复合函数的定义域-函数表达式的求法

关于复合函数定义域的求解方法复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义为：f(g(x))，其中g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。

定义域是指函数能够接受的数值范围。

换而言之，对于给定的函数，定义域是使其有意义的输入值的集合。

要确定复合函数的定义域，需要考虑两个方面：内层函数和外层函数。

首先，我们需要确定内层函数的定义域，然后根据内层函数的结果来确定外层函数的定义域。

内层函数的定义域确定方法如下：1.若内层函数是一个常数函数，定义域为实数集合，即：(-∞,∞)。

2.若内层函数是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。

3.若内层函数是一个分式函数，需要注意分母不能为零。

因此，需要将分母不等于零的解集作为内层函数的定义域。

4.若内层函数是一个平方根函数，需要考虑平方根中的值不能为负数，因此需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为内层函数的定义域。

确定内层函数的定义域后，我们需要将内层函数的结果作为外层函数的输入来确定外层函数的定义域。

具体方法如下：1.若外层函数是一个常数函数，定义域与内层函数的定义域相同。

2.若外层函数是一个多项式函数，其定义域与内层函数的定义域相同。

3.若外层函数是一个分式函数，需要将分母不等于零的解集作为外层函数的定义域。

4.若外层函数是一个平方根函数，需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为外层函数的定义域。

需要注意的是，在求解复合函数的定义域时，需要保证两个函数都有定义，并且内层函数的结果必须属于外层函数的定义域。

举个例子来说明复合函数的定义域的求解方法：考虑函数f(x)=√(3-2x)+1和g(x)=x^2-4x+3，我们需要确定复合函数f(g(x))的定义域。

首先，我们需要确定g(x)=x^2-4x+3的定义域。

由于这是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。

接下来，我们将g(x)的结果带入f(x)中来确定复合函数f(g(x))的定义域。

序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。

而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。

本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的 定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F=),(21x Fu =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。

[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。

例1． 已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。

（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。

当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ； 当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。

将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。

如（图1）)(x t ： )(t f ：)(x g ： -1 0 1 x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。

复合函数求解知识点总结1. 复合函数的定义在数学中，如果有两个函数f和g，那么它们的复合函数用f(g(x))表示，即先对x进行g函数操作，然后再对结果进行f函数操作。

复合函数的定义可以用以下公式表示：(f ∘ g)(x) = f(g(x))2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域对于复合函数(f ∘ g)(x)，它的定义域是g(x)的定义域中同时满足f(g(x))有意义的所有x。

（2）复合函数的值域如果f和g的值域分别为A和B，那么复合函数(f ∘ g)(x)的值域是A中所有能表示成f(g(x))的值。

3. 复合函数的求解方法（1）直接代入法直接代入法是最简单的复合函数求解方法，即将内函数的值代入外函数中进行计算。

例如，对于函数f(x)和g(x)，要求解f(g(x))时，先计算g(x)得到结果y，再将结果y代入函数f(x)中进行计算。

（2）分步求解法分步求解法是一种比较常用的复合函数求解方法。

假设要求解f(g(x))，可以将其分成两步：首先求出g(x)的值，然后再求出f(g(x))的值。

这样一步一步的分解问题，使得整个过程更加清晰和容易掌握。

（3）图像法有时候可以通过画出函数的图像来求解复合函数。

首先画出内函数g(x)的图像，然后再根据g(x)的图像来画出f(g(x))的图像，这样可以直观地看到函数的变化和求解的结果。

4. 复合函数的常见问题（1）求复合函数的导数在实际问题中，常常会遇到需要求复合函数的导数的情况。

可以利用链式法则来求解复合函数的导数。

链式法则的公式可以表示为：(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)（2）求复合函数的极限当需要求解复合函数的极限时，可以利用极限的性质和复合函数的性质来进行求解。

通常可以通过分母有理化或分子分母同时除以某个函数的方法来进行极限的求解。

（3）应用问题在实际问题中，常常会遇到需要利用复合函数进行求解的情况。

复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。

答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。

答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。

例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。

答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

求复合的定义域、值域、解析式（集锦）一、 基本类型：1、 求下列函数的定义域。

（1）12)(-+=x x x f （2）xx x x f -+=0)1()(（3） 111--=x y （4）()f x =二、复合函数的定义域1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：（1） 求函数y x =+分分式法 求21+-=x x y 的值域。

解：（反解x 法） 四、判别式法（1）求函数22221x x y x x -+=++；的值域2）已知函数21ax by x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。

五：有界性法：（1）求函数1e 1e y xx +-=的值域六、数形结合法---扩展到n 个相加（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法已知23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式.一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++求()f x 。

令x=0，y=2x 待定系数法设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).课堂练习：1．函数1211)(22+-+++=x x x x x f 的定义域为2．函数()f x =的定义域为3．已知)2(xf 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域 5．求函数)(x f ＝xx213+-（x ≥0）的值域 6.求函数322322-++-=x x x x y 的值域7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 8已知 2f (x )+f (-x )=10x , 求 f (x ).9已知 f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练：1．求函数y ＝()022x x -+要求：选择题要在旁边写出具体过程。

2018年高考数学复合函数定义域及常见函数解析式的求法总结（1）定义域一定是x的范围,注意力应放在x上,不管已知定义域,还是求定义域,都是指x范围.如f(3x+1)的定义域为[1,2]是指括号内3x+1中的x的范围是[1,2]（2）求定义域的方法是：凡是f后面括号内的范围是相同的,不管括号内是什么,通过这个求x范围如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(x)定义域由条件可得整个括号内的范围为[4,7]而f(x)中,括号内只有x,故定义域即为[4,7]再如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(1-2x)定义域由上可知括号内范围[4,7]故1-2x的范围也是[4,7]解不等式4≤1-2x≤7得出的x范围即为所求的定义域函数解析式的七种求法一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f （x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。

例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。

这种代换遵循同一函数的原则。

例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。

复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。

即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。

例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。

复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。

x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。

f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。

设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。

对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。

对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。

高中数学复合函数求导公式及法则设函数y=fu的定义域为Du，值域为Mu，函数u=gx）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

f[gx]中,设gx=u,则f[gx]=fu，从而（公式）：f'[gx]=f'u*g'x呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！f[gx]=sin2x,则设gx=2x,令gx=2x=u,则fu=sinu所以f'[gx]=[sinu]'*2x'=2cosu,再用2x代替u，得f'[gx]=2cos2x.以此类推y'=[cos3x]'=-3sinxy'={sin3-x]'=-cosx一开始会做不好，老是要对照公式和例子，但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。

证法一：先证明个引理fx在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域Ux0内，存在一个在点x0连续的函数Hx,使fx-fx0=Hxx-x0从而f'x0=Hx0证明：设fx在x0可导，令 Hx=[fx-fx0]/x-x0,x∈U'x0x0去心邻域；Hx=f'x0,x=x0因limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=f'x0=Hx0所以Hx在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0反之，设存在Hx,x∈Ux0,它在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0因存在极限limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=limx->x0f'x=Hx0所以fx在点x0可导，且f'x0=Hx0引理证毕。

设u=φx在点u0可导，y=fu在点u0=φx0可导，则复合函数Fx=fφx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证明：由fu在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数Hu,使f'u0=Hu0,且fu-fu0=Huu-u0又由u=φx在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数Gx,使φ'x0=Gx0,且φx-φx0=Gxx-x0于是就有，fφx-fφx0=Hφxφx-φx0=HφxGxx-x0因为φ，G在x0连续，H在u0=φx0连续，因此HφxGx在x0连续，再由引理的充分性可知Fx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证法二：y=fu在点u可导，u=gx在点x可导，则复合函数y=fgx在点x0可导，且dy/dx=dy/du*du/dx证明：因为y=fu在u可导，则limΔu->0Δy/Δu=f'u或Δy/Δu=f'u+αlimΔu->0α=0当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'uΔu+αΔu但当Δu=0时，Δy=fu+Δu-fu=0,故上等式还是成立。

配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。

f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。

f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

数学中的复合函数函数的复合与分解数学中的复合函数：函数的复合与分解数学中的复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数。

在数学领域中，复合函数是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析各种数学问题。

本文将介绍复合函数的概念，以及如何进行函数的复合与分解。

一、复合函数的定义与性质复合函数是由两个或多个函数构成的新函数。

设有函数f(x)和g(x)，如果g的定义域是f的值域，那么可以定义g与f的复合函数，记作g(f(x))，它的定义为：g(f(x))=g∘f(x)。

复合函数的计算方式是先计算内层函数（即f(x)），再将结果作为外层函数（即g(x)）的自变量进行计算。

复合函数的性质包括：1. 结合律：对于函数f(x)，g(x)和h(x)，有(g∘f)∘h=g∘(f∘h)，即复合函数的结果与计算顺序无关。

2. 幺元：对于任意函数f(x)，都有f∘I(x)=f(x)，其中I(x)是恒等函数。

3. 逆元：对于可逆函数f(x)，复合函数f∘f^(-1)(x)和f^(-1)∘f(x)都等于自变量x。

二、函数的复合与分解函数的复合与分解是指利用已知的函数（包括基本函数和已知的复合函数）构造新的函数或将一个函数分解成多个函数的组合。

1. 函数的复合函数的复合即为将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

设有函数f(x)和g(x)，函数g的定义域是f的值域，那么可以定义g与f的复合函数，记作g(f(x))，表示先通过函数f(x)计算出一个中间结果，再将该结果作为g(x)的输入进行计算。

例如，设f(x)=2x，g(x)=x+1，那么可以计算g(f(x))，首先计算f(x)=2x，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=f(x)+1=2x+1。

2. 函数的分解函数的分解是将一个函数拆解成多个函数的组合。

这在求解复杂函数问题时非常有用。

分解可以按照多种方式进行，取决于具体的问题和需要。

例如，设有复合函数g(f(x))=h(x)，我们可以将g(x)拆解为f(x)和h(x)的组合，即g(x)=f(h(x))。