2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1ppt课件

2.空间直线与直线之间的位置关系
在同一平面内 —— {
按平面基本性质分： 相交直线 平行直线
不同在任一平面内——异面直线 有且只有一个公共点——相交直线 按公共点的个数分： 没有公共点——{ 平行直线 异面直线
3.异面直线的画法
说明：画异面直线时，为了体现 他们不共面的特点。常借 助一个或者两个平面来衬托。
2.1.2 空间中直线与直线的位置关系
观察实例
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
a o b
a b
平行直线 （无公共点）
相交直线 （有一个公共点）
D
B
A
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
六角螺母
D C A B
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a
M
b
a
b






a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
1.异面直线的定义
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1
两直线异面的判别一：两条直线 既不相交，又不平行。
两直线异面的判别二：两条直线 不同在任何一个平面内。
注意：在不同平面内的两条直线不一定异面。
e
公理4：在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行 --------平行线的传递性
5. 等角定理
在平面上,我们可以证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢? 观察：如图,∠ADC与∠A‘D’C‘、∠ADC与∠A’B‘C’的两边分别 对应平行，这两组角的大小关系如何？
答：从图中可以看出， ∠ADC=∠A‘D’C‘， ∠ADC+∠A’B‘C’=180°
定理（等角定理）: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
6. 异面直线所成的角
（1）复习回顾： 在平面内，两条直线相交成四 个角，其中不大于90度的角称之为 它们的夹角。用以刻画两直线的错 开程度，如图
b


b
a
b

a

a
例1.下图长方体中
（1）说出以下各对线段的位置关系？
E
H
G
F
D
①、EC与BH是 相交 直线 ②、BD与FH是 平行 直线 ③、BH与DC是 异面 直线
C
B
A
（2）与棱AB所在的直线异面的棱共有
4
条？
分别是：CG、HD、GF、HE
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 例2 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么 AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对？
答：共有3对
C
D F(B)
A D B
A H G(C) E
G H E F
4.平行线的传递性
我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线平行。在空间这一规律是否还成立呢？
观察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,… 之间有何关系？
a
b
c
d
a ∥b ∥ c ∥ d ∥ e ∥…
（2）问题提出： 在空间，如图所示，正方体 ABCD-EFGH中，异面直线AB与 HF的错开程度可以怎样来刻画呢？
E
o
H F G
D
A B
C
(3)解决问题
思想方法：平移转化成相交直线所成的角，即空间图形问题转化为平面图形问题。 异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角 （或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经 过点O作直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。
想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?
例1
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是 棱A’B’，B’C’的中点，求： ①异面直线 AD与 EF所成角的大小； 45 平移法 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小；60 ③异面直线 B’D与 EF所成角的大小.
H E 2 A
2 3 D 2 3
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
G F C B
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60
o
• 有关的数学名言 • ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角,
90
G
即为∠AOG或其补角.
O
例2 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,
AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?
解答：
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?