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2019-2020北师大版高中数学必修一课件1.1优质课件

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必要条件与充分条件(1)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

必要条件与充分条件(1)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

（3）当 = 1时， − 1 = — 1 = 0，所以 ⟹ ，所以q是p的必要条件．
（4）当 = −2时， − 2 ≤ ≤ 5成立，但是−1 ≤ ≤ 5不成立，所以 ⇏ ，
所以q不是p的必要条件．
（5）0是自然数，但是0不是正整数，所以 ⇏ ，所以q不是p的必要条件．
（6）等边三角形一定是等腰三角形，所以 ⇒ ，所以q是p的必要条件．
出这两个三角形的对应角相
等；而一旦两个三角形的对
应角不相等，那么这两个三
角形一定不是全等三角形．
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
怎么理解必要条件呢？仔细分析下面三个定理，找出必要条件，并
分析体会何为“必要”．
结论：
上面三个定理（命题）都可以写成相同的形式：
“如果成立，那么成立”（或“若p成立，则q成立”），
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．
（1）已知 ⟹ ，则“若，则”是真命题． （）
（2）已知 ⟹ ，则的充分条件是，的必要条件是．（）
（3）是的必要条件是指“要使成立，必须要有成立”也就是说“若不
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并指出必要条件．
（1）平面四边形的外角和是360°；
（2）在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．
解：（1）“平面四边形的外角和是360°”可表述为
“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，
第1课时交集和并集课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

第1课时交集和并集课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

1
当N≠⌀时,由数轴可得 2 + 1 ≤ 5, 解得3<t≤2.
2 − ≥ −2,
综上可知,实数t的取值范围是{t|t≤2}.
.
高中数学
延伸探究
必修第一册
北师大版
将例5条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.
解:由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,
作并集中的一个元素.
例如,A={1,2,3},B={1,3,5,7},A∪B={1,2,3,5,7},
而不能写成A∪B={1,2,3,1,3,5,7}.
高中数学
必修第一册
北师大版
即时巩固
(1)设集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},则集合A∪B=( C )
A.{1,3,1,2,4,5}
B.{1}
解:∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或 = ±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故 ≠ 5;
当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.
综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.
高中数学
例4
必修第一册
北师大版
集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.
(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;
(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.
分析：利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件，利用数形结合的方法列出关于参数a满足的不等式,
1.1椭圆及其标准方程课件--北师大版(2019)高二上选择性必修一

1.1椭圆及其标准方程课件--北师大版(2019)高二上选择性必修一


辨析
练习 下列命题是真命题的是 （ 2 ）（ 4 ）
（4）平面内，已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离
和为10，则M ₂ ∣为定长
1 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣>∣ ₁₂ ∣时，P点的轨迹就是
椭圆.
2 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣=∣ ₁₂ ∣时，P点的轨迹是一
的点的集合(或轨迹)叫做椭圆。
两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点。
两个焦点间的距离||叫作椭圆的焦距。焦距的一半称
为半焦距。
= + = , > ||
2、在椭圆定义中，当 = ||时动点的轨迹为线段；
当 < ||时动点的轨迹不存在。
条线段：线段 ₁₂
3 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣<∣ ₁₂ ∣时，P点不存在.
问题二：根据椭圆的定义，我们是否可以猜
想椭圆是否具有对称性？你能否猜想出椭圆
的对称轴吗？
根据椭圆的定义有 + =
设点P1为点P关于直线F1F2的对称点，
则据椭圆的定义有 + =
(1)


(2)


+


+
=


x轴上，a=5,b=4,焦点坐标：(-3,0)、(3,0)
= 在y轴上，a=13,b=12,焦点坐标：(0,-5)、(0,5)
(3) + − = 在x轴上，a=5,b=3,焦点坐标：(-4,0)、
(4,0)
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的

即

+

−
=
将 = − 代入上式，得
高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册1.1椭圆及其标准方程(课件)

高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册1.1椭圆及其标准方程(课件)

（1）两个焦点坐标分别是 ， ，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为26；
（2）过点 且与椭圆 有相同的焦点.
[解析] （1）因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 .因为 ，所以 .又 ,所以 .所以所求椭圆的标准方程为 .
（2）在椭圆 中, ， ，且焦点在 轴上，所以 .设所求椭圆的标准方程为 ，将点 代入方程，可得 ，解得 或 （不合题意，舍去），故所求椭圆的标准方程为 .
[答案] 第一幕：细绳两端相距特别近，图形很接近圆.第二幕：细绳两端相距适中，图形扁一些，椭圆形状更直观.第三幕：细绳两端相距较远，笔尖绕着细绳转动，图形更扁长.点 到两定点距离之和是常数.
问题4：.在定义中，如果 ，动点的轨迹又是什么？
[答案] 当 时,点 的轨迹为线段 ;当 时,点 的轨迹不存在.
若直线 恒过定点 ，则点 与椭圆 的位置关系是( ).A.在椭圆外 B.在椭圆内 C.在椭圆上 D.无法判断
B
[解析] 直线 恒过定点 ，将点 代入椭圆方程，得 ，所以点 在椭圆内部.
1.已知椭圆 上一点 到椭圆的一个焦点的距离是6，则点 到另一个焦点的距离为( ).A. B. C. D.
（1）焦点在 轴上，且经过两个点 和 ；
（2）两个焦点的坐标分别是 ， ，并且椭圆经过点 ；
（3）经过点 ， .
[解析] （1）因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 .又椭圆经过点 和 ，所以 即 所以所求的椭圆的标准方程为 .
（2）因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 .由椭圆的定义知， ，即 .又 ，所以 .故所求的椭圆的标准方程为 .（3）设椭圆的方程为 （ ， ，且 ），因为点 ， 在椭圆上，
椭圆及其标准方程
椭圆是一种美丽的曲线，它具有形状美和科学美.“神舟六号”载人飞船进入预定轨道绕地球飞行，其运行的轨道就是以地球中心为一个焦点的椭圆.
高中数学必修1 (北师大版) PPT课件 图文

高中数学必修1 (北师大版) PPT课件 图文


1、最简单的幂函数 yx,y1,yx2的图像. x
2、画出 y x 3 的图像.
描点法画图的步骤： 1、列表 2、描点 3、连线
3、将 yx,y1,yx2的图像与 y x 3
x
画在同一坐标系中.
幂函数简单的性质
几何画板
观察幂函数在第一象限的图像，归纳幂 函数的简单性质
（单调性、过定点、图像间的位置等）
即 y x，这样的函数称为幂函数。
练习：下列函数中，是幂函数的有______
① y = 2x2
③ y = x－4
⑤y = x3
② y (3x)2
1 ④ y = x2
⑥ y 2x
题后反思
幂函数解析式 y x 的特征：
① x 的系数是1
②底数只能是自变量 x
简单幂函数的图像
几何画板
所以函数图象在 0, 上成上凸姿势,函数是增函数,增长
的速度越来越缓慢；
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐
必要条件与充分条件第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

必要条件与充分条件第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册


【解】 (1)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此 p⇒/q，所以 q 不是 p 的必要条件； (2)当 x＝1 时，x－1＝ x－1＝0， 所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件； (3)当 x＝－2 时，－2≤x≤5 成立， 但是－1≤x≤5 不成立，所以 p⇒/q，所以 q 不是 p 的必要条件； (4)0 是自然数，但是 0 不是正整数，所以 p⇒/q， 所以 q 不是 p 的必要条件．
C．x＞0
D．x≤－1
数学
数学
解析：(1)∵x＞3⇒x＞2，∴A 是真命题；∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4⇒/x＝2，∴B 是假命 题；∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，
∴C 是真命题；∵q⇒/p，∴p 不是 q 的必要条件，D 是假命题．故选 AC. (2)因为|x|＝x⇒x≥0⇒x≥0 或 x≤－1，所以使|x|＝x 成立的一个必要条件是 x≥0 或 x≤ －1. 答案：(1)AC (2)B
b
b
因此 p⇒/q，所以 p 不是 q 的充分条件．
(3)若 x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但 x≠y，所以 p⇒/q，
所以 p 不是 q 的充分条件．
数学
数学
类型 2 必要条件的判断 【例 2】 下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 q 是 p 的必要条件？ (1)若△ABC 是直角三角形，则△ABC 是等腰三角形； (2)p：x＝1，q：x－1＝ x－1； (3)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； (4)p：a 是自然数，q：a 是正整数．
合作探究
数学
类型 1 充分条件的判断 【例 1】 下列命题中，p 是否是 q 的充分条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：x>1，q：x>2； (3)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0； (4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0 无实根．
数学必修ⅰ北师大版 1.1集合 课件汇总

数学必修ⅰ北师大版 1.1集合 课件汇总

第一节
集
合
1
完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于 基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲 点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时 应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去 尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！
2
三年36考
高考指数:★★★★★
1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
6
(3)常见集合的符号
自然数集 正整数集 整数集 有理数集
实数集
N ____
N * 或N + ________
Z ____
Q ____
R ____
(4)集合的表示方法
①_________ 列举法 描述法 ②_________ Venn图法 ③_________
7
【即时应用】 (1)判断下列结论是否正确.(在后面的括号内填√或×)
U
答案：(1)2
(2){x|x<-3或2<x≤3}
(3){x|-1≤x≤3}
15
例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归 纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突
出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”
投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进， 流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁 通。题型与方法贯通，才能高考无忧！
相等 子集
真子集
A中任意一个元素均为B中 的元素,且B中至少有一个 元素不是A中的元素
A
B 或B
A
10
(2)空集
非空集合 的真子 任何集合 的子集,是任何___________ 规定：空集是__________
北师大版(2019)高中数学选择性必修1第2章1.1椭圆及其标准方程课件(共18张PPT)

北师大版(2019)高中数学选择性必修1第2章1.1椭圆及其标准方程课件(共18张PPT)


y
M
b=

−
1
O


+
=



( − )
(x，y)


2
椭圆的标准方程:
x
观察左图， 你能从中找出表示
a 、 c、 − 的线段吗？

+ = (a>b>0)



焦点在轴上
思考3：如果椭圆旋转° ，则它的标准方程又
是怎么推导？
探究
y
求椭圆标准方程的一般步骤：
M
M
M
F2
F1
线段
轨迹为＿＿＿．
椭圆
轨迹为＿＿＿．
不存在
（2）绳长小于两定点之间的距离，则轨迹＿＿＿＿．
记笔记
三、形成概念
1．椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于|F1F2|）
M
的点的集合叫做椭圆．
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，
1
2
两个焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距.
1
O
2
x
3、列式： ∵ = ∴ (−, ), (, )
∵ + = a
∴
− (−)

+ ( − ) +
建立平面直角坐标系通常遵循的
原则：“对称美”、“简洁美”
−

+ ( − ) =2a
4、化简： ( + ) + + ( − ) + =2a
（2）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（3）a、b、c的关系：a2=b2+c2。
北师大版高中数学必修一全册课件

北师大版高中数学必修一全册课件

数列的分类
按照项数是否有限，数列可分为有穷数列和无穷数列；按照项数是否递增，数列 可分为递增数列、递减数列和常数列。
等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和公式
$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项 ，$d$是公差。
$S_n = frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
对数函数具有对称性，即对于任意实数 $x > 0$，有$log_a x = -log_a frac{1}{x}$。
对数函数总是经过点$(1,0)$；
对数函数的性质 对数函数是递增的；
指数函数与对数函数的应用
在金融中的应用
在实际生活中的应用
指数函数和对数函数在金融领域中有 着广泛的应用，如复利计算、股票价 格分析等。
三角函数的定义与性质
三角函数的性质
奇偶性：正弦函数和余弦函数是 奇函数和偶函数，正切函数是奇 函数。
三角函数的定义：三角函数是圆 的角度与其边长的比值或积的比 值，通常用希腊字母$sin$、 $cos$、$tan$等表示。
周期性：三角函数具有周期性， 最小正周期为$2pi$。
单调性：在每个周期内，正弦函 数、余弦函数和正切函数都有单 调区间。
指数函数和对数函数在实际生活中也 有着广泛的应用，如计算复利、求解 方程等。
在科学计算中的应用
指数函数和对数函数在科学计算中也 有着重要的应用，如求解方程、计算 复利等。
04
幂函数、三角函数与反三角函 数
Chapter
幂函数的定义与性质
幂函数的性质
奇偶性：当$n$为奇数时，幂函 数为奇函数；当$n$为偶数时， 幂函数为偶函数。
高中数学新北师大版必修第一册 第1章 1.1 第1课时集合的概念 课件(35张)

高中数学新北师大版必修第一册 第1章 1.1 第1课时集合的概念 课件(35张)


(3)

(5)-
Q;(4)
N;
Q;
R.
答案:(1)∈ (2)∉ (3)∈ (4)∉ (5)∈
【思考辨析】
判断以下说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√〞,
错误的画“×〞.
(1)如果小明的身高是1.78 m,那么他应该是由高个子学生组
成的集合中的一个元素.( × )
(2)方程x2-2x+1=0的解集中含有两个元素.( × )
175 cm的男生能否组成一个集合?集合元素确定性的含义是
什么?
提示:某班所有的高个子同学不能组成集合,因为高个子无明
确的标准.身高高于175 cm的男生能组成一个集合,因为标准
确定.集合元素确定性的含义:集合中的元素必须是确定的,也
就是说,一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的
元素就确定了.
(填序号)
①高一(2)班的女同学;
②26个英文字母;
③很大的数;
④所有的平行四边形;
⑤联合国安全理事会常任理事国;
⑥ 的近似值;

⑦在数轴上离原点非常近的点;
⑧世界上最长的河流.
.
解析:对于①,但凡高一(2)班的女同学都满足,故有明确的标
准判断某元素是否属于该集合,因此可以组成集合;类似地,②,
④,⑤,⑧均可以组成集合;而对于③,没有一个明确的判断标
形的全体〞能组成集合;同理可得,(2)能组成集合;(3)能组成
集合; (4)“聪明的人〞没有明确的判断标准,对于某个人算
不算聪明无法客观判断,因此“聪明的人〞不能组成集合;同
理可得,(5)不能组成集合.
一般地,要确认一组对象a1,a2,a3,…,an能不能组成集合的过程
2019-2020年新版高中数学北师大版必修1课件：第一章集合 1.1.2

2019-2020年新版高中数学北师大版必修1课件：第一章集合 1.1.2

当k≠0时,若A=⌀,则只需Δ=82-4×16k<0,即k>1,所以k的取值集合
为{k|k>1}.
目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型四 集合中的新定义问题 【例4】 定义集合A������ B={z|z=xy,x∈A,y∈B},若 A={1,2},B={0,2},则A������ B中所有元素的个数为( )
第2课时 集合的表示
-1-
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法). 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.
目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
【变式训练1】 用列举法表示下列集合:
(1)我国现有全体直辖市的集合;
(2)绝对值小于3的整数集合;
(3)一次函数
y=x-1
与
y=−
2 3
������
+
4 3
的图像交点组成的集合.
解:(1){北京,上海,天津,重庆};
题型一 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的正偶数组成的集合;
(2)方程x(x2-4)=0的所有实数根组成的集合;
(3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
分析:(1)直接写出小于10的正偶数放在大括号中即可;(2)先解方
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①－12∈R；② 2∉Q；③0∈N＋；④|－3|∉N＋.
A．1
B．2
C．3 [答案] B
D．4
[解析] －12是实数， 2是无理数，∴①②正确．
N＋表示正整数．∴③和④不正确.
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 (1)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合； (2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)被5除余1的正整数组成的集合； (4)坐标平面内坐标轴上的点集． [思路分析] 当集合中元素较少且容易一一列举出来可用 列举法；用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是什么， 满足什么条件．解答(1)可联立方程求解．解答(2)可先解方 程，再按要求改写．(3)、(4)可根据集合中元素性质改写．
[解析] (1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴－1∉A. (2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－ 3,2}，∴3∉B. (3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， ∴8∈C,9.1∉C.
5．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是 ________．
他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能 意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体．康托 尔指出：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，这个 集合就是无穷的．康托尔还给出了开集、闭集和完全集等重要 概念，并定义了集合的并与交两种运算.
§1 集合的含义与表示 第一章
课前自主预习
综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
[规律总结] 判断元素能否构成集合，关键看这些元素是 否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可 以构成集合，否则不能构成集合．
下列各组对象不能构成集合的是( ) A．著名的中国数学家 B．北京四中2014级新生 C．奇数的全体 D．2016年夏季奥运会所设的所有比赛项目 [答案] A
[规律总结] 以数或点为元素的集合分别叫作数集或点 集，这是我们研究的主要对象，因而研究集合必须搞清集合的 元素是什么．
本例做错的原因是不明白集合的代表元素(x，y)是一个点的 坐标，二元一次方程组的解只能用(x，y)或xy＝ ＝12 表示，而 1,2 是两个整数，所以不能表示点的坐标，也不能表示方程组的解．
4．集合的表示方法 (1)列举法 把集合中的元素_一__一__列__举__出__来__写在_大__括__号___内的方法． (2)描述法 用确定的条件表示某些对象_____属__于__一__个__集_，合并写在 _大__括__号____内的方法．
5．集合的分类 空集：不含任何元素，记作 ∅
集合非空集合：按 的含 个有 数元 分素 为无有限限集集： ：含 含有 有有 无限 限个 个元 元素 素
[答案] m≠0 [解析] 由集合元素的互异性，得m＋1≠1，即m≠0.
课堂典例讲练
集合的基本概念
考察下列每组对象能否构成一个集合： ①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的 正数；④直角坐标系中，第一象限内的点． [思路分析] 要判断每组对象能否构成集合，关键是分析 各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否 则不能构成集合．
预习效果展示
1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A．《成才之路》教育集团的全体员工 B．2014年全国经济百强县 C．2015年考入北京大学的全体学生 D．美国NBA的篮球明星 [答案] D
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因 为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合； 而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位 美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否能构成集 合．因为B、C、D中所给的对象都是确定的，从而可以构成集 合；而A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一 位数学家怎样才算作著名，故不能构成集合.
元素与集合的关系
若2∉{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________． [思路分析] 由题意可知，2不具备集合中元素的共同特 征，因此建立不等式即可求出a的取值范围． [规范解答] 因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－ a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 所以实数a的取值范围是{a|a≥2}． [答案] {a|a≥2}
2．元素与集合的关系
知识点 关系
概念
记法 读法
元素与 集合的 关系
属于
不属 于
如果_a_在__集__合__A_中___， 就说a属于A
_a_∈__A__
“a属于A”
如果a_不__在__集__合__A__中_，
“a不属于
就说a不属于A
__a_∉_A__
A”
3．常用数集及表示符号
定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ___N___ __N__＋__ __Z___ ___Q___ ___R___
集合中元素的性质
有关下列四个命题： ①“所有畅销的书”可构成集合； ②{1,3,5,7}与{7,3,5,1}表示同一集合； ③{x＋y＝0}表示在直角坐标平面内第二、四象限角平分 线上的点组成的集合． 其中正确的命题是________． [思路分析] 根据集合中元素的确定性、互异性、无序性 做出判断．
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成才之路·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
集合 第一章
康托尔与集合论的建立 康托尔(1845～1918)，德国数学家，集合论的创始人，生 于俄国圣彼得堡．康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗 教．他早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级 数并由此取得19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合 论和超穷数理论的建立．康托尔是在寻找函数展开为三角级数 表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性， 并开始从事无穷集合的一般理论研究．
[规范解答] 销量多大才是畅销，无明确的标准，不能客 观的评价，即对象不确定，因此命题①不正确；由元素的无序 性知，集合{1,3,5,7}与{7,3,5,1}表示同一个集合，因此命题② 正确；{x＋y＝0}表示以方程x＋y＝0为元素，是一个单元素集 合，而不是点集，第二、四象限角平分线上的点组成的集合为 {(x，y)|x＋y＝0}，所以③不正确．
情境引入导学
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意 义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合 是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔 民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一 拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民： “这就是集合！”
[规范解答] ①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性， 因此不能构成集合；②中的对象可以列举出来： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数； ③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明 确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．
[规范解答] (1)由yy＝ ＝x2x－1 ，解得xy＝ ＝11 . 故一次函数 y＝x 与 y＝2x－1 图像的交点组成的集合为 {(1,1)}． (2)方程 x(x2－1)＝0 的实数根为 0,1，－1， 故其实数根组成的集合为{－1,0,1}． (3)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x ＝5n＋1，n∈N}． (4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标其中之一为 0，故 可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
D．{x2－3x＋2＝0} Nhomakorabea[答案] C
[解析] 该集合为数集，所以A、B都不对，D是用列举法
表示，但元素为方程x2－3x＋2＝0.
4．用符号“∈”或“∉”填空． (1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A； (2)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B； (3)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C， 9．1________C. [答案] (1)∉ (2)∉ (3)∈ ∉
[答案] ②
[规律总结] (1)描述法表示集合时，首先要认清元素的性 质是什么？即元素有哪些共同属性．
(2)对于含有字母元素的处理，应讨论它确定集合的元 素，而不要被假象蒙蔽．特别是运用元素的确定性与互异性解 题时，应注意对字母进行讨论．
由实数 x、－x、|x|、 x2、－3 x3所组成的集合，最多含有
[规律总结] (1)用列举法写集合应先弄清集合中的元素 是什么，是数还是点，还是其他元素．另外还要弄清元素的个 数．做到不重不漏，一一列举出来，写在大括号内．
(2)用描述法表示集合，常用模式是{x|p(x)}，其中x是集合 的代表元素，p(x)为集合中元素所具有的共同特征．要注意竖 线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
易错疑难辨析
集合x，y32xx＋＋23yy＝＝78 ＝________.
[错解] 由23xx＋ ＋32yy＝ ＝87 解得 x＝1，y＝2， ∴集合应等于{1,2}．
[辨析] 本例主要考查集合的描述法，集合中的元素为数 对(1,2)，不是数 1,2.
[正解] ∵方程组23xx＋ ＋32yy＝ ＝87 的解为 x＝1，y＝2， ∴集合为{(1,2)}．
2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集，则有( ) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A [答案] C [解析] 3－3x>0可化为x<1,0<1，－1<1，所以0∈A，－ 1∈A.
3．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )
A．{(1,2)}
B．{(2,1)}
C．{1,2}
早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论 文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明 了即使函数f(x)在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立.1872 年康托尔在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个 定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某 种无穷集合的情形．为了描述这种集合，他首先定义了点集的 极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概 念．这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开始，并为点集 论奠定了理论基础．以后，康托尔又在《数学年鉴》和《数学 杂志》两刊上发表了许多文章．