2018届高三理科数学复习跟踪强化训练：30含解析

课时跟踪检测(三)1．已知命题p ：∀x >0，x 3>0，那么綈p 是( ) A ．∃x 0≤0，x 30≤0 B ．∀x >0，x 3≤0 C ．∃x 0>0，x 30≤0 D ．∀x <0，x 3≤0答案：C解析：全称命题的否定为特称命题，所以应将“∀”改成“∃”，结论中的“>”改成“≤”．2．已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x＞1，则綈p 为( ) A ．∃x 0 ≤0，使得(x 0＋1)e x0≤1 B ．∃x 0 ＞0，使得(x 0＋1)e x0≤1 C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x≤1 答案：B解析：命题p 为全称命题，所以綈p ：∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x0≤1.3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案：B解析：当x ＝－1时，12>13，故p 为假命题．由于x 3在第一象限是增函数，1－x 2在第一象限是减函数，故有一个交点，所以命题q 为真命题．4．下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案：A解析：A 真；由x 2＋x ＝－1无解，所以x 20＋x 0＝－1不成立，B 假；由x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，C 假；x 20＋2x 0＋2＝(x 0＋1)2＋1>0，D 假．5．如果命题“p ∧q ”是假命题，綈p 也是假命题，则( )A ．命题“(綈p )∨q ”是假命题B ．命题“p ∨q ”是假命题C ．命题“(綈p )∧q ”是真命题D ．命题“p ∧(綈q )”是假命题 答案：A解析：由“綈p ”是假命题可得p 为真命题．因为“p ∧q ”是假命题，所以q 为假命题．所以命题“(綈p )∨q ”是假命题，即A 正确；“p ∨q ”是真命题，即B 错误；“(綈p )∧q ”是假命题，C 错误；“p ∧(綈q )”是真命题，即D 错误．6．已知命题p ：函数y ＝ax ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)；命题q ：已知平面α∥平面β，则“直线m ∥α”是“直线m ∥β”的充要条件．下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )答案：D解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数y ＝a x ＋1＋1是由y ＝a x先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y ＝ax ＋1＋1恒过点(－1,2)，故命题p 为真命题；命题q ：m与β的位置关系也可能是m ⊂β，故q 是假命题．所以“p ∧(綈q )”为真命题．7．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ． B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪∪∪1．给定命题p ：函数y ＝ln 为偶函数；命题q ：函数y ＝e x－1e x ＋1为偶函数．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题答案：B解析：对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln ，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1， ∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 又∵f (－x )＝ln ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x－1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x－1e －x＋1＝1e x －11ex ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题， ∴(綈p )∧q 是假命题，故选B. 2．下列说法中，正确的是( )A ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin βB ．命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＝0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＜0C ．在△ABC 中，“AB →·AC →＞0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件 D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”成立的充分不必要条件 答案：C解析：A 中，当β＝0时，显然有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故A 项错误； B 中，綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ≠0，故B 项错误；C 中，由△ABC 为锐角三角形，显然能得到AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＞0，但当AB →·AC →＞0时只能说明A 是锐角，无法说明B ，C 是否为锐角，故“AB →·AC →＞0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件；D 中，“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故D 项错误． 3．下列说法错误的是( )A ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”B ．如果命题“綈p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题C ．若命题：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0 D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件答案：D解析：否命题是条件和结论都否定，故A 正确；“綈p ”是真命题，说明p 是假命题，“p ∨q ”是真命题，说明p ，q 至少有一个为真命题，又p 是假命题，故命题q 一定是真命题，即B 正确；特称命题的否定是全称命题，C 正确；“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件，D 不正确．故选D.4．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．C ．(－∞，－2]∪答案：A解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0； 当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2， 即m ≥2.5.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且“p ∧q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0，得a ＜x ＜3a ， 即p 为真命题时，a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x >2或x <－4，即2＜x ≤3，即q 为真命题时，2＜x ≤3. (1)当a ＝1时，p ：1<x <3.由“p ∧q ”为真知p ，q 均为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3，得2＜x ＜3，所以实数x 的取值范围为(2,3)．(2)设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}， 由题意，知p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a >3，所以1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．6．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}， 对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立． 当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝－2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥12. 由题意可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <12＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a <12； 当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥12 ＝{a |a ≥1}． 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．。

齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集1=|0,A={1,2,4},5x U x N CuA x +⎧⎫∈≤=⎨⎬-⎩⎭则（ ） A. {3}B. {0，3，5}C. {3，5}D. {0，3} 【答案】D【解析】 因为全集1=|05x U x N x +⎧⎫∈≤⎨⎬-⎩⎭{}0,1,2,3,4=，{},A=1,2,4，所以{}0,3U A =，故选D.2. 已知i 为虚数单位，现有下面四个命题p 1：复数z 1=a +bi 与z 2=－a +bi ，（a ，b R ∈）在复平面内对应的点关于实轴对称；p 2：若复数z 满足(1-i )z =1+i ，则z 为纯虚数；p 3：若复数z 1，z 2满意z 1z 2R ∈，则z 2=1z ；p 4：若复数z 满足z 2+1=0，则z ＝±i .其中的真命题为（ ）A. p 1，p 4B. p 2，p 4C. p 1，p 3D. p 2，p 3 【答案】B【解析】对于11:p z 与2z 关于虚轴对称，所以1p 错误；对于2:p 由()1i 1i 1i i 1iz z +-=+⇒==-，则z 为纯虚数，所以2p 正确；对于3:p 若122,3z z ==，则126z z =，满足12z z R ∈，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以3p 不正确；4p 正确,故选B.3. 已知2:2,:,10p a q x R x ax p q >∀∈++≥是假命题,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A。

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

课时跟踪检测(三十)[高考基础题型得分练]．已知点(－)，()，动点(，)满足·＝，则点的轨迹是( )．椭圆．圆．抛物线．双曲线答案：解析：＝(－－，－)，＝(－，－)，∴·＝(－－)(－)＋＝，∴＝＋.．在△中，(＋)·＝，则△的形状一定是( )．等腰三角形．等边三角形．等腰直角三角形．直角三角形答案：解析：由(＋)·＝，得·(＋－)＝，即·(＋＋)＝，即·＝，∴⊥，∴＝°.又根据已知条件不能得到＝，故△一定是直角三角形．．[·广东深圳调研]在△中，＝＝，＝，则·＝( )．．．－．－答案：解析：由余弦定理，得＝＝＝－，所以·＝·＝××＝－，故选.．已知＝，≠，且关于的方程＋－·＝有两相等实根，则向量与的夹角是( )．－．－．答案：解析：由已知，可得Δ＝＋·＝，即＋×θ＝，∴θ＝－.又∵≤θ≤π，∴θ＝.．[·浙江杭州质量检测]设是△的外心(三角形外接圆的圆心)，若＝＋，则∠＝( )．°．°．°．°答案：解析：取的中点，连接，则＋＝.由题意，得＝，∴为的中线且为重心．又为外心，∴△为正三角形，∴∠＝°，故选.．已知＝≠，且关于的函数()＝＋＋·在上有极值，则向量与的夹角的范围是( )．．答案：解析：设与的夹角为θ.∵()＝＋＋·，∴′()＝＋＋·，∵函数()在上有极值，∴方程＋＋·＝有两个不同的实数根，即Δ＝－·＞，∴·＜.。

课时跟踪检测(二十八）1．已知向量a ,b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，7)，则a ·b ＝（ ）A ．－12B ．－20C ．12D ．20答案:A 解析：由a ＋b ＝(1,3），a －b ＝(3，7），得a ＝12＝（2，5)， b ＝错误!＝(－1，－2），a ·b ＝2×(－1)＋5×(－2）＝－12.故选A 。

2．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，7）;②e 1＝（3，5),e 2＝(6，10）;③e 1＝(2，－3)，e 2＝错误!，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③答案:B 解析：②中,e 1＝错误!e 2，即e 1与e 2共线，所以不能作为基底．3．已知点A (1,3），B (4，－1)，则与向量错误!同方向的单位向量为（ )A.错误!B．错误!C。

错误!D．错误!答案:A解析:∵错误!＝错误!－错误!＝（4，－1)－（1，3）＝(3，－4），∴与错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!.4．在△ABC中，点P在BC上,且错误!＝2错误!，点Q是AC的中点,若错误!＝(4,3)，错误!＝（1，5），则错误!＝( ）A．(－2，7）B．(－6,21）C．（2，－7）D．（6,－21)答案：B解析：错误!＝错误!－错误!＝(－3,2）．∵Q是AC的中点，∴错误!＝2错误!＝(－6,4)，PC→＝错误!＋错误!＝（－2，7)．∵错误!＝2错误!，∴错误!＝3错误!＝(－6,21)．5．已知向量a＝(1,2），b＝(1,0），c＝(3,4）．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝（)A。

错误!B．错误!C．1 D．2答案:B解析：∵a＋λb＝(1＋λ，2）,c＝(3,4），又(a＋λb)∥c，∴错误!＝错误!，∴λ＝错误!，故选B.6．设向量a＝(x,1），b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是（) A．2 B．－2C．±2 D．0答案：B解析：因为a与b方向相反，所以b＝m a，m〈0,则有(4，x）＝m(x,1），∴错误!解得m＝±2。

课时跟踪检测(三十)1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案：D解析：PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6.2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 答案：C解析：由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得 AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，即2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝( ) A ．2 3 B ．2 C ．－2 3 D ．－2答案：D解析：由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋22－322×2×2＝－12，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，故选D.4．已知|a|＝2|b|，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3C.π3 D ．2π3答案：D解析：由已知，可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.5．设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：C解析：取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →.由题意，得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°，故选C.6．已知|a|＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3答案：C解析：设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·b x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a·b ， ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b ＞0，∴a·b ＜a 24.又∵|a|＝2|b |≠0，∴cos θ＝a·b |a||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12.又∵θ∈，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，故选C. 7．若非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形 答案：C解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的平分线与BC 垂直，∴|AB →|＝|AC →|； 由AB→|AB →|·AC →|AC →|＝12知，cos A ＝12，∴A ＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．8．在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B ． C ． D ．答案：D解析：设MN 的中点为E ，则有CM →＋CN →＝2CE →， CM →·CN →＝14＝CE →2－14NM →2＝CE →2－12.又|CE →|的最小值等于点C 到AB 的距离，即322，故CM →·CN →的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222－12＝4.当点M 与点A (或B )重合时，|CE →|达到最大，易知|CE →|的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋22＝132，故CM →·CN →的最大值为6， 因此CM →·CN →的取值范围是．9．在△ABC 中，若AB →·AC →＝AB →·CB →＝2，则边AB 的长等于________． 答案：2解析：由题意知，AB →·AC →＋AB →·CB →＝4，即AB →·(AC →＋CB →)＝4，即AB →·AB →＝4，∴|AB →|＝2. 10．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的最大值为________．答案：32解析：以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则C (1,1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，设E (x,0)，x ∈，则EC →·EM →＝(1－x,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12，当x ∈时，(1－x )2＋12单调递减，当x ＝0时，EC →·EM →取得最大值32.11．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．答案：4解析：由题意，可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝2a －b2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.12．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝________.答案：23解析：∵BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →， 由BQ →·CP →＝－2，可得 ·(λAB →－AC →)＝－2.化简，得(1－λ)λAC →·AB →－(1－λ)AC →2－λAB →2＋AB →· AC →＝－2，又AC →·AB →＝0，AC →2＝4，AB →2＝1，∴－(1－λ)×4－λ×1＝－2，解得λ＝23.1．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB→＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案：B解析：因为AB ⊥BC ，点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上， 故AC 过圆心O ，PA →＋PC →＝2PO →， |PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|＝|3PO →＋OB →|.当PO →与OB →同向共线时，即B (－1,0)时，|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值7.故选B.2．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32答案：D解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象如图所示．由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是B ，C 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32.3．在△ABC 中，满足|AC →|＝|BC →|，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角C 的大小为( ) A.π3 B ．π6C.2π3D ．5π6答案：C解析：设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由(AB →－3AC →)⊥CB →，可得(AB →－3AC →)·CB →＝(AB →－3AC →)·(AB →－AC →) ＝c 2＋3b 2－4AB →·AC → ＝c 2＋3b 2－4cb cos A＝c 2＋3b 2－2(b 2＋c 2－a 2)＝0， 即b 2－c 2＋2a 2＝0.又由|BC →|＝|AC →|可得a ＝b ，则c 2＝3a 2， 由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋a 2－3a 22a 2＝－12， 所以△ABC 的内角C ＝2π3.4．已知A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上的三点，且OA →＋OB →＝OC →，其中O 为坐标原点，则▱OACB 的面积等于________．答案：32解析：如图所示，由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1知，▱OACB 是边长为1的菱形，且∠AOB ＝120°. ∴S ▱OACB ＝|OA →||OB →|sin 120°＝1×1×32＝32.5.已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：m·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)∵m·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3，∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.6．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m·n 的最小值及对应的x 值．解：(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)， 由题意知，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|的最小值为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )， 则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1. 所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。

课时跟踪检测（三十三）1．在等比数列｛a n｝中,如果a1＋a4＝18,a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( ）A．2 B．12C．2或错误!D．－2或错误!答案：C解析：设数列{a n}的公比为q，由错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，得q＝2或q＝错误!。

2．在等比数列｛a n}中,若a1＝3，a4＝24,则a3＋a4＋a5＝( ) A．33 B．72C．84 D．189答案：C解析：由已知，得q3＝错误!＝8，解得q＝2,则有a3＋a4＋a5＝a1(q2＋q3＋q4)＝3×（4＋8＋16）＝84。

3．已知x,y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz＝（）A．－3 B．±3C．－3 3 D．±3错误!答案:C解析：由等比中项知,y2＝3,∴y＝±错误!。

又∵y与－1,－3符号相同，∴y＝－错误!，y2＝xz,∴xyz＝y3＝－3错误!。

4．已知正数组成的等比数列｛a n}，若a1·a20＝100,则a7＋a14的最小值为（）A．20 B．25C．50 D．不存在答案：A解析：∵(a7＋a14）2＝a错误!＋a错误!＋2a7a14≥4a7a14＝4a1a20＝400，∴a7＋a14≥20.5．已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n＝a·2n－1＋16，则a＝( ) A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!答案:A解析：当n≥2时,a n＝S n－S n－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2。

当n ＝1时，a1＝S1＝a＋错误!,∴a＋错误!＝错误!,解得a＝－错误!.6．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1,b2，b3,9是等比数列，则错误!＝( )A.错误!B．错误!C。

310D．错误!答案：C解析：因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2,b3,9是等比数列，所以b错误!＝1×9＝9,易知b2〉0，所以b2＝3，所以错误!＝错误!.7．已知｛a n｝是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（)A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0答案:B解析：∵a3，a4，a8成等比数列,∴（a1＋3d)2＝(a1＋2d)（a1＋7d),整理，得a1＝－错误!d，∴a1d＝－错误!d2＜0。

跟踪强化训练(十八)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2516D.3115[解析] 解法一：令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A.解法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2.当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n－1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A.[答案] A2．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝( )A ．n B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．2n －1[解析] 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，所以a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，所以a n ＝n ，故选A.[答案] A3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a1·a2·a3·…·a2017＝()A．－6 B．6 C．－2 D．2[解析]∵a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，∴a2＝1＋21－2＝－3，同理，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，…，∴a n＋4＝a n，a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·a3·…·a2017＝(a1a2a3a4)504×a1＝1×2＝2.故选D.[答案] D4．(2017·衡水中学二调)已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，数列{a n＋a n＋1＋a n＋2}是公差为2的等差数列，则S25＝()A．232 B．233 C．234 D．235[解析]∵数列{a n＋a n＋1＋a n＋2}是公差为2的等差数列，∴a n＋3－a n＝(a n＋1＋a n＋2＋a n＋3)－(a n＋a n＋1＋a n＋2)＝2，∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，∴S25＝(a1＋a4＋a7＋…＋a25)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a23)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a24)＝9×1＋9×8×22＋8×2＋8×7×22＋8×3＋8×7×22＝233，故选B.[答案] B5．(2017·郑州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是()A．若a3>0，则a2013<0B．若a4>0，则a2014<0C．若a3>0，则S2013>0D．若a4>0，则S2014>0[解析] 根据等比数列的通项公式得a 2013＝a 1·q 2012＝a 3q 2010，a 2014＝a 1q 2013＝a 4q 2010，易知A ，B 错误．对于选项C ，因为a 3＝a 1q 2>0，所以a 1>0，当q >0时，任意a n >0，故有S 2013>0；当q <0时，仍然有S 2013＝a 1(1－q 2013)1－q >0，C 正确．对于选项D ，可列举公比q ＝－1的等比数列－1，1，－1,1，…，显然满足a 4>0，但S 2014＝0，故D 错误．故选C.[答案] C6．(2017·山西大同模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120[解析] 由题意可得，当n ＝4k －3(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －3＝1；当n ＝4k －2(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －2＝6－8k ；当n ＝4k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 4k－1＝1；当n ＝4k (k ∈N *)时，a n ＝a 4k ＝8k .∴a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝8， ∴S 60＝8×15＝120. [答案] D 二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1(n∈N *)，则a n ＝________.[解析] 由已知可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，因为n ＝1时不满足a n ＝2n，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥28．(2017·河南新乡三模)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________.[解析] ∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. [答案] 3n －1＋129．(2017·安徽省淮北一中高三最后一卷改编)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”，已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 2019＝20190，则b 2b 2018的最大值是________．[解析] 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是“调和数列”，所以b n ＋1－b n ＝d ，即数列{b n }是等差数列，所以b 1＋b 2＋…＋b 2019＝2019(b 1＋b 2019)2＝2019(b 2＋b 2018)2＝20190，所以b 2＋b 2018＝20.又1b n >0，所以b 2>0，b 2018>0，所以b 2＋b 2018＝20≥2b 2b 2018，即b 2b 2018≤100(当且仅当b 2＝b 2018时等号成立)，因此b 2b 2018的最大值为100.[答案] 100 三、解答题10．(2017·郑州质检)已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)由已知条件得S nn ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n (4n －3)， 当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ， 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，(n ＝2k ，k ∈N *)－2n ＋1，(n ＝2k －1，k ∈N *).11．(2017·北京海淀模拟)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)∵S n ＝2a n －a 1， ∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1，∴a n ＝2a n －2a n －1，化为a n ＝2a n －1.由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列得，2(a 2＋1)＝a 1＋a 3， ∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2. ∴a n ＝2n .(2)∵a n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2，S n ＋1＝2n ＋2－2.∴b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ＋1(2n ＋1－2)(2n ＋2－2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1. ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1. 12.(2017·山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .[解] (1)设数列{x n }的公比为q ，由已知知q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0. 因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1. 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1， 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，① 2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1.所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.。