高二数学直线与椭圆的位置关系

高二直线和椭圆相交知识点直线和椭圆的相交是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到了几何图形的性质和方程的求解。

在本文中，我将为大家详细介绍高二直线和椭圆相交的相关知识点。

一、直线和椭圆的基本定义直线是一个无限延伸的线段，它可以由一个点和一个方向确定。

在平面直角坐标系中，一条直线可以由线段的两个端点坐标确定。

椭圆是一个平面内到一定点距离之和等于常数的点的集合。

在平面直角坐标系中，椭圆的方程可以表示为：[(x - h) / a]^2 + [(y - k) / b]^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴长度。

二、直线和椭圆的相交情况当直线与椭圆相交时，有以下几种可能的情况：1. 直线不过椭圆：当直线与椭圆没有交点时，二者之间不存在相交关系。

2. 直线与椭圆相切：当直线恰好与椭圆相切时，直线与椭圆只有一个交点，并且该交点是切点。

在这种情况下，直线的斜率与椭圆的法线的斜率相等。

3. 直线穿过椭圆：当直线穿过椭圆时，直线与椭圆有两个不同的交点。

此时，直线的方程和椭圆的方程联立求解即可得到交点的坐标。

三、求解直线和椭圆的交点为了求解直线和椭圆的交点，我们可以先将直线的方程和椭圆的方程联立，然后求解这个方程组。

具体方法如下：1. 将直线的方程代入椭圆的方程，得到关于x和y的方程；2. 将得到的方程整理，使其变为关于x的一元二次方程；3. 求解该二次方程，即可得到交点的x坐标；4. 将得到的x坐标代入直线的方程，求解y坐标。

通过以上步骤，我们可以求出直线和椭圆的交点坐标。

四、实例演练假设直线的方程为y = 2x + 1，椭圆的方程为[(x - 3) / 2]^2 + [(y - 2) / 3]^2 = 1。

现在我们来求解这个方程组。

将直线的方程代入椭圆的方程，得到：[(x - 3) / 2]^2 + [(2x + 1 - 2) / 3]^2 = 1；整理该方程，得到：5x^2 + 14x - 5 = 0；求解该二次方程，得到：x = (-7 ± √89) / 5；代入直线的方程，求解y坐标，得到两个交点的坐标分别为(-7 + √89) / 5 和 (-7 - √89) / 5。

3.1.2 椭圆【题组一 直线与椭圆的位置关系】1．（2020·全国高二课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ）A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】直线2244mx ny x y +=+=和圆22202m n >∴<+<点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆22m n +=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2个2．（2018·全国高二课时练习）如果过点M(-2,0)的直线l 与椭圆2x 2+y 2=1有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．-∞⎛ ⎝⎦B ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭C ．11-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦【答案】D【解析】设过点M （-2，0）的直线l 的方程为y=k （x+2），联立()22212y k x x y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩＝ ，得（2k 2+1）x 2+8k 2x+8k 2-2=0， ∵过点M （-2，0）的直线l 与椭圆2212x y +=有公共点，∴△=64k 4-4（2k 2+1）（8k 2-2）≥0，整理，得k 2≤12解得-k 22≤≤∴直线l 的斜率k的取值范围是⎡⎢⎣⎦ 故选：D 3．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆2244x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数m 的取值范围是____________.【答案】2525≤≤-m 【解析】由2241{x y y x m+==+，得225210x mx m ++-=．因为直线与椭圆有公共点，所以()2242010m m ∆=--≥，即254m ≤，解得2525≤≤-m ． 4．当m 取何值时，直线:L y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离． 【答案】详见解析【解析】将y x m =+代入22916144x y +=中，化简得222532161440x mx m ++-=，其判别式257614400m ∆=-+.当>0∆，即55m -<<时，直线和椭圆相交，当0∆=，即5m =±时，直线和椭圆相切.当∆<0，即5m >或5m <-时，直线和椭圆相离. 【题组二 弦长】1．（2019·广西百色田东中学高二期中（文））椭圆22416+=x y 被直线112y x =+截得的弦长为________.【解析】由22416112x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并化简得2260,x x +-= 设直线与椭圆的交点为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则1212x 2,6,x x x +=-=-所以弦长12MN x =-=.2．（2020·辽宁葫芦岛高二期中（文））已知椭圆2241x y +=及直线:l y x m =+．（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线l 的方程．【答案】（1）,22⎡-⎢⎣⎦；（2；此时:l y x = 【解析】（1）将直线方程与椭圆方程联立得：()2241x x m ++=即：225210x mx m ++-=直线和椭圆有公共点 ()2242010m m ∴∆=--≥，解得：m ⎡∈⎢⎣⎦（2）由（1）可知，直线与圆相交时，>0∆，即22m ⎛∈- ⎝⎭设直线与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y则1225m x x +=-，21215m x x -=AB ∴==当0m =时，()2max545m-=，则max5AB= ∴直线被椭圆截得的最长弦长为5；此时:l y x =3（2020·武威市第六中学高二月考（理））点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>一点，F 为椭圆C 的一个焦点，||PF1-1．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y x m =+被椭圆C ，求m 的值 【答案】（1）2212x y +=；（2）1m =±【解析】（1）由点P 是椭圆2222:?1(0)x y C a b a b+=>>一点，F 为椭圆C 的一个焦点，||PF 的11．可得11a c a c ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b =，所以椭圆方程为：2212x y +=.（2）设直线y x m =+与曲线C 的交点分别为()()1122M x ,y ,N x ,y联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234220x mx m ++-=, ()222Δ1612222480m m m =--=->,即m << 又21212422,33m m x x x x --+==，MN ==22242244333m m --⎛⎫⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得2880m -=，∴1m =±，符合题意.综上，1m =±.4.（2020·四川双流中学）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上短轴长为2，过左顶点A 的直线l 与椭圆交于另一点B . （1）求椭圆C 的方程； （2）若43AB =，求直线l 的倾斜角. 【答案】（1）2212x y +=；（2）45或135.【解析】（1）由题意的222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，则1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩2212x y +=.（2）由题意直线的斜率存在，因为左顶点为1sin 62x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 设直线l 的方程为()2y k x =+，代入椭圆方程，得到()222221420kx x k +++-=，因为一个根为1x =2x =，则1243AB x =-==， 化简2870k k --=，即21k =，1k =±，则倾斜角45或135.5．（2019·四川高二期末（文））已知椭圆()222:220C x y b b +=>.（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且3AB =，求AOB ∆的面积.【答案】（1）e =；（2.【解析】（1）椭圆()2222:102x y C b b b+=>，∴椭圆长半轴长为a =，短半轴长为b ，2c e a ∴====；（2）设斜率为1的直线l 的方程为y x m =+，且()11,A x y 、()22,B x y ，1b =，∴椭圆C 的方程为22:22x y +=，由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，.消去y 得2234220x mx m ++-=，又有1221243223m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩.12AB x ∴=-===3=，解得：214m =满足>0∆，∴直线l 的方程为102x y -±=. 故O到直线的距离14d ==，11223412AOE S AB d ∆∴=⋅=⨯=. 【题组三 点差法】1．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．24x y += C ．2314x y += D ．28x y +=【答案】D【解析】设过点A 的直线与椭圆相交于两点，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则有22111369x y +=①，22221369x y +=②，①﹣②式可得：()()()()121212120369x x x x y y y y -+-++=又点A 为弦EF 的中点，且A （4，2），∴x 1+x 2=8，y 1+y 2=4，∴836（x 1﹣x 2）﹣49（y 1﹣y 2）=0 即得k EF =121212y y x x -=--∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y ﹣2=﹣12（x ﹣4），即x+2y ﹣8=0．故选：D ． 2．（2020·湖北宜都二中高二期末（理））椭圆221169x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ） A ．932-B ．9 32C ．9 64D ．9 16【答案】A【解析】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()121212120169x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()12121212 169x x x x y y y y +-+-=-，即()()()()12121212916x x y y y y x x +--=+-，即121292164y y x x -⨯-=⨯-，即12129 32y y x x -=--，∴弦所在的直线的斜率为932-，故选A.3．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为13-的直线l 被椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>截得的弦恰被点(1,1)M 平分，则C 的离心率是______．. 【解析】设直线l 与椭圆的交点为1122(,),(,)A x y B x y因为弦恰被点(1,1)M 平分，所以12122,2x x y y +=+=由2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+= 化简可得：212212y y b x x a -=--，因为直线l 的斜率为13-，所以21221213y y b x x a -=-=-- 即2213b a =所以离心率e ==4．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2(O 为原点)，则k 1·k 2的值为________. 【答案】－12【解析】设直线l 的方程为：1(2)y k x =+，由122(2)21y k x x y =+⎧⎨+=⎩，整理得 ：2222111(12)8810k x k x k +++-=，所以211221812k x x k -+=+，2112218112k x x k -=+，所以1121112112214(2)(2)(4)12k y y k x k x k x x k +=+++=++=+，所以211221142(,)1212k k P k k -++，12122112121214212k k k k k k -+==--+，所以1212k k =-5．（2019·甘肃兰州一中高二期末（理））椭圆221(0,0)ax by a b +=>>与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段ABb a 的值为( )【答案】A【解析】把y ＝1﹣x 代入椭圆ax 2+by 2＝1得ax 2+b （1﹣x ）2＝1， 整理得（a +b ）x 2﹣2bx +b ﹣1＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 22b a b =+，y 1+y 2＝22ba b-+， ∴线段AB 的中点坐标为（b a b +，aa b+）， ∴过原点与线段AB 中点的直线的斜率k 2aa ab b b a b+===+．∴b a =．故选：A ． 6．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆(22212x y a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为－2的直线与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则a 的值是______. 【答案】2【解析】椭圆(22212x y a a +=>，所以焦点在x 轴上11 / 11 因为过左焦点1F 作的直线斜率为－2， P 是AB 的中点，设00(,)P x y ，1122(,),(,)A x y B x y将A 、B 坐标代入椭圆方程，可得22112222221212x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减，化简得 ()()1212212122x x y y a y y x x +--=+-，即0202x k a y -= 进一步化简得0202y k a x -=⨯，代入22124a -=-⨯解得a=2。

2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数． 思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？ 提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.。

高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e cae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a yba b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x ac=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a yb a b P x y 222102+=>>()() 左焦半径∴·左左r x a cc ar e x c a a c ae x 02020+==+=+ 右焦半径右右r acx ca r a e x 200-=⇒=-3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕO x O A 参数。

那么∴xO N O A yN M O B xa yb ======⎧⎨⎩||c o s ||s i n c o s s i n ()ϕϕϕϕ1 这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay b x a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s s i n ϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用【学习目标】1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔ ；点P 在椭圆内部⇔ ；点P 在椭圆外部⇔ 2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．(1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 29＝1的内部．( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． ( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2＋y 22＝1相交．( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦．( )(5)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( ) (6)直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交． ( )【经典例题】题型一 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________． [跟踪训练]1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m ＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．题型二 直线与椭圆的位置关系代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[跟踪训练]2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．题型三 弦长和中点弦问题1.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ⇔x 22a 2＋y22b 2＝1，⇔由⇔－⇔，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.2．求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫或|P 1P 2|＝1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．例3 已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．[跟踪训练]3 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．题型四 与椭圆有关的综合问题例5 椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2,0)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得⇔PQM ＋⇔PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【当堂达标】1．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43 2．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．±23．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172 4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝05．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．136．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．7．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．【参考答案】【自主学习】x 20a 2＋y 20b 2＝1 x 20a 2＋y 20b 2<1 x 20a 2＋y 20b 2>1. 两 Δ>0 一 Δ＝0 无 Δ<0 【小试牛刀】(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√ 【经典例题】例1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－332⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫332，＋∞解析 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332. [跟踪训练]1 9 解析 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋nm ≥5＋24m n ·nm ＝9，当且仅当n ＝2m 时等号成立，故m ＋n 的最小值为9.例2 [解] 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx＋2m 2－4＝0 ⇔.方程⇔的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程⇔有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程⇔有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程⇔没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．[跟踪训练]2 解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.例3 解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，⇔c ＝a 2－b 2＝3， ⇔F (3，0)，⇔直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x 2－83x ＋8＝0，⇔x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，⇔|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·832－4×5×85＝85.例4 解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根，于是x 1＋x 2＝82k 2－k4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，⇔x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.⇔M (2,1)为线段AB 的中点，⇔x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ⇔y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B (4－x,2－y )． ⇔A ，B 两点都在椭圆上，⇔⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝16， ⇔4－x 2＋42－y 2＝16. ⇔ ⇔－⇔，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.[跟踪训练]3 [解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝82k 2－k 4k 2＋1.又M 为AB 的中点，⇔x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．又M (2,1)为AB 的中点，⇔x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ⇔y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，⇔x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0， ⇔|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5. 例5 [解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝c a ＝22，得c ＝ 2. 由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2.⇔所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)若存在点Q (m,0)，使得⇔PQM ＋⇔PQN ＝180°，则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2.等价于k 1＋k 2＝0. 依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜16.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，令k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0，化简得，8m －12k 2＋1＝0，所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1,0)，使得⇔PQM ＋⇔PQN ＝180°. 【当堂达标】1.B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2. B 解析 因为椭圆x 2＋y210＝1的焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.3. C 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43，故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－23.纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.4. A 解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎨⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.5.A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ⇔圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，⇔b a ＝13，⇔e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.6.35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.⇔弦长|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝54[x1＋x22－4x1x2]＝544＋24＝35.]7.解过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.⇔x1＋x2＝3，x1x2＝－8.⇔|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1625·9＋32＝415.8. [解](1)将(0,4)代入C的方程，得16b2＝1，⇔b＝4.由e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，⇔a＝5，⇔椭圆C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0，则x1＋x2＝3，∴x1＋x22＝32，y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65，即中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，－65.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。