土木工程《分层法》例题详解

例:如图1所示一个二层框架,忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移,用分层法计算框架的弯矩图,括号内的数字,表示各梁、柱杆件的线刚度值(EIil)。

图1解:1、图1所示的二层框架,可简化为两个如图2、图3所示的,只带一层横梁的框架进行分析。

图2 二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数采用分层法计算时,假定上、下柱的远端为固定,则与实际情况有出入。

因此,除底层外,其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。

底层柱的弯矩传递系数为12,其余各层柱的弯矩传递系数为13。

各层梁的弯矩传递系数,均为12。

图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数计算各节点处的力矩分配系数时,梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算,如:G节点处:7.630.6687.63 3.79GH GHGHGH GDGjGi ii iiμ====++∑GD3.790.3327.63 3.79GD GDGH GDGjGi ii iiμ====++∑H节点处:7.630.3537.63 3.7910.21HG HGHGHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HI HIHIHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HE HEHEHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑同理,可计算其余各节点的力矩分配系数,计算结果见图6、图7。

图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩(1)第二层:①计算各梁杆端弯矩。

先在G、H、I节点上加上约束,详见图8图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩(顺时针转向为正号),写在各梁杆端下方,见图9:213.13kN m 12F GHql M =-=-⋅213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HI ql M=-=-⋅27.32kN m 12F IHql M==⋅ 在节点G 处,各梁杆端弯矩总与为:13.13kN m FG GH M M ==-⋅在节点H 处,各梁杆端弯矩总与为:13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅在节点I 处,各梁杆端弯矩总与为:7.32kN m F I IH M M ==⋅②各梁端节点进行弯矩分配,各两次,详见图9 第一次弯矩分配过程:放松节点G,即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅,乘以相应分配系数0、668与0、332,得到梁端+8.76kN m ⋅与柱端+4.37kN m ⋅,+8.76kN m ⋅按12传到GH 梁H 端;放松节点I,即在节点I 处施加力矩7.32kN m -⋅,乘以相应分配系数0、935与0、065,得到梁端 6.32kN m -⋅与柱端+1.00kN m ⋅, 6.32kN m -⋅按12传到IH 梁H 端;放松节点H,相应的在节点H 处新加一个外力偶矩,其中包括GH 梁右端弯矩、IH 梁左端弯矩、GH 梁与IH 梁传来的弯矩。

题：如图为两层两跨框架，各层横梁上作用均布荷载，图中括号内数值表示杆件的相对刚度值，梁跨度值与柱高以mm为单位。

试用分层法计算各杆件的弯矩，并绘出弯矩图。

q=2.8kn/m
(3800)
(4000)
7500 5600
解：由分层法的假定，除底层以外其他各层柱的线刚度都乘以0.9的折减系数，除底层柱外其他各层柱的弯矩传递系数取为1/3.
由弯矩分配法分别计算顶层及底层弯矩：
顶层弯矩分配图
顶层弯矩分配图
底层弯矩分配图
1.18 G 0.46 H 0.20 I
18.93
10.36 15.81
1.95
6.78 E 0.59 1.33
D 3.54 1.37 1.74 F
3.39 0.87 0.67
A B C
底层弯矩分配图
将各层弯矩图叠加，可得到整个框架结构的弯矩图。

叠加后各框架节点的弯矩很显然不相等，对节点不平衡弯矩再分配修正，得到整体框架的弯矩图如下：。

例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号的数字，表示各梁、柱杆件的线刚度值（EIil ）。

图1解：1、图1所示的二层框架，可简化为两个如图2、图3所示的，只带一层横梁的框架进行分析。

图2 二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数采用分层法计算时，假定上、下柱的远端为固定，则与实际情况有出入。

因此，除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。

底层柱的弯矩传递系数为12，其余各层柱的弯矩传递系数为13。

各层梁的弯矩传递系数，均为12。

图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数计算各节点处的力矩分配系数时，梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算，如：G节点处：7.630.6687.63 3.79GH GHGHGH GDGjGi ii iiμ====++∑GD3.790.3327.63 3.79GD GDGH GDGjGi ii iiμ====++∑H节点处：7.630.3537.63 3.7910.21HG HGHGHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HI HIHIHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HE HEHEHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑同理，可计算其余各节点的力矩分配系数，计算结果见图6、图7。

图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩（1）第二层：①计算各梁杆端弯矩。

先在G、H、I节点上加上约束，详见图8图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方，见图9：213.13kN m 12FGHql M =-=-⋅213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HIql M=-=-⋅27.32kN m 12F IHql M==⋅ 在节点G 处，各梁杆端弯矩总和为：13.13kN m FG GH M M ==-⋅在节点H 处,各梁杆端弯矩总和为：13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅在节点I 处，各梁杆端弯矩总和为：7.32kN m F I IH M M ==⋅②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，详见图9 第一次弯矩分配过程：放松节点G ，即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅，乘以相应分配系数0.668和0.332，得到梁端+8.76kN m ⋅和柱端+4.37kN m ⋅，+8.76kN m ⋅按12传到GH 梁H 端；放松节点I ，即在节点I 处施加力矩7.32kN m -⋅，乘以相应分配系数0.935和0.065，得到梁端 6.32kN m -⋅和柱端+1.00kN m ⋅， 6.32kN m -⋅按12传到IH 梁H 端；放松节点H ，相应的在节点H 处新加一个外力偶矩，其中包括GH 梁右端弯矩、IH 梁左端弯矩、GH 梁和IH 梁传来的弯矩。

分层法例：某教学楼为四层现浇钢筋混凝土框架结构。

梁的截面尺寸：250mm×600mm，混凝土采用C20；柱的截面尺寸：450mm×450mm，混凝土采用C30。

试按分层法计算钢筋混凝土框架的弯矩，并绘出弯矩图。

屋面和楼面荷载标准值见下表。

解：（1）计算梁、柱线刚度1）梁的线刚度边跨梁：k b=E b I b/l=[25.5×106×（1/12）×0.25×0.63×1.5]/5.7=24.16×103kN·m（框架梁截面惯性矩增大系数均采用1.5）中跨梁：k b=E b I b/l=[25.5×106×（1/12）×0.25×0.63×2.0]/3.00=45.90×103kN·m2）柱的线刚度底层柱：k c=E c I c/h=[30×106×（1/12）×0.45×0.453]/4.55=22.53×103kN·m 其他层柱：k c=E c I c/h=[30×106×（1/12）×0.45×0.453]/3.60=28.48×103kN·m（2）计算分配系数除底层外，各层柱的线刚度应乘以0.9。

（3）荷载分析1）屋面梁上线荷载设计值恒载：1.2[（2.93+1.00+2.60）×4.5+0.25×0.60×25×1.2]=40.67kN/m 活载： 1.4×0.7×4.5=4.41kN/m （系数1.2为考虑梁挑檐及抹灰重的系数）q1=45.08kN/m 2）楼面梁上线荷载设计值教室恒载：1.2[（1.10+1.00+2.60）×4.5+0.25×0.60×25×1.2]=30.78kN/m活载： 1.4×2.00×4.5×0.9=11.34kN/m （系数0.9为屋面及楼面活荷载折减系数）q2=42.12kN/m 走道恒载：30.78kN/m 活载： 1.4×2.50×4.5×0.9=14.18kN/mq3=44.96kN/m（4）梁端固端弯矩M F顶层边跨梁（教室）：M F=q1l12/12=45.08×5.72/12=122.05kN·m中跨梁（走道）：M F=q1l22/3=45.08×（3/2）2/3=33.81kN·m其他层边跨梁（教室）：M F=q2l12/12=41.12×5.72/12=114.04kN·m中跨梁（走道）：M F=q3l22/3=44.96×（3/2）2/3=33.72kN·m（5）弯矩分配与传递（用弯矩分配法计算）1）屋面层列表计算，如表1。

例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号的数字，表示各梁、柱杆件的线。

图1解：1、简化为两个图：图2、图3所示图2 第二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。

底层柱的弯矩传递系数为1/2，其余各层柱的弯矩传递系数为1/3。

各层梁的弯矩传递系数，均为1/2.图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数 如：G 节点处：7.630.6687.63 3.79GHGH GH GH GD GjGi i i i iμ====++∑ GD 3.790.3327.63 3.79GDGD GH GD GjGi i i i iμ====++∑H 节点处：7.630.3537.63 3.7910.21HGHG HG HG HE HI HjHi i i i i iμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HIHI HI HG HE HI HjHi i i i i iμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HEHE HE HG HE HI HjHi i i i i iμ====++++∑其余各节点的力矩分配系数见图6、图7。

图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩（1）第二层： ①计算各梁杆端弯矩。

将各杆变成单跨梁，刚节点看成是固定端。

图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号左负右正），213.13kN m 12F GHql M=-=-⋅ 213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HIql M=-=-⋅ 27.32kN m12F IH ql M ==⋅ ②各梁端节点进行负弯矩分配和传递，各两次，第一次负弯矩分配与传递后再进行第二次负弯矩分配与传递：③计算各柱的杆端弯矩。

第5章 框架结构设计5.1 结构布置框架结构布置主要是确定柱在平面上的排列方式（柱网布置）和选择结构承重方案，这些均必须满足建筑平面及使用要求，同时也须使结构受力合理，施工简单。

5.1.1 柱网和层高工业建筑柱网尺寸和层高根据生产工艺要求确定。

常用的柱网有内廊式和等跨式两种。

内廊式[图2.1.1(a)]的边跨跨度一般为6~8m ，中间跨跨度为2~4m 。

等跨式的跨度一般为6~12m 。

柱距通常为6m ，层高为3.6m~5.4m 。

民用建筑柱网和层高根据建筑使用功能确定。

目前，住宅、宾馆和办公楼柱网可划分为小柱网和大柱网两类。

小柱网指一个开间为一个柱距[图5.1.1(a,b)]，柱距一般为3.3m ，3.6m ，4.0m 等；大柱网指两个开间为一个柱距[图5.1.1(c)]，柱距通常为6.0m ，6.6m ，7.2m ，7.5m 等。

常用的跨度（房屋进深）有：4.8m ，5.4m ，6.0m ，6.6m ，7.2m ，7.5m 等。

宾馆建筑多采用三跨框架。

有两种跨度布置方式：一种是边跨大、中跨小，可将卧室和卫生间一并设在边跨，中间跨仅作走道用；另一种则是边跨小、中跨大，将两边客房的卫生间与走道合并设于中跨内，边跨仅作卧室，如北京长城饭店[图5.1.1(b)]和广州东方宾馆[图5.1.1(c)]。

办公楼常采用三跨内廊式、两跨不等跨或多跨等跨框架，如图2.1.1(a),(b),(c)。

采用不等跨时，大跨内宜布置一道纵梁，以承托走道纵墙。

近年来，由于建筑体型的多样化，出现了一些非矩形的平面形状，如图2.1.1(d),(e),(f)所示。

这使柱网布置更复杂一些。

5.1.2 框架结构的承重方案（1）横向框架承重。

主梁沿房屋横向布置，板和连系梁沿房屋纵向布置[图5.1.2(a)]。

由于竖向荷载主要由横向框架承受，横梁截面高度较大，因而有利于增加房屋的横向刚度。

这种承重方案在实际结构中应用较多。

（2）纵向框架承重。

例:如图1所示一个二层框架,忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移,用分层法计算框架的弯矩图,括号内的数字,表示各梁、柱杆件的线刚度值(EIil)。

图1解:1、图1所示的二层框架,可简化为两个如图2、图3所示的,只带一层横梁的框架进行分析。

图2 二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数采用分层法计算时,假定上、下柱的远端为固定,则与实际情况有出入。

因此,除底层外,其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。

底层柱的弯矩传递系数为12,其余各层柱的弯矩传递系数为13。

各层梁的弯矩传递系数,均为12。

图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数计算各节点处的力矩分配系数时,梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算,如:G节点处:7.630.6687.63 3.79GH GHGHGH GDGjGi ii iiμ====++∑GD3.790.3327.63 3.79GD GDGH GDGjGi ii iiμ====++∑H节点处:7.630.3537.63 3.7910.21HG HGHGHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HI HIHIHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HE HEHEHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑同理,可计算其余各节点的力矩分配系数,计算结果见图6、图7。

图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩(1)第二层:①计算各梁杆端弯矩。

先在G、H、I节点上加上约束,详见图8图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩(顺时针转向为正号),写在各梁杆端下方,见图9:213.13kN m 12F GHql M =-=-⋅213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HI ql M=-=-⋅27.32kN m 12F IHql M==⋅ 在节点G 处,各梁杆端弯矩总与为:13.13kN m FG GH M M ==-⋅在节点H 处,各梁杆端弯矩总与为:13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅在节点I 处,各梁杆端弯矩总与为:7.32kN m F I IH M M ==⋅②各梁端节点进行弯矩分配,各两次,详见图9 第一次弯矩分配过程:放松节点G,即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅,乘以相应分配系数0、668与0、332,得到梁端+8.76kN m ⋅与柱端+4.37kN m ⋅,+8.76kN m ⋅按12传到GH 梁H 端;放松节点I,即在节点I处施加力矩7.32kN m-⋅,乘以相应分配系数0、935与0、065,得到梁端 6.32kN m-⋅与柱端+1.00kN m⋅, 6.32kN m-⋅按12传到IH梁H端;放松节点H,相应的在节点H处新加一个外力偶矩,其中包括GH梁右端弯矩、IH梁左端弯矩、GH梁与IH梁传来的弯矩。