函数展开成傅里叶级数

第十五章 傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

011()0,a f x dx xdx p p p p p p--===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nxnxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx np pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò 21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3n n nx f x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）1. 在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数：(1) (),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<<(2)2(),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<< （3）,0(),(,0,0).,0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩解 （1）()i()f x 是x ππ-<<的奇函数，所以0,1,2,n a n ==1022cos (1)2sin ,n n n b x nxdx n nπππ---===⎰因()f x 在x ππ-<<连续且光滑，所以11(1)2sin ,(,).n n x nx x n ππ-∞=-=∈-∑()ii 20012,a xdx πππ==⎰201cos 0,n a x nxdx ππ==⎰2012sin(),n b x nx dx nππ==-⎰因()f x 在(0,2)π上光滑且连续，所以1sin 2,(0,2).n nxx x n ππ∞==-∈∑（2） (i) 2()f x x =是(,)ππ-上的偶函数,故0,1,2,;n b n ==2012()3a f x dx ππππ-==⎰,222311sin 2cos 2sin ()cos cos n x nx nx nx nxf x nxdx x nxdx nπππ+-==⎰⎰ 223221sin 2cos 2sin 4(1)4()cos cos (1)n n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n n n πππππππ--+--====≥⎰ 又2()f x x =在(,)ππ-上光滑，故22211(1)4,(,).3n nn x x x n πππ∞=-=+∈-∑ (ii) 222200118()3a f x dx x dx πππππ===⎰⎰，22223201sin 2cos 2sin 4()cos (1),n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n ππππ+-===≥⎰ 222231cos 2cos 2sin 4()sin (1).n n x nx nx nx nx b f x nxdx n n n πππππ-++===-≥⎰又2()f x x =在(0,2)π上光滑，故22214cos 4(sin ),(0,2).3n nx x nx x n n πππ∞==+-∈∑(3)00011()[](),2a f x dx axdx bxdxb a πππππππ--==+=-⎰⎰⎰002211()cos [cos cos ]2(), (cos 1)0, n a f x nxdx ax nxdx bx nxdx a b n b a n n n n πππππππππ--==+-⎧-⎪=-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为奇数为偶数10011(1)()sin [sin sin ]cos (),n n a b b f x nxdx ax nxdx bx nxdx n a b n nπππππππ+--+-==+=-=+⎰⎰⎰所以1112()1(1)()cos(21)()sin ,4(21)n n n b a a b f x n x a b nx n n ππ+∞∞==---=+-++-∑∑(,).x ππ∈- 2. 把函数,04(),04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出：11111157111317=-+-+-+解：()f x 是(,)ππ-上的奇函数,故0,0,1,2,n a n ==.1,211cos ()sin sin 220,n n n b f x nxdx nx nn n ππππ⎧-⎪====⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数. 又()f x 在(,0)(0,)ππ-连续,故1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑.当23x π=时, 12sin (21)23()3214n n f n πππ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-∑.当213n k -=时,2sin (21)0,3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2131n k -=+时,2sin (21)32n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2132n k -=+时,2sin (21)3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦所以,11111(1)4257111317π=-+-+-+,即111111657111317=-+-+-+.3．设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=。

傅里叶级数展开公式大全一、正弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其正弦展开为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*sin(nω0t) + bn*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。

1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt其中，[t0,t0+T]为f(t)的一个周期。

2.正弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*sin(nω0t)dt3.余弦系数bn的计算公式：bn = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt二、余弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其余弦展开为以下形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。

1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt2.余弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt需要注意的是，正弦展开公式中同时包含了正弦和余弦函数，而余弦展开公式只包含余弦函数。

正弦展开的系数an和bn分别对应了傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。

除了上述的正弦展开和余弦展开公式外，还存在一些特殊的函数的傅里叶级数展开公式，例如矩形脉冲函数和三角波函数的展开公式。

这些特殊函数的展开公式可以通过将其分解为更基本的正弦和余弦函数来求解。

总结起来，傅里叶级数展开公式是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。

正弦展开和余弦展开是两种常见的展开形式，可以通过对周期函数进行积分求解展开系数。

在实际应用中，傅里叶级数展开公式有着广泛的应用，可以分析信号的频谱特性，计算信号的谐波含量，以及进行信号的合成和滤波等操作。

展开为傅里叶级数在数学领域中，傅里叶级数是一种非常重要的工具，它可以将周期函数分解为无穷个三角函数的和。

今天我们来讨论一下如何将一个函数展开为傅里叶级数。

首先，我们需要了解什么是傅里叶级数。

傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(x)展开为一组三角函数的和：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，ω=2π/T，an和bn是傅里叶系数。

这组三角函数包括了所有频率为nω的正弦函数和余弦函数。

接下来，我们需要求解傅里叶系数an和bn。

我们可以根据傅里叶级数的定义，对傅里叶级数的各个部分进行求和，并且利用正交性条件得到傅里叶系数的表达式：an = (2/T) * Σ(f(x) * cos(nωx)dx)bn = (2/T) * Σ(f(x) * sin(nωx)dx)其中，Σ表示求和符号，dx表示微元，T是函数的周期。

这里需要注意的是，傅里叶系数的求解需要对周期函数进行积分，而且是在一个周期内进行的积分。

因此，我们需要等价地将函数在一个周期内展开为三角函数的和。

最后，我们来看一个例子，将一个周期为2π的函数f(x) = x 在[-π,π]内展开为傅里叶级数：1.首先求解a0，根据傅里叶级数的定义，a0等于函数在一个周期内的平均值，即a0=(1/π) * ∫(π,-π)(xdx) = 0。

2.接下来求解an，an等于函数与cos(nωx)在一个周期内的积分，即an = (2/π) * ∫(π,0)(x*cos(nx)dx) = (2/π) *[(π*sin(nπ))/n - (1/n^2)*cos(nπ)]an = (2/π) * ∫(0,-π)(x*cos(nx)dx) = (2/π) * [-(π*sin(nπ))/n + (1/n^2)*cos(nπ)]因为sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n，因此an = (-1)^n/n。

3.最后求解bn，bn等于函数与sin(nωx)在一个周期内的积分，即bn = (2/π) * ∫(π,0)(x*sin(nx)dx) = (2/π) *[(1/n)*cos(nπ) - (π*cos(nπ))/n]bn = (2/π) * ∫(0,-π)(x*sin(nx)dx) = (2/π) *[(π*cos(nπ))/n - (1/n)*cos(nπ)]因为sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n，因此bn = 0。

傅里叶级数的数学推导，小白必看傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。

一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。

如下就是傅里叶级数的公式：不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。

单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。

能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢?下面来详细解释一下此公式的得出过程：1、把一个周期函数表示成三角级数：首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ)这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相(与考察时设置原点位置有关)。

然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。

傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。

于是，傅里叶写出下式：(关于傅里叶推导纯属猜想)这里，t是变量，其他都是常数。

与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。

这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。

从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍，即n)、有不同的初相角(即ψ)，当然还有一项常数项(即A0)。

函数展开成傅里叶级数傅里叶级数是一种将一个周期函数展开成三角函数的级数的方法。

一个周期为T的函数f(某)可以表示为傅里叶级数的形式:f(某) = a0 + Σ(an某cos(nω某) + bn某sin(nω某))其中，a0是一个常数，an和bn是函数f(某)的系数，ω=2π/T是角频率。

为了求解傅里叶级数的系数，我们需要先求解函数f(某)的周期T和角频率ω。

然后，通过计算函数f(某)在一个周期内的积分，可以得到an和bn的表达式:an = (2/T) 某∫[0,T](f(某)某cos(nω某)d某)bn = (2/T) 某∫[0,T](f(某)某sin(nω某)d某)这样，通过计算积分，我们可以得到函数f(某)的傅里叶级数的系数。

傅里叶级数的展开有许多应用。

其中最重要的应用是信号处理，特别是在频域分析和滤波中的应用。

通过将信号展开成傅里叶级数，我们可以分析信号的频谱特性，并且在频域上对信号进行处理。

另一个重要的应用是在数学物理中的泛函分析。

傅里叶级数可以用于求解微分方程的边值问题，并且可以将一些复杂的算符问题转化为更简单的代数问题。

此外，傅里叶级数还有一些特殊的性质，比如Parseval定理。

根据Parseval定理，如果一个函数f(某)的傅里叶级数收敛，则有以下等式成立:(1/T) 某∫[0,T] (f(某))^2 d某= (a0/2)^2 + Σ[(an^2 +bn^2)/2]这个等式表明，一个函数f(某)的能量可以通过其傅里叶级数的系数来计算。

这个性质在信号处理中具有很重要的意义，因为它可以用于信号的能量计算和信号压缩等问题。

综上所述，傅里叶级数是一种将函数展开成三角函数的方法，具有广泛的应用领域。

通过计算函数在一个周期内的积分，可以得到函数的傅里叶级数的系数。

傅里叶级数在信号处理、数学物理等领域都发挥着重要的作用。

函数展开成傅里叶级数傅里叶级数是数学中一种十分重要的展开形式，它将一个周期函数展开成一系列正弦和余弦函数的线性组合。

这种展开形式可以用来描述周期性变化的信号，并且在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。

我们来看一下什么是周期函数。

周期函数是指在某个固定的时间间隔内，函数的值以相同的方式重复出现。

比如，正弦函数sin(x)就是一个周期函数，它的周期是2π。

周期函数在自然界中很常见，比如物体的振动、电流的变化等等。

傅里叶级数的基本思想是，通过将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，来近似表示原函数。

这个线性组合的系数就是傅里叶级数的系数，它们代表了原函数中各个频率分量的贡献程度。

具体来说，假设我们有一个周期为T的函数f(x)，它可以表示为如下的傅里叶级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，a0/2是直流分量，an和bn是傅里叶系数，n是频率的倍数，ω0=2π/T是角频率。

傅里叶级数的展开系数可以通过求取函数f(x)与正弦余弦函数的内积来计算。

具体地，对于每一个正整数n，我们可以分别求取函数f(x)与cos(nω0x)和sin(nω0x)的内积来计算an和bn的值。

这个内积的计算可以通过积分来进行。

假设f(x)在一个周期内的积分为A，那么an和bn的计算公式如下：an = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * cos(nω0x) dxbn = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * sin(nω0x) dx这样，我们就可以通过计算这些积分来得到傅里叶系数，从而得到函数f(x)的傅里叶级数展开。

傅里叶级数的展开形式非常有用，因为它可以将一个复杂的周期函数简化成一系列简单的正弦和余弦函数的叠加。

这使得我们可以更好地理解函数的周期性特征，并且可以方便地对函数进行分析和处理。

在信号处理中，傅里叶级数可以用来分析和合成信号。

高等数学傅里叶级数展开公式
摘要：
1.傅里叶级数的概念与意义
2.傅里叶级数展开公式的形式
3.傅里叶级数展开的步骤与方法
4.傅里叶级数在实际应用中的例子
5.总结
正文：
高等数学中的傅里叶级数是一种重要的数学工具，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。

傅里叶级数是一种特殊的三角级数，它可以将任何周期函数展开为一系列正弦和余弦函数的和。

傅里叶级数展开公式的形式如下：
f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nx) + bn*sin(nx)]（n 从0 至正无穷）
其中，f(x) 是待展开的函数，an 和bn 是傅里叶系数，n 是积分次数，x 是自变量。

要展开傅里叶级数，需要先确定傅里叶系数an 和bn。

这可以通过以下步骤实现：
1.对函数f(x) 进行一次积分，得到函数F(x)
2.对F(x) 进行傅里叶变换，得到傅里叶级数展开式
3.由展开式中的系数，求出an 和bn
在实际应用中，傅里叶级数有着广泛的应用。

例如，在信号处理领域，傅里叶级数可以用来将信号从时域转换到频域，以便于分析信号的频率特性。

在
图像处理领域，傅里叶级数可以用来对图像进行频域滤波，以去除图像中的噪声。

总之，傅里叶级数是高等数学中的一种重要数学工具，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。

三角函数的傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期函数表示为无限三角函数级数的方法。

在三角函数的傅里叶级数中，我们可以将周期为T的函数f(t)展开为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an某cos(nωt) + bn某sin(nωt)), n=1 to ∞其中，a0，an，bn是系数，分别表示直流分量、正弦分量和余弦分量，ω是基频，ω=2π/T。

傅里叶级数的物理意义在于，它能够通过不同频率的正弦和余弦函数的叠加来表示不同频率的振动成分。

通过逐渐增加级数中的项数，我们可以逼近原函数f(t)的形状，越多的项数意味着更精确的逼近。

傅里叶级数的计算依赖于对系数的求解过程。

利用欧拉公式，我们可以将三角函数转化为复指数函数的形式：f(t) = a0 + Σ(cne^(inωt)), n = -∞ to ∞系数cn可以通过以下公式计算：cn = (1/T)某∫[0 to T] f(t)e^(-inωt)dt这里的积分是对一个周期的函数进行求解。

对于实函数的傅里叶级数，我们可视为其中的虚部为0。

通过将函数f(t)e^(-inωt)视为一个周期为T的函数，我们可以将其展开为傅里叶级数，进一步求解系数cn。

对于三角函数的傅里叶级数的应用非常广泛，尤其是在信号处理和波动理论中。

通过将信号分解为各种频率成分的叠加，我们可以对信号进行分析、降噪、滤波等操作。

此外，傅里叶级数也在解偏微分方程、量子力学、振动学等领域中起到了重要的作用。

总结起来，三角函数的傅里叶级数是一种将周期函数表示为无限三角函数级数的方法，通过对系数的计算，我们可以将函数分解为不同频率成分的叠加。

傅里叶级数的应用广泛，对于理解周期函数的特性以及信号处理等领域具有重要意义。

cosx绝对值的傅里叶级数展开式要求展开函数f(x)= cos(x) 的傅里叶级数展开式。

首先，我们需要将函数f(x)= cos(x) 在一个周期内进行分段定义。

由于cos(x)的周期为2π，我们可以将f(x)在一个周期内分为两段进行定义：当0≤x≤π时，f(x)=cos(x)；当π<x≤2π时，f(x)=−cos(x)。

接下来，我们需要计算函数f(x)的傅里叶系数。

傅里叶级数展开式的一般形式为：f(x)=a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中，a0为直流分量，an和bn为交流分量。

首先，我们计算直流分量a0。

直流分量a0的计算公式为：a0 = (1/π) * ∫[−π,π] f(x) dx根据f(x)的定义，我们可以得到：a0 = (1/π) * ∫[0,π] cos(x) dx + (1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) dx对于第一段，我们有：(1/π) * ∫[0,π] cos(x) dx = (1/π) * [sin(x)] [0,π] = (1/π) * (sin(π)−sin(0)) = 0对于第二段，我们有：(1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) dx = (1/π) * [sin(x)] [π,2π] = (1/π) * (sin(2π)−sin(π)) = 0因此，直流分量a0为0。

接下来，我们计算交流分量an和bn。

交流分量an和bn的计算公式为：an = (1/π) * ∫[−π,π] f(x) * cos(nx) dxbn = (1/π) * ∫[−π,π] f(x) * sin(nx) dx对于an的计算，我们有：an = (1/π) * ∫[0,π] cos(x) * cos(nx) dx + (1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) * cos(nx) dx(1/π) * ∫[0,π] cos(x) * cos(nx) dx = (1/π) * [cos((n−1)x)/2(n−1)] [0,π] = (1/π) * (cos((n−1)π)/2(n−1)−cos(0)/2(n−1)) = (1/π) * (cos((n−1)π)/2(n−1)−1/2(n−1))对于第二段，我们有：(1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) * cos(nx) dx = (1/π) * [cos((n+1)x)/2(n+1)] [π,2π] = (1/π) * (cos((n+1)2π)/2(n+1)−cos(nπ)/2(n+1)) = (1/π) * (cos((n+1)2π)/2(n+1)+1/2(n+1))因此，交流分量an为：an = (1/π) * (cos((n−1)π)/2(n−1)−1/2(n−1)) + (1/π) * (cos((n+1)2π)/2(n+1)+1/2(n+1))对于bn的计算，我们有：bn = (1/π) * ∫[0,π] cos(x) * sin(nx) dx + (1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) * sin(nx) dx(1/π) * ∫[0,π] cos(x) * sin(nx) dx = (1/π) * [sin((n−1)x)/2(n−1)] [0,π] = (1/π) * (sin((n−1)π)/2(n−1)−sin(0)/2(n−1)) = (1/π) * (sin((n−1)π)/2(n−1))对于第二段，我们有：(1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) * sin(nx) dx = (1/π) * [sin((n+1)x)/2(n+1)] [π,2π] = (1/π) * (sin((n+1)2π)/2(n+1)−sin(nπ)/2(n+1)) = (1/π) * (sin((n+1)2π)/2(n+1))因此，交流分量bn为：bn = (1/π) * (sin((n−1)π)/2(n−1)) + (1/π) * (sin((n+1)2π)/2(n+1))综上所述，函数f(x)= cos(x) 的傅里叶级数展开式为：f(x) = Σ[(1/π) * (cos((n−1)π)/2(n−1)−1/2(n−1)) * cos(nx) + (1/π) * (sin((n −1)π)/2(n−1)) * sin(nx) + (1/π) * (cos((n+1)2π)/2(n+1)+1/2(n+1)) *cos(nx) + (1/π) * (sin((n+1)2π)/2(n+1)) * sin(nx)]其中，n为正整数。