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经济增长问题摘要本文主要应用数学建模中的多元回归模型，来拟合多个影响因素对一个变量的影响。
最后通过统计分析，说明此模型在实践中的可行性，并对短期内的情况进行预测。
其中第一问是根据中国1978-2009年的国内生产总值、工业值、建筑业及农林渔业产值数据，为考量它们之间的关联性,利用已知数据分别作出这三者与国内生产总值的离散图，然后拟合，得到近似的函数关系为线性函数关系。
据此线性关系，建立多元线性回归模型，利用Matlab软件中相关命令求出回归系数，进而得出回归方程，最后通过残差图、相关系数、F值和与F相对应的概率值确定模型的可用性。
为了对未来经济进行预测，我们经过多次拟合得到最优模型，即建立工业值、建筑业值、农林渔业值对年份的四次函数，再分别预测出这三个行业的产值，继而通过上述多元线性回归模型预测出未来国内生产总值。
该模型预测出的2010年的数据与资料查到的实际数据的误差仅为1.9%，说明该模型是准确的。
类似于第一问，第二问建立了多元非线性回归模型，根据题目要求，利用题中已知数据带入非线性回归模型的函数，求出数据进行检验，证明出该模型是准确的。
关键字：多元回归模型、拟合、残差图、预测、增长率一、问题重述1.1问题提出国内生产总值(Gross Domestic Product,简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和服务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。
它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富。
附件1：中国历年国内生产总值、工业值、建筑业及农林渔业产值数据；附件2：中国根据投资来源历年的固定投资数据；附件3：中国历年总人口的自然增长率。
利用附件中的数据解决以下问题：(1)建立国内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，利用数据对未来经济做出预测；(2)讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系。
利用数据验证其结果。
摘要：本文对第一个问题做出了合理的假设，建立了阻滞增长模型预测2011后的工资增长，在确定工资的最大值时m x ,采用了经验估计的方法，根据我国经济发展战略目标和目前我国工资的实际水平，利用目前中等发达国家的工资来代替m x 。
在spss 中拟合出了以后每年的工资数据，与我国实际基本吻合。
问题二由于个人工资变化情况比较复杂，在具体计算过程中，为了将问题简化，引入平均工资增长率这一概念。
影响平均工资增长率的因素有两个：社会平均工资增长和企业平均工资增长。
利用题中的假设和附件给出的计算公式进行计算，算出本人指数化月平均缴费工资，进而算出基础养老金。
计算出职工退休前个人账户总额，进而算出个人账户养老金。
得出各种情况的替代率，并用表格进行了总结。
问题三在问题二的基础进行计算，对于职工个人账户余额所产生的利息进行了简化计算，不考虑复利的情况。
得出了个人缴存的养老金总额，利用问题二中算出的职工养老金额建立方程，可以解出收支平衡的月份，进而算出养老金的缺口。
但该方程编写程序比较，在具体计算时，查阅一个简单公式: (1/12)log 1/12r P l P Z r +=-⨯来计算收支平衡的月份。
进而算出各种情况下养老金的缺口。
问题四，在问题二和问题三的基础上，大致分析了影响替代率的因素，和影响收支平衡的因素。
建立了一个收支的不等式，讨论了既要维持收支平衡又要提高替代率所采取的措施：根据缴费月数12*m 来调整计划发养老金月数n ，使二者近似相等达到收支平衡，同时通过提高个人缴费比划C 和个人平均缴费指数R 来提高替代率。
最后对模型的优缺点进行了讨论。
关键词：替代率 SPSS 养老保险金缺口 收支平衡 阻滞模型1 问题重述养老金也称退休金，用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。
1.GDP与一二三产业的散点图2.道格拉斯生产函数-----资本与劳动力讨省内生产总值增长与资本及劳动之间的关系多元线性回归显著性检验道格拉斯函数数据拟合2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：聊城大学参赛队员(打印并签名) ：1. 孔鹏2. 郑国梁3. 吴其诚指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目经济增长问题摘 要山东省生产总值（GDP ）常被公认为衡量省内经济状况的最佳指标.它不但可反映一个省的经济发展情况，更可以反映一省的省力与财富.因此分析各产业对于GDP 的影响，并研究GDP 的增长规律是具有现实意义的.在问题一中，我们分别做出了GDP 与工业、建筑业及农林渔业产值关系的散点图，分析得出GDP 的值与各产业之间存在明显的线性关系. 回归分析是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究自变量与因变量的关系函数是一种常用的有效方法.因此我们建立起了多元线性回归模型，用MATLAB 计算得到的模型为123-80.78 1.15 5.51 1.11y x x x ε=++++.在对该模型进行显著性检验中，我们对各参数进行了显著性分析，得到模型的复相关系数R =0.998，统计量F =29666 统计量F 的值远超过检验的临界值，因此可以验证模型是可用的.分析了各产业对GDP 的影响.通过处理预测的数据，我们得出平均每年GDP 的增长率为9%左右，其中建筑业与工业对GDP 的影响较大，而农林渔业对GDP 的影响较小，这也符合山东省的产业结构与经济发展情况.在问题二中，为了讨论省内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，我们通过分析数据、查阅相关资料，了解到了省内生产总值的大小通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素.于是，我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数()0,,>=βαβαA L AK Q ，定义了三个指数分别为：投资金额指数()t i K ，就业人数指数()t i L 和省内生产总值指数()t i Q .利用定义的三个指数公式，计算出1981年到2010年的省内生产总值指数()t i Q ，投资金额指数()t i K 和就业人数指数()t i L 的一组数据，并探讨省内生产总值增长与资本及劳动之间的关系.但是上述三个指标都是随时间增长的，很难直接从表中发现具体的经济规律.为了定量分析，我们定义两个新的变量分别()()t t ψξ,,通过做散点图发现这两个变量基本上成正比例关系.我们用MATLAB 软件中的curvefit()函数来作数据拟合，求得函数Q 中的未知参数88380.A =,8471.0=α,4991.0=β，通过检验进而得处道格拉斯生产函数为4991.08471.08838.0K L Q =，这就是产值Q 随资金K 、劳动力L 的变化规律.为了验证第二问中的结果，我们用求得的道格拉斯生产函数来预测每年的山东省生产总值，然后与题目提供的数据进行比较来进行检验.通过检验可以发现预测值的误差很小，因此道格拉斯生产函数可以表示出省内生产总值增长与资本及劳动之间的关系.关键字：多元线性回归 显著性检验 道格拉斯函数 数据拟合1.问题描述山东省生产总值(Gross Domestic Product,简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个省或地区的经济中所生产出的全部最终产品和服务的价值，常被公认为衡量一个省经济状况的最佳指标.它不但可反映一个省的经济表现，更可以反映一省的省力与财富.（1）建立省内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型。
数学建模论文——关于中国GDP 是否超过美国的研究关于中国GDP 是否超过美国的研究摘要自2008年全球经济危机以来，中国经济何时能超越美国逐渐成为一个热门话题，最近世界银行发布的一份报告声称基于PPP 统计的GDP 中国已经超越美国，这份报告更是在国内引起了轩然大波，中国GDP 真的已经超越美国了么？我们通过数学模型来分析这个问题。
对于经济指标经常采用的建模方法是回归分析模型和ARIMA 模型。
本文首先就‘2014年中国GDP 是否超过美国’这一问题进行分析整理。
取1990年至2012年的中国GDP 数据和1960年至2012年的美国GDP 数据为样本，通过整理分析数据绘制出GDP 关于时间的散点图，建立回归模型，计算出2014年中国GDP 预测值为103890亿美元，而美国为167320亿美元。
再比较两国基于平价购买力计算的GDP 从而得出结论，中国GDP 不会在2014年超越美国。
对问题二“预测多少年中国人均收入可以达到美国水平”进行分析。
考虑到由于两国国民人均收入相差太大，回归分析模型在中长期的预测效果较差，我们使用更精确的ARIMA 模型进行中长期预测。
取1978年起的中国人均GNI 数据为样本，使用ARIMA 模型建模，首先确定对样本数据进行平稳性检验。
采用A D F 单位根检验来精确判断该样本的平稳性，然后我们通过计算样本截尾性和拖尾性对比表-0初步识别A R M A 模型阶数并通过计算 ()BIC n 进行准确定阶，最终求解得到美国2012年人均GNI 为46084.4129美元，对比得到中国在2037年才能达到2012年的人均GNI 水平。
对问题三如何理解‘经济体’。
考虑到经济体的本义概念范围过于广泛，通过讨论我们决定结合前两问，从GDP 和人均GNI 入手，定义资本产出系数d Q 计算的国家通货购买力指数e Q 来衡量“经济体”。
通过对国家通货购买力指数e Q 建立模型，求得相比于美国，中国货币购买力增加较快，但其国民生产能力并未达到与购买力相同的增速，基于PPP 计算的中国GDP 虽然很高但不能说明中国是一个强大的“经济体”。
数学建模在经济增长中的应用数学建模是一种将实际问题抽象化、形式化和数值化的方法，它通过使用数学工具和技术来理解和解决实际问题。
在经济领域，数学建模广泛应用于经济增长的研究中。
本文将探讨数学建模在经济增长中的应用，并重点讨论几个主要的数学模型。
一、Cobb-Douglas生产函数模型Cobb-Douglas生产函数模型是经济学中应用最广泛的产出函数模型之一。
它描述了劳动力、资本和技术对产出的影响。
该模型的数学表达式如下：Y = A * K^α * L^β其中，Y表示产出，A是总要素生产率，K表示资本，L表示劳动力，α和β分别是资本和劳动力的弹性系数。
通过对这个模型进行数学建模，我们可以研究资本和劳动力的投入对经济增长的影响，并进一步优化资源配置，提高经济增长效率。
二、Solow增长模型Solow增长模型是Robert Solow于1956年提出的经济增长模型，它主要用于描述资本累积对经济增长的影响。
该模型的数学表达式如下：Y = (s * K^α * (A * L)^(1-α)) * e^(gt)其中，Y表示产出，s是储蓄率，K表示资本，α是资本的产出弹性系数，A是全要素生产率，L是劳动力，g是技术进步率，t是时间。
通过对这个模型进行数学建模，我们可以分析储蓄率、劳动力增长率、技术进步率对经济增长的影响，并提供合理的政策建议。
三、动态随机一般均衡模型（DSGE模型）动态随机一般均衡模型是一种用于研究经济波动和政策冲击的宏观经济模型。
该模型基于一组数学方程，描述了经济各部门之间的相互作用和市场的均衡状况。
通过对该模型进行数学建模，我们可以模拟和预测不同政策的经济效果，帮助制定经济政策，推动经济增长。
四、计量经济学模型计量经济学是一门应用数学和统计学方法来分析经济现象的学科。
在经济增长研究中，计量经济学模型被广泛应用。
比如，经济增长模型中的回归分析、时间序列分析和面板数据分析等方法，可以通过对经济数据进行建模和分析，研究不同因素对经济增长的影响。
数学模型在经济增长分析中的应用研究随着现代经济的不断发展，人们对经济增长的深入研究和分析变得越来越重要。
在这一过程中，数学模型作为一种重要的工具被广泛应用于经济增长的分析和预测中。
数学模型的应用使得经济增长的研究更加科学、精确，能够帮助经济学家们更好地理解和预测经济增长的规律。
一、数学模型在经济增长驱动因素分析中的应用经济增长的驱动因素是经济学家们关注的重点之一。
通过建立数学模型，可以对经济增长的驱动因素进行分析和量化。
例如，Solow模型是经济学中最著名的经济增长模型之一。
该模型通过建立包括资本积累、劳动力增长和技术进步等因素的数学方程式，来分析不同因素对经济增长的贡献程度。
这样的分析可以帮助我们了解各个因素对经济增长的作用以及相互之间的关系，从而为相关政策的制定提供依据。
二、数学模型在经济增长预测中的应用经济增长的预测对于决策者和企业来说具有重要意义。
传统的经济增长预测主要依赖于统计数据和经验判断，而数学模型的应用为经济增长的预测提供了一种更加科学和准确的工具。
例如，VAR模型（Vector Autoregressive Model）是一种常用的数学模型，可以通过对经济指标的时间序列数据进行分析，从而对未来的经济增长趋势进行预测。
这种基于数学模型的预测方法能够更好地利用历史数据和变量之间的相互关系，提高预测的准确性。
三、数学模型在经济增长策略制定中的应用经济增长策略的制定是国家和地区经济管理的核心任务之一。
数学模型的应用可以帮助决策者更好地理解经济增长的规律和影响因素，从而制定出更加科学和有效的经济增长策略。
例如，增长边界经济学模型（Growth Frontier Economics）可以帮助决策者确定经济增长的边界，即在资源有限的情况下，经济增长的最大可能水平。
这样的分析可以为制定合理的经济政策提供指导，以实现经济增长的可持续发展。
总结：数学模型在经济增长分析中的应用已经成为现代经济学研究的重要工具之一。
经济发展趋势预测摘要本题给出了从1978年到2009年该国的GDP 与工业值、建筑业及农林渔业的变化的数据，对于问题1，需建立国内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，利用数据对未来经济做出预测；我们运用了趋势外推预测法（历史资料延伸法）及建立了多元线性回归模型，并利用MATLAB 统计工具箱里的命令regress 求解，得到的预测结果是GDP与个产业之间的关系为12361.755 1.84888.0447Y =+X +X +Y=732.2776+1.8561*x1 +3.9825*x2+0.0307*x3, 通过该计算，可得出未来经济的预测值。
关键词：趋势外推法 多元回归模型 预测 拟合 残差题目重述问题一：国内生产总值(Gross Domestic Product,简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和服务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。
因此需要我们建立国内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，利用数据对未来经济做出预测。
问题二：讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，并利用数据验证所求得的结果。
问题分析一个国家的GDP 作为衡量一个国家的经济综合实力的指标对其进行预测很有意义，历史唯物主义认为人类及事物的发展总是一个自然历史进程，有其内在规律，表现为它的发展为不断前进，上升和进步的过程，某段时间可能出现曲折，甚至出现倒退，但总体上都服从这一规律，凡事不预则不立。
在不同的年代，受其时代技术及科技发展程度的影响，经济呈现不同的发展趋势，随着工业值、建筑业及农林渔业等产业的发展，必将推动总体GDP 的上升。
对于问题1，已知题中各产业的发展趋势，要求GDP 与各产业之间的关系，显然是一个因变量与多个自变量之间的关系，即多元线性回归问题，因此建立回归模型，即可求解。
对于问题2，随着时代及科技的发展，整个社会的内需扩大了很多，资金大量流动，资本的注入则保证了这一切的正常运作，资本的流动性是带来价值增值的价值，资本不可闲置，否则就是浪费，资本的增值性是其本质特征，也是其内在在特征，它参与产品价值形成的运动。
基于数学建模的经济增长预测模型经济增长预测模型是一种基于数学建模的方法，通过分析历史数据和经济指标，预测未来的经济增长趋势。
对于政府和企业来说，了解经济发展的趋势对于制定政策和商业决策至关重要。
基于数学建模的经济增长预测模型可以帮助我们更好地理解经济变动，并为未来做出准确的预测。
在构建经济增长预测模型时，我们首先需要选择适当的经济指标。
常见的经济指标包括国内生产总值（GDP）、就业率、通货膨胀率、投资水平等。
这些指标反映了一个国家或地区的经济活动和整体经济状况。
根据需要，我们可以选择多个指标来构建模型。
一种常见的经济增长预测模型是时间序列分析模型，其中最常用的是ARIMA模型（自回归滑动平均模型）。
ARIMA模型基于时间序列数据，通过对历史数据的分析来预测未来的经济增长趋势。
ARIMA模型的核心思想是将时间序列数据中的趋势、季节性和噪音等因素分离出来，从而更好地预测未来的发展趋势。
另一种常见的经济增长预测模型是计量经济学模型，其中最常用的是线性回归模型。
线性回归模型通过分析不同经济因素之间的关系，建立数学方程，从而预测未来的经济增长趋势。
线性回归模型可以帮助我们确定经济增长的驱动因素，并提供有关这些因素对经济发展的影响程度的信息。
为了构建准确的经济增长预测模型，我们需要进行数据的收集和处理。
首先，我们需要收集一段时间内的历史数据，包括经济指标和相应的时间标记。
然后，我们需要对数据进行清洗和预处理，包括去除异常值、填补缺失值、平滑数据等。
接下来，我们可以使用统计软件或编程语言来分析数据并构建预测模型。
在构建模型时，我们需要根据特定的问题和数据的性质选择合适的模型和算法。
对于ARIMA模型，可以使用自动模型选择算法来确定最佳的ARIMA参数。
对于线性回归模型，可以使用最小二乘法来估计回归系数，并进行模型诊断和验证。
一旦构建了经济增长预测模型，我们可以使用该模型来预测未来的经济增长趋势。
然而，需要注意的是，经济是一个复杂的系统，受到许多因素的影响，因此模型的预测结果可能存在误差。
市场经济管理中的数学建模论文（1200字）摘要关键词：市场经济管理论文一、数学经济建模及其重要性通常说来，数学并不能直接处理经济领域的客观状况。
为了能用数学处理经济领域中的疑问，就有必要进行数学经济建模。
数学经济建模是为了处理经济领域中的疑问而作的一个笼统的、简化构造的数学刻划。
或者说，数学经济建模即是为了经济意图，用字母、数字及其他数学符号树立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描绘客观事物的特征及其内在联系的数学构造的刻划。
而现代国际开展史证明其经济开展速度与数学经济建模的密切关系。
在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今日，数学经济建模更是无处不在。
如生产厂家可根据客户提出的商品数量、质量、交货期、交货办法、交货地址等请求，根据迅速报价系统（根据厂家各种资本、商品工艺流程、生产成本及客户需要等数据进行数学经济建模）与客户进行商业谈判。
二、数学经济建模的办法和过程数学经济建模大致能够分为三个期间：一是从实习经济国际进入数学国际；二是对实习经济疑问的数学模型进行研讨；三是从数学国际回到实习经济国际。
数学经济建模还能够用流程图那样简明的形式来标明（如图）归纳起来,流程图是由下面一些过程构成:（1)对实习经济疑问的初始布景有深刻的了解和深入细致的调查，并从中抽出最本质特征的东西。
即捉住主要因素，暂不思考非有必要因素。
从而得到初始疑问的一个简化了的理想化的天然模型。
（2)根据现已把握的经济信息直接翻译为数学术语，把理想化的天然模型标明成一个数学研讨的题材――数学经济模型。
（3)运用数学知识，得到对于这个模型的一个解。
这一步请求对某些数学窍门具有必定的根底知识。
为管理类的学生所学习的数学知识，供给了用武之地。
（4)用理想化天然模型的术语对所得的解进行解说和阐明。
（5)根据疑问的初始布景对所得的解进行解说和阐明。
（6)所得成果的有效性要加以验证。
假如由模型算出的理论值与实习值对比符合，则模型是成功的。
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：河南理工大学万方科技学院参赛队员(打印并签名) ：1. 关海超2. 刘源3. 冯艳伟指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011 年 8 月 21 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：经济增长问题摘 要国内生产总值（GDP ）常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标.它不但可反映一个国家的经济发展情况，更可以反映一国的国力与财富.因此分析各产业对于GDP 的影响，并研究GDP 的增长规律是具有现实意义的.在问题一中，我们分别做出了GDP 与工业、建筑业及农林渔业产值关系的散点图，分析得出GDP 的值与各产业之间存在明显的线性关系. 回归分析是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究自变量与因变量的关系函数是一种常用的有效方法.因此我们建立起了多元线性回归模型，用MATLAB 计算得到的模型为ε++++=32103.049.13.732x x x y .在对该模型进行显著性检验中，我们对各参数进行了显著性分析，得到模型的复相关系数R =0.999，统计量F =30900. 统计量F 的值远超过检验的临界值，因此可以验证模型是可用的.最后，我们利用所建立的模型对2010～2014年的GDP 值做出了预测，分析了各产业对GDP 的影响.通过处理预测的数据，我们得出平均每年GDP 的增长率为10%左右，其中建筑业与工业对GDP 的影响较大，而农林渔业对GDP 的影响较小，这也符合中国的产业结构与经济发展情况.在问题二中，为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，我们通过分析数据、查阅相关资料，了解到了国内生产总值的大小通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素.于是，我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数()0,,>=βαβαA L AK Q ，定义了三个指数分别为：投资金额指数()t i K ，就业人数指数()t i L 和国内生产总值指数()t i Q .利用定义的三个指数公式，计算出1981年到2008年的国内生产总值指数()t i Q ，投资金额指数()t i K 和就业人数指数()t i L 的一组数据，并探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系.但是上述三个指标都是随时间增长的，很难直接从表中发现具体的经济规律.为了定量分析，我们定义两个新的变量分别()()t t ψξ,,通过做散点图发现这两个变量基本上成正比例关系.我们用MATLAB 软件中的curvefit()函数来作数据拟合，求得函数Q 中的未知参数88380.A =,8471.0=α,4991.0=β，通过检验进而得处道格拉斯生产函数为4991.08471.08838.0K L Q =，这就是产值Q 随资金K 、劳动力L 的变化规律.为了验证第二问中的结果，我们用求得的道格拉斯生产函数来预测每年的国内生产总值，然后与题目提供的数据进行比较来进行检验.通过检验可以发现预测值的误差很小，因此道格拉斯生产函数可以表示出国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系.关键字：多元线性回归 显著性检验 道格拉斯函数 数据拟合1.问题重述国内生产总值(Gross Domestic Product,简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和服务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标.它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富.（1）建立国内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，利用数据对未来经济做出预测；（2）讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，利用数据验证其结果.2.问题分析2.1 建立GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，并对未来经济做出预测.在问题一中，我们通过分析材料得出这是研究对象的内在特性和各个因素间关系的问题，即研究GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值关系.一般用机理分析的方法建立数学模型.由于经济问题是一种随机的问题，所以通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型.因为影响GDP的因素有三个，即工业值、建筑业及农林渔业产值，且各个产业与GDP都为线性关系.所以我们建立起一个多元线性回归模型，并检验模型显著性，通过对模型的反复修改与检验，建立更合理的模型.2.2 讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，并验证其结果.在问题二中，为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，通过查阅相关资料，我们了解到国内生产总值通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素. 要建立道格拉斯生产函数，我们只需要讨论产值和资金，劳动之间的关系，从而达到我们的目的.这样处理不仅能简化问题，而且是合理的在生产产值上的预测，柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数预测的结果近似就是准确生产值.于是我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数，来探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，进而利用已有的数据验证其结果.3.模型假设1.假设所统计的数据都在误差允许的范围之内；2.忽略由于非正常条件下的引起的数据的巨大波动；3.假设在短期内国内生产总值只取决于投资和劳动力因素;4.假定在一段不太长的时间内技术水平不变.4.定义与符号说明5.模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解：回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究自变量与变量的关系函数是一种常用的有效方法.我们通过回归模型的建立，定量预测了未来经济的发展.5.1.1 GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值数量模型：通过在互联网上搜集到1978年～2009年，中国GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值的数据（见附表1），可以定性的看出GDP 与工业、建筑业及农林渔业产值为整体上升的趋势.为了大致分析GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值关系，我们首先利用附录数据做出了GDP 与工业产值的关系散点图（如图1）.图1 工业产值与GDP 散点图从图可以发现，随着工业产值的增加，GDP 的值有比较明显的线性增长趋势.图中的直线是用线性模型ε++=145.295.143x y拟合的.同理我们也分别作出了建筑业产值与GDP 的关系散点图（图2）、农林渔业产值与GDP 的关系散点图（图3）.图2建筑业产值与GDP散点图图3 农林渔业产值与GDP散点图通过图2，图3可以看出建筑业产值与农林渔业产值同样有很强的线性关系，同样也分别用直线模型对其拟合.建筑业产值与GDP线性模型ε++=25.163612x y农林渔业产值与GDP 线性模型ε++-=3925784x y因此，综上所述四者之间有很强的线性关系，可建立多元线性回归模型εββββ++++=3322110x x x y在模型中除了工业，建筑业，农林渔业外，影响国内生产总值的其他因素的作用都包含在随机误差ε内，这里假设ε相互独立，且服从均值为零的正态分布，n t ,,2,1 =.对模型直接利用matlab 统计工具箱求解，得到回归系数估计值及其置信区间（置信水平'α= 0.05），检验统计量2R ，F ，P 的结果见表1.表1 模型的计算结果5.1.2 结果分析:表1显示，9989.02=R 指因变量y （国内生产总值）的99.89%可由模型确定，F 值远远超过F 检验的临界值，p 远小于α，因而模型从整体上来看是可用的.表1的回归系数给出了模型中0β，1β，2β，3β的估计值，即3.7320=∧β 9.11=∧β，0.42=∧β，03.03=∧β.检查它们的置信区间发现0β与3β的置信区间都包含零点，这表明回归模型常数与回归变量3x 对模型的影响不太显著.这也符合这一事实，农林渔业产值对GDP 的影响较小，工业与建筑业对GDP 的影响较大.但是一般情况下常数的值都保留在模型中，不剔除.回归变量系数3β区间右端点相对距零点较远，所以我们也保留在模型中.因此最终确定的模型为：εββββ++++=3322110x x x y5.1.3 未来经济预测将回归系数的估计值代入模型，即可预测未来的GDP 情况.代入得到的模型 即ε++++=32103.049.13.732x x x y只要能预测未来的工业值、建筑业及农林渔业产值即能预测未来GDP 的产值.根据统计数据（见附表1），我们用matlab 计算得到各产值的平均年增长率的中位数,工业值增长率13.5%,建筑业产值增长率16.8%，农林渔业产值10.7%.我们对GDP 的值做短期的预测，预测未来五年的GDP 情况见下图4.图4 2010-2014中国GDP 情况预测从模型中看，工业值、建筑业及农林渔业产值的预测直接影响GDP 预测的准确性.其中工业与建筑业对预测的影响较大，农林渔业影响较小.从预测结果中看中国GDP 总值成上升趋势，从数值中计算得平均值为12.3%.当然GDP 的增长率的计算还应除去通货膨胀、消费指数等因素的影响，所以实际中应小一些.2010年的GDP 为39.789万亿，这也与预测结果相符合，说明模型的合理性.5.2 问题二模型的建立与求解：在问题二中为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，通过查阅相关资料，我们了解到国内生产总值通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素.于是我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数，来探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，进而利用已有的数据验证其结果.5.2.1 模型的建立:在经济学的分析中，为了简化分析，通常假定生产中只有劳动和资本这两种生产要素.若以L 表示劳动投入量，以K 表示资本投入数量，则生产函数可以写为：()K L f Q ,=生产函数表示生产中的投入量和产出量之间的依存关系，这种关系普遍存在于各种生产过程中.一家工厂必然具有一个生产函数，一家饭店也是如此，甚至一所学校或者医院同样会存在着各自的生产函数，产品可能是实实在在的有形产品，也可能是无形产品比如服务.估计和研究生产函数，对于经济理论和实践经验都具有一定意义.柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas ）生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代初一起提出来的.柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以极简单的形式描述了经济学家所关心的一些性质，它在经济理论的分析和实证研究中都有具有一定意义.柯布—道格拉斯生产函数的函数表达式如下：()0,,>=βαβαA L AK Q其中，Q 代表产出量,K 代表资本投入量,L 代表劳动投入量,A 、α、β为未知参数.A 表示技术或管理等参数对经济增长的影响系数, α和β分别表示劳动和资本对产出的贡献程度,且10,10<<<<βα.对该生产函数取对数得:InK InL InA InQ βα++=由于柯布―道格拉斯生产函数假设技术、管理水平不变,即A 是一个常数, 在此可以忽略A 的影响.所以，可简化为:InK InL InQ βα+=求出道格拉斯函数以后，我们通过道格拉斯函数可以预测出来每一年的GDP 总产值，然后利用题目所提供的数据进行检验，可以发现道格拉斯很好的表示出来了国内生产总值的增长和投资与劳动之间的关系.5.2.2 模型的求解:为了求解上述模型，通过分析题目所给数据和从网上查找相关数据，我们列出了我国从1981年到2003的GDP 总值，投资金额总和和我国就业人数的表2如下：GDP:亿元；投资金额：亿元；就业人数：亿人；在实际生产中，人们关心的往往是生产的增长量，而不是绝对量，因此定义投资金额指数()t i K ，就业人数指数()t i L 和国内生产总值指数()t i Q 分别为()()()()()()()()().0,0,0K t K t i L t L t i Q t Q t i K L Q ===利用上述定义的三个指数公式，通过使用matlab 软件计算出表3中1981年到2008年的国内生产总值指数()t i Q ，投资金额指数()t i K ，和就业人数指数()t i L 的一组数据，取1990年为基年,则t =0.从表中可知，在正常的经济发展过程中（除个别年份外），上述三个指标都是随时间增长的，但是很难直接从表中发现具体的经济规律.为了定量分析，定义两个新的变量()()()()()().ln ,ln t i t i t t i t i t K Q K L ==ψξ ()13,,9 -=t根据表中数据，在直角坐标系上做出()()(){}27,,9|, -=t t t ψξ的散点图，发现()()t t ψξ,基本上成正比例关系（散点位于一条直线的附近），如图5ξ,散点图图5 ()()ttψ我们可以用MATLAB软件中的curvefit()函数来作数据拟合，即寻求函数Q(K，L)中的未知参数A,α,β，使这个函数尽量逼近表5-2-2所给出的统计数据.则可以得到：A=,88380.α,=.08471β.=4991.0于是公式变为：.08471.04991Q=L.0K8838这就是产值Q随资金K、劳动力L的变化规律.5.2.3 模型的检验：为了对所建立的模型进行检验，我们利用得出的道格拉斯函数对每年的GDP 指数做出了预测，结果如下表4所示，然后利用已有的GDP指数进行比较，最后得出所建立的道格拉斯函数是有意义的，可以正确表示出国内生产总值与资金与劳动之间的关系.为了形象的表示出预测值与实际值之间的关系，我们做出了下图6，通过图表可以发现，道格拉斯函数已经可以很精确的表示来国内生产总值的变化趋势：图6 国内生产总值的预测与实际比较图增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系.在科学发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的.从而可以说明国内生产总值增长与资本及劳动之间满足柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas ）生产函数的关系.6. 模型的评价与推广6.1 模型的优点：在问题一中，多元回归模型，因变量国内生产总值的99.89%可由模型确定，说明模型从整体上来看是可用的.在预测2010-2014年的GDP 的值时.我们计算得中国平均年GDP 的增长量为10%左右，这也完全符合中国的经济发展情况.在问题二中，运用了柯布—道格拉斯生产函数，使该模型的建立有理论依据作支撑，且有助于对模型的结果进行分析.在分析国内生产总值与投资和劳动力关系是，忽略其他因素，从而简化了模型，便于大概的预测.6.2 模型的缺点：问题一中，由于国内生产总值受国际经济、政府政策、自然灾害等因素的影响，所以某一时期GDP 波动幅度较大，因此影响了模型整体预测的准确性.问题二中，忽略其他因素对国内生产总值的影响，和实际问题存在的误差.一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.6.3 模型的推广与改进：推广：模型一是一类基于统计分析的随机模型，因此适用于大量数据的随机现象.如经济增长，灾害预测等.模型二中，在信息经济时代，所投入的生产要素的核心成分从资本、劳动力逐渐转变为以信息技术为代表的高新技术.当信息资源应用于生产中时，对生产人员、资本、流程等形成革命性的影响作用，极大地提高了生产要素生产率，促进了经济发展.综合上述原因，需要对柯布——道格拉斯生产函数做出了一定的修正，使之适用于信息时代的生产力发展水平.改进：模型一中参数0β与3β的置信区间包含零点，说明模型中还存在缺点，变量之间很可能存在交互作用.因此应在模型中加入交互项，改进原有的模型，建立新的回归模型.模型二较原来的模型增加了信息技术设备的资本投入和信息技术的劳动力投入后，得到dc b a L K L AK Q 1100=使得模型成为更贴近时代的生产模型，改进后的柯布—道格拉斯生产函数是在现代信息工业经济时代构造出的反映了现代信息工业经济时代生产力特征的函数模型.改进后的柯布—道格拉斯生产函数模型更具有时代特色，适用性更广.7.参考文献[1] 姜启源，谢金星，数学模型，高等教育出版社，2007.[2] 韩中庚，数学建模方法及其应用，高等教育出版社，2006.[3] 周品，赵新芬，MATLAB数学建模与仿真，2009.[4] 王兵团，数学建模基础，2005.[5] 齐微，柯布—道格拉斯生产函数模型，中国科技论文在线.8.附录附表1：附表2：附表3：模型二计算程序：Q=[4889.5 5330.5 5985.6 7243.8 9040.7 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 21826.2 26937.3 35260.0 ...48108.5 59810.5 70142.5 78060.8 83024.3 88479.2 98000.5 108068.2 119095.7 135174.0];IQ=Q/18718.3K=[961 1230.4 1430.1 1832.9 2543.2 3120.6 3791.7 4653.8 4410.4 4517.5 5594.5 8080.1 13072.3 17827.1 20524.9 ...23358.6 25259.7 28716.9 29754.6 33110.4 37987.0 45046.9 58616.3];IK=K/4517.5L=[4.5126 4.6358 4.7286 4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455...6.8065 6.8951 6.98217.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3741 7.4432];IL=L/6.4749Et=zeros(23);Et=Et(1,1:23);for t=1:1:23;Et(t)=log(IL(t)/IK(t));endEt;Wt=Et;for t=1:1:23;Wt(t)=log(IQ(t)/IK(t));endWt;x=Et;y=Wt;plot(x,y,'*');xlabel('E');ylabel('W');a=[0.2612 0.2848 0.3198 0.3870 0.4830 0.5489 0.6438 0.8033...0.9083 1.0000 1.1660 1.4391 1.8837 2.57013.1953 3.7473...4.1703 4.4355 4.72695.2355 5.77346.36257.2215];y=[0.2127 0.2724 0.3166 0.4057 0.5630 0.6908 0.8393 1.0302...0.9763 1.0000 1.2384 1.7886 2.8937 3.94624.54345.1707...5.59156.3568 6.58657.32948.40899.9716 12.9754;0.6969 0.7160 0.7303 0.7441 0.7703 0.7920 0.8152 0.8391...0.8545 1.0000 1.0115 1.0217 1.0318 1.04181.0512 1.0649...1.0783 1.0909 1.1026 1.1133 1.1278 1.1389 1.1495];curvefun=inline('x(1)*(y(1,:).^x(2)).*(y(2,:).^x(3))','x','y')x0=[0.1,0.1,0.2];x=lsqcurvefit(curvefun,x0,y,a)a=x(1),alpha=x(2),beta=x(3)Q=[4889.5 5330.5 5985.6 7243.8 9040.7 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 21826.2 26937.3 35260.0 ...48108.5 59810.5 70142.5 78060.8 83024.3 88479.2 98000.5 108068.2 119095.7 135174.0];IQ=Q/18718.3K=[961 1230.4 1430.1 1832.9 2543.2 3120.6 3791.7 4653.8 4410.4 4517.5 5594.5 8080.1 13072.3 17827.1 20524.9 ...23358.6 25259.7 28716.9 29754.6 33110.4 37987.0 45046.9 58616.3];IK=K/4517.5;L=[4.5126 4.6358 4.7286 4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455...6.8065 6.8951 6.98217.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3741 7.4432];IL=L/6.4749;Qt=zeros(23);Qt=Qt(1,:);for t=1:1:23;Qt(t)=0.9889*IL(t)^0.2167*IK(t)^0.7738;endQty1=[0.2612 0.2848 0.3198 0.3870 0.4830 0.5489 0.6438...0.8033 0.9083 1.0000 1.1660 1.4391 1.88372.5701...3.1953 3.74734.1703 4.4355 4.72695.2355 5.7734...6.36257.2215];y2=[0.2761 0.3362 0.3793 0.4615 0.5991 0.7061 0.8262...0.9742 0.9382 0.9889 1.1697 1.5580 2.26552.8862...3.2250 3.5745 3.80794.2159 4.3433 4.72765.2727...6.02897.4063];x=1981:1:2003;p1=polyfit(x,y1,2);p2=polyfit(x,y2,2);xi=1981:0.01:2003;y3=polyval(p1,xi);y4=polyval(p2,xi);plot(x,y1,'*r',xi,y4,'-b')legend('实际值','预测曲线')xlabel('年份');title('预测值与实际值比较图');。
