数学高考复习名师精品教案：第29课时：第四章 三角函数-两角

一、知识梳理
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：___s_i_n_2_α_＋__c_o_s2_α_＝__1____________． (2)商数关系：tan α＝__cs_ion_s_αα_____其中α≠kπ＋π2，k∈Z.
2．三角函数的诱导公式
组数 一
二
三
四
五
六
α＋2kπ 角
(k∈Z)
4．已知 α 是三角形的内角，且 tan α＝－13，则 sin α＋cos α 的值为________． 解析：由 tan α＝－13，
得 sin α＝－13cos α，且 sin α＞0，cos α＜0，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得190cos2α＝1， 所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
所以
sin
θ－cos
θ＝－
2 3.
答案：－
2 3
02 核心考点 共研
考点一 同角三角函数的基本关系(自主练透) 复习指导：理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，csions αα＝tan α(其 中 α≠kπ＋π2，k∈Z)．
1．已知 α 是第四象限角，tan α＝－185，则 sin α＝( )
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
3．(忽视角的范围致误)已知 sin θ＋cos θ＝43，θ∈0，π4，则 sin θ－cos θ 的
值为________． 解析：因为 sin θ＋cos θ＝43，所以 sin θcos θ＝178.
又因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈0，π4，
又 2sin xcos x＝－2254＜0， 所以 cos x＞0，所以 sin x－cos x＜0，故 sin x－cos x＝－75.

(2)已知△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若2cos Csin B=sin A,则该三角形的形状是( )A.等边三角形 B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形
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[解析]在△ABC中,由2cos Csin B=sin A及正弦定理可得2bcos C=a,再利用余弦定理可得2b×=a,可得b=c,则该三角形的形状是等腰三角形,故选B.
A
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(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2=,则△ABC的形状为( )A.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形
[思路点拨] 先利用二倍角的余弦公式化简等式,再利用正弦定理边化角,然后利用两角和的正弦公式进行化简,可得C=,进而判断三角形的形状.[解析]由cos2==,得cos A==,即cos Asin C=sin B,所以cos Asin C = sin(A+C),整理得sin Acos C=0,因为0<A<π,所以sin A≠0,所以cos C=0,因为0<C<π,所以C=,故△ABC为直角三角形.故选D.
D
[总结反思]判定三角形的形状的常用途径:(1)角化边:利用正弦、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.(2)边化角:利用正弦、余弦定理化边为角,通过三角恒等变换,得出三角形内角之间的关系进行判断.
课堂考点探究
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变式题 (1)(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有( )A.若==,则△ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2<c2,则△ABC一定是钝角三角形

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2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
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3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
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3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
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命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝

第29课时：第四章 三角函数——两角和与差的三角函数一．课题：两角和与差的三角函数二．教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题． 三．教学重点：公式的灵活运用．四．教学过程： （一）主要知识：1．两角和与差的三角函数公式；二倍角公式；2．降次公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（二）主要方法：1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等．（三）例题分析：例1．已知1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈求β的值．解：∵1cos 7α=，(0,)2πα∈，∴sin 7α=，又∵11cos()14αβ+=-，(,)2παβπ+∈，∴sin α=∵1cos cos[()]cos()cos sin()sin 2βαβααβααβα=+-=+++=， 又∵(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈，(0,)βπ∈ ∴3πβ=．例2．已知A 为一三角形的內角，求222cos cos ()3y A A π=++的取值范围．解：2221cos 2()21cos 23cos cos ()322A A A A ππ+++++=+ 441cos 2cos cos 2sin sin 233A A A ππ=++-11cos 221cos(2)223A A A π=++=+-．∵A 为一三角形內角，1cos(2)123A π-<-≤，∴222cos cos ()3y A A π=++的取值范围是1(,1]2．例3．解：原式2sin 8012sin 50(cos10)++=o oo oo2sin 802sin 50cos(6010)+-=o oo oo2(50)22cos5+=o o o2cos(5045)2cos5-==o oo ．例4．是否存在两个锐角,αβ满足（1）223παβ+=；（2）tan tan 22αβ⋅=同时成立，若存在，求出,αβ的值；若不存在，说明理由．解：由（1）得23απβ+=tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ+=+=-，∴tan tan 22tan tan 32αβαβ⎧⋅=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，∴tan 22tan 1αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩或tan 2tan 12βα⎧=⎪⎨=⎪⎩（∵024απ<<，∴tan12α≠，舍去），∴64παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求满足条件的两个锐角．（四）巩固练习：1．化简1tan151tan15+-oo等于 （ A ）()A ()B 2()C 3 ()D 12．已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos2αα+=75- ．3．在ABC ∆中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则2log sin C =12- ．。