ADE . C ∠=∠1∵点O 是BC 的中点 ∴CO BO =在△BOF 和△COE 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COE BOF CO BO C1∴△BOF ≌△COE （ASA ） ∴OE OF =∵32=AD AB ∴31=AD BD ∵△BDF ∽△ADE∴31==AD BD DE DF ∴21=EF DF ∴ OE OF DF ==∴. 32=DE DO 点评 本题通过添加平行线的辅助线,即构造了一对全等三角形,又构造了A 型平行相似模型,难度较高.例4. 如图,在△ABC 中,,高,矩形EFPQ 的一边QP 在10,45=︒=∠BC C 8=AD BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:; BCEFAD AH =（2）设,当为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;x EF =x （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为秒,矩形EFPQ 与△t ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与的函数关系式.t 图图17图（1）证明:∵四边形EFPQ 是矩形 ∴ PQ EF //∴ BC EF //∴△AEF ∽△ABC . ∵ BC AD ⊥∴ EF AH ⊥∴; BCEFAD AH =（上面的结论是解决此类问题的重要一步,上面的书写为此类问题的规范书写） （2）由（1）可得: 108xAH =∴ x AH 54=∴ x AH AD DH EQ 548-=-==∴x x x x EQ EF S EFPQ 8545482+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=矩形配方得:=EFPQ S 矩形()205542+--x ∴当时,矩形EFPQ 的面积最大,其最大值为20;5=x （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,由（2）可知: 4,5===PF EQ EF ∵︒=∠45C ∴△PCF 是等腰直角三角形 ∴ 4==PC PF ∴ 9=+=PC PQ QC 分为三种情况:①如图1,当≤＜4时,设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ,则△FMN 是等腰直角0t 三角形图 1∴t FN MF ==22120t S S S FMN EFPQ -=-=∆矩形∴;20212+-=t S ②当4≤＜5时,如图2所示,t 图2t QC t ME -=-=9,5∴; ()()[]28449521+-=⨯-+-=t t t S ③当5≤＜9时,如图3所示,设EQ 交AC 于点K ,则. t t QC QK -==9∴ ()()22921921-=-=t t S 图 3综上所述, S 与的函数关系式为:t()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+-<≤+-=959215428440202122t t t t t t S 说明:在第（3）问题中,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分与运动时间有关,运动时间不同,重叠部分的形状也不相同,因此要对时间进行分类讨论,根据不同时间段求面积S .注意:当时,如图4所示;当时,如图5所示;当时,面积S =0,故在这里不4=t 5=t 9=t 再给出图形.图 4)图 5。

双A 型相似模型应用问题 一、模型识别与性质双A 或双X 型的基本图形如图所示,【结论】如图1△ABC 中，若DE ∥BC ，G 点在BC 上，AG 交DE于F 点,则有下列结论DF BG = FEGC【变化】此双A 型图形还可以稍作变化,得到一个平行线比例传递的结论如图,若AB∥DE,BC∥EF,则有DE AB = EF BC = PDPA【推广】还可以推广到“三A”(如图2),结论为DF BG = FH GI = EHIC,证明方法同上 二、典例精析例1 (1)如图3-1,在△ABC 中,点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上,且DE ∥BC.AO 交DE 于点P,求证: DP BQ = PEQC(2)如图,△ABC 中,∠BAC=90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG,AF 分别交DE 于M.N 两点①如图3-2,若AB=AC=1,直接写出MN 的长②如图3-3,求证:MN 2=DM ·EN三、热搜精练1．如图,正方形ABCD 的边长为4,对角线AC,BD 交点O,Q 是BC 延长线上一点,AQ 交BD 于点E,交CD 于点P,OQ 交CD 于点F,若EF ∥AC,则OF 的长为2．如图5,□ABCD 中,E 、F 分别在直线AD 、CD 上EF ∥AC,BE,BF 分别交AC 于M,N 求证:AM=CN3．如图在△ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，D为BC上任意一点，DP∥CF，DQ∥BE，PQ与BE、CF分别交于点R、S求证：RS=1/3PQ4．如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°AC=3,BC=4,动点P在线段BC上,点Q在线段AB上,且PQ=BQ,延长QP交射线AC于点D(1)求证:QA=QD(2)设∠BAP=α,当2tanα是正整数时,求PC的长(3)作Q关于AC的对称点Q,连QQ,AQ,DQ,延长BC交线段DQ 于点E,连结AE，QQ’分别与AP,AE交于点M,N(如图2所示)若存在常数k,满足kMN=PE·QQ’,求k的值.5．如图4,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在ABAC上,AD交EF于点H (1)求证:AHAD=EFBC(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．B。

专题13A 字型和反A 字型相似模型【模型1】A 字型相似模型如图13-1，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ABC ∆，只要知道BC DE //即可。

【模型2】反A 字型相似模型如图13-2，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ACB ∆，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道ACB ADE ∠=∠或ABC AED ∠=∠。

【例1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴2224525 ADEABCS AES AC⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A．【例2】如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求:AN NC的值．【答案】1 2【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出BDH BCN∽和DHM ANM∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出BDM BCH△∽和AMN CHN△∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出AHM DBM△∽△和AHN CBN△∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出AN NH CH==，即可得出答案；【解析】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN ∽，所以DH BD CN BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==．因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽，所以DH DM AN AM=．因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==．所以DH AN =，所以12AN CN =．解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以12AM CH =．因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△，所以12AN AM CN CH ==．解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△，所以AH AM BD DM=．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△，所以AN AH CN BC=．因为D 为BC 的中点，且AH BD =，所以12AN BD CN BC ==．解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN 中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==．所以12AN CN =．【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】如图②，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 在边AB 上，且AE =2BE ，点F 在边CB 上，CF =2BF ．O 为AC 的中点，连结EF 、OE 、OF ．（1）EF 与AC 的数量关系为__________．（2）OEF 与ABC 的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF 与AC 的数量关系为13EF AC =；（2）OEF 与ABC 的面积比为2:9．【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DE AD ADE ABC BC AB ==∠=∠，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BE BF BA BC ==，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得11,22OM BC ON AB ==，设,BE a BF b ==，再根据三角形的面积公式分别求出OEF 与ABC 的面积，由此即可得出答案．【解析】定理证明：点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，12AE AD AC AB ∴==，在ADE 和ABC 中，12AE AD AC AB A A⎧==⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADEABC ∴，1,2DE AD ADE ABC BC AB ∴==∠=∠，//DE BC ∴，且12DE BC =；定理应用：（1）2,2AE BE CF BF ==，13BE BF BA BC ∴==，在BEF 和BAC 中，BE BF BA BC B B⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，BEF BAC ∴~，13EF BF AC BC ∴==，即13EF AC =；（2）如图，过点O 作OM AB ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，即AB BC ⊥，//,//OM BC ON AB ∴，点O 是AC 的中点，OM ∴、ON 是ABC 的两条中位线，11,22OM BC ON AB ∴==，设,BE a BF b ==，则332,3,2,3,,22AE a AB a CF b BC b OM b ON a ======，1122BEF SBE BF ab ∴=⋅=，1322AOE SAE OM ab =⋅=，1322COF SCF ON ab =⋅=，1922ABC S AB BC ab =⋅=，OEF ABC BEF AOE COF S SS S S ab ∴=---=，2992OEFABC Sab S ab ∴==，即OEF 与ABC 的面积比2:9．一、单选题1．如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B =∠ACD ，则图中相似三角形有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解析】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ACD ∽△ADE ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB ，∵∠B =∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故共4对，故选：C ．2．如图，已知,ADE ABC V :V 若:1:3,AD AB ABC =V 的面积为9，则ADE 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可．【解析】解：∵△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：3，∴21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ABC 的面积为9，∴1=99ADE S，∴S △ADE ＝1，故选：A ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A ．12B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】试题解析：由题意得：DE ⊥AC ，∴∠DEA =90°，∵∠C =∠DEA ，∵∠A =∠A ，∴△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC,∵A ′为CE 的中点，∴C A ′=E A ′，∴C A ′=E A ′=AE ，∴AE AC =DE BC =13，∴DE =1.故选D.二、填空题4．如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【解析】解：过P 作BC 的平行线交AB 、AC 于点D 、E ，过P 作AB 的平行线交AB 于点I 、G ，过P 作AC 的平行线交AC 于点F 、H ，∵DE//BC ，IG//AB ，FH//AC ，∴四边形AFPI 、四边形PHCE 、四边形DBGP 均为平行四边形，△FDP ∽△IPE ∽△PGH ∽△ABC ，∵12331227S S S ===，，，∴FP ：IE ：PH=1：2：3，∴AI ：IE ：EC=1：2：3，∴AI ：IE ：EC ：AB=1：2：3：6，S △ABC ：S △FDP =36：1，∴S △ABC =36×3=108．故答案为:108．5．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果3AD =，ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，则AC 的长为________．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C ，∠DAE=∠CAB ，根据相似三角形的判定得到△DAE ∽△CAB ，根据相似的性质得S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后把三角形面积代入计算即可．【解析】解：∵∠ADE=∠C ，而∠DAE=∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，∴△ABC 的面积=9+16=25，∴2925AD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AC=5．故答案为5．三、解答题6．如图，△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．（1）求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【解析】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∴△AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2，∵∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm∴△ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36，∵△AMN 的面积是△ABD 面积的29，∴6t ﹣t 2＝2369⨯，∴t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若△AMN ∽△ABD ，则有AM AN AB AD =，即122612t t -=，解得t ＝3，若△AMN ∽△ADB ，则有AM AN AD AB =，即122126t t -=，解得t ＝245，答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABD 相似．7．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S ==，求21S S的取值范围．【答案】21104S S <≤【分析】作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【解析】解：如图所示，作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====，∴GF m x AF m-=，∴()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯=，整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵点D 在AB 上，0m >，∴0x m <<，210m -<，∴抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14，当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．8．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t =【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分①Rt CPQ Rt CAB ∽△△和②Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解析】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∵AC =20cm ，∴CP =（20-4t ）cm ，在Rt △CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∴3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-；（3）分两种情况：①当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =；②当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =．因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．9．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC =．（1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝ADE ∽△AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==，最后问题可求证．【解析】解：（1）∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =，∵AF AE FE EC =，∴AF AD FE BD =，∴DF ∥BE ；（2）∵AF ＝2，EF ＝4，∴由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6，∵AB ＝∴13AD AB ==∴363AE AD AB AE ====，∴3AE AD AB AE ==，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△AEB ．10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，点D 为圆上一点且∠ADC =∠AOF ，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系；（2）若sin C =13，BD =8，求EF 的长．【答案】（1）CD 与⊙O 相切；（2）2EF =．【分析】（1）要判断CD 与⊙O 的位置关系，可连接OD ，判断OD 与CD 能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF =OF -OE ，所以要求EF ，只需设法分别求出OF 和OE 的长度即可；由于AB 是⊙O 的直径，可以判断出OF 与BD 平行的位置关系，从而利用OAE BAD △∽△和OCF BCD △∽△，即可分别求出OF 和OE 的长度．【解析】（1）CD 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADO +∠BDO =∠DAO +∠B =90°，∵OF ⊥AD ，OD =OA ，∴∠AOD =2∠AOF ，∠DAO =∠ODA ．∵∠AOD =2∠B ，∴∠ADC =∠B ．∴∠ADC +∠ADO =90°．∴OD ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线．∴CD 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCD 中，∵1sin 3C =，∴13OD OC =，∴3OD r OC r ==，．∵OA =r ，∴AC =OC -OA =2r ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ．∴OAE BAD △∽△且OCF BCD △∽△．由OAE BAD △∽△，得，12OE OA BD AB ==．∴118422OE BD ==⨯=．由OCF BCD △∽△，得，34OF OC BD BC ==．∴338644OF BD ==⨯=．∴642EF OF OE =-=-=．11．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC ∆∆；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE AB AF AC =，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AG CD AD =，∴EG FG BD CD=．12．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 上，过点E 作EF ⊥BC ，点G 在FE 的延长线上，且GA=GE ．（1）求证：AG 与⊙O 相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接OA ，由OA=OB ，GA=GE 得出∠ABO=∠BAO ，∠GEA=∠GAE ；再由EF ⊥BC ，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA ，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC 为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF ∽△BCA ，求得EF 、BF 的长，进一步在△OEF 中利用勾股定理得出OE 的长即可．【解析】（1）连接OA ，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE ∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF BE EF BA BC AC==∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，∴=．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F 在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【解析】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴26 5BNBN-=，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∴1843x BNx-=-，∴y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时，由BN BM CN CF=得，926BN x BN x-=+∴CN ＝2(92)3x x --，∴y ＝12(92)323x x -⋅⨯-＝2763x x --；（3）如图4，∵EG AB ∥，∴13CG EG CB AB ==，∴CG ＝13CB ＝2，∴GB ＝CB ﹣CG ＝4，∴BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时，9﹣2x ＝5，∴x ＝2，如图5，当EM ＝EB ＝5时，作EH ⊥AB 于H ，∴BM ＝2BH ＝2EG ＝6，∴9﹣2x ＝6，∴x =32，如图6，当EM ＝BM 时，作MH ⊥BE 于H ，在Rt △BMH 中，BH ＝1522BE =，cos ∠MBH ＝cos ∠BEG ＝35EG BE =，∴BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∴9﹣2x ＝256，∴x ＝2912，综上所述：x ＝2或32或2912．14．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E ，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t为___________时，//PQ AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为()2cmy，求y与t的函数关系式.（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为'F，是否存在某一时刻t，使得点P，E，'F三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t=--+；（351；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=35t，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB=，可得出BE=52t，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得PE APDB AD=，可得PE=6-32t，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则1524BN EN BE t===，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t =83，∴当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，∵∠ADB =90°，∴BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A =∠QBH ，又∵∠ADB =∠BHQ =90°，∴△ADB ∽△BHQ ，∴BD AB QH BQ =，即610QH t=，∴35QH t =，∵PE ∥BD ，∴DP BE AD AB =，即2810t BE =，∴52BE t =，∴y =S 四边形APQB -S △BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∵PE ∥BD ，∴∠APE =∠ADB ，∵∠A =∠A ，∴△APE ∽△ADB ，∴PE AP DB AD =，即8268PE t -=，∴362PE t =-，∵点E 在线段PQ 的垂直平分线上，∴EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∴222234()55BH BQ QH t t =-=-=∴45335210EH BH BE t t t =+=+=，Rt △EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2，∴2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：1251,510t t =-=-<（舍去），∴当t 51时，点E 在PQ 的垂直平分线上；（4）连接FF '交AB 于点N ，∵点F 关于AB 的对称点为F ′，∴∠FEB =∠F ′EB ，FN ⊥EB ，∵点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∴∠F ′EB =∠ABD ，∴∠FEB =∠ABD ，∴EF =FB ，∴15,24BN EN BE t ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DPF =∠FQB ，∵DFP =∠BFQ ，∴△DPF ∽△BQF ，∴2DF DP BF BQ==，∴DF =2BF ，∴2BF +BF =6，∴BF =2，∵∠FBN =∠ABD ，∠FNB =∠ADB ，∴△BNF ∽△BDA ，∴BN BD BF AB=，∴564210t =，解得：t =2425，∴存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425．15．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．【答案】（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【解析】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．。

相似三角形的判定与运用相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及一些常见的运用场景。

一、相似三角形的判定方法相似三角形的判定有两种常见的方法：AAA相似判定法和AA相似判定法。

1. AAA相似判定法如果两个三角形的对应角度相等，则可以判定它们是相似三角形。

具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以得出它们相似。

2. AA相似判定法如果两个三角形的对应两个角度相等且对应两边成比例，则可以判定它们是相似三角形。

具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以得出它们相似。

二、相似三角形的运用相似三角形在几何学和实际生活中都有许多应用，下面将介绍其中的几个常见场景。

1. 测量高度或距离利用相似三角形的性质，可以通过测量已知物体的高度或距离，计算未知物体的高度或距离。

假设有一棵树和一根竖直杆子，若树的阴影长度和竖直杆子的阴影长度相等，且树的高度未知，可以通过测量竖直杆子的高度和阴影长度，利用相似三角形的比例关系计算出树的高度。

2. 观察远处物体的大小利用相似三角形，可以观察远处物体的大小。

例如，当我们看到远处的山脉或塔楼时，由于距离较远，无法直接测量其实际高度，但可以测量其与身边物体（如人、建筑等）的相对高度关系。

通过相似三角形的比例关系，可以推算出远处物体的实际高度。

3. 制作地图在制作地图或建筑图纸时，常常用到相似三角形的原理。

由于实际空间较大，无法完整地呈现在纸上，必须将其缩小比例绘制。

通过相似三角形的比例关系，将实际长度与图纸上的长度进行对应，可以保持地图的几何形状和尺寸的相似性。

4. 相机拍摄在摄影领域，相似三角形也有广泛的应用。

例如，远摄模式下，通过调整焦距和光圈，可以使远处景物保持相对清晰，从而利用相似三角形的性质，捕捉到远离镜头的物体。