河北省衡水中学2018届高三下学期文数6答案

衡水金卷2018届全国高三大联考文数第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2540M x x x =-+≤,{}0,1,2,3N =，则集合MN 中元素的个数为( ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知命题p ：x ∀∈R ，()1220x -<，则命题p ⌝为()A ．0x∃∈R ，()12020x ->B ．x ∀∈R ，()1210x ->C ．x ∀∈R ，()1210x -≥ D ．0x ∃∈R ，()12020x -≥3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知双曲线C ：()2221016x y a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为( ）A ．430x y ±=B ．1690x y ±=C ．40x =D ．4312x y ±=5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积,现向硬币内随机投掷100粒芝麻,已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2726mm 5π B ．2363mm 10π C ．2363mm 5πD ．2363mm 20π6．下列函数中，与函数122x x y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A ．sin y x =B ．2y x =C ．1y x=D ．()()2200x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ 7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设55log 4log 2a =-,2ln ln 33b =+，1lg5210c =，则a b c ，，的大小关系为()A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1819B ．1920C ．2021D ．12010．将函数()2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的图象向左平移6π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象,则下列关于函数()y g x =的说法错误的是()A ．最小正周期为πB ．图象关于直线12x =π对称C ．图象关于点,012⎛⎫ ⎪⎝⎭π对称 D ．初相为3π 11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点。

河北衡水中学2018-2019学年度高三第三次摸底考试数学（文科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．） 1.已知i 虚数单位，421ii--+等于（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i -2.已知集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，则集合MN 等于（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭3. 已知()3221x a f x =-+是R 上的奇函数，则()f a 的值为（ ） A ．76 B ．13 C ．25 D ．234.在面积为S 的正方形ABCD 内任意投一点M ，则点M 到四边的距离均大于5） A ．25 B ．35 C ．125 D ．4255.已知31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-的值等于（ ）A ．79 B ．79- C ．29 D ．23- 6.已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（ ）A ．．．27.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,189.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是3，则其底面周长为（ ）A ．)21 B ．)21 C. )22 D 310.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（ ）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定 11. 已知函数()()321132a f x x x ax a a R -=+++∈的导数为()f x '，若对任意的[]2,3x ∈都有()()f x f x '≤，则a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞12.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ）A ．32 B ．2 C. 52 D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，则ˆa= ．14.将函数()2cos 2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ．15.在ABC ∆中，090C ∠=，点M 在边BC 上，且满足32BC CM =，若tan BAM ∠=，则sin MAC ∠= ．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1513,256n n S a a ++==，1n n n b b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1n n n b b T +≥.18.在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.（1）求成绩在区间[)80,90内的学生人数及成绩在区间[]60,100内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间[]90,100内的概率.19.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点E 在棱1CC 的延长线上，且11112CC C E BC AB ====.（1）求1D E 的中点F 到平面1ACB 的距离； （2）求证：平面11D B E ⊥平面1DCB ．20.如图，已知P ⎫⎪⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若AB =PQ ．21. 已知函数()()()()22111ln a x f x a x a R x-+=++∈．（1）当1a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意()2,3a ∈及[]12,1,3x x ∈，恒有()()()()12ln312ln3m a f x f x +-->-成立，求实数m 的取值范围．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥．（1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； （2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=． （1）求a b -的取值范围； （2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．河北衡水中学2018-2019学年度高三第三次摸底考试试卷答案一、选择题1-5:BDACA 6-10: DBACB 11、12：AC二、填空题13. 39.4 14.6π 92 三、解答题17.解：（1）因为113n n S a ++=，所以当1n >时，113n n S a -+=， 所以()113n n n n S S a a -+-=-，即14n n a a +=，所以{}n a 从第二项开始是公比为4的等比数列，即()2241n n a a n -=>， 因为5256a =，所以5222564a -=，解得24a =， 当1n =时，1213S a +=，解得()1121113a S a ==-=，则214a a =， 所以{}n a 是首项为1公比为4的等比数列，其通项公式为14n n a -=； （2）由（1）知14n n a -=，所以11444n n n n b b a n -++===-， 设数列{}n b 的公差为d ，所以12123120,234b b b d b b b d +=+=+=+=， 解得11,2b d =-=，所以()12123n b n n =-+-=-，所以()()()22112321483,12322n n n b b n n n n T n n n n +=--=-+=-+-=-， 所以()()22214832310n n n b b T n n n n n +-=-+--=-≥．所以1n n n b b T +≥．18．解：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[)80,90的频率为()10.00520.0150.0200.045100.1-⨯+++⨯=，所以40名学生中成绩在区间[)80,90的学生人数为400.14⨯=，易知成绩在区间[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100内的人数分别为18，8，4，2， 所以成绩在区间[]60,100内的平均成绩为()1651875885495271.87532⨯⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间[]90,100内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间[)80,90内的学生有4人， 记这四个人分别为,,,a b c d ．成绩在区间[]90,100内的学生有2人，记这两个人分别为,e f ，则选取学生的所有可能结果为：,,,,,,,,,,a be e e e e e fe ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd cf f f f f f d⎧⎪⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎩，基本事件数为20．事件“至少有1名学生成绩在区间[]90,100之间”的可能结果为,,,,,,a be e e e e e fe ab ac ad bc bd cd cf f f f f f d⎧⎪⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎩，基本事件为数16， 所以()164205P A ==．19．证明：（1）连接11AD BC 、，∵111////AD BC B E ， ∴四边形11AB ED 是平行四边形，∴11//D E AB ，又1AB ⊂平面1ABC ，1D E ⊄平面1ABC ， ∴1//D E 平面1ACB ，∴点F 到平面1ACB 的距离等于点E 到平面1ACB 的距离，由11E ACB A B CE V V --=，得1111122332ACB S h ∆=⨯⨯⨯⨯，又易知132ACB S ∆=． ∴1D E 的中点F 到平面1ACB 的距离为43h =．（2）由已知得，222114BC B E CE +==， 则11B E B C ⊥，由长方体的特征可知CD ⊥平面1B BCE ， 而1B E ⊂平面1B BCE ，面积1CD B E ⊥，∴1B E ⊥平面1DCB ，又1B E ⊂平面11D B E ，∴平面11D B E ⊥平面1DCB ． 20.解：（1）依题知2222611,5,04a b a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E 的离心率3e===； （2）依题知圆F的圆心为原点，半径为2,r AB ==所以原点到直线AB的距离为1d ==， 因为点P 坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ． 所以直线AB 的方程为12yk x ⎛-=-⎝⎭，即102kx y k --+=， 所以1d ==，解得0k =或k =①当0k =时，此时直线PQ 的方程为x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当k =PQ 的方程为1y x ⎛-=-⎭，将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234210x --=，设Q 点坐标为()11,x y 1x +=1x =，所以13017PQ =-=．21.解：（1）()()()()()()2222211121111121x a x a x a x a f x a x x x x --+⎡⎤-++-+⎣⎦'=-+-==，当3a >时，1112a <-，令()0f x '<，得101x a <<-或12x >， 令()0f x '>，得1112x a <<-； 当13a <<时，得1112a >-，令()0f x '<，得102x <<或11x a >-， 令()0f x '>，得1121x a <<-；当3a =时，()()22210x f x x-'=-=≤，综上所述，当3a >时，函数()f x 的递减区间为10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递增区间11,12a ⎛⎫⎪-⎝⎭；当3a =时，函数()f x 在()0,+∞上单调递减；当13a <<时，函数()f x 的递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭，递增区间为11,21a ⎛⎫⎪-⎝⎭． （2）由（1）可知，当()3,4a ∈时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递减， 当1x =时，函数()f x 取最大值；当3x =时，函数()f x 取最小值．()()()()()()()()()121213321ln 361411ln 333f x f x f f a a a a a ⎡⎤-≤-=--+++-=--+--⎢⎥⎣⎦． ∵()()()()2ln 312ln 3411ln 33m a a a +-->--+--，整理得()()21413m a a ->--． ∵1a >， ∴()2431m a <--恒成立， ∵34a <<， ∴()1323843319a -<-<--， ∴133m ≤-． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-， 即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=． （2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=为定值．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<， 所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期（衡水卷五）文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合(){}(){},|1,,|32A x y y x B x y y x ==+==-，则AB =（ ）A ．25,33⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭B ．25,33⎛⎫⎪⎝⎭ C ．25,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2525,,,3333⎧⎫⎛⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭【答案】A考点：集合的运算. 2.已知复数1(12iz i i+=+为虚数单位), 则（ ） A ．z 的实部为15- B ．z 的虚部为15i -C ．35z =D ．z 的共轭复数为3155i +【答案】D 【解析】 试题分析：由()()()()532121211211i i i i i i iz -=-+-+=++=，故z 的共轭复数为3155i +，故选项为D. 考点：复数的概念.3.椭圆()222:106x y C a a +=>的离心率是6则实数a 为（ ）AD ．5【答案】C 【解析】试题分析：由椭圆()222:106x y C a a +=>，（1）当62>a 时，616222=-=a a e ，得556=a ； （2）当62<a 时，616622=-=a e ，得5=a ,故选项为C. 考点：椭圆的性质.4.执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是（ ）A ．1B ．43C ．54D ．2 【答案】A 考点：程序框图.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“Q S ∈”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，大多数有两种情形．一种是循环次数比较少时，列举出每一次的运行过程直到达到输出条件即可，另一种是循环次数较多时，寻找它运行的规律即可.5.我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)[)[]20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70 【答案】B 【解析】试题分析：低于60分的人数看前两个条形，易知其概率为其面积即0.3，故该班人数为50人，选项为B.考点：频率分布直方图. 6.已知71sin 24πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos 2α=（ ）A ．78-B ．78C ．78或78-D 【答案】A 【解析】试题分析：因为41cos 27sin ==⎪⎭⎫⎝⎛+-ααπ,则871cos 22cos 2-=-=αα，故选A.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式. 7.已知函数()()()ln 01xf x a ba a =+>≠且是R 上的奇函数, 则不等式()ln f x a a >的解集是 （ ）A ．(),a +∞B ．(),a -∞C ．当1a >时, 解集是(),a +∞；当01a <<时, 解集是(),a -∞D ．当1a >时,解集是(),a -∞；当01a <<时, 解集是(),a +∞ 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()()()ln 01xf x a ba a =+>≠且是R 上的奇函数，所以()()01ln 0=+=b f ，故0=b ，则()a x a x f x ln ln ==，当1>a 时，函数单调递增()()a f a a x f =>ln ，得a x >； 当10<<a 时，函数单调递减()()a f a a x f =>ln ，得a x <,故选C. 考点：函数的奇偶性.8. 一个几何体的三视图如图所示, 其中府视图与侧视图均为半径是1的圆, 则这个几何体的体积 是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π【答案】C考点：由三视图求面积，体积.9.已知双曲线 ()2222:10,0x y C a b a b -=>>的虚轴端点到一条渐近线的距离为2b,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3 BD ．2 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得双曲线 ()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴端点可以取()b ,0，渐近线可以取0=+ay bx ，故222bc ab b a ab ==+，得离心率2=a c ，故选项为D.考点:双曲线的性质. 10.将函数()()sin 206f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍, 纵坐标不变,再将其向左平移6π个长度单位后, 所得的图象关于y 轴对称, 则ω的值可能是（ ） A ．12 B ．32 C ．5D ．2【答案】D考点：（1）三角函数图象变换；（2）三角函数的性质. 11.在等比数列{}n a 中, 若25234535,44a a a a a a =-+++=,则23451111a a a a +++=（ ） A ．1 B ．34- C ．53- D ．43-【答案】C 【解析】 试题分析：因为数列{}n a 为等比数列，所以2534234523452534251111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+=⋅⋅⋅55434==--，故选C.考点：等比数列的性质.12.定义：若函数()y f x =对定义域内的任意x ，都有()()f m x f m x +=-恒成立，则称函数()y f x =的图象的直线x m =对称，若函数()321f x cx ax bx =+++关于直线12x =对称，且)41a >，则函数()()x g x e f x =+在下列区间内存在零点的是（ ）A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2 【答案】C考点：（1）函数图象的对称性；（2）根的存在定理.【方法点晴】本题主要考查三次函数，二次函数图象所具有的性质以及根的存在定理的应用，难度适中，关键在于对上述两个函数图象熟悉的基础上，注意平时知识的积累；由三次项系数含有参数的函数()321f x cx ax bx =+++关于直线12x =对称，得到0=c 且a b -=，得到()12+-+=ax ax e x g x，结合)41a >，易得()1,21g g ⎪⎭⎫⎝⎛符号相反得解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量(),6a k =与向量()3,4b =-垂直，若()(),,0,65c x y x c =>=且，向量a c +，在向量b 方向上的投影为1，则向量c 的坐标为 ． 【答案】()4,7 【解析】试题分析：因为向量(),6a k =与向量()3,4b =-垂直，所以0243=-k ，得8=k ；则()6,8++=+y x ，又因为向量a c +，在向量b 方向上的投影为1且65=，所以()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+-+=+01564836522x y x y x ，得⎩⎨⎧==47y x ，故向量c 的坐标为()4,7. 考点：（1）向量的数量积；（2）投影的概念.14.设变量,x y 满足不等式组403301x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩,则z =的取值范围是 ．【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23427， 【解析】试题分析：变量,x y 满足不等式组403301x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩,故其对应的区域如图所示，其中()3,1A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1B ，⎪⎭⎫⎝⎛4749，C ，故212≤-≤-y x ，得2746-≤--≤-y x ，6427≤--≤y x ，故z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡23427，.考点：线性规划.15.某工厂实施煤改电工程防治雾霾, 欲拆除高为AB 的烟囱, 测绘人员取与烟囱底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ,测得75,60,40BCD BDC CD ∠=∠==米, 并在点C 处的正上方E 处观测顶部A 的仰角为30,且1CE =米, 则烟囱高AB = 米． 【答案】1220+ 【解析】试题分析：45180=∠-∠-=∠BDC BCD CBD ，在C B D ∆中，根据正弦定理得s i n s i n C D B D CBC CBD∠=∠=220130tan 1+=⋅+=BC AB（米），故答案为：1220+．考点：解三角形的实际应用.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用，考查学生的计算能力，画图识图的能力，只要准确找到图形中的长度和角的关系，是解决此问题的关键，正确求出BC 是关键，属于中档题．理解清楚俯角和仰角的概念，在BCD ∆中由三角形的内角和求出45180=∠-∠-=∠BDC BCD CBD ，再根据正弦定理求得BC 的值，即可求得AB ．16.已知函数()f x 是周期为2的偶函数, 且当[]0,1x ∈时,()2f x x =, 函数()()0g x kx k =>,若不等式()()f x g x ≤的解集是[][][)()0,,,0a b c d d c b a +∞>>>>,则正数k 的取值范围 是 ． 【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,51 【解析】试题分析：因为函数()f x 是周期为2的偶函数, 且当[]0,1x ∈时,()2f x x =,故可得其图象如图所示，使得()()f x g x ≤成立，即曲线在直线的下方，又因为解集分为三段，直线过定点0，故可知直线与曲线相交的临界点为()()1,5,13B A ，,过A 点不行，过B 点可以，故正数k的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,51.考点：（1）函数的周期性与奇偶性；（2）数形结合思想.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性，以及函数的图象，及函数图象交点的问题，转化与化归思想，数形结合思想，综合性较强，难度适中.首先由函数的奇偶性和周期性易得到该函数在整个定义域上的图象，把不等式()()f x g x ≤的解集转化为()x f 的图象在()x g 图象的下方，且()()0g x kx k =>恒过定点O ，由其解集分为三段可得两图象交点的临界点，同时一定要注意临界点的取舍.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()ln 1n S n a =+-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(na nb e e =为自然对数的底数), 定义：1231...nkn k bb b b b ==∏,求1nk k b =∏.【答案】（1）当0a =时，()1ln n n a n N n *+=∈，当0a ≠时，ln 2,11ln ,2n a n a n n n -=⎧⎪=+⎨≥⎪⎩；（2）11nk a k n b e=+=∏. 【解析】试题分析：（1）由递推式求数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n n n 时，需注意验证1=n 时是否成立；（2）将第一问中的两种情况分别代入可得结果. 试题解析：（1）当1n =时,11ln 2a S a ==- ；当2n ≥且n N *∈时,()()()()11ln 1ln ln 1ln ln 1ln lnn n n n a S S n a n a n a n a n n n-+=-=+---=+--+=+-= ,当0a =时,1ln 2a =,适合此等式, 当0a ≠时,1ln 2ln 2a a =-≠, 不适合此等式,所以当0a =时,()1ln n n a n N n *+=∈ ；当0a ≠时,ln 2,11ln ,2n a n a n n n -=⎧⎪=+⎨≥⎪⎩. （2）当0a =时,1ln112341,...1123nn na nn k k n n b eeb n n n +=++===∴=⨯⨯⨯⨯=+∏. 当0a ≠时,2,11ln ,2na a n n eb e n n n ⎧=⎪⎪==⎨+⎪≥⎪⎩, 所以12341123n k a a k n n b e n e =++=⨯⨯⨯=∏,综上,11n k a k n b e =+=∏.考点：数列的通项公式.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥. （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=，求三棱锥1C AA B -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【解析】试题分析：（1）先通过AB AA =1,得到四边形11A ABB 为菱形,利用菱形的对角线相互垂直得11AB A B ⊥，在利用线垂直于面，线将垂直于面内所有直线可得11ABB A CB ⊥得到1CB AB ⊥，最后结合线面垂直判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理可得：4AB =，由 601=∠AB A 可得三棱锥AB A C 1-的底面AB A 1∆的面积，由（1）知BC 为棱锥的高，由体积公式可得结果.试题解析：（1）在侧面11A ABB 中, 因为1A A AB =,所以四边形11A ABB 为菱形, 所以11AB A B ⊥,因为CB ⊥平面111,A ABB AB ⊂平面11A ABB ,所以1CB AB ⊥,又因为11,A B BC B AB =∴⊥平面1A BC .考点：（1）线面垂直的判定；（2）几何体的体积.【方法点晴】本题主要考查的是证明线面垂直，求三棱锥的体积属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等；在求三棱锥的体积中，关键是准确的找到几何体的高及底面，除了直接法以外，常见的还有等体积法求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲, 乙两班各10名同学, 测量出他们的身高(单位：cm ),获得身高数据的茎叶图, 其中甲, 乙两班各有一个数据被污损.（1）若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179,乙班同学身高的中位数为172,求甲, 乙两班污损处的 数据；（2）在(1) 的条件下, 求甲, 乙两班同学身高的平均值；（3）①若已知甲班同学身高的平均值大于乙班同学身高的平均值, 求甲班污损处的数据的值；②在①的条件下, 从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于170cm 的同学, 求身高为181cm 的同学被抽中的概率.【答案】（1）9，4；（2）170.9，171.2；（3）①9；②12. 【解析】试题分析：（1）根据众数和中位数的概念可知甲班污损处是9，乙班污损处是4；（2）直接根据平均数的公式nx x x x x nn +++=21可得结果；（3）①由平均数的概念结合题意可得不等式81701701010x y ++>+，易知甲班污损处只能是9；②利用列举法列出满足题意得所有基本事件，根据古典概型计算公式可得结果.试题解析：（1）因为已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179,所以甲班污损处是9 . 因为乙班同学身高的中位数为172,所以乙班污损处是4. （2）由(1)得甲班同学身高的平均值为158162163168168171179179179182170.910+++++++++=,乙班同学身高的平均值为159162165168170174176178179181171.210+++++++++=.(3) ①设甲, 乙班污损处的数据分别为(),09,09,,x y x y x y N ≤≤≤≤∈,则甲班同学身高的平均值为()158162...170 (1821701010)x x++++++=+,乙班同学身高的平均值为()159162...170 (1791818)1701010y y ++++++++=+,由题意,81701701010x y ++>+. 解得8x y >+.又09,09,,x y x y N ≤≤≤≤∈,则min 0y =,得8,9x x >∴=,此时0y =. 故甲班污损处的数据的值为9.②设“身高为181cm 的同学被抽中” 为事件A ,从乙班10名同学中抽取两名身高高于170cm 的同学有：{}{}{}{}{}{}176,178,176,179,176,181,178,179,178,181,179,181共6个基本事件, 而事件A 含有{}{}{}176,181,178,181,179,181共3个基本事件, 所以()3162P A ==. 考点：（1）数据的数字特征；（2）古典概型.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点()2,0P 的直线交抛物线于,A B两点.（1）若11FA FB =-,求直线AB 的方程；（2）求ABF ∆面积的最小值.【答案】（1）20x y --=或20x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）已知直线过定点，可设为点斜式，可分为斜率存在和不存在两种情况经行讨论，当斜率不存在时验证不合题意，当斜率存在时，联立直线与抛物线的方程，结合维达定理得到21x x +和21x x ⋅的值，代入11-=⋅,得到斜率k 的值，故得解；（2）求出特例当斜率不存在时，三角形的面积,在求出当斜率不存在时结合维达定理，表达出ABF S ∆的表达式，求出其最值.试题解析：（1）不妨设点A 在x 轴上方,①当直线AB 的斜率不存在时, 直线方程为2x =,此时将2x =代入抛物线2:4C y x =中,得28y =,解得y =±所以点,A B的坐标分别为((2,,2,-,又焦点F 的坐标为()1,0,则()(1,22,1,FA FB ==-,所以()()1,221,22187FA FB =-=-=-,不满足11FA FB =-,故舍去；②当直线AB 的斜率存在时, 设斜率为k 显然0k ≠,故直线AB 方程为()2y k x =-.设点()()()112212,,,0,0A x y B x y y y ><,联立()224y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,消去y ,得()22224440k x k x k -++=,且232160k∆=+>,则由韦达定理,得(2121212244,4,kx x x x y y k++==∴=-8=-=-,又焦点F 的坐标为()1,0,则()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-,所以()()()11221212121,1,1FA FB x y x y x x x x y y =--=-+++()2224444187k k k+=-++-=--.由题意,24711k --=-, 解得1k =±, 所以直线AB 方程为2y x =-或2y x =-+,即20x y --=或20x y +-=.（2）①当直线AB 的斜率不存在时, 由(1)得, 点,A B 的坐标分别为((2,,2,-,所以ABF ∆的面积为(1212111222S PF y y y y =⨯⨯-=-=-= ②当直线AB 的斜率存在时, 设斜率为k 显然0k ≠,由(1) 得,21212244,4k x x x x k ++==, 所以ABF ∆的面积为12121122S PF y y y y =⨯⨯-=-==248k ==+综上所述,ABF ∆ 面积的最小值为22.考点：（1）抛物线的简单性质；（2）直线与圆锥曲线的综合.【一题多解】为了避免对斜率的讨论，可采用：设直线AB 为2+=my x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y B ,()0,1F ，由⎩⎨⎧=+=x y my x 422，消x 得0842=--my y ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+>+=∆840321621212y y m y y m ，2212121,1,44y y FA FB y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222121216161141811444y y m y y ⎛⎫⎛⎫+=-⋅-+⋅=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得12=m ，即1±=m ，故直线的方程为20x y --=或20x y +-=.21.（本小题满分12分）已知函数()()cos sin 0f x x x x x =->. （1）求函数()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）记n x 为()f x 的从小到大的第()n n N *∈个极值点, 证明：不等式()2222212311117...4n n N x x x x π*++++<∈. 【答案】（1）21024x y ππ++-=；（2）证明见解析；【解析】试题分析：（1）求出函数的导数()x x x f sin -='，故可求得切线的斜率为22ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛'=f k ，由点斜式可得切线的方程；（2）求出函数的极值点()n x n n N π*=∈，利用放缩法得()()222211111ππ+-<=n n n x n ，在结合裂项相消法，注意从第二项起开始放缩得证. 试题解析：（1）()'cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-,则切线的斜率为'sin 2222f ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,又12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故函数()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()122y x ππ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,即21024x y ππ++-=. （2）由()'sin 0,0f x x x x =-=>,得()n x n n N π*=∈所以当2n ≥且n N*∈时,()()()()2222211111111211n x n n n n n πππ⎛⎫=<=- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭. 所以当2n ≥时,n N *∈ 时,222222123111111...2n x x x x ππ++++<+111111111111...3243531211n n n n n n ⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪----+⎝⎭2222211111111711221224n n πππππ⎛⎫⎛⎫=++--<++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 又当1n =时,22211174x ππ=<. 综上,()2222212311117...4n n N x x x x π*++++<∈. 考点：（1）求函数的切线方程；（2）利用放缩法证明不等式.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的极值，放缩法证明不等式成立，属于难题.利用导数求函数()f x 的切线方程的步骤：①求出切点坐标；②对()f x 求导，求出斜率()0x f k '=；③利用点斜式求出切线的方程；在第二问中求出极点代入，22211n x n π= ()()()()22111111211n n n n ππ⎛⎫<=- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，符合放缩法及裂项相消法的形式，注意方法的积累.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 已知圆上的四点A 、B 、C 、,D CD AB ,过点D 的圆的切线DE 与BA 的延长线交于E 点.（1）求证：CDA EDB ∠=∠；（2）若5,7BC CD DE ===,求线段BE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）549. 【解析】试题分析：（1）由两直线平行内错角相等可得ABD BDC ∠=∠．由弦切角定理可得ABD ADE ∠=∠，即可得出证明；（2）由角边角可得三角形全等即EDA BDC ∆≅∆,得到EA BC =,又由切割线定理可得EB EA DE ⋅=2,代入可得结论.考点：（1）弦切角定理；（2）切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为2(12x tt y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数), 直线l 和圆C 交于,A B 两点,P是圆C 上不同 于,A B 的任意一点. （1）求圆心的极坐标；（2）求点P 到直线l 的距离的最大值. 【答案】（1）()1,0；（2）5525+. 【解析】试题分析：（1）将圆C ：2cos ρθ=化为普通方程，得到其圆心()1,0，根据极坐标的定义可得其极坐标为()1,0；（2）把直线l ⎪⎩⎪⎨⎧+==212t y t x 化为普通方程，因为直线与圆相交，根据其意义可得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.试题解析：（1）由2cos ρθ=,得22cos ρρθ=,得222x y x +=,故圆C 的普通方程为2220x y x +-=,所以圆心坐标为()1,0,圆心的极坐标为()1,0.（2）直线l 的参数方程为2(12x tt y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数) 化为普通方程是210x y -+=,即直线l 的普通方程为210x y -+=,因为圆心()1,0到直线:210l x y -+=的距离d ==,所以点P 到直线l的距离的最大值5155r d ++=+=. 考点：（1）极坐标方程化为普通方程；（2）参数方程化为普通方程；（3）点到直线的距离公式.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()820f x x x m m m=++->. （1）求函数()8f x ≥恒成立；（2）求使得不等式()110f >成立的实数m 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）()()0,14,+∞.试题解析：（1）由0m >,有()()88882222f x x x m x x m m m m m m m=++-≥+--=+=+8≥=当且仅当82m m=，时取等号, 所以()8f x ≥恒成立. （2）()()811210m mf m =+->+,当120m -<,即12m >时,()()8811221m m m f m +--=+=, 由()110f >,得8210m m +>,化简得2540m m -+>,解得1m <或4m >,所以112m <<或4m >,当120m -≥,即102m <≤时,()()88111222f m m m m=++-=+-, 由()110f >,得82210m m +->,此式在102m <≤时恒成立, 综上, 当()110f >时,实数m的取值范围是()()0,14,+∞.考点：(1)绝对值不等式的性质及解法；（2）均值不等式.。

2018年高考(209)河北衡水中学2018届高三第六次调研考试2018年高考(209)河北衡水中学2018届高三第六次调研考试河北衡水中学2017—2018学年度上学期高三六调考试语文试卷本试卷分第I卷(语言文字运用)和第卷(阅读与写作)两部分，共150分，考试时间150分钟。

第I卷语言文字运用一、语言文字运用(4分)1．下列各句中，加点成语的使用全都正确的一项是()(2分)从中国书法史看，书以人名似乎成了一条重要的规律。

但不容置喙的是，对于真正的艺术作品来说，生命精神才是它的根本所在。

在有识之士看来，中国范儿就是理性消费，克勤克俭，真正地去展示一个理想的中国人所应有的气质和精神面貌。

冯友兰教授回忆说，蔡元培校长给他留下的最深刻的记忆就是他洒脱豁达的胸襟，光风霁月的气象，这种人格魅力最令人慨叹不已。

王校长的一席话果然起到了抛砖引玉的作用，与会人员就如何提高教学质量纷纷提出了自己的见解和建议。

蒂姆·库克长期以来其实已在掌管苹果公司，乔布斯两次病休期间，实干家库克都临危授命，负责苹果公司的日常运营工作。

先秦哲学起源于对人生、对社会的忧患，先秦诸子周游列国，大多席不暇暖，以谋求天下从无道变为有道的格局。

A．B．C．D．2．下列各句中，没有语病的一项是()(2分)A．国航已经禁止运输鱼翅，这反映了中国对濒危野生动植物贸易的态度发生了重大变化，此举给濒临灭绝的鲨鱼种带来了一线生机。

B．美国当局虽然已经预测到飓风马修的规模并进行了救灾部署．可是，马修在真正席卷美国之时，还是给美国造成了重创。

C．自动驾驶汽车应该不惜一切代价保护其乘坐者吗?或者它们应该为了保护其他人而牺牲其乘坐者?答案无疑是肯定的。

D．交通拥堵已成为我市发展的一大障碍，为此，市政府科学调配资金，加大了对道路建设的投资力度，解放路立交桥的建成将大大减轻东西方向的堵车问题。

第卷阅读与写作二、阅读(80分)(一)文言文阅读(本题共4小题，11分)阅读下面的文言文，完成3—6题。

河北省衡水中学2018届高三数学下学期全国统一联合考试（3月）试题 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.ABB.ABC.()U C ABD.()U C A B2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( ) A.4B.5C.6D.74.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )33B.6πC.9π435.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( ) 233131+6.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C.1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c-的值是( ) A.4-B.4C.2-D.28.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A.3B.4C.5D.610.已知向量()cos ,sin AB αα=，()cos ,sin BC ββ=，()cos ,sin CA γγ=，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅的值是( )A.12B.12-C.3-D.3 11.设函数()f x 定义如下表： x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )A.4B.5C.2D.312.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( ) A.2B.4C.8D.12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，5cos A =，10cos B =，2c =，则a =____________.16.已知函数()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D .(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值.19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表：根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y x a β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii xx y yxxβ==--=-∑∑，a y x β=-.②参考数据：20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为(1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=，求点P 的横坐标0x 的取值范围. 21.已知函数()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知圆C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x轴的正半轴与极轴重合.(1)求圆C的标准方程和它的一个参数方程；(2)设()P x y是圆C上的任意一点，求xy的最大值.,23.已知函数()1=+-.f x x x(1)解不等式()3f x≥；(2)若()()2+≤，求x yf x f y+的取值范围.-----------------------------------------------学好语文的方法和技巧一、培养良好的阅读习惯良好的阅读习惯对形成阅读能力、保证阅读质量、提高阅读效率、顺利达到阅读目的有着重要作用。

2018届河北省衡水中学高三大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合M = x |x 2−5x +4≤0 ，N = 0,1,2,3 ，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】由题得，集合M = x x 2−5x +4≤0 ={x |1≤x ≤4}，所以M ∩N ={1,2,3}.集合M ∩N 中元素的个数为3. 故选C.2．已知命题p ：x R ∀∈，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A. 0x R ∃∈，()12020x -> B. x R ∀∈，()1210x -> C. x R ∀∈，()1210x -≥ D. 0x R ∃∈，()12020x -≥ 【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，则：若命题p ：x R ∀∈，()1220x -<，则命题p ⌝为0x R ∃∈，()12020x -≥. 本题选择D 选项. 3．已知复数521iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】结合复数的运算法则可得：()()2121522121i i i iz i i i +-==-=---， 即复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.4．已知双曲线C ：x 2a −y 216=1 a >0 的一个焦点为 5,0 ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 4x ±3y =0B. 16x ±9y =0C. 4x ± 41y =0D. 4x ±3y =12 【答案】A【解析】由题意得，c =5，则a 2=c 2−16=9，即a =3. 所以双曲线C 的渐近线方程为y =±43x ，即4x ±3y =0. 故选A.5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为30310010p ==， 设军旗的面积为S ，由题意可得：()22233363,1111101010S S mm πππ=∴=⨯⨯=⨯. 本题选择B 选项.6．下列函数中，与函数122x x y =-的定义域.单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A. sin y x =B. 3y x = C. 1y x = D. 22,0{ ,0x x y x x -≥=<【答案】D 【解析】函数122x x y =-为奇函数，且在R 上单调递减， 对于A ，sin y x =是奇函数，但不在R 上单调递减； 对于B ，3y x =是奇函数，但在R 上单调递增； 对于C ，1y x=定义域不同； 对于D ，画出函数图象可知函数()()220{ 0x x y x x -≥=<是奇函数，且在R 上单调递减， 故选D.7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A. B.C. D. 【答案】A 【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为A. 故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．设a =log 54−log 52，b =ln 23+ln 3，c =1012lg 5，则a ， b ， c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c 【答案】A【解析】由题意得，a =log 54−log 52=log 52，b =ln 23+ln 3=ln 2,c =1012lg 5= 5.得a =1l o g25,b =1l o g 2e，而l o g25> l o g 2e >1.所以0<1l o g25<1l o g 2e<1，即0<a <b <1.又c = 5>1.故a <b <c . 选A.9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 1819 B. 1920 C. 2021 D. 120 【答案】B【解析】由框图可知，S =1−12+12−13+⋯+119−120=1−120=1920. 故选B.10．将函数()2sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()g x 的说法错误的是（ ）A. 最小正周期为πB. 图象关于直线12x π=对称C. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 初相为3π【答案】C【解析】易求得()223g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π，初相位3π，即A ，D 正确，而π2sin 2122g π⎛⎫== ⎪⎝⎭.故函数()y g x =的图象关于直线12x π=对称，即B 项正确，故C 错误.选C.11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M 3,1 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线A B 的斜率为（ ）A. 43B. −43C. ±43D. −169 【答案】B【解析】令y =1，代入y 2=4x 可得x =14，即A (14,1). 由抛物线的光学性质可知，直线A B 经过焦点F (1,0)，所以k =1−014−1=−43.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）A. ()0,2B. [)1,2C. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,2【答案】B【解析】由题意可得：222cos cos 122a b c a B b A ab c +-+⨯=, 且222cos 2a b c C ab +-=，cos cos sin cos sin cos sin 1sin sin a B b A A B B A Cc C C ++===， 据此可得：1cos 2C =，即：2222221,22a b c a b c ab ab +-=+-=， 据此有：()222223434312a b c a b ab a b ab ab +⎛⎫=+-=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立；三角形满足两边之和大于第三边，则2c a b <+=， 综上可得：c 的取值范围为[)1,2.本题选择B 选项.点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a 2＝b 2＋c 2－2bccosA 可以转化为sin 2 A ＝sin 2B ＋sin 2 C －2sinBsinCcosA ，利用这些变形可进行等式的化简与证明．二、填空题13．已知向量a = sin π3,cos π6 ，b = k ,1 ，若a ∥b ，则k =__________．【答案】1【解析】由a //b ,得sin π3− k cos π6=0.即 32− 32k =0. 解得k =1.14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆C ：()222x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________.【答案】2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-，对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=， 则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.15．已知实数x ， y 满足约束条件 3x +y ≤π,x ≥π6,y ≥0, 则sin x +y 的取值范围为__________（用区间表示）． 【答案】 12,1【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)设z =x +y ，作出直线l :x +y =z ，当直线l 过点B (π6,0)时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A (π6,π2)时，z 取得最大值2π3. 即π6≤x +y ≤2π3,所以sin x +y ∈[12,1]. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M −A B C D 为阳马，侧棱M A ⊥底面A B C D ，且M A =B C =A B =2，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________． 【答案】36π−16 2π【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别R 与r ，则2R = M A 2+A B 2+B C2=2 3.即R = 3.由13S M −A B C D表∙r =13S A B C D ∙M A .得r =S A B C D∙M AS M −A B C D 表=2×2×22×2+12×(2×2×2+2×2 2×2)=2− 2.所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为4π R 2+r 2 =36π−16 2π.三、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a -=；（2）2212nn n+-+.【解析】试题分析：（1）由251632a a a a ⋅=⋅=及2518a a +=得22a =，516a =，进而的q ，可得通项公式；（2）12n n b n -=+利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ， 则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q --==（*N n ∈）. （2）由（1）得，12n n b n -=+. ∴12n n T b b b =+++()()211222123n n -=+++++++++()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．如图，在三棱柱A B C −A 1B 1C 1中，A A 1⊥平面A B C ，A C ⊥B C ，A C =B C =C C 1=2，点D 为A B 的中点. （1）证明：A C 1∥平面B 1C D ； （2）求三棱锥A 1−C D B 1的体积.【答案】（1）见解析；（2）43.【解析】试题分析：（I）连接BC1交B1C于点O，连接O D，通过证明O D∥A C1，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．（II）要求三棱锥A1−C D B1的体积，转化为V A1−C D B1=V C−A1DB1=1 3SΔA1DB1×C D即可求解．试题解析：（1）连接BC1交B1C于点O，连接O D.在三棱柱A B C−A1B1C1中，四边形B C C1B1是平行四边形.∴点O是BC1的中点.∵点D为A B的中点，∴O D∥A C1.又O D⊂平面B1C D，A C1⊄平面B1C D，∴A C1∥平面B1C D.（2）∵A C=B C，A D=B D，∴C D⊥A B.在三棱柱A B C−A1B1C1中，由A A1⊥平面A B C，得平面A B B1A1⊥平面A B C.又平面A B B1A1∩平面A B C=A B.∴C D⊥平面A B B1A1.∴点C到平面A1DB1的距离为C D，且C D=A C sinπ4=2.∴V A1−C D B1=V C−A1DB1=13SΔA1DB1×C D=13×12×A1B1×A A1×C D=16×22×2×2=43.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关；(2)(i)经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人.(ii)910【解析】试题分析：(1)由列联表可得2 2.198 2.072K ≈>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. (2)（i ）依题意可知，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率910P =.试题解析：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）.（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e.则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b，(),a c，(),a d，(),a e，(),b c，(),b d，(),b e，(),c d，(),c e，(),d e共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010 P=-=.20．已知椭圆C：x2a +y2b=1a>b>0过点 −2,1，离心率为22，直线l：k x−y+2=0与椭圆C交于A ， B两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数k，使得O A+O B=O A−O B（其中O为坐标原点）成立？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 24+y22=1；（2）k=±2.【解析】试题分析：（1）根据题意得2a+1b=1,ca=22,a2=b2+c2,，从而可得方程；（2）直线和椭圆联立得1+2k2x2+8k x+4=0，设A x1,y1，B x2,y2，由O A+O B=O A−O B，得O A⋅O B=0，即x1x2+y1y2=0，由韦达定理代入即得.试题解析：（1）依题意，得2a+1b=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a2=4，b2=2，c2=2，故椭圆C的标准方程为x24+y22=1.（2）假设存在符合条件的实数k.依题意，联立方程y=k x+2, x2+2y2=4,消去y并整理，得1+2k2x2+8k x+4=0.则Δ=64k2−161+2k2>0，即k >22或k <− 22. 设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=−8k1+2k ，x 1x 2=41+2k . 由 O A +O B = O A −O B ， 得O A ⋅O B=0. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴x 1x 2+ k x 1+2 k x 2+2 =0. 即 1+k 2 x 1x 2+2k x 1+x 2 +4=0. ∴4 1+k 2 1+2k −16k 21+2k +4=0.即8−4k 21+2k =0.即k 2=2，即k =± 2.故存在实数k =± O A +O B = O A −O B 成立. 21．已知函数()2ln 23f x x x =-+，()()'4ln g x f x x a x =++()0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)()[),01,-∞⋃+∞.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式可得()()()1212'x x f x x+-=，()0,x ∈+∞，结合导函数与原函数的单调性的关系可得函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)原问题等价于方程10alnx a x +-=有实数根，构造函数()1h x alnx a x=+-，利用导函数研究函数存在零点的充要条件可得：当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.试题解析：（1）依题意，得()()()21212114'4x x x f x x x x x+--=-==，()0,x ∈+∞. 令()'0f x >，即120x ->，解得102x <<； 令()'0f x <，即120x -<，解得12x >， 故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题得，()()'4g x f x x alnx =++1alnx x=+. 依题意，方程10alnx a x +-=有实数根，即函数()1h x alnx a x=+-存在零点，又()2211'a ax h x x x x-=-+=，令()'0h x =，得1x a=.当0a <时，()'0h x <，即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，1111111a ah e a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111110ae e -=-<-<，所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()'h x ，()h x 随x 的变化情况如表：极小值所以11h a aln a alna a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值.当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点；当10h a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤，()110h e a a e e =+-=>，所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为 x =2cos αy =sin α（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2ρsin θ+π4 =3. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1，直线l 的普通方程为x +y −3=0；（2）10+3 22. 【解析】试题分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1消去参数得曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1，利用x =ρcos θ，y =ρsin θ得直线l 的普通方程为x +y −3=0；（2）利用圆的参数方程得d = 2=5sin 2，进而由三角求最值即可. 试题解析：（1）由曲线C 的参数方程x =2co sαy =si n α（α为参数），得曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1. 由 ρsin θ+π4 =3，得ρ sin θ+cos θ =3， 即x +y =3.∴直线l 的普通方程为x +y −3=0. （2）设曲线C 上的一点为 2cos α,sin α ， 则该点到直线l 的距离d = 2=5sin 2（其中tan φ=2）.当sin α+φ =−1时，d max =5+ 2=10+3 22. 即曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 10+3 22. 23．已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥. 【答案】(1){}|11x x -≤≤；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式()3f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤. (2)结合绝对值三角不等式的性质可得[)3,M =+∞，结合二次函数的性质可得30t -≥，10t +>，则223t t -≥.试题解析：（1）依题意，得()3,1,1{2,1, 213,,2x x f x x x x x -≤-=--<<≥则不等式()3f x ≤，即为1,{ 33,x x ≤--≤或11,{ 223x x -<<-≤或1,{ 233,x x ≥≤解得11x -≤≤. 故原不等式的解集为{}|11x x -≤≤.（2）由题得，()()1g x f x x =++212221223x x x x =-++≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤， 即112x -≤≤时取等号， ∴[)3,M =+∞，∴()()22331t t t t --=-+， ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>， ∴()()310t t -+≥， ∴223t t -≥.。

2018-2019学年度衡水中学高三第六次诊断考试数学（理科）试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．设全集Q ＝{x|2x 2－5x≤0，x ∈N}，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是( )A ．3B ．4C ．7D ．82．已知复数()为虚数单位i R a aii i a z ,52122∈-+-=,若z 是纯虚数，则a 的值是 （ ）A.+lB.0或1C.-1D.03．已知等差数列{a n }满足a 1+a 3 +a 5=12，a 10 +a 11+a 12= 24，则{a n }的前13项的和为 ( ) A ．12 B ．36 C ．78 D ．156 4．有下述命题①若0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f 在),(b a 内必有零点；②当1>a 时，总存在R x ∈0，当0x x >时，总有x x a a n x log >>； ③函数)(1R x y ∈=是幂函数；其中真命题的个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、35．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x≥0时,f(x ）=x 2+ 2x+ mcosx ，记a= -3f(-3)，b=- 2f(-2)， c= 4f(4)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A.b <a <c B.a<c<b C ．c<b<a D ．a<b<c6．函数f （x ）=的图象大致为（ ）A. B ． C ． D ．7. 已知公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，000<⋅+m n n S S 恒成立，则下列结论不一定成立的是（ ）A. 01<d aB. ||n S 有最小值C. 0100>⋅+n n a aD. 02100>⋅++n n a a 8．已知函数(x)= sin2x -2cos 2x ，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x 1)·g(x 2)=-4，则|x 1-x 2|的值可能为 ( )A ．B ．C ． D. π9．已知、为非零向量，则“⊥”是“函数)()()(a b x b a x x f -∙+=为一次函数”的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10.矩形ABCD 中， 2AB =， 1BC =， E 在线段BC 上运动，点F 为线段AB 的中点，则·DE EF 的取值范围是（ ）A. 7,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,4⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦C. 72,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. [)2,+∞11. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤->=1,451,ln 2x x x x x f ，存在x 1,x 2,……,x n , 满足()()()m x x f x x f x x f nn ==== 2211，则当n 最大时，实数m 的取值范围是 （ ）A ．（ ， ）B ．（， ）C ．[， ）D ．[， ）12.已知数列{a n }的首项a 1=1，函数()()122cos 14+-+=+n n a x a x x f 有唯一零点，则通项a n = （ ）A 、13-n B 、12-n C 、12-n D 、23-n第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置， 13.若()()dx x f x x f ⎰+=012，则()dx x f ⎰01= 。

2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x −2)i −y =−1+i ，则(1+i)x+y 的值为( )A. 4B. 4+4iC. −4D. 2i2. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−5x +6≥0}，则下列结论中正确的是( )A. A ∩B =BB. A ∪B =AC. A ⊊BD. ∁R A =B3. 已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P 、Q ，满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△APQ 的面积为( ) A. 12B. 23C. 1D. 24. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A. 2√3B. 4√3C. 4D. 85. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )A. 316B. 38 C. 516D. 7166. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x21sin x 2∣∣∣∣∣的图象向左平移m(m >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A. π3B. 2π3 C. 4π3 D. 7π37. 已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3lnπ2，则下列选项正确的是( )A. a >b >cB. c >a >bC. c >b >aD. b >c >a8. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. √2 B. 1+√2 C. 1+√3 D. 2+√39. 如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′，其中A′B′//y′轴，B′C′//x′轴．若A′B′=B′C′=3，设△ABC 的面积为S ，△A′B′C 的面积为S′，记S =kS′，执行如图②的框图，则输出T 的值( )A. 12B. 10C. 9D. 610. 如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来，第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为a n ，则1a 3+1a 4+1a 5+⋯+1a 99=( )A. 97300B. 97100C. 3100D. 110011. 过椭圆x 29+y 24=1上一点H 作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分布交于点P ，Q 两点，则△POQ 面积的最小值为( )A. 12B. 43C. 1D. 2312. 若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0，则称f(x)为“柯西函数”，则下列函数：①f(x)=x +1x (x >0)； ②f(x)=lnx(0<x <e)； ③f(x)=cosx ； ④f(x)=x 2−1.其中为“柯西函数”的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等比数列{a n }的第5项是二项式(√x −13x )6展开式的常数项，则a 3a 7=______． 14. 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,12)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x,y)满足不等式0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，则W =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______． 15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +1=2a n ，则使不等式a 12+a 22+⋯+a n 2<5×2n+1成立的n 的最大值为______．16. 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB =CD ，AC =BD ，AD =BC ，则______.(写出所有正确结论的编号)①四面体ABCD 每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，．且sinAsinC=34(Ⅰ)求角B的大小；,1)，当m⃗⃗ ⋅n⃗取最小值时，判断△ABC的(Ⅱ)设向量m⃗⃗ =(cosA,cos2A)，n⃗=(−125形状．18.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°．(1)求证：BD⊥PC；(2)设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF//平面PAD，求AF的长；(3)求二面角A−PC−B的余弦值．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．(1)若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05269370602235851513920351597759567806835291057074079710882309984299646171629915065129169358 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43(2)若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和： (3)若采用分层轴样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层，且样本中A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B 题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，∠F 1MF 2=60°，P 为椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的面积的最大值为√3．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点A ，B 为椭圆C 上的两个不同的动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(O 为坐标原点)，则是否存在常数t ，使得O 点到直线AB 的距离为定值？若存在，求出常数t 和这个定值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2．(1)当a =2时，求函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)令g(x)=f(x)+ax ，若y =g(x))在区间(0,3)上为单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当a =2时，函数ℎ(x)=f(x)−mx 的图象与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，且0<x 1<x 2，又ℎ′(x)是ℎ(x)的导函数．若正常数α，β满足条件α+β=1，β≥α.试比较与0的关系，并给出理由．22. 选修4−4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2√3,π6)，曲线C 的极坐标方程为ρ2+2√3ρsinθ=1． (Ⅰ)写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；(Ⅱ)若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：{x =3+2ty =−2+t (t 为参数)距离的最小值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −5|，x ∈R ．(Ⅰ)求不等式f(x)≤x +10的解集；(Ⅱ)如果关于x 的不等式f(x)≥a −(x −2)2在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x −2)i −y =−1+i ， ∴{x −2=1−y =−1，解得x =3，y =1， ∴(1+i)x+y =(1+i)4=(2i)2=−4． 故选：C ．利用复数相等的性质求出x ，y ，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果． 本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：由x 2−5x +6≥0，化为(x −2)(x −3)≥0，解得x ≥3，x ≤2，∴B ={x|x ≥3,x ≤2}， ∴A ⊊B ， 故选：C ．由x 2−5x +6≥0，解得x ≥3，x ≤2，本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知，P 为AC 的中点，QA⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图： 因为S △ABC =12AB ⋅ACsinA =2．所以S △APQ =12AP ⋅AQsinA =12×12AB ⋅23ACsinA =23．故选：B ．画出△ABC ，通过足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，标出满足题意的P 、Q 位置，利用三角形的面积公式求解即可．本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力． 4.【答案】C【解析】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成， 底面边长为1，侧棱长为：√52，所以几何体的表面积为：8×12×1×1=4．故选：C ．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键． 根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可． 【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成， 则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形， 则对应概率P =716， 故选D ．6.【答案】C【解析】解：定义运算：∣∣∣a 1a 2a3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x21sin x 2∣∣∣∣∣化为： f(x)=√3sin x 2−cos x 2=2sin(x −π6)再向左平移m(m >0)个单位即为：g(x)=f(x +m)=2sin(x+m 2−π6)；又因为新函数g(x)为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x =0时函数值为最大或最小值，即：sin (m2−π6)=1；或sin (m2−π6)=−1； 所以：m2−π6=kπ+π2，k ∈Z ；即m =2kπ+4π3，k ∈Z ；又m >0，所以m 的最小值是：4π3 故选：C ．由题表达函数f(x)=√3sin x2−cos x2=2sin(x −π6)；向左平移m(m >0)个单位即为：g(x)=f(x +m)=2sin(x+m 2−π6)；利用新函数g(x)为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象及性质． 7.【答案】D【解析】【分析】 由a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，则a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．设f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题． 【解答】 解：a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π>0，∴a，b，c的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．设f(x)=lnxx，则，当x=e时，，当x>e时，，当0<x<e时，0'/> ∴f(x)在(e,+∞)上，f(x)单调递减，∵e<3<π<4，∴ln33>lnππ>ln44=ln22，∴b>c>a，故选：D．8.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标(1,0)，所以双曲线中，c=1，又由已知得|AF2|=|F1F2|=2，而抛物线准线为x=−1，根据抛物线的定义A点到准线的距离=|AF2|=2，因此A点坐标为(1,2)，由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e=ca =2c2a=|F1F2||AF1−AF2|=2√2−2=√2+1．故选：B．求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′=B′C′=3，∴S′=12A′B′⋅B′C′⋅sin45°=9√24由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB=6.BC=3，且AB⊥BC∴S=12AB⋅BC=9则由S=kS′得k=2√2，则T=T=√22k(m−1)=2(m−1)故执行循环前，S=9，k=2√2，T=0，m=1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=0，m=2当T=0，m=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=2，m=3当T=2，m=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=6，m=4当T=6，m=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=12，m=5当T=12，m=5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T=12，故输出的结果为12故选：A．由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 10.【答案】A【解析】解：a 3=12，a 4=20，a 5=30，猜想a n =n(n +1)(n ≥3,n ∈N +)， 所以1a n=1n(n+1)=1n −1n+1，所以1a 3+1a 4+1a 5+⋯+1a 99=(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯+(199−1100)=13−1100=97300，故选：A ．先观察图形再结合归纳推理可得解．本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题． 11.【答案】D【解析】解：∵点H 在椭圆x 29+y 24=1上，∴H(3cosθ,2sinθ)，∵过椭圆x 29+y 24=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，∴直线AB 的方程为：(3cosθ)x +(2sinθ)y =2，∵过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分布交于点P ，Q 两点， ∴P(23cosθ,0)，Q(0,1sin θ)，∴△POQ 面积S =12×23cosθ×1sin θ=23×1sin2θ，∵−1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ 面积取最小值23． 由点H 在椭圆x 29+y 24=1上，知H(3cosθ,2sinθ)，由过椭圆x 29+y 24=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，知直线AB 的方程为：(3cosθ)x +(2sinθ)y =2，由此能求出△POQ 面积最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 12.【答案】B【解析】解：由柯西不等式得：对任意实数x 1，y 1，x 2，y 2：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≤0恒成立(当且仅当存在实数k ，使得x 1=kx 2，y 1=ky 2取等号)，又函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0， 则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即存在点A 、B 与点O 共线；设AB 的方程为y =kx ，对于①，由于y =kx(x >0)与f(x)=x +1x 只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y =kx 与f(x)=lnx(0<x <e)最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A(0,0)，点B 任意，均满足定义，所以③是柯西函数； 对于④，取A(−1,0)，B(1,0)，均满足定义，所以④是柯西函数． 故选：B ．由“柯西函数”得函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2由)，使得OA⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即存在点A 、B 与点O 共线，判断满足条件即可． 本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．13.【答案】259【解析】解：二项式(√x −13x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−13)r ⋅x 3−3r2，令3−3r 2=0，求得r =2，故展开式的常数项为C 62⋅19=53．等比数列{a n }的第5项a 5=53，可得a 3a 7=(a 5)2=259，故答案为：259．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n }的第5项，再利用等比数列的性质求得a 3a 7的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题． 14.【答案】4【解析】解：由题得：OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)． ∵0≤OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1． ∴{0≤ x +12y ≤ 10≤y ≤1⇒{0≤2x +y ≤20≤y ≤1 ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +3y =(2x +y)+2y ； ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,4]． ∴所求最大值为4． 故答案为：4．利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P 的坐标满足的不等式，将 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质． 15.【答案】4【解析】解：当n =1时，a 1+1=2a 1，解得a 1=1．当n ≥2时，∵S n +1=2a n ，S n−1+1=2a n−1，∴a n =2(a n −a n−1)，∴ana n−1=2．∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴a n =2n−1，∴a n 2=4n−1．∴a 12+a 22+⋯+a n 2=1+4+42+⋯+4n−1=4n −14−1=13(4n −1).∴13(4n −1)<5×2n+1．∴2n (2n −30)<1，可知使得此不等式成立的n 的最大值为4．利用a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2及等比数列的通项公式即可得出a n ，利用等比数列的前n 项和公式即可得出a 12+a 22+⋯+a n2，再化简即可得出答案． 熟练掌握a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．16.【答案】①③④【解析】解：由题意可知四面体ABCD 为长方体的面对角线组成 的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确； 当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直， 则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线 必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确； 由AC =BD ，AB =CD ，AD =BC ，可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD 的三边长，则④正确． 故答案为：①③④．由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为a 、b 、c 成等比数列，则b 2=ac.由正弦定理得sin 2B =sinAsinC ． 又sinAsinC =34， 所以sin 2B =34． 因为sinB >0， 则sinB =√32．因为B ∈(0,π)， 所以B =π3或2π3．又b 2=ac ，则b ≤a 或b ≤c ，即b 不是△ABC 的最大边， 故B =π3．(Ⅱ)因为向量m ⃗⃗ =(cosA,cos2A)，n ⃗ =(−125,1)，所以m⃗⃗ ⋅n ⃗ =−125cosA +cos2A =−125cosA +2cos 2A −1=2(cosA −35)2−4325，所以当cosA=35时，m⃗⃗ ⋅n⃗取的最小值−4325．因为12<cosA=35<√32，所以π6<A<π3．因为B=π3，所以A+B>π2．从而△ABC为锐角三角形．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；(Ⅱ)根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.【答案】(1)证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．(2)解：取DC中点G，连接FG，则EG//平面PAD，∵直线EF//平面PAD，EF∩EG=E，∴平面EFG//平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG//平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120°，AB=4，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=4√33，∵∠DGF=60°，DG=2√33，∴AF=1(3)解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B(4,0，0)，C(2,2√3,0)，D(0,4√33,0)，P(0,0，4)． DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−4√33,0)为平面PAC 的法向量． 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则 ∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,−4)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，−4)， ∴{2x +2√3y −4z =04x −4z =0， 令z =3，得x =3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(3,√3,3)， 设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cosθ=n⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√77． ∴二面角A −PC −B 余弦值为√77．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理，证明BD ⊥平面PAC ，可得BD ⊥PC ；(2)设取DC 中点G ，连接FG ，证明平面EFG//平面PAD ，可得FG//平面PAD ，求出AD =CD ，即可求AF 的长；(3)建立空间直角坐标系，求出平面PAC 、平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A −PC −B 的余弦值．本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.【答案】解：(1)根据题意，读出的编号依次是： 512，916(超界)，935(超界)，805，770，951(超界)， 512(重复)，687，858，554，876，647，547，332． 将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876， 所以中位数为12×(647+687)=667；(2)由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和， 即S 10=10×8+10×9×902=4130；(3)记样本中8个A 题目成绩分别为x 1，x 2，…x 8，2个B 题目成绩分别为y 1，y 2，由题意可知∑x i 8i=1=8×7=56，∑(8i=1x i −7)2=8×4=32，∑y i 2i=1=16，∑(2i=1y i −8)2=2×1=2，故样本平均数为x −=18+2×(∑x i 8i=1+∑y i 2i=1)=110×(56+16)=7.2；样本方差为s 2=18+2×[∑(8i=1x i −7.2)2+∑(2i=1y i −7.2)2]=110×{∑[8i=1(x i −7)−0.2]2+∑[2i=1(y i −8)+0.8]2} =110×[∑(8i=1x i −7)2−0.4∑(8i=1x i −7)+8×0.22+∑(2i=1y i −8)2+1.6∑(2i=1y i −8)+2×0.82]=110×(32−0+0.32+2+0+1.28) =3.56；所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【解析】(1)由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数(2)按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．(3)分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题． 20.【答案】解：(Ⅰ)由题得，{ca=1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时， 设其直线方程为：y =kx +n ， 则原点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2，联立方程{x 24+y 23=1y =kx +n， 化简得，(4k 2+3)x 2+8knx +4n 2−12=0， 由△>0得4k 2−n 2+3>0， 则x 1+x 2=−8kn4k 2+3，x 1x 2=4n 2−124k 2+3，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+n)(kx 2+n)=(k 2+1)x 1x 2+kn(x 1+x 2)+n 2=t即(7d 2−12−4t)k2+7d 2−12−3t =0对任意的k ∈R 恒成立，则{7d 2−12−4t =07d 2−12−3t =0，解得t =0，d =2√217，当直线AB 斜率不存在时，也成立．故当t =0时，O 点到直线AB 的距离为定值d =2√217．【解析】(Ⅰ)由题得，{ca=1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，即可求出椭圆方程， (Ⅱ)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：y =kx +n ，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=2lnx −x 2， 可得f′(x)=2x−2x =2−2x 2x，函数f(x)在[12,1]是增函数，在[1,2]是减函数， 所以f(1)取得最大值，且为−1； (2)因为g(x)=alnx −x 2+ax ， 所以g′(x)=ax −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上单调递增， 所以在(0,3)上恒成立， 即有a ≥2x 2x+1在(0,3)的最大值，由y =2x 2x+1的导数为y′=2x 2+4x (x+1)2>0，则函数y =2x 2x+1在(0,3)递增，可得y <92，则a ≥92；(3)由题意可得，ℎ′(x)=2x −2x −m ，又f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，∴2lnx 1−x 12−mx 1=0，2lnx 2−x 22−mx 2=0，两式相减，得2(lnx 1−lnx 2)−(x 12−x 22)=m(x 1−x 2)， ∴m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2)，于是=2αx 1+βx 2−2(αx 1+βx 2)−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(x 1+x 2)=2αx1+βx 2--2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，∵β≥α，∴2α≤1，∴(2α−1)(x 2−x 1)≤0．可得ℎ′(αx 1+βx 2)<0． 要证：ℎ′(αx 1+βx 2)<0， 只需证：2αx1+βx 2−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2<0，只需证：x 1−x 2αx 1+βx 2−ln x 1x 2>0.(∗)令x 1x 2=t ∈(0,1)， ∴(∗)化为1−tαt+β+lnt <0， 只证u(t)=1−t αt+β+lnt 即可． ∵u′(t)=1t +−(αt+β)−(1−t)α(αt+β)2=1t−1(αt+β)2=α2(t−1)(t−β2α2)t(αt+β)2，又∵β2α2≥1，0<t <1，∴t −1<0，∴u′(t)>0，∴u(t)在(0,1)上单调递增，故有u(t)<u(1)=0，∴1−tαt+β+lnt <0，即x 1−x 2αx 1+βx 2−ln x1x 2>0．∴ℎ′(αx 1+βx 2)<0．【解析】(1)当a =2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)先求得g′(x)=a x −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上单调递增，所以在(0,3)上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a 的范围； (3)ℎ′(αx 1+βx 2)<0.理由：由题意可得，f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，化简可得m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2)，可得--2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，由条件知(2α−1)(x 2−x 1)≤0，再用分析法证明ℎ′(αx 1+βx 2)<0．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．22.【答案】解 (1)∵P 点的极坐标为(2√3,π6)，∴x P =2√3cos π6=2√3×√32=3，y P =2√3sin π6=2√3×12=√3．∴点P 的直角坐标(3,√3)把ρ2=x 2+y 2，y =ρsinθ代入ρ2+2√3ρsinθ=1可得x 2+y 2+2√3y =1，即x 2+(y +√3)2=4∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y +√3)2=4．(2)曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =−√3+2sinθ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x −2y −7=设Q(2cosθ,−√3+2sinθ)，则线段PQ 的中点M(32+cosθ,sinθ)． 那么点M 到直线l 的距离d =|32+cosθ−2sinθ−7|√12+22=|cosθ−2sinθ−112|√5=√5sin (θ−φ)+112√5．≥−√5+112√5=11√510−1，∴点M 到直线l 的最小距离为11√510−1．【解析】(1)利用x =ρcosθ，y =ρsinθ即可得出；(2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)={−2x +4(x ≤−1)6(−1<x ≤5)2x −4(x >5)，当x ≤−1时，应有−2x +4≤x +10，解不等式得−2≤x ≤−1， 当−1<x ≤5时，应有6≤x +10，解不等式得−1<x ≤5， 当x >5时，应有2x −4≤x +10，解不等式得5<x ≤14， 综上可得，不等式f(x)≤x +10的解集为[−2,14]．(Ⅱ)设g(x)=a −(x −2)2，由函数f(x)与g(x)的解析式，可得f(x)在x ∈[−1,5]上取最小值为6，g(x)在x =2时取最大值为a ， 若f(x)≥g(x)恒成立，则a ≤6．【解析】本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题． (Ⅰ)化简f(x)的解析式，分类讨论求得不等式f(x)≤x +10的解集． (Ⅱ)由题意可得f(x)在x ∈[−1,5]上的最小值大于或等于g(x)的最大值．。

2017—2018学年度上学期高三年级六调考试数学(文科)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．已知全集为I，集合P，Q，R如图所示，则图中阴影部分可以表示为A. «Skip Record If...»B. «Skip RecordIf...»C. «Skip Record If...»D. «Skip RecordIf...»2．已知«Skip Record If...»（i是虚数单位），则«Skip Record If...»A．1 B．0 C．«Skip Record If...»D．23．已知等差数列«Skip Record If...»的前n项和为«Skip Record If...»A．18 B．36 C．54 D．724．已知«Skip Record If...»为第二象限角，«Skip Record If...»A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»5．已知双曲线«Skip Record If...»轴交于A，B两点，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的面积的最大值为A．1 B．2 C．4 D．86．函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的值域是A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»7．在等比数列«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»为A．64 B．81 C．128 D．2438．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量与中位数分别为A．13，12 B．12，12C．11，11 D．12，119．已知点M在抛物线«Skip Record If...»上，N为抛物线的准线l上一点，F为该抛物线的焦点，若«Skip Record If...»，则直线MN的斜率为A．±«Skip Record If...»B．±l C．±2 D．±«Skip Record If...»10．已知椭圆«Skip Record If...»的左、右顶点分别为M，N，若在椭圆C上存在点H，使«Skip Record If...»，则椭圆C的离心率的取值范围为A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»11．已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，«Skip Record If...»平面BCD，且«Skip Record If...»，则球O的表面积为A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»12．已知函数«Skip Record If...»互不相等，则«Skip Record If...»的取值范围是A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知«Skip Record If...»，则向量«Skip Record If...»的夹角为_________．14．若函数«Skip Record If...»的两个零点的是«Skip Record If...»和3，则不等式«Skip Record If...»的解集是_________．15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积为_________．16．已知函数«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»为等比数列，«Skip Record If...»«Skip Record If...»____________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)如图，在«Skip Record If...»的平分线BD交AC于点D，设«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是直线«SkipRecord If...»的倾斜角．(1)求sin A；(2)若«Skip Record If...»，求AB的长．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»120°，底面ABCD为菱形，G为PC的中点，E，F分别为AB,PB 上一点，«Skip Record If...»，PB=4PF.(1)求证：«Skip Record If...».(2)求证：EF//平面BDG.(3)求三棱锥«Skip Record If...»的体积.19．(本小题满分12分)已知在测试中，客观题难度的计算公式为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为第i题的难度，«Skip Record If...»为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对，“×”表示答错)：(1)根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．(3)定义统计量«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为第i题的实测难度，«Skip Record If...»为第i题的预估难度(«Skip Record If...»)．规定：若S≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．20．(本小题满分12分)如图，点«Skip Record If...»在椭圆«Skip Record If...»上，且M到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆C于A,B（A，B不重合）两点，求«Skip Record If...»的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数«Skip Record If...»．(1)求函数f（x）的单调区间；(2)当«Skip Record If...»时，关于x方程«Skip Record If...»在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系«Skip Record If...»中，直线l过点«Skip Record If...»，且倾斜角为«Skip Record If...»．以原点O极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C极坐标方程为«Skip Record If...»．(1)写出直线l一个参数方程和圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l于A，B两点，求«Skip Record If...»的值．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲．已知函数«Skip Record If...»．(1)解不等式«Skip Record If...»；(2)已知«Skip Record If...»，若关于x的不等式«Skip Record If...»恒成立，求实数a的取值范围．。

，资料来源：中国科学院长春光学精密机械与物理研究所。

有删改）古人早就直观觉察到太阳与时间之间存在某种关系，慢慢学会了以太阳在天空中的位置来古人发明圭表这种天文仪器的目的就是度量日影的长度。

圭表中的“表”指的是直立于平地上测日影的标杆或石柱，测量表影的长度，就可知道时圭表中的“圭”指的是正南正北方向平放的刻板，它能方便人们随时直接读出表影的长度文章先从圭表的名称及其主要构件着笔，接着简要分析了其产生的背景。

领队的是李长富的儿子李尚武，他提着一个灯笼，引着狮子先在厅里转一圈，然后再到三间正房里转了一圈。

禾嫂把十元钱的红包递给李尚武，李尚武接过红包，插在上衣的口袋里。

李尚武挥挥手，锣声停了。

焦点聚在李尚武身上。

李尚武放下手中的灯笼，双手摘下舞狮人的狮头，像捧着满满一碗油，小心翼翼地放在八仙桌上，扯开盖在旧狮头上的红布，将两个狮头并排放在一起。

有人递来了香烛和祭品，李尚武把祭品一字排开，点起了香烛。

人群静得出奇。

李尚武神色凝重地斟了三杯酒，对着狮头鞠三个躬，然后拿起酒杯，将杯中的酒一一泼在地上。

突然，李尚武猛一转身，抱拳朗声说：‚各位，大家都看到了，我刚刚与何代兵比了一场武，我李尚武输了，输得很惨，这青狮我给何少侠留下了。

‛说罢，李尚武朝狮队喊了一声：开路！刚才戴着青狮头的小伙子，已经换上了温顺的红狮头。

锵锵锵！锵锵锵！锣又敲响了，狮队中有人放响了一挂千响电光炮，震得满屋子嗡嗡回响。

（有删改）4．下列对小说相关内容和艺术特色的分析鉴赏，不正确的一项是（3分）A．舞狮队“锵锵锵”的锣声在小说中的每一次出现，既是对舞狮队巡游时的热闹气氛的渲染，更是对禾嫂紧张忐忑心理的有力烘托。

B．相隔十八年的两次“比武”都写得很有特色：前一次既有平民打斗的真实感，又有武者交手的侠士范儿；后一次更是干脆“无中生有”，出人意外。

C．对于“偷贪”，何代兵自认为是“义举”，法律却视之为罪行，然而又令对手李尚武敬服，这似乎暗示何代兵、李尚武等所秉持的行为准则，与法律有微妙的冲突。