五年级奥数春季实验班第7讲 数论综合之高难度因数与倍数问题

五年级奥数倍数问题讲座及练习答案五年级奥数集训专题讲座（三）——倍数问题倍数问题在整个小学阶段中非常重要。

我们主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究倍数问题。

为了解决倍数问题，我们需要理解以下数量关系式：①和÷（倍数＋1）=小数，小数×倍数=大数（和—小数=大数）②差÷（倍数—1）=小数，小数×倍数=大数（小数＋差=大数）③（和－差）÷2=小数，小数＋差=大数（和—小数=大数）④（和+差）÷2=大数，大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：我们将乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是2份。

假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍。

因此，我们可以使用和倍问题来解答这个问题。

乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米），甲队：400×2=800（米），丙队：400－160=240（米）。

答案：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。

巩固练】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解析：因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，我们可以将乙队植树的棵数看作“1”份。

乙队比___少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵。

因此，三个队植树的总棵数是乙队的4倍多300棵。

如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍。

因此，乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵），甲队植树棵数=400×2=800（棵），丙队植树棵数=400+300=700（棵）。

答案：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。

例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。

五年级奥数因数与倍数第十四节因数与倍数，质数与合数【知识回顾】1、倍数与因数的关系是相互依存的。

2、运用这个找因数个数的方法，可以帮助我们解决一些看似无从下手的问题，关键是先将所要找因数的这个数，进行正确的分解质因数，然后利用指数之间的关系解决问题。

3、在解决质数、合数问题时，我们必须注意一下几点。

质数：（1）最小的质数是2；（2）在质数中只有2是偶数，其余的质数都是奇数；（3）每个质数只有2个因数，即1和它本身。

合数：（1）最小的合数是4；（2）每个合数至少有3个因数，1和它本身以及他某些因数。

【典型例题】（因数与倍数）例1、216的全部因数有多少个？全部因数的和是多少？例2、有8个不同因数的自然数中，最小的一个是多少？例3、在100至200中共有几个数既不是7的倍数，又不是9的倍数？它们的和是多少？【学以致用】1、24有多少个因数？这些因数的和是多少？2、3600共有多少个因数？3、一个数是3个2,1个3,2个5,1个7的连乘积，则这个数的最大的两位的因数是几？4、将400分成两个三位数之和，其中一个是9的倍数，另一个是17的倍数，这两个数分别是多少？5、求50至70之间只有4个不同因数的最大自然数。

6,、求2至1000中只有15个因数的最大自然数。

7、一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1,1,2,3,5,8,13,21，……，在这串数前2000个数中，共有多少个6的倍数？【典型例题】（质数与合数）例4、用1,2,3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？例5、判断269,437这两个数是合数还是质数？例6、将50写成10个质数相加的和的形式。

如果要使其中最大的质数尽可能大，这个最大的质数是多少？【学以致用】1、刘叔叔家的电话号码可以写成ABCCDB的形式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，已知这6个数字之和是14，B 是任何自然数的因数，C不是任何自然的因数，A是质数，D是合数，你知道他家的电话号码是多少吗？2、有这样一个质数，它分别加上10和14后仍然为质数，你会求这个质数吗？3、50以内，由1——7组成的两位数的质数共有多少个？4、110可以用两个质数的和来表示，这两个质数的差（大数减小数）的最小值是几？5、有两个合数A和B，它们的和是质数。

课前预习因数与倍数一天，因数和倍数走到了一起。

倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？”“我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。

“我是老大呀。

”“你是老大？为什么”“你说，一个数的倍数有多少个呀？”“这我知道，一个数的倍数有无数个。

”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。

而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。

你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。

再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗? 因数理直气壮地回答。

只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。

刚才是我不对，我向你道歉了。

”“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。

在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。

没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。

因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。

一、约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外1 •求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231 =3 7 11, 252 =22 32 7，所以（231,252）=3 7 =21 ;218 12②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘•例如：39 6，所以（12,18）=2 3=6 ;3 2③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数•用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数. （如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的）•例如，求600 和1515 的最大公约数：1515亠600 = 2||）315; 600" 315 = 1| "285; 315一：一285 = 1| 1130 ; 285-：-30 =9|||15; 30-：15 =2|||0 ;所以1515 和600 的最大公约数是15.2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n.3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b ；b即为所求.a二、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：231 =3 7 11 , 252 二223 7 ,所以l231,252】 = 22 32 7 11 = 2772 ；②短除法求最小公倍数；218 12例如：39 6 ，所以18,121-2 3 3 2 =36;3 2③[a,b] =◎-.（a,b）2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ；-ba 即为所求•例如：[。

数论-因数和倍数-因数的个数定理-4星题课程目标知识提要因数的个数定理•因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。

•因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数．精选例题因数的个数定理1. A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A,B]＝1728，那么B=．【答案】108【分析】1728=26×33，所以A、B质因数只能有2和3，又由于A有7个因数，而7是一个质数，所以A分解质因数的形式只能有A=26，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，得k=2所以B=22×33=108．2. 整除2015的数称为2015的因数，1和2015显然整除2015，称为2015的平凡因数，除了平凡因数，2015还有一些非平凡因数，那么，2015的所有非平凡因数之和为．【答案】672【分析】〔解法一〕2015=5×13×312015所有的约数和为(50+51)×(130+131)×(310+311)=6×14×32=26882015的所有非平凡因数之和为2688−1−2015=672〔解法二〕由于该数比拟小，可以直接写出2015的所有约数2015=1×2015=5×403=13×155=31×652015的所有非平凡因数之和为5+403+13+155+31+65=6723. 有一列数，第1个是1，从第2个数起，每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这些数相乘，那么在计算结果的末尾中有个连续的零．【答案】9【分析】这一列数为1，4，7，⋯，100，要求他们相乘的积中0的个数，找到因数2和5的个数即可，又因为因数2的个数远多于5的个数，所以找到5的个数即为积中末尾0的个数，5的倍数有10，25，40，55，70，85，100共9个5，所以有9个0．4. 60的不同约数〔1除外〕的个数是．【答案】11【分析】60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10.60的约数〔1除外〕有：2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共11个．5. 数学小组原方案将72个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6人参加小组，这样每个学生比原方案少发了1个苹果．那么，原来有名学生．【答案】18【分析】前后两次每人分到的苹果数量相差1，且都是72的因数，72的相差1的因数对有(1,2)、(2,3)、(3,4)和(8,9)，经试因数对(3,4)符合要求：前后人数分别为72÷4=18(人)和72÷3=24(人).6. 自然数甲有10个约数，那么甲的10倍的约数个数可能是．【答案】40、22、18、30或24【分析】详解：甲含有约数2、5的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，得约数个数有五种可能：40、22、18、30和24．例如：29、24×5、24×7、2×74、79的10倍分别有22、18、24、30、40个约数．7. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且老实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．〞B说：“我的数是一个完全平方数．〞C说：“我的数第二小，恰有6个因数．〞D说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC三人手中的其中两个数是多少了．〞E说：“我的数是某人的数的3倍．〞那么这五个两位数之和是．【答案】180【分析】A的话可知，A的十位是1，又因为是质数，所以A有可能是13，17，19；C能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32；B是完全平方数，但不能含有1和2，所以B有可能是36，49，64；D能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A，且推得A为19，那么E为57最后根据D能知道ABC三人手中两个数，试验可知，BCD手中数分别为36，28，40综上所述，五个两位数之和是1808. 能被210整除且恰有210个约数的数有个．【答案】24个【分析】210=2×3×5×7，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是1，2，4，6，可以任意排列，所以有4!=24个9. 所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个因数？【答案】6【分析】设70的N倍恰有70个因数．70=2×5×7，有：(1+1)×(1+1)×(1+1)=23= 8，因为8不整除70，所以N内可能有2、5、7．假设有4个不同质因数，但70只能表示为2×5×7，所以N内必含2、5、7中几个，即70N=2a+1×5b+1×7c+1，(a+1+1)×(b+1+1)×(c+1+1)=70，a,b,c分别是0，3，5中一个．N为23×53，23×73，25×23，25×73，53×75，55×73，一共6组．10. [A]表示自然数A的约数的个数．例如4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：([18]+[22])÷[7]=．【答案】5【分析】因为18=2×32，有约数个为(1+1)×(2+1)=6(个),所以[18]=6，同样可知[22]=4，[7]=2．原式=(6+4)÷2=5.11. 两数乘积为2800，而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，那么这两个数分别是、．【答案】16、175【分析】先将2800分解质因数：2800=24×52×7，由于其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数．又是2800的因数，故这个数只能为22、24、52、22×52或24×52，另一个数相应地为22×52×7、52×7、24×7、22×7或7．经检验，只有两数分别为24和52×7时符合条件，所以这两个数分别是16和175．12. 算式1×8×15×22×⋯×2010的乘积末尾有个连续的0．【答案】72【分析】详解：乘数15、50、85、⋯、2010中含有因数5，都除以5得到3、10、17、⋯、402；其中10、45、⋯、395还含有因数5，都除以5，得到2、9、16、⋯、79．其中30、65里还含有因数5．我们第一次除掉了2010−1535+1=58个5，第二次除掉了395−1035+1=12个5，最后还剩下两个因数5．说明1×8×15×22×⋯×2010含有58+12+2=72个约数5，由于其中含有的约数2是足够多的，因而的0的个数就等于约数5的个数，是72个．13. 1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【答案】6个【分析】1001的倍数可以表示为1001k，由于1001=7×11×13，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么1001k至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1),其中n⩾4．如果这个数恰有1001个约数，那么(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1)=1001=7×11×13,但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以n⩾4时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么1001k只有7，11，13这3个质因数．设1001k=7a×11b×13c，那么(a+1)(b+1)(c+1)=1001,a+1、b+1、c+1分别为7，11，13，共有3!=6种选择，每种选择对应一个1001k，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．14. 四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数成双双成有个因数．【答案】12【分析】双成成双共有3＋39＝42个因数，且有3个质因数，所以它的质因数分解形式为双成成双＝a×b2×c6,而双成成双＝双00双+成成0̅＝双×1001＋成×110＝11×(双×91＋成×10)所以三个质因数中有一个是11，所以双成成双＝a×b2×c6,至少是11×32×26＝6336,稍微大一点点就是11×52×26＝17600,已经是五位数了，所以双成成双＝6336，双＝6,成＝3所以成双双成＝3663＝32×11×37,有3×2×2＝12个因数．15. 2010的全部约数有个，这些约数的和数是．【答案】16；4896【分析】详解：2010=2×3×5×67，约数有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，约数之和是(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+67)=4896．16. 自然数N有20个正约数，N的最小值为．【答案】240【分析】先将20写成几个数相乘的形式，再写成几个和的积的形式，最后利用约数个数的公式解题：①20=20×1=19+1，N的最小值为：219=524288，②20=2×10=(9+1)×(1+1)，N的最小值为：29×3=1536，③20=4×5=(4+1)×(3+1)，N的最小值为：24×33=432，④20=2×2×5=(4+1)×(1+1)×(1+1)，N的最小值为：24×31×51=240．17. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．18. S=19+199+1999+⋯+199⋯9⏟10000个9那么S的小数点后第2016位是．【答案】6【分析】首先，1 99⋯9⏟n个9=0.0⋅0⋯0⏟n−1个01⋅即小数点后第n，2n，3n，…位都是1，其它为都是0所以当n是2016的因数时，199⋯9⏟n个9化成小数后，小数点后第2016位是1，其余情况小数点后第2016位是0.2016=25×32×7,有36个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有36个1相加，这一位的数字是6，下面考虑进位，因为2017是质数，所以2017位上只有2个1相加，单独不构成进位，而2018=1009×2，有4个因数，本身也缺乏以向第2018位进位，显然2019位即以后都缺乏以进位到2016为，所以第2016位是6【解】19. 自然数N有45个正约数，N的最小值为．【答案】3600【分析】正约数个数的求法：分解质因数后，每个指数加1的连乘积45=3×3×5，容易知道，指数比拟小，原数比拟小．质因子比拟小，原数比拟小，因此原数最小是24×32×52=3600．20. 一个自然数有10个不同的因数〔即约数，指能够整除它的自然数〕，但质因数〔即为质数的因数〕只有2与3．那么，这个自然数是．【答案】162或48【分析】设这个数为2a×3b〔a、b均为正整数〕，由题意可知(a+1)×(b+1)=10=2×5所以a=1,b=4或a=4,b=1所以这个自然数是21×34=162或24×31=4821. 从2016的因数中选出不同的假设干个数写成一圈，要求相邻位置的两个因数互质，那么最多可以写出个因数．【答案】12【分析】2016=25×32×7,所以2016的奇因数有(2++1)×(1+1)=6个2016的偶因数有5×(2++1)×(1+1)=30个.假设排列最多的可能一定是“奇偶奇偶……〞，所以最多一圈有12个；假设有13〔或以上〕个因数，那么必有两偶数相邻，构造12个数的情况：1,2,3,14,9,4,7,8,21,16,63,32圈成一圈．22. 恰好有12个不同因数的最小的自然数为．【答案】60【分析】12=12×1=6×2=4×3=3×2×2所以，有12个因数的数对应的质因数分解形式分别是：A11，A5×B，A3×B2，A2×B×C，这四种形式下的最小自然数分别是：2048，96，72，60，所以符合要求的数是60．23. 能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为．【答案】27720【分析】1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11，因此这个自然数最少包含质因数2、3、5、7、11．1=11，2=21，3=31，4=22，5=51，6=2×3，7=71，8=23，9=32，10=2×5，11=111，所以这个自然数最小为23×32×51×71×111=27720，那么符合条件的A最小是．24. 一个正整数除以3!后所得结果中因数个数变为原来因数个数的13【答案】12【分析】设A=2x×3y×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,那么B=A÷3!=2x−1×3y−1×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,那么(x+1)(y+1)(a1+1)(a2+1)⋯⋯(a n+1)=3[xy(a1+1)(a2+1)(a n+1)],即(x+1)(y+1)=3xyxy都取1不满足此式，所以取x=2，y=1，a1=a2=⋯=a n=0得到最小值1225. A和B是两个非零自然数，A是B的24倍，A的因数个数是B的4倍，那么A与B的和最小是．【答案】100【分析】{B=2A=48=24×3B的因数个数为2，A的因数个数为5×2=10不符合要求；{B=3A=72=23×32B的因数个数为2，A的因数个数为4×3=12不符合要求；{B=4=22A=96=25×3B的因数个数为3，A的因数个数为6×2=12,符合要求；可见A+B的最小值为4+96=10026. 在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？【答案】7个【分析】由于9=1×9=3×3，根据因数个数公式，可知9个因数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中符合条件有22×52=100、22×72=196、22×112=484、22×132=676、32×52=225、32×72=441，所以符合条件的有7个．27. 3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？【答案】45；30；27；21【分析】详解：3600=24×32×52，有(4+1)×(2+1)×(2+1)=45个约数．3600=3×(24×3×52)，有(4+1)×(1+1)×(2+1)=30个约数是3的倍数．3600=24×32×52=4×(22×32×52)，有(2+1)×(2+1)×(2+1)=27个．28. 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？【答案】16个【分析】6=1×6=2×3，故6只能表示为(5+1)或(1+1)×(2+1)，所以恰好有6个因数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：22×322×522×722×1122×1322×1722×1922×23⋯⋯8个32×232×532×732×11⋯⋯4个52×252×3⋯⋯2个72×2⋯⋯1个所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个．29. 如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【答案】60和135．【分析】设整数n除掉因数1和n外，最小因数为a，可得最大因数为15a，那么n=a×15a=15a2=3×5×a2．那么3、5、a都为n的因数．因为a是n的除掉因数1外的最小因数，那么a⩽3．当a=2时，n=15×22=60；当a=3时，n=15×32=135．所以满足条件的整数n有60和135．30. 在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？【答案】31【分析】详解：平方数有奇数个约数．1000以内的平方数有12，22，32，⋯，312，因此有31个数有奇数个约数．31. 以下各数分别有多少个约数？18、47、243、196、450【答案】6；2；6；9；18【分析】简答：分解质因数后，指数加1连乘即可．32. 240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？【答案】20个；4个；10个【分析】简答：240=24×3×5，有(4+1)×(1+1)×(1+1)=20个约数．奇约数即不含有因子2，有(1+1)×(1+1)=4个奇约数，有(4+1)×(1+1)=10个约数是3的倍数．33. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2011倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】16088【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2011×n，因为2011是质数，那么n的最小值的约数个数大概率为偶数，经试验当n=8时，那么x=2011×23⇒n=2×4=8成立因此x=2011×8=16088．34. 16200有多少个因数？因数中有多少个奇因数？有多少个偶因数？因数中有多少个是3的倍数？有多少个是6的倍数？有多少个不是5的倍数？【答案】60；15；45；48；36；20【分析】把16200分解质因数：16200=23×34×52，根据因数个数定理，16200的因数个数为：(3+1)×(4+1)×(2+1)=60个；奇因数：(4+1)×(2+1)=15个；偶因数：60−15=45个；因数中3的倍数：3×1×4×(2+1)=48(个)；因数中6的倍数，也就是2，3都得选；3×4×(2+1)=36(个)；不是5的倍数，(3+1)×(4+1)=20(个)．35. 79、128、180分别有多少个约数？【答案】2；8；18【分析】简答：提示，牢记计算约数个数的公式．并能准确分解质因数．36. 数270的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？【答案】16个，8个【分析】270=33×2×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数为(3+1)×(1+1)=8(个)．37.数360的约数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？【答案】24个，18个【分析】360=23×32×5，因数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)，奇因数个数为(2+1)×(1+1)=6(个)，偶因数有24−6=18(个)．38. 有一个自然数，它的个位是零，并且它有8个因数，这个数最小可能是多少？【答案】30【分析】因数个数定理：8=1×8=2×4=2×2×2，分解质因数后：a7、ab3、abc，因为这个自然数的个位是零，因此必有质因数2和5，因此可能是23×51或21×31×51，比拟可知最小的数是21×31×51=30．39. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2012倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】40220【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2012×n=22×503×n，其约数个数总大于(2+1)×(1+1)=6个，经试验当n=20时，那么x=24×5×503⇒n=5×2×2= 20成立因此x=2011×20=40220．40. 数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你们知道这个数可能是多少吗？【答案】64或36【分析】假设约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多．假设约数个数为3个，可以用a2来表示，也有很多．约数个数为4个的两位数也有很多．约数个数为5个的数可以表示为a4，有16和81，不唯一．约数个数为6个的两位数也不唯一．约数个数为7个的两位数表示为a6，只有26=64，是唯一的．同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36．约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在．因此这个数可能为64或36．41. 求出所有恰好含有10个因数的两位数，并求出每个数的所有因数之和．【答案】124或186【分析】10=9+1=2×5，表达式为a9或者ab4，29>100，2×34>100，只可能是24×3=48或24×5=80．48的因数之和：(20+21+22+23+24)×(30+31)=124，80的因数之和：(20+21+22+ 23+24)×(50+51)=186．42. 有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？【答案】60；5【分析】详解：有12个约数的数分解质因数后，可能是▫11、▫×▫5、▫2×▫3、▫×▫×▫2；对应的最小数分别是2048、96、72、60，那么最小的就是60，其中两位数除了60、72、96之外还有84和90，共5个．43. 1000以内恰有10个因数的数有多少个？【答案】22【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512；第二种情况为a4×b，a只能取2和3，经试验分别有17种和4种可能，综合共有22个．44. A有7个约数，B有12个约数，且A、B的最小公倍数是1728，求B．【答案】108【分析】1728=26×33，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3两个质因数，如果A为36，那么1728不是A的倍数，不符合题意，所以A=26，那么33为B的约数，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，解得k=2，所以B=22×33=108．45. 3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？【答案】32；24；24；11【分析】简答：3456=27×33，约数有8×4=32个．其中3的倍数有8×3=24个，4的倍数有6×4=24个，6的倍数有7×3=21个．那么有32−21=11个不是6的倍数．46. 一个正整数，它的2倍的约数恰好比自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个，那么这个正整数为多少？【答案】12【分析】这个数只能含2和3的因子，因为如果它还有别的因子，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．设x=2a⋅3b，它的约数有(a+1)(b+1)个，它的2倍为2a+1⋅3b，它的约数有(a+1+1)(b+1)个．(a+1+1)(b+1)−(a+1)(b+1)=b+1=2，b=1同样的，它的3倍为2a⋅3b+1，它的约数为(a+1)(b+1+1)个，比原数多3个(a+1)(b+1+1)−(a+1)(b+1)=a+1=3，a=2，所以这个数的形式是22×3=12．47. 在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？【答案】185【分析】简答：平方数有奇数个约数．小于200的平方数有12，22，⋯，32，142，共14个，因此有偶数个约数的数有185个．48. 在所有30的倍数中，共有个数恰好有30个因数？【答案】6【分析】设30的N倍恰有30个因数．因为30=2×3×5，所以N内可能有2、3、5．根据因数个数定理，(1+1)×(2+1)×(4+1)=30，所以N内必含2、3、5中几个，即30N=2a×3b×5c，(a+1)×(b+1)×(c+1)=30，a,b,c分别是1，2，4中一个．N为21×32×54，21×34×52，22×31×54，22×34×51，24×31×52，24×32×51，一共6个．49. 360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？【答案】6、78【分析】360=23×32×5，奇约数有：(2+1)×(1+1)=6(个)，奇约数的和是：(30+31+32)×(50+51)=78．50. 偶数A不是4的倍数，它的约数个数为12，求4A的约数个数．【答案】24【分析】由于A是偶数但是不是4的倍数，所以A只含1个因子2，可将A分解成A=21×B，其中B奇数，根据约数个数定理，它的约数个数为(1+1)×N=12，那么4A=8B=23×B，所以它的约数个数为(1+3)×N=24个．51. a，b均为质数且不相等，假设A=a3b2，那么a有多少个因数？假设B=9A，那么B有多少个因数？假设C有6个因数，那么C2有多少个因数？【答案】12；36个或18个或20个；11个或15个【分析】A有(3+1)×(2+1)=12个因数．B=9A=32a3b2，假设a和b都不是3，那么B有(2+1)×(3+1)×(2+1)=36个因数；假设a=3，那么B=35b2，那么B有(5+1)×(2+1)=18个因数，假设b=3，那么B=34a3，B有(4+1)×(3+1)=20个因数．综上B的因数可能有36个、18个或20个；6=2×3=1×6，那么假设C=p1×p22，C2=p12×p24，有(2+1)×(4+1)=15个因数；或C=p5，C2=p10，有11个因数．52. 11个连续的两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？【答案】220【分析】末4位都是0．这个乘积分解质因数后，至少有4个因数2和4个因数5．而连续的11个数中至少有5个偶数，所以因数2的个数足够了，因而问题在于因数5是不是够4个．由于连续的11个自然数中，最多有3个数是5的倍数，而乘积中要出现4个因数5，说明这3个数中，至少一个数含有两个因数5，这个数最小是25，所以所求的11个连续自然数的总和最小是25+24+23+⋯+15=220．53. 一个数的完全平方数有39个约数，求该数的约数个数是多少？【答案】14个或者20个．【分析】设该数为p1a1×p2a2×⋯×p n a n，那么它的平方就是p12a1×p22a2×⋯×p n2a n，因此(2a1+1)×(2a2+1)×⋯×(2a n+1)=39．由于39=1×39=3×13，⑴所以，2a1+1=3，2a2+1=13，可得a1=1，a2=6；故该数的约数个数为(1+1)×(6+1)=14个；⑵或者，2a1+1=39，可得a1=19，那么该数的约数个数为19+1=20个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．54. 一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？【答案】74【分析】最大的约数是这个自然数本身，因此它是次大约数的倍数．它们的和也应该为次大约数的倍数．111=3×37，次大约数为37时满足条件，这个自然数为74．55. 10000的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】24211；1000012×100【分析】10000=24×54，因数和：(20+21+22+23+24)×(50+51+52+53+54)=24211因数积为(1002)n×100，其中n=[(4+1)×(4+1)−1]÷2=12所以因数的积为1000012×10056. 数120的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？【答案】16个；4个【分析】120=23×3×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数为(1+1)×(1+1)=4(个)．57. 数240的因数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？【答案】20个；16个【分析】240=24×3×5，因数的个数为(4+1)×(1+1)×(1+1)=20(个)，奇因数个数为(1+1)×(1+1)=4(个)，偶因数有20−4=16(个)．58. 求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数的个数．【答案】6个【分析】30=2×3×5，所以原数肯定只含有2，3，5，这三个质因子，并且指数分别为1，2，4，可以任意排列所以有3!=6个．59. 算式(1+2+3+⋯+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？【答案】5个．【分析】1+2+3+⋯+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007．其中1舍去，有5个满足要求的自然数．60. 有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，⋯，3599，开始时头都朝东．第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，⋯，如此进行．那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【答案】东．【分析】要求编号为n的甲虫转动的次数实际上是要求n的因数的个数，先将3599分解质因数：3599=3600−1=602−12=59×61，所以3599只有(1+1)×(1+1)=4个因数，那么在1小时即3600秒内，第3599号甲虫共转动了4次，由于每次转90度，所以共转了360度，还是朝向原来的方向，所以1小时后，第3599号甲虫头朝东．61. 2008÷a=b⋯⋯6，a、b均为自然数，a有多少种不同的取值？【答案】14【分析】由2008÷a=b⋯⋯6可知：ab+6=2008，ab=2002，又因为2002=2×7×11×13，而且a>6，所以a的取值有：7、11、13、2×7、2×11、2×13、7×11、7×13、11×13、2×7×11、2×7×13、2×11×13、7×11×13、2×7×11×13，共14种不同的取值．62. 28有多少个因数？和28因数个数相同的两位数还有那些？【答案】6个；共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.【分析】28=22×7，共6个因数，枚举6个因数的两位数．6=1×6=2×3，原数为a5或b2c形式共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.63. 200以内恰有10个因数的数有多少个？【答案】5【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512>200；第二种情况为a4×b，a只能取2和3：24×3、24×5、24×7、24×11、24×13=208>200；34×2、34×5=405> 200，综上，共有5个．。

五年级奥数题及答案：约数倍数问题(高等难度)
结合目前学生的学习进度，查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理奥数题约数倍数问题(高等难度)，可以帮助到你们!一分耕耘一分收获!奥数习题万变不离其宗，相信大家平时多动脑、多练习、多积累，掌握学习方法与技巧，通过自己的努力，一定能够取得优异的成绩!
约数倍数：(高等难度)
若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为()，最小公倍数的最小值为()，最小公倍数的最大值为()
约数倍数答案：
解答：165、660、57065085
1) 由于a + b + c = 1155，而
1155=3×5×7×11。

令a=mp，b=mq，c=ms.m 为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。

此时m=165.
2) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m
尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。

3) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。

当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。

由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。

五年级奥数因数与倍数(B级)因数和倍数的关系一天，因数和倍数相遇了。

倍数傲慢地问因数：“你见到我怎么不下拜呢？”因数气愤地回答：“你算老几呀？我为什么要拜你？”倍数自信地说：“我是老大，因为一个数的因数只有几个，而一个数的倍数有无数个。

我的家庭庞大，你的家庭成员少得可怜。

你应该拜我。

”因数反驳：“是的，你的家庭庞大，但你知道自己是老几吗？我们的家庭成员虽少，但我们都知道自己的位置。

离开我们这些因数，你们这些倍数还能成立吗？”倍数想了想，承认自己说错了，因数和倍数握手言和，成为密不可分的好伙伴。

因数的概念与最大公因数因数是能够整除一个数的数，倍数是某个数的整数倍。

最大公因数是两个或多个数的公共因数中最大的一个。

求最大公因数的方法有三种：分解质因数法、短除法和辗转相除法。

分解质因数法先将数分解质因数，然后将相同的因数连乘；短除法找出所有共有的因数，然后相乘；辗转相除法每次用除数和余数相除，直到余数为止，最后一个除数就是最大公因数。

最大公因数有以下性质：1）两个数的最大公因数等于它们的公因数中最大的一个；2）最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积；3）若两个数互质，则它们的最大公因数为1.因数和倍数是密不可分的好伙伴，它们共同存在于自然数中。

没有因数，就没有倍数；没有倍数，就没有因数。

因数和倍数应该紧密团结在一起，共同发挥作用。

性质（3）指的是“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

虽然不是常见考点，但对于理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系有帮助。

求一个整数的因数个数，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数的指数加1后相乘。

例如，对于整数1400，它的因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个，包括1和1400本身。

这个公式的推导过程建立在数字“唯一分解定理”的基础上，结合乘法原理推导而来，需要掌握。

求一个整数的所有因数的和，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些和相乘。

第7讲约数与倍数【例1】导引拓展篇第1题72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？72 1 2 3 4 6 8 72 36 24 18 12 9 2332⨯=0032⨯=0132⨯=1032⨯=2332⨯=2232⨯=1332⨯=2132⨯=1232⨯=2032⨯=0232⨯=1132⨯=0332⨯=个）（）共有（121213=+⨯+个）的倍数（82133=⨯+约数个数：指数加1连乘【例2】导引拓展篇第2题5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式。

332 5400235=⨯⨯所以共有()()() 31312148 +⨯+⨯+=个约数23353254001⨯⨯=⨯23353227002⨯⨯=⨯......共48÷2=24对，乘积为()24233245325400⨯⨯=487272242243243532532⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯【例3】导引拓展篇第3题有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数，而乙数是两位数，则乙数是多少？23218⨯=甲数中含1个因数3 最小公倍数：不同取最大最小公倍数中含有4个3 乙中含有4个3，最小为81乙数为81【例4】导引拓展篇第4题两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1．那么这两个数分别是多少？422800257=⨯⨯42257⨯和 约数个数分别为5和 ，此时成立．()()21116+⨯+=这两个数是 、 4216=257175⨯=【例5】导引拓展篇第5题（1）计算（391，357），[391，357]；（2）计算（18，24，36），[18，24，36]．3573717=⨯⨯3911723=⨯()391,35717=[]391,3571737238211=⨯⨯⨯=21823=⨯32423=⨯223623=⨯()18,24,36236=⨯=[]3218,24,362372=⨯=最大公约：相同取最小最小公倍：不同取最大【例6】导引拓展篇第5题1547、1573、1859的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？=⨯=⨯⨯154713119137172=⨯=⨯15731312113112=⨯=⨯158913143111322⨯⨯⨯=71113172433431最大公约为：13 最小公倍为【例7】导引拓展篇第7题张阿姨把有225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去．请问：每个小朋友分得了多少个苹果？一共分出去了苹果梨桔子2259216-= 35026324-= 1506144-=3321623=⨯2432423=⨯4214423=⨯()22216,324,1442336=⨯=大于26的只有36所以人数为36每人分得苹果216÷36=6个【例8】导引拓展篇第8题一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？两个数的乘积，等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。

因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。

评分标准规定，答对一题给 3 分，不答给1 分。

答错一题倒扣 1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是 ______ 。

3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得 1 个苹果和 3 个橘子。

最后橘子分完了，苹果还剩下12个。

那么一共分给了 ______ _名小朋友。

4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题（每份训练题满分为120分）。

他第一份训练题得了90 分，第二份训练题得了100 分，那么第三份训练题至少要得________ 分才能使四份训练题的平均成绩达到105 分。

5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。

9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

答案：1、解：以一个学生得分情况为例。

如果他有m 题答对，就得3m 分，有n 题答错，则扣n 分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。

所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。

由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。

2、解：499。

2008÷4—3=4993、解：6。

因数和倍数奥数辅导讲义
能否从中选择5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？为什么？
拓展一：在五角星上的圆圈内共填10个数，如图所示，选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗？为什么？
拓展二：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66，100，那么原来写的三个数能否为1,3,5？
拓展三：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983，那么原来写的三个数能否为2,2,2？
例6：9只杯子全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？
拓展一：8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？
拓展二：桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币。

能够经过若干次翻动，使硬币正面全部朝下，反面全部朝上？。