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3-3 模糊逻辑及不精确推理方法3-3-1 模糊逻辑3-3-1-1 模糊、概率和传统精确逻辑之间的关系传统逻辑：强调精确性、严格性。
概率事件的结局是：非此即彼。
模糊事件的结局是：亦此亦彼。
另外，处理概率问题和模糊问题的具体方法也不一样。
3-3-1-2 模糊逻辑的历史100多年前，Peirce 指出了模糊性在思维中的重要作用； 1923年Russel 再次指出这一点；1937年美国哲学家Black 首先对“模糊符号”进行了研究； 1940年德国数学家Weyl 开始研究模糊谓词；1951年法国数学家Menger 第一个使用“模糊集”术语（但解释仅在概率意义上）；1965年Zadeh 发表了著名的“模糊集”论文。
模糊术语或模糊现象：“年轻”、“派头大”“一般”“可接受”“舒服”等。
3-3-1-3 模糊集合论一. 引入传统集合论中，一个对象是否属于一个集合是界线分明的。
可以用其特征函数⎩⎨⎧∉∈=A x Ax x C A ,0,1)(表示。
)(x C A 定义在某集合B 上，则称A 是B 的一个分明子集。
在模糊集理论中，)(x C A 仍然定义在B 上，但取值是0到1之间的任何实数（包含0和1）。
此时，A 是模糊子集。
B 的元素x 可以： 属于A （即)(x C A =1）； 或不属于A （即)(x C A =0）；或“在一定程度上”属于A （即0<)(x C A <1）。
一般，称模糊子集A 的特征函数)(x C A 为隶属函数，表示其在B 元素x 上的取值对A 的隶属度，用)(x A μ表示。
B 的模糊子集A 可表示为：}|))(,{(B x x x A A ∈=μ。
注：非空集合B 可以有无穷多个互不相同的模糊子集。
而空集只有一个模糊子集。
例子：各年龄阶段的人的集合。
则如果用B ：表示各种年龄人的集合（实际上是一个小于人类最大岁数的整数集合）；青年集合A 是B 的一个子集。
则一个人属于青年的程度随其年龄而不同。
模糊推理方法模糊推理方法是一种基于模糊逻辑的推理方法，它不同于传统的二值逻辑推理，而是考虑了事物之间的不确定性和模糊性。
在现实生活中，我们经常面对各种模糊的问题，例如天气预报、医学诊断、金融风险评估等等，这些问题都存在一定的模糊性和不确定性。
而模糊推理方法正是为了解决这些模糊问题而被提出的。
模糊推理方法的核心是模糊集合理论，它将模糊性作为一个数学概念进行描述。
在模糊集合理论中，每个元素都可以具有一定的隶属度，表示该元素属于该模糊集合的程度。
通过模糊集合的隶属度，我们可以对事物进行模糊分类和模糊推理。
模糊推理方法主要包括模糊逻辑推理和模糊数学推理两种形式。
模糊逻辑推理是通过对模糊命题的模糊逻辑运算，推导出模糊结论的过程。
模糊数学推理则是利用模糊数学的方法，通过模糊关系的运算，得出模糊结论的过程。
在模糊推理方法中，常用的推理规则包括模糊蕴涵规则、模糊合取规则、模糊析取规则等。
这些推理规则可以根据具体的问题和需求进行选择和组合，以实现对模糊问题的推理和决策。
模糊推理方法的应用非常广泛。
在天气预报中，由于气象数据的不确定性和模糊性，传统的二值逻辑推理往往无法准确预测天气情况。
而模糊推理方法可以通过对多个气象数据的模糊运算，得出更准确的天气预报结果。
在医学诊断中，由于病情的复杂性和多样性，传统的二值逻辑推理往往无法全面考虑各种可能性。
而模糊推理方法可以通过对病情特征的模糊分类和模糊推理，提供更全面的医学诊断结果。
除了天气预报和医学诊断，模糊推理方法还广泛应用于金融风险评估、交通流量预测、工程管理等领域。
在金融风险评估中，由于金融市场的不确定性和复杂性，传统的二值逻辑推理往往无法准确评估风险。
而模糊推理方法可以通过对各种金融指标的模糊运算，得出更准确的风险评估结果。
在交通流量预测中，由于交通数据的不确定性和随机性，传统的二值逻辑推理往往无法准确预测交通流量。
而模糊推理方法可以通过对多个交通数据的模糊运算，得出更准确的交通流量预测结果。
第三章模糊认知图3.1认知图因果知识通常涉及许多相互作用的事物及其关系，由于缺乏有力的分析工具，因此，对这类知识的处理显得比较困难。
在这种情况下，一些其它技术包括定性推理技术就被应用到因果知识的处理中。
认知图就是这种定性推理技术的一种。
认知图是一个新兴的研究领域，它是一种计算智能，提供了一个有效的软计算工具来支持基于先验知识的自适应行为。
对它的研究涉及到模糊数学、模糊推理、不确定性理论及神经网络等诸多学科。
认知图的显著特点就是可利用系统的先验知识、并对复杂系统的子系统具有简单的可加性，能表示出用树结构、Bayes网络及Markov模型等很难表示的具有反馈的动态因果系统。
在认知图中很容易鸟瞰系统中各事物间如何相互作用，每个事物与那些事物具有因果关系。
认知图通常由概念(concept)与概念间的关系(relations of concepts)组成。
概念(用节点表示)可以表示系统的动作、原因、结果、目的、感情、倾向及趋势等，它反映系统的属性、性能与品质。
概念间的关系表示概念间的因果关系(用带箭头的弧表示，箭头的方向表示因果联系的方向)。
3.2认知图的发展简史认知图首先由Tloman于1948年在 Cognitive Maps in Rats and Men一文中提出的，其最初目的是想为心理学建立一个模型，此后认知图便被应用到其他方向和领域中。
人们把认知图描述为有向图，认为认知图是由一些弧连接起来节点的集合，但不同的学者对弧与节点赋予不同的含义。
1955年Kelly依据个人构造理论(Personal construct theory)提出了认知图，概念间的关系是三值的，即利用“+”、“-"表示概念间不同方向因果关系的影响效果，“O”表示概念间不具有因果关系。
1976年Axelord在 structure of Decision –The Cognitive Maps of Political Elites 中提出的认知图比Kelly的更接近于动态系统。
第三章 模糊推理 §3.1 模糊推理一、模糊条件语句 （一）模糊语言 1．模糊语言定义带有模糊性的语言。
如“小王很年轻”、“今天是个好天气”等。
定义：由4个参数U 、T 、E 、N 描述的系统，即L=（U ，T ，E ，N ）其中：U ——语言主体的全体，即论域。
T ——词或项的模糊集合，称为项集合，分为原子词与合成词，原子词如：人、狗，黑，快、美丽等不可再分解；合成词如：红花，可分解成“红”、“花”两个原子词。
E ——名词记号间的连接总和，称其为对T 的嵌入集合。
T 是E 的模糊子集。
E 对T 有：]1,0[:→E T μ即词)(E x x ∈对T 的隶属函数)(x T μ定义在闭区间[0，1]之内。
N ——是E 对U 的模糊关系。
称其为命名关系，有：]1,0[:→⨯U E N μ即隶属函数]1,0[),(∈y x N μ是U y E x ∈∈,两个变量的函数。
例：设x 为单词“高个子”，y 为成年男子的身高（cm ），则有：）高个，155(N μ=0.2）高个，163(N μ=0.5 ）高个，177(N μ=0.9 ）高个，190(N μ=1 2．语言变量以自然语言中的字或句，而不是以数做值的变量，如：年龄、大小、高低、快慢等。
定义：语言变量由一个五元体（N ，U ，T （N ）、G ，M ）来表征，其中：（1）N 是语言变量名称，如年龄、大小等。
（2）U 是N 的论域。
（3）T （N ）是语言变量值X 的集合，其中每个X 都是论域U 上的模糊集合，如：T （N ）=T （年龄）=“很年轻”+“年轻”+“中年”+“较老”+“很老” =54321X X X X X ++++（4）G 是语法规则，用于产生语言变量N 的值X 的名称，研究原子词构成合成词后词义的变化，并求取其隶属函数，如：否定词“非”的隶属函数：A A ~~1μμ-= 连结词“或”的隶属函数：B A B A ~~~~μμμ∨= 连结词“与”的隶属函数：B AB A ~~~~μμμ∧= 修饰词“极”、“非常”、“相当”、“比较”、“略”、“稍微”的隶属函数：4~~A Aμμ=极、2~~A A μμ=非常、25.1~~A A μμ=相当、75.0~~A A μμ=比较、5.0~~A A μμ=略、25.0~~AA μμ=稍微 上述加重或减弱语气的词可视为一种模糊算子，其中“极”、“非常”、“相当”称为集中化算子，“比较”、“略”、“稍微” 称为散漫化算子，二者统称为语气算子。
例：查德在论域U=[0，100]岁内给出了“年龄”的语言变量值“老”的模糊子集隶属函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<=-50,)550(1150,0)(2~x x x x 老μ现以60岁为例，通过隶属函数分别计算它属于“极老”、“非常老”、“相当老”、“比较老”、“略老”、“稍微老”的程度为：4~~]60[60）（）（老老极μμ==48.0）（=0.41 2~~]60[60）（）（老老非常μμ==28.0）（=0.64 25.1~]60[60）（）（老相当老μμ==25.18.0）（=0.757 75.0~~]60[60）（）（老老比较μμ==75.08.0）（=0.845 5.0~~]60[60）（）（老老略μμ==5.08.0）（=0.89 25.0~~]60[60）（）（老老稍微μμ==25.08.0）（=0.946 （5）M 是语义规则，根据语义规则给出模糊子集X 的隶属函数。
（二）模糊语句 1．模糊直言语句句型：“A ~是1~A ”A ~是对象的名称。
1~A 是论域U 上的一个模糊子集。
例：“A ~是非常小”是一个模糊直言语句，其中模糊子集“非常小”可由论域U=｛1，2，3，4，5｝上的模糊子集52.044.036.028.011~++++=小求得，即： 2~~~~）小（小常非==504.0416.0336.0264.011~++++=小 2．模糊条件语句 常用句型：（1）若“A ~则B ~”型，记为if A ~then B ~。
例如：对加热炉的炉温控制者，控制策略为“若温度偏低，则增加燃料量”。
A ~和B ~为不同论域上的模糊集合。
（2）若“A ~则B ~否则C ~”型，记为if A ~ then B ~ else C ~。
例如：控制策略为“若温度偏低，则增加燃料量, 否则减少燃料量”。
B ~和C ~为同一论域上的模糊集合，A ~与B ~、C ~的论域不同。
（3）若“A ~且B ~则C ~”型，记为if A ~ and B ~ then C ~。
反映双输入单输出的一种控制策略。
例如：控制策略为“若温度偏低（A ~），且温度有继续下降趋势（B ~），则增加燃料量”（C ~）。
A ~、B ~、C ~分属三个不同的论域。
（4）复杂控制策略双输入双输出：若“A ~且B ~则C ~则D ~”if A ~ and B ~ then C ~ else D ~双输入三输出:若“A ~且B ~则C ~则D ~则E ~”if A ~ and B ~ then C ~ else D ~ else E ~二、模糊推理推理方式：直接推理、演绎推理、归纳推理、类比推理等。
（一）假言推理假言推理属于演绎推理，是最常用的一种方法。
基本规则： 若A ，则B ； 如今A ； 结论B 。
例：A 为“小王住院”，B 为“小王生病”，如今“小王住院”为真，结论“小王生病”也真。
（二）模糊推理 1．模糊假言推理上述命题A 、B 是指精确事件，若在模糊情况下，A ~与B ~为模糊命题，代表模糊事件，不能用传统的形式逻辑中的假言推理方法进行推理，查德提出了以下近似推理理论。
若“A ~则B ~”型，记为if A ~then B ~设X 和Y 是两个各自具有基础变量x 和y 的论域，其中模糊集合X A ∈~及Y B ∈~的隶属函数分别为)(~x A μ及)(~y B μ。
又设BA R ~~~→是Y X ⨯论域上描述模糊条件语句“若A ~则B ~”的模糊关系，其隶属函数为：)](1[)]()([),(~~~~~x y x y x AB A B Aμμμμ-∨∧=→ 模糊关系BA R ~~~→可写成： ]~[]~~[~~~E A B A R BA ⨯⨯=→ 其中E 为代表全域的全称矩阵。
近似推理情况下的假言推理逻辑结构：若A ~则B ~；如今1~A ；结论BA R AB ~~11~~~→= 。
其中BA R AB ~~11~~~→= 表征合成推理规则，算符“ ”代表合成运算。
推理合成规则是假言推理的近视推广。
例：设论域X =54321a a a a a ++++和Y =54321b b b b b ++++上的模糊子集A ~=小~=215.01a a +及B ~=大~=5411b b +，Y X ⨯上的模糊关系为“若x 小，则y 大”（即若A ~则B ~）。
求通过模糊假言推理确定，与“x 为较小”即与模糊集合1~A =小较~~=3212.04.01a a a ++对应的模糊集合1~B 。
解：（1）计算模糊关系BA R ~~~→，即： ]~[]~~[~~~E A B A R ⨯⨯=→ 大小=[][]111111115.0015.00000005.01⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111115.05.05.05.05.0000000000000000000005.05.000015.0000=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111115.05.05.05.05.015.0000（2）由已知1~A 及模糊关系BA R ~~~→的合成运算，求1~B ： 大小~~11~~~→=R A B =[][]15.04.04.04.01111111111111115.05.05.05.05.015.0000002.04.01=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡与大~=[0 0 0 0.5 1]相比较，可得出： 1~B =大较~~。
2．模糊条件推理（1）若“A ~则B ~”型，模糊条件语句“if A ~then B ~” 的模糊条件推理即为上述推理过程。
（2）若“A ~则B ~否则C ~”型，模糊条件语句“if A ~ then B ~ else C ~”的模糊条件推理设A ~是论域X 上的模糊子集，B ~及C ~是论域Y 上的模糊子集，则“if A ~then B ~ else C ~”在论域Y X ⨯上的模糊关系R ~为：]~~[]~~[~C A B A R ⨯⨯=基于推理合成规则，根据模糊关系R ~求得与已知模糊集合1~A 对应的模糊集合1~B 为：R A B ~~~11 =（3）若“A ~且B ~则C ~”型，模糊条件语句“if A ~ and B ~ then C ~” 的模糊条件推理设A ~、B ~和C ~分别是论域X 、Y 和Z 上的模糊子集（一般A ~、B ~是模糊控制器的输入模糊集合，C ~是其输出模糊集合，双输入单输出系统，常用，如图。
例如A ~是过程误差信号论域上的模糊子集,E ~、B ~是其误A 双输入单输出系统（E）差变化率信号论域上的模糊子集C E ~、C ~是其模糊控制器输出信号论域上的模糊子集U ~），则“if A ~and B ~then C ~”所决定的为三元模糊关系R ~，即：C B A R T ~]~~[~1⨯⨯=其中1]~~[T B A ⨯为由模糊关系矩阵m n B A ⨯⨯]~~[构成的nm 维列向量，n 和m 分别为模糊集合1~A 和1~B 的论域元素数目。
（注意： 1T 是变成nm 维列向量符号）基于推理合成规则，根据模糊关系R ~求得与给定输入模糊集合1~A 及1~B 对应的输出模糊集合1~C ，即为：R B A C T ~]~~[~2111 ⨯=其中2]~~[11T B A ⨯为由模糊关系矩阵m n B A ⨯⨯]~~[11构成的nm 维行向量。
（注意： 2T 是变成nm 维行向量符号）例：设论域X ={}321,,a a a 、Y ={}321,,b b b 、Z ={}21,c c ，已知模糊集合：A ~=3211.015.0a a a ++，X A ∈~ B ~=3216.011.0b b b ++，Y B ∈~ C ~=2114.0c c +， Z C ∈~试确定模糊条件语句“if A ~ and B ~ then C ~”所决定的模糊关系R ~，并计算由给定输入模糊集合：1~A =3211.05.01a a a ++及1~B =32115.01.0b b b ++决定的输出模糊集合1~C 。
