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混合Copula的参数估计方法研究作者：王凤墀来源：《科学与信息化》2017年第25期摘要当今金融活动越来越多，其中的风险不可避免，如何降低、规避风险成为人们关心的问题.在投资组合和相关性度量中，混合Copula的应用有显著优势，而参数估计是其中非常关键的一步，选择合适的参数估计法，能够提高估计的精确度，从而提高模型的准确性.因此对混合Copula参数估计的研究学习显得至关重要. 本文对基本模型进行了描述，介绍了几种参数估计方法，并着重介绍了混合Copula的参数估计方法。
关键词混合Copula；极大似然估计法；EM算法前言Copula函数是一种连接函数，运用Copula技术来分析随机变量间的相关性有很多优点：与线性相关系数相比，由Copula函数导出的一致性和相关性测度可以捕捉变量间非线性相关关系，因此应用范围更广、实用性更强；与基于联合分布函数的建模方法相比，Copula模型更为灵活，混合Copula是将多个不同类型的Copula函数线性结合起来，包含了各个组成的特点，可以更精确地刻画不同结构模型的相依关系. 而其参数估计方法的选择以及计算是非常关键的一步，选择合理的估计方法则可以提高模型的精准度，使模型结果更贴合真实值，是模型具有更好地实际意义。
1 理论介绍Copula函数最早由Sklar提出，是一种连接函数，Copula是连接多元分布函数与其一维边缘分布函数的一个函数，或者是一维边缘为区间I（0，1）上均匀分布的多元分布函数，用来描述变量间的相依结构。
Nelsen在An Introduction to Copulas 中给出了N元Copula函数的严格定义[1-2]：定义1.1 N元Copula函数是指具有以下性质的函数C：即函数C的定义域为；C对它的每一个变量都是单调递增；C的边缘分布满足.其中，。
Copula函数类型比较多，常用的主要有两类[3]：一类是椭圆Copula函数族，例如多元正态Copula函数（又称Gaussian Copula）和多元t-Copula函数是常用的椭圆Copula函数族；另一类为阿基米德Copula函数族，常见的有Gumbel Copula函数、Clayton Copula函数、Frank Copula函数、GS Copula函数等。
2021年5月电工技术学报Vol.36 No. 10 第36卷第10期TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY May 2021DOI: 10.19595/ki.1000-6753.tces.200278风电机组健康状态预测中异常数据在线清洗马然1,2栗文义1,2齐咏生2（1. 内蒙古工业大学能源与动力工程学院呼和浩特 0100502. 内蒙古工业大学电力学院呼和浩特 010080）摘要风电机组数据采集与监视控制系统（SCADA）运行数据中含有大量异常数据，对风电机组健康状态预测影响严重，为此针对实测风速-功率、转速-功率数据，提出一种异常数据在线清洗方法。
由于机组性能退化过程中数据特征趋于复杂，基于经验Copula-互信息（ECMI）选择关键特征参量作为数据清洗对象，并基于Copula建立置信等效功率区间描述其非线性与不确定性。
针对置信边界外的堆积点和离群点，结合其时序特征与密度分布建立Copula数据清洗模型（Copula-TFDD），依次进行在线清洗。
最后，基于实际数据与人工模拟数据分析模型的精度、运算效率以及对机组健康状态预测的影响表明，Copula-TFDD能准确并实时地识别各类异常数据，有效提升风电机组健康状态预测的性能。
关键词：风电机组健康状态预测数据清洗特征参量互信息 Copula理论中图分类号：TK83Online Cleaning of Abnormal Data for the Prediction ofWind Turbine Health ConditionMa Ran1,2Li Wenyi1,2 Qi Yongsheng2（1. College of Energy and Power Engineering Inner Mongolia University of TechnologyHohhot 010050 China2. College of Electrical Engineering Inner Mongolia University of TechnologyHohhot 010080 China）Abstract Wind turbine (WT) supervisory control and data acquisition (SCADA) data contains a large number of abnormal data, which has a serious impact on the prediction of WT health condition.Therefore, an online cleaning method for abnormal data is proposed according to the measured wind-power and rotate speed-power data. Due to the complexity of data features in the process of WTperformance degradation, key characteristic parameters are selected as data cleaning objects based onempirical Copula-based mutual information (ECMI), and the nonlinearity and uncertainty are describedby establishing confidence equivalent power interval calculated with Copula. Accordingly, the Copula-based data cleaning model combining the time-series features and density distribution (Copula-TFDD) of abnormal points is established, and online cleaning for the stacking points and outliers outside the confidence boundary is performed in turn. Finally, through the actual data and thesimulation data, the accuracy and efficiency of Copula-TFDD are analyzed, and the influence on theprediction of WT health condition is also analyzed. The results show that Copula-TFDD can accuratelyand real-time identify various abnormal data, effectively improving the prediction performance of WT国家自然科学基金项目（61763037）、内蒙古自治区高等学校科学研究项目（NJZY21305）和内蒙古自治区科技计划项目（2019，2020GG028）资助。
Copula函数的非参数估计方法作者：柳明珠周天涛来源：《价值工程》2015年第25期摘要：非参数方法是概率统计学的一个分支。
核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应。
我们证明了所给出的非参数条件核密度估计h■■（m，n）的一致强相合性。
Abstract： The non-parametric methodis a branch of probability statistics. Kernel density estimation will appear the boundary effect when estimating border region. This article proved the strong consistency of the given non-parametric condition kernel density estimation h■■（m，n）.关键词：非参数估计；Copula函数密度；条件核密度估计Key words： non-parametric estimation；Copula function density；conditions kernel density estimation中图分类号：F830 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）25-0214-020 引言本文根据核密度估计方法不利于和有关数据分布的先验知识，因此将一些数据分布不增设其他的假设，那就是一些从基本数据样本本身出面来研究数据分布估算特征的办法，经过对核密度估计变化系数进行加权处理，就应该建立不同的风险投资价值的假设模型。
参数估计一般应该分成参数回归分析法和参数判别分析法。
为了解释此个问题的现有的方法含有参数估计法和非参数估计法，对参数回归一系列的分析中。
1 首先来了解非参数估计非参数方法是概率统计学的一个分支，通常在一个统计课题中，如果确定或者假定了全体分布的清晰形式，并且其中含有一系列参数，要从来自全体的样本对这些参数做出的一系列估算或进行某种形式的假定检测，这种推理的方法称为非参数方法。
Clayton Copula函数1. 引言在统计学和金融学中，Copula函数是一种用于研究随机变量之间关联性的工具。
它描述了多变量的联合分布函数，能够从边缘分布中独立地描述变量之间的关系。
Copula函数被广泛应用于风险管理和金融衍生品定价领域。
Clayton Copula函数是Copula函数中的一种特定形式，它在建模极端事件相关性方面具有重要的应用。
Clayton Copula函数以Swiss economist Micolas Clayton （1911-1993）的名字命名，它通过一个参数α来表示相关性的程度。
在本文中，将详细解释Clayton Copula函数的定义、用途和工作方式，以及相关的性质和参数估计方法等。
2. Clayton Copula函数的定义和表示Clayton Copula函数是一种二元Copula函数，用于描述两个随机变量之间的依赖关系。
它的定义是：其中，C(u,v)表示Clayton Copula函数的值，u和v分别是两个随机变量的累积分布函数的值，θ是Clayton Copula函数的参数，通常取值范围在(0,∞)之间。
将上述定义可视化为二维图形，Clayton Copula函数的图形如下所示：从图中可以看出，Clayton Copula函数的形状呈现一个抛物线状，和角度θ有关。
当θ较小时，函数的斜率较大，表示变量之间的相关性较强；当θ接近∞时，函数逼近一个完全独立的Copula函数。
3. Clayton Copula函数的用途Clayton Copula函数在金融学和风险管理领域有广泛的应用。
主要用途包括：3.1 构建多变量分布Clayton Copula函数允许将多个边缘分布函数组合起来，从而构建多变量的联合分布。
这对于风险管理和金融衍生品定价等领域非常重要。
通过利用Copula函数，我们可以更准确地估计和模拟多变量分布，从而更好地理解和管理风险。
3.2 建模极端事件Clayton Copula函数在建模极端事件相关性方面具有重要的应用。
⾮参数估计——核密度估计（Parzen 窗） 核密度估计，或Parzen 窗，是⾮参数估计概率密度的⼀种。
⽐如机器学习中还有K 近邻法也是⾮参估计的⼀种，不过K 近邻通常是⽤来判别样本类别的，就是把样本空间每个点划分为与其最接近的K 个训练抽样中，占⽐最⾼的类别。
直⽅图 ⾸先从直⽅图切⼊。
对于随机变量X 的⼀组抽样，即使X 的值是连续的，我们也可以划分出若⼲宽度相同的区间，统计这组样本在各个区间的频率，并画出直⽅图。
下图是均值为0，⽅差为2.5的正态分布。
从分布中分别抽样了100000和10000个样本： 这⾥的直⽅图离散地取了21个相互⽆交集的区间：[x −0.5,x +0.5),x =−10,−9,...,10，单边间隔h =0.5。
h >0在核函数估计中通常称作带宽，或窗⼝。
每个长条的⾯积就是样本在这个区间内的频率。
如果⽤频率当做概率，则⾯积除以区间宽度后的⾼，就是拟合出的在这个区间内的平均概率密度。
因为这⾥取的区间宽度是1，所以⾼与⾯积在数值上相同，使得长条的顶端正好与密度函数曲线相契合。
如果将区间中的x 取成任意值，就可以拟合出实数域内的概率密度（其中N x 为样本x i ∈[x −h ,x +h ),i =1,...,N 的样本数）：ˆf (x )=N xN ⋅12h 这就已经是核函数估计的⼀种了。
显然，抽样越多，这个平均概率密度能拟合得越好，正如蓝条中上⽅⼏乎都与曲线契合，⽽橙⾊则稂莠不齐。
另外，如果抽样数N →∞，对h 取极限h →0，拟合出的概率密度应该会更接近真实概率密度。
但是，由于抽样的数量总是有限的，⽆限⼩的h 将导致只有在抽样点处，才有频率1/N ，⽽其它地⽅频率全为0，所以h 不能⽆限⼩。
相反，h 太⼤的话⼜不能有效地将抽样量⽤起来。
所以这两者之间应该有⼀个最优的h ，能充分利⽤抽样来拟合概率密度曲线。
容易推理出，h 应该和抽样量N 有关，⽽且应该与N 成反⽐。
分布估计算法论文：Copula分布估计算法中Copula函数的研究【中文摘要】分布估计算法的核心是建立概率模型,随着待解问题的复杂化,概率模型的学习和采样占用了大部分的时间和空间开销,强化和改进分布估计算法是该领域的难点和热点问题。
Copula分布估计算法把Copula理论应用到分布估计算法中。
Copula理论为求取联合分布提供了一条新的途径,由Copula理论知,一个联合分布可以分解成n个边缘分布和一个连接函数(Copula函数),其中边缘分布反映单变量的信息,Copula函数反映各变量之间的相关结构。
边缘分布的估计要比联合分布简单,且Copula是比较容易采样的。
本文主要研究在以Clayton Copula为连接函数,以经验分布为边缘分布的条件下,Clayton Copula分布估计算法中的参数选择。
当边缘分布和连接函数都确定以后,Copula参数直接影响Copula分布估计算法的性能,因为Copula函数的参数不同,所对应的变量之间的相关程度不同。
本文首先对Clayton Copula的参数取了一些固定值,实验结果表明该方法可行。
参数取固定值意味着每次建立的概率模型都是一样的,为了更准确地描述优势群体的概率模型,又研究了在进化过程中动态调整Clayton Copu...【英文摘要】To estimate the probability distribution model is the key of Estimation of Distribution Algorithm (EDA), with the complexity of the problem to be solved, it will cost moretime to estimate the probability distribution model and to sample from it, improving EDA is the difficult and hot issuesof the field.Copula theory is used in Estimation ofDistribution Algorithm based on Copula (cEDA). Copula theory provides a new way to estimate joint probability distribution,it enable us to separate joint probabil...【关键词】分布估计算法 Copula分布估计算法 Clayton Copula经验分布极大似然估计非参数估计【英文关键词】EDA cEDA Clayton Copula empiricaldistribution MLE non-parametric method【索购全文】联系Q1：138113721 Q2：139938848 同时提供论文写作一对一辅导和论文发表服务.保过包发【目录】Copula分布估计算法中Copula函数的研究中文摘要3-4ABSTRACT4第一章绪论7-13 1.1 论文的研究背景7-11 1.1.1 分布估计算法简介7-8 1.1.2分布估计算法的发展现状8-11 1.2 本文主要完成的工作11-13第二章基于Clayton Copula 的分布估计算法13-27 2.1 Copula 理论介绍13-16 2.1.1 Copula 函数的定义13 2.1.2 Sklar 定理13-15 2.1.3 Copula 函数的分类15-16 2.2 Copula 分布估计算法概述16-18 2.2.1 算法思想17-18 2.2.2 算法流程18 2.3 Clayton Copula 分布估计算法18-21 2.3.1Clayton Copula 函数18-19 2.3.2 Clayton Copula 函数采样19 2.3.3 经验分布函数19-21 2.4 仿真实验21-24 2.4.1 测试函数21-22 2.4.2 参数设置22 2.4.3 仿真结果22-24 2.5 本章小结24-27第三章 Clayton copula 参数的极大似然估计27-41 3.1 极大似然估计法介绍27-28 3.1.1 极大似然估计法定义27-28 3.1.2 极大似然估计的性质28 3.2 Clayton copula 参数的极大似然估计28-30 3.3 仿真实验30-40 3.3.1 测试函数30 3.3.2 参数设置30 3.3.3 仿真结果30-40 3.4 本章小结40-41第四章 Clayton copula 的非参数估计方法41-55 4.1 Kendall 秩相关系数τ41 4.2 Clayton copula 的非参数估计方法41-43 4.3 仿真实验43-53 4.3.1 测试函数43 4.3.2 参数设置43 4.3.3 仿真结果43-53 4.4 本章小结53-55第五章总结与展望55-57 5.1 论文总结55 5.2 展望55-57参考文献57-61致谢61-63研究生期间发表的论文目录63-64。
Copula 函数的非参数估计方法什么是 Copula 函数Copula 函数是指统计学中用于描述随机变量之间依赖关系的函数。
它可以将多个随机变量的边缘分布和之间的相关关系分离开来，从而使得分析更为简单。
常见的 Copula 函数有高斯 Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula 等。
Copula 的使用场景Copula 函数在金融领域中被广泛使用，比如：1.风险管理：使用 Copula 函数来计算多个风险因素之间的相关性，从而更好地估计风险；2.投资组合优化：使用 Copula 函数来评估不同资产之间的相关性，从而寻找最优的投资组合；3.金融衍生品定价：使用 Copula 函数来模拟多个随机变量之间的联动性，进而估计金融衍生品的价格。
Copula 函数的非参数估计在实际应用中，我们需要对 Copula 函数进行估计。
常见的估计方法有参数估计和非参数估计。
其中，参数估计法假设 Copula 函数的形式，比较常见的假设有高斯 Copula 和Archimedean Copula 等。
我们通过最大似然估计法等方法来估计 Copula 函数中的参数。
非参数估计法则不需要假设 Copula 函数的具体形式，而是通过类似核密度估计的方法来估计 Copula 函数。
具体来说，我们以二元 Copula 为例进行说明。
假设我们有两个随机变量X和Y，它们都服从[0,1]上的均匀分布。
我们想要估计它们之间的 Copula 函数。
这时候，我们可以将X和Y的观测值(x1,y1),(x2,y2),...,(x n,y n)看成是对Copula 函数的一组样本观测。
我们定义u i和v i分别为x i和y i在X和Y上的经验分布函数值。
即，$$ u_i = \\frac{1}{n} \\sum_{j=1}^n I(x_j \\leq x_i) , v_i = \\frac{1}{n}\\sum_{j=1}^n I(y_j \\leq y_i) $$其中，I是指示函数。
Copula函数的估计问题摘要对Copula函数的研究是统计研究问题的一个热点，Copula函数揭示了蕴含在变量间所有的相依关系，与传统的相依度量有着紧密的联系，因而在理论和实际问题中都有着重要的意义。
文章较全面总结了关于Copula函数的三类估计即参数估计，半参数估计及非参数估计的基本思路和估计方法并进行了比较。
关键词Copula；参数估计；半参数估计；非参数估计一、引言多个随机变量之间的相依关系的度量是统计的一个基本问题，很多的相依度量测度被提出，如Pearson相关系数，Dendall ，Pearman等，它们仅仅抓住了相依关系的某个方面，只有Copula函数揭示了蕴含在变量间所有的相依关系，所以Copula函数有着广阔的应用前景，如在生存问题，风险管理和资产投资等方面。
对于Copula的理论研究，主要有两个方面，一是相依性度量研究，二是多元分布族的构造。
但在实际问题中，如何由样本数据估计Copula函数尤为重要。
根据对样本分布族和Copula函数分布族的结构，对Copula函数的估计，可以分为三种情况：参数估计，半参数估计，非参数估计。
本文总结了这三类估计的基本思路和估计方法及各种方法的比较。
Copula函数的估计最基本的依据就是Sklar定理：设X=（X■，X■，……，X■）■是随机向量，F是X的分布函数，Fk（x1，x2，……xd）是X的边际分布函数，则存在上[0，1]d的多元分布函数C满足F（x■，x■，……，x■）=C（F■（x■），F■（x■）……，F■■（x■）），函数C就称X的Copula函数，它联接了X的边际分布和联合分布函数。
进一步，如果函数C偏倒数存在，则称c（？滋■，？滋■，……，？滋■）=■为Copula密度函数。
且如果X的密度函数及边际密度函数分别为F（x■，x■，……，x■）及fk（xk）（k=1，2，……d），则有F （x■，x■，……，x■）=c（？滋■，？滋■，……，？滋■）■f■（x■）由此，可以看到Copula密度函数完全包含了除了边际密度和联合密度之外所有变量相关关系的信息.而且也可以分析出基本的推断方法。
